Modelos discretos en una dimensión

1. Modelos de Una Dimensi´n
o
Edward Reyes Saez
Jesus Levano Tasayco
Christian Salinas Pendiente
Max Roman Mendoza
11 de octubre de 2013

2. ´
Indice general
Lista de figuras
3
5. Modelos Discretos
4
5.1. Modelos de una dimensi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5
5.1.1. Modelos lineales y no lineales . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5.1.2. Equilibrio, estabilidad y caos . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.3. Caso Pr´ctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
a
1

3. Pr´logo
o
En el presente trabajo se mostrar´ los Modelos Discretos y su importancia
a
de estos frente a los dem´s como los modelos continuos. Sabemos muy bien que
a
en la realidad existe una continuidad de eventos que hace pensar que todos los
modelos son continuos, pero existen formas continuas que es mejor representarlas como discretas para su mayor entendimiento y uso, como por ejemplo la
poblaci´n de un pa´ contabilizada anualmente o el crecimiento o decaimiento de
o
ıs
ciertos organismos que son observados en intervalos de tiempo. El gran uso de
los modelos de una dimensi´n con gran aplicaci´n en algunos campos como la
o
o
econom´ donde en ciertas oportunidades se hace uso de un m´todo llamado Ceıa
e
teris Paribus y hace que la funci´n de Oferta o Demanda dependa de una unica
o
´
variable. Como veremos en el siguiente cap´
ıtulo los modelos de una dimensi´n y
o
su forma discreta, su teorizaci´n y aplicaci´n
o
o
2

4. ´
Indice de figuras
5.1. Tasa de crecimiento Per capita para el modelo log´
ıstico . . . . . . 11
5.2. Crecimiento log´
ıstico de la poblaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . 11
o
5.3. M´todo gr´fico para encontrar el equilibrio como los puntos de
e
a
intersecci´n de las gr´ficas y = x y y = f (x) . . . . . . . . . . . . 12
o
a
5.4. M´todo gr´fico para encontrar el equilibrio 0 y K para el modelo
e
a
log´
ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.5. Poblaciones din´amicas para el modelo de ricker para b = 6,5, 9, 13, 18,
a
mostrando una oscilaci´n decreciente, 2 ciclos, 4 ciclos, y caos, cao
da vez que b incrementa su valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.6. Gr´ficos de soluciones discretas de la ecuaci´n del modelo de Rica
o
ker en el caso de poblaciones iniciales est´n cerca, en el r´gimen
a
e
del caos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.7. diagrama de telara˜a para un equilibrio estable. . . . . . . . . . . 19
n
5.8. diagrama de telara˜a para un equilibrio inestable. . . . . . . . . . 20
n
5.9. diagrama de Forrester de la poblaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . 22
o
5.10. definici´n de TNac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
o
5.11. par´metro TNac
a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.12. Definici´n de tiempo. DT=variaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
o
o
5.13. Tabla Poblaci´n - Defunciones (en millones de habitantes) . . . . 24
o
5.14. Gr´fico Habitantes-Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
a
3

5. Cap´
ıtulo 5
Modelos Discretos
Desde los m´s elementales cursos sabemos que las ecuaciones diferenciales
a
a menudo se aproximan por f´rmulas de diferenciaci´n discretas, por ejemplo,
o
o
Los m´todos num´ricos de Euler y Runge-Kutta, son algoritmos que resuelven
e
e
ecuaciones diferenciales. Pero adem´s las ecuaciones discretas se presentan naa
turalmente sin contrapartida continua. El reciente ´nfasis en los m´todos cuane
e
titativos en las ciencias biol´gicas ha tra´ modelos discretos a la vanguardia,
o
ıdo
no s´lo en las ´reas cl´sicas como la din´mica poblacional y la epidemiolog´
o
a
a
a
ıa,
pero en las nuevas aplicaciones de la gen´mica derivadas de la acumulaci´n de
o
o
datos de secuencias de ADN y otros procesos filogen´ticos. La revoluci´n digital
e
o
en la ingenier´ el´ctrica ha hecho que los modelos discretos en el desarrollo de
ıa e
dispositivos tecnol´gicos avanzados. Los Modelos discretos son conceptualmente
o
m´s simples que sus similares de ecuaciones diferenciales continuas. Sin embargo,
a
los modelos discretos son menos susceptibles a las t´cnicas de soluci´n anal´
e
o
ıtica
y su din´mica puede ser m´s complicada, a menudo exhibiendo el ciclismo y el
a
a
comportamiento ca´tico. Otra tarea importante es entender c´mo la estoc´stica
o
o
a
o aleatoriedad, entra y afecta a varios sistemas. Por ejemplo, siempre existe la
estocasticidad en el medio ambiente que afecta a las poblaciones, el ru´ en
ıdo
4

6. los circuitos el´ctricos y los dispositivos que afectan a las poblaciones, esos que
e
afectan a su respuesta, y las fuerzas aleatorias sobre las estructuras que afectan
a sus vibraciones. Consideramos que algunos aspectos de la aleatoriedad en este
cap´
ıtulo tambi´n.
e
5.1.
5.1.1.
Modelos de una dimensi´n
o
Modelos lineales y no lineales
En las ecuaciones diferenciales del tiempo t se ejecuta continuamente, y por lo
tanto las ecuaciones diferenciales se conocen como modelos de tiempo continuo a
menudo. Sin embargo, algunos procesos est´n mejor formulados como modelos de
a
tiempo discreto, donde el tiempo transcurre en modelos de tiempo discreto,
donde el tiempo se mide en unidades discretas t = 0, 1, 2, 3,... (por ejemplo en
das, meses o a˜os , etc). Por ejemplo, si el dinero en una cuenta de ahorros es
n
mensualmente compuesto, entonces s´lo tenemos que calcular la principal cada
o
mes. En un modelo de pesca, el n´mero de peces se puede estimar una vez al ao.
u
O bien, un conservacionista de vida silvestre puede hacer un censo de poblaci´n
o
de ciervos en la primavera y el oto˜o para estimar su n´mero y tomar decisiones
n
u
sobre las tasas de aprovechamiento permitidos. Los datos se recogen por lo general
en momentos discretos. En la ingenier´ el´ctrica, la funci´n continua es una
ıa e
o
secuencia xt ,por ejemplo,x0 , x1 , x2 , x3 ,...,en lugar de una funci´n continua. Los
o
su´
ındices denotan el tiempo, por ejemplo, en un censo semanal de los mosquitos
cultivadas en un laboratorio,x5 denotar´ el n´mero de mosquitos en la quinta
ıa
u
semana. Podemos graficar los estados, o secuencia xt como conjunto de puntos
(t, xt ) en un plano tx, con frecuencia, conect´ndolos mediante segmentos de l´
a
ınea
recta. En un momento dado, o de primer orden, el modelo de tiempo discreto,
es an´logo de una ecuaci´n diferencial de primer orden, es una ecuaci´n de la
a
o
o
5

7. forma:
xt+1 = f (t, xt ),
t = 0, 1, 2, 3, ...
(5.1)
donde f es una funci´ dada. Esta ecuaci´n ecuaci´n se llama ecuaciones en
ıon
o
o
diferencias y relaciones recursivas. El conocimiento del estado inicial x0 nos
permite calcular los estados posteriores de forma recursiva, en t´rminos de los
e
estados anteriormente calculado los estados posteriores de forma recursiva, en
t´rminos de los estados previamente calculados. Por lo tanto, (5.1) es una regla
e
de actualizaci´n determinista que nos dice c´mo calcular el siguiente valor en
o
o
t´rminos de la anterior. Una secuencia xt que satisfaga el modelo es una soluci´n
e
o
a la ecuaci´n. Si f (t, xt ) = at xt +bt , donde a at y bt se les da valores fijos, entonces
o
el modelo es lineal, de lo contrario, no es lineal. En la segunda parte que en su
mayor´ examinamos la ecuaci´n aut´noma:
ıa
o
o
xt+1 = f (xt ),
t = 0, 1, 2, 3, ...
(5.2)
donde el lado derecho no depende expl´
ıcitamente de t. Los modelos discretos
tambi´n se definen en t´rminos de cambios ∆xt = xt+1 del estadoxt . Por lo
e
e
tanto,
∆xt = g(xt )
define un modelo discreto, donde g es el cambio dado. Por ultimo, algunos mo´
delos tambi´n se definen en t´rminos de la variaci´n relativa, o cambio per
e
e
o
c´pita,∆xt /xt . As´
a
ı,
∆xt
= h(xt ),
xt
Donde h es la tasa de cambio per c´pita. Cualquier forma se puede obtener
a
f´cilmente de otra por simple ´lgebra. Una de dos etapas, o de segundo orden
a
a
aut´nomo, modelo de tiempo discreto tiene la forma
o
xt+2 = f (xt+1 , xt ) t = 0, 1, 2, 3, ...
6

8. ahora un estado depende de dos estados de proceder, y ambos x0 y x1 se requieren
para iniciar el proceso. Las ecuaciones en diferencias son f´rmulas de recursi´n
o
o
y programas para el c´lculo de los valores de xt se integran f´cilmente en los
a
a
sistemas de algebra computacional y calculadoras gr´ficas.
´
a
Ejemplo 5.1
El modelo discreto m´s simple, el proceso de Growth-decay(crecimientoa
decaimiento), es lineal y tiene la forma
xt+1 = xt + rxt
(5.3)
= (1 + r)xt
Por ejemplo, si xt es el principal en el mes t en una cuenta de ahorros que gana
0,003 % por mes, el director de la (t + 1)st mes es xt+1 = xt + 0,003xt . Podemos
realizar sucesivas iteraciones para obtener
x1 = (1 + r)x0
x2 = (1 + r)x1 = (1 + r)2 x0
x3 = (1 + r)x2 = (1 + r)3 x0
.
.
.
y as´ sucesivamente. Por inducci´n, la soluci´n de (5.3) es
ı
o
o
xt = (1 + r)t x0
Si r > 0 entonces xt crece geom´tricamente y tenemos el modelo de crecimiento.
e
Si −1 < r < 0 entonces 1+r es una fracci´n propia y xt tiende a cero geom´tricao
e
mente; esto es un modelo de decaimiento. Si −2 < r < −1, entonces el factor 1+r
es negativo y la soluci´n de xt , oscilar´ entre valores positivos y negativos, ya
o
a
7

9. que converge a cero. Finalmente, si r < −2 la soluci´n oscila sin l´
o
ımite. Tambi´n
e
se puede comprobar f´cilmente por sustituci´n directa de que la secuencia
a
o
xt = C(1 + t)t
es una soluci´n de la ecuaci´n para cualquier valor de C:
o
o
xt+1 = C(1 + r)t+1 = (1 + r)C(1 + r)t = (1 + r)xt
Si x0 es fijo, entonces C = x0 . Los Modelos de crecimiento, decaimiento discreto
son comunes en las finanzas, en la ecolog´ y en otras ´reas. Por ejemplo, en la
ıa
a
ecolog´ escribimos a menudo como el modelo 5.3
ıa
∆xt
=r
xt
Entonces podemos reconocer r como la tasa de crecimiento per c´pita constante.
a
Para las poblaciones en general, la constante r est´ dada por r = b − d + i − e es
a
decir, donde b, d, i, y e son el nacimiento, la muerte, inmigraci´n, emigraci´n y
o
o
muertes, respectivamente. Cuando r > 0, el modelo 5.3 se llama el modelo de
crecimiento de la poblaci´n de Malthus.
o
Ejemplo 5.2
El ultimo ejemplo mostr´ que la ecuaci´n de diferencia xt+1 = λxt tiene
´
o
o
soluci´n general xt = Cλt , donde C es cualquier constante. Vamos a modificar
o
la ecuaci´n y consideramos el modelo lineal
o
xt+1 = λxt + p,
(5.4)
donde p es una constante.Podemos considerar que este modelo es, por ejemplo, el
crecimiento mensual de principal xt , en una cuenta bancaria en la que r(λ = 1+r)
es la tasa de inter´s mensual y p es una adici´n mensual constante a la cuenta.
e
o
8

10. En un entorno ecol´gico, λ puede ser la tasa de crecimiento de una poblaci´n y p
o
o
tasa de reclutamiento constante. Podemos resolver esta ecuaci´n recursiva para
o
encontrar una f´rmula para xt . Si x0 es el valor inicial, entonces los rendimientos
o
de iteraci´n
o
x1 = λx0 + p,
x2 = λx1 + p = λ2 x0 + λp + p,
x3 = λx2 + p = λ3 x0 + λ2 p + λp + p,
.
.
.
xt = λt x0 + λt−1 p + λt−2 p + . . . + λp + p.
Por la f´rmula para la suma de una secuencia geom´trica,
o
e
λt−1 + λt−2 + . . . + λ + 1 =
1 − λt
1−λ
Por consiguiente:
xt = λt x0 + p
1 − λt
1−λ
(5.5)
que es la soluci´n de 5.4.
o
Ejemplo 5.3
(Modelo log´
ıstico) En el modelo de Malthus de crecimiento de la poblaci´n,
o
∆xt
=r
xt
or
xt+1 = (1 + r)xt ,
la poblaci´n xt crece ilimitadamente si la tasa de crecimiento per c´pita r, o el
o
a
cambio de la poblaci´n por individuo, es positivo. Tal predicci´n no puede, ser
o
o
exacto durante un largo tiempo. Si, por ejemplo, r = b − d, donde b es la tasa de
nacimientos per c´pita y d es la tasa de mortalidad per c´pita, a continuaci´n,
a
a
o
∆xt
=b−d
xt
9

11. Podr´
ıoamos esperar que durante los primeros tiempos, cuando la poblaci´n es
o
peque˜a, existen amplios recursos ambientales para apoyar una alta tasa de nan
talidad, la tasa de mortalidad es pequea. Pero para los ultimos tiempos, ya que
´
la poblaci´n crece, hay una mayor tasa de mortalidad que las personas compio
ten por espacio y alimento (competencia intraespec´
ıfica). Por lo tanto, debemos
abogar por una disminuci´n per c´pita de la tasa de crecimiento r por lo que auo
a
menta la poblaci´n.La m´s simple suposici´n es tomar una tasa de disminuci´n
o
a
o
o
lineal per c´pita, es decir,r(1 − xt /K, donde K es la capacidad de carga, o de la
a
poblaci´n en la que la tasa de crecimiento es cero. Vemos en la Fig 5.1. cuando
o
∆xt
xt
= r(1 − )
xt
K
(5.6)
En su forma estandar
xt+1 = xt (1 + r −
r
xt )
K
(5.7)
que es un no lineal. El modelo log´
ıstico discreto, de segundo grado en la poblaci´n,
o
es el modelo no lineal simple que podemos desarrollar. Es tentador identificar
b = r un ´
ındice de natalidad constante y d =
r
x
K t
como la tasa de mortalidad en
funci´n de la poblaci´n. Pero una alternativa es tomar b = r −
o
o
r
x yd
2K t
=
r
x,
2K t
como una funci´n de poblaci´n. Una parcela de la poblaci´n se muestra en la
o
o
o
Fig. 5.2 con r = 0,5, k = 100, y x0 = 20. Esto muestra un aumento constante
hasta la capacidad de carga, donde se estabiliza. El MATLAB acompaa produce
la secuencia en la Fig 5.2 para t = 1, 2, . . . , 20
funcion logistica
r=0.5; K=100;
x=15; xhistory=x;
for t=1:50;
x=x*(1+r-r*x/K);
xhistory=[xhistory,x];
10

12. end
Figura 5.1: Tasa de crecimiento Per capita para el modelo log´
ıstico
Figura 5.2: Crecimiento log´
ıstico de la poblaci´n
o
En la secci´n siguiente se observa que esto no es toda la historia, diferentes
o
valores de los par´metros pueden conducir a un comportamiento interesante,
a
inusual y complejo.
Ejemplo 5.4
El modelo de Ricker es no lineal, modelo ecol´gico de tiempo discreto de
o
la poblaci´n xt anual de una poblaci´n de peces en los peces adultos canibalizar
o
o
11

13. los j´venes. La din´mica es
o
a
xt+1 = bxt e−cxt
donde b > 1 y c es positivo. De una manera heur´
ıstica, se puede pensar en el
modelo de la siguiente manera. En el a˜o t existen xt peces adultos, y ellos dan
n
lugar normalmente a bxt peces adultos del p´ximo a˜o, donde b es el n´mero
o
n
u
de peces producida por adulto. Sin embargo, si los adultos comen los peces m´s
a
j´venes, s´lo una fracci´n de los que sobrevivir´ al p´ximo a˜o para ser adultos.
o
o
o
a
o
n
Figura 5.3: M´todo gr´fico para encontrar el equilibrio como los puntos de intere
a
secci´n de las gr´ficas y = x y y = f (x)
o
a
Asumimos la probabilidad de que un pez sobreviviente canibalismo es e−cxt ,
que disminuye a medida que el n´mero de adultos aumenta. Por lo tanto, bxt e−cxt
u
es el n´mero de adultos al a˜o siguiente. Uno no puede “resolver” este modelo
u
n
para obtener una f´rmula para el caldo de pescado xt , por lo que deben ser
o
satisfechos para planear su soluci´n mediante iteraci´n, como se hizo para el
o
o
modelo log´
ıstico en el ultimo ejemplo.
´
12

14. 5.1.2.
Equilibrio, estabilidad y caos
Una importante pregunta para modelos discretos, como para modelos continuos, es si el estado del sistema se aproxima al equilibrio cuando el tiempo es muy
grande. Soluciones de equilibrio son soluciones constantes, o secuencias constantes, nosotros decimos xt = x∗ es una soluci´n de equilibrio de xt+1 = f (xt )
o
si
x∗ = f (x∗ )
(5.8)
De la misma manera, x∗ es un valor que hace el cambio ∆xt a cero. Gr´ficamente,
a
nosotros podemos encontrar equilibrio x∗ en los puntos de intersecci´n del gr´fico
o
a
de y = f (x) y y = x en una plano xy. Ver figura 5.3
Ejemplo 5.5
(modelo log´
ıstico) configurando ∆xt = 0 en el modelo log´
ıstico resulta rx ∗
(1 −
x∗
)
K
= 0, o, x∗ = 0 y x∗ = K. estos dos equilibrios representan extinci´n y
o
la capacidad de la poblaci´n de carga, respectivamente. Gr´ficamente, nosotros
o
a
podemos trazar y = x vs y = f (x) = x ∗ (1 + r −
r
x);
K
los equilibrios son los
puntos de intersecci´n de las 2 curvas. Ver figura 5.4
o
Figura 5.4: M´todo gr´fico para encontrar el equilibrio 0 y K para el modelo
e
a
log´
ıstico
13

15. Ejemplo 5.6
(modelo de ricker) un estado de equilibrio para el modelo de ricker debe
satisfacer
∗
x∗ = bx∗ e(−cx ) ,
o
∗
x∗ (1be(−cx ) ) = 0
Por tanto un estado de equilibrio es x∗ = 0, el cual corresponde a extinci´n.
o
Configurando el otro factor igual a cero nos da:
∗
be(−cx ) = 1,
o
x∗ =
ln b
.
c
Si b > 1 , obtenemos un positivo, poblaci´n de equilibrio viable.
o
Si hay una soluci´n de equilibrio x∗ para un modelo discreto, siempre
o
preguntar sobre su permanencia o estabilidad. Por ejemplo, suponemos que el sistema esta en equilibrio y lo perturbamos con una pequea cantidad(perturbaciones
naturales est´n presentes en todos los sistemas f´
a
ısicos y biol´gicos). el sistema
o
regresa a ese estado o hace algo m´s? Decimos que un estado de equilibrio es
a
localmente asint´ticamente estable si las peque˜as perturbaciones decaen y
o
n
el sistema regresa al estado de equilibrio. Si las peque˜as perturbaciones de equin
librio no causan que el sistema se desv´ demasiado del equilibrio, decimos que el
ıe
equilibrio es estable. Si la perturbaci´n crece, entonces decimos que el equilibrio
o
es inestable. En el siguiente p´rrafo, usamos un argumento familiar para detera
minar la estabilidad de una poblaci´n de equilibrio. Dejar que x∗ sea un estado
o
de equilibrio para (5.8), y asumir que y0 representa una peque˜a desviaci´n de x∗
n
o
14

16. en t = 0, entonces esta perturbaci´n se propaga en el tiempo, teniendo valor yt
o
en tiempo t. yt crece o decrece? La din´mica del estado x∗ + yt (el estado de equia
librio m´s la desviaci´n) debe aun satisfacer la ecuaci´n din´mica. Sustituyendo
a
o
o
a
xt = x∗ + yt en (5.8) nos da
x∗ + yt+1 = f (x∗ + yt )
Podemos simplificar esta ecuaci´n usando la suposici´n de que las desviacioo
o
nes yt son peque˜as. Podemos expandir la parte derecha in una serie de Taylor
n
centrada sobre el valor x∗ para obtener:
1
1
2
3
x∗ + yt+1 = f (x∗ ) + f (x∗ )yt + ( )f (x∗ )yt + ( )f (x∗ )yt + . . . .
2!
3!
Porque las desviaciones son peque˜as, podemos descartar las potencias superiores
n
de yt , y considerar solo los t´rminos lineales. Adem´s, x∗ = f (x∗ ) porque x∗
e
a
esta en equilibrio. Por tanto, peque˜as perturbaciones son gobernadas por las
n
ecuaciones de perturbaci´n linealizadas, o linealizaci´n
o
o
yt+1 = f (x∗ )yt .
Esta ecuaci´n de diferencias es un modelo de crecimiento-decrecimiento ( notar
o
que f (x∗) es una constante). Para simplificar, hacer λ = f (x∗ ), entonces la
ecuaci´n tiene soluci´n
o
o
y t = y 0 λt .
Si |λ| < 1, entonces las perturbaciones yt tienden a cero y x∗ es localmente
asint´ticamente estable, si |λ| > 1, entonces las perturbaciones yt aumentan y
o
x∗ es inestable. Si λ = 1, entonces la linealizaci´n no da informaci´n sobre estao
o
bilidad y otros c´lculos son requeridos. El indicador de estabilidad λ es llamado
a
valor propio. Por tanto, si el valor absoluto de la pendiente de la l´
ınea tangente a f (x) en la intersecci´n con y = x es menor que 1, entonces el equilibrio
o
15

17. es asint´ticamente estable; si el valor absoluto de la pendiente es mayor que 1,
o
el equilibrio es inestable. En otras palabras, obtenemos estabilidad si f no esta
demasiado empinado en el punto de intersecci´n.
o
Ejemplo 5.7
Considerar el modelo de ricker
Xt+1 = bxt e(−cxt )
Donde c > 0 y b > 1. Verificando el equilibrio
X∗ =
ln b
.
c
Para estabilidad. Aqu´ f (x) = bxe−cx y debemos calcular el valor propio (eiı
gevalor), o la derivada de f evaluada en el equilibrio. Esto nos da, f (x) =
(−cx + 1)be−cx ; evaluando en x∗ nos da
∗
λ = f (x∗ ) = (−cx∗ + 1)be−cx = 1 − ln b
Obtenemos estabilidad asint´tica cuando
o
−1 < 1 ln b < 1,
o,
1 < b < e2 ≈ 7,39.
Si b < e2 , entonces la perturbaci´n disminuye y el equilibrio es asint´ticameno
o
te estable. Repetimos esto para representar algunas simulaciones con diferentes
valores de b y observar el efecto. Fijar c = 0,001. la figura 5.5 muestra el resultado para b = 6,5, 9, 13, 18. El equilibrio esta en x∗ = 1000 ln b. Para b = 6,5,
sin el rango de estabilidad, la soluci´n representa en realidad una estabilidad
o
asint´ticamente, oscilaci´n decreciente. Para b = 9 , sin embargo, un peri´dico,
o
o
o
16

18. 2 ciclos aparecen, alternando entre valores de poblaci´n altos y bajos. Cuando b
o
es incrementado adem´s, hay algunos valores de b donde de pronto los 2 ciclos
a
se bifurcan en 4 ciclos. El gr´fico muestra el periodo de 4 ciclos cuando b = 13.
a
Este periodo de duplicaci´n continua cada vez que b aumente, 8 ciclos, 16 ciclos,
o
etc. Puede ser demostrado que esos ciclos son ciclos l´
ımites estables. Pero hay un
valor cr´
ıtico de b donde el patr´n desaparece, y hay aparentemente fluctuaciones
o
aleatorias en la poblacion(b = 18 muestra ese caso). Cuando b excede este valor
cr´
ıtico, esas fluctuaciones no periodicas se convierten en altamente sensible a
condiciones iniciales, un comportamiento conocido como caos. La estructura de
la figura 5.6 muestra la soluci´n para condiciones x0 = 99 y x0 = 101 con b = 18.
o
Observamos muchas soluciones diferentes. En un r´gimen ca´tico, la soluci´n
e
o
o
es determinista (m´s que estoc´stica), pero es altamente inestable con respecto
a
a
al dato inicial. El comportamiento ca´tico es com´n en modelos discretos, ino
u
cluso en una dimensi´n. Como dicho comportamiento no aparece en ecuaciones
o
diferencial hasta dimensi´n 3, otros que en sistemas forzados. A continuaci´n,
o
o
ilustramos un procedimiento gr´fico para determinar la estabilidad de una soa
luci´n de equilibrio de xt+1 = f (x). la discusi´n hace referencia a la figura 5.7.
o
o
primero, bosquejamos la curva y = x y y = f (x) en un conjunto de ejes, como en
la figura 5.4. luego, marcamos el valor inicial x0 en el eje x. para encontrar x1 ,nos
movemos verticalmente hacia el gr´fico de f (x), porque x1 = f (x0 ), y marcamos
a
x1 en el eje y. para encontrar x2 , reflejamos xt nuevamente al eje x a trav´s de
e
la l´
ınea y = x. ahora, tenemos x1 en el eje x. repetimos el proceso moviendo
verticalmente hacia la curva f (x), el cual nos da x2 . Reflejamos nuevamente al
eje x, y as´ sucesivamente.
ı
17

19. Figura 5.5: Poblaciones din´amicas para el modelo de ricker para b =
a
6,5, 9, 13, 18, mostrando una oscilaci´n decreciente, 2 ciclos, 4 ciclos, y caos, cada
o
vez que b incrementa su valor.
18

20. Figura 5.6: Gr´ficos de soluciones discretas de la ecuaci´n del modelo de Ricker
a
o
en el caso de poblaciones iniciales est´n cerca, en el r´gimen del caos.
a
e
Figura 5.7: diagrama de telara˜a para un equilibrio estable.
n
19

21. Figura 5.8: diagrama de telara˜a para un equilibrio inestable.
n
Esta secuencia de movimientos es logrado empezando en x0 , luego movi´ndose
e
verticalmente a f (x), movi´ndose horizontalmente hacia la diagonal, alternando
e
de un lado a otro. El gr´fico de esos movimientos verticales y horizontales que dan
a
los segmentos entre la curva f (x) y la diagonal es llamado diagrama de telaraa.
Si el equilibrio es asint´ticamente estable, la telaraa converger´ al equilibrio
o
a
representado por el punto de intersecci´n. Si el equilibrio es inestable, la telaraa
o
diverger´ del punto de intersecci´n. Figura 5.8 muestra una telaraa divergente.
a
o
20

22. 5.1.3.
Caso Pr´ctico
a
Este es el caso del crecimiento poblacional en el territorio peruano y una
aproximaci´n de sus datos futuros, para esto tomamos un modelo discreto de
o
crecimiento anual. Para esto tenemos la siguente informaci´n
o
Poblaci´n inicial: 7.02 millones de habitantes en 1940.
o
Tabla de Tasa de nacimiento y mortalidad
A˜o
n
TNacim TDefun
1940
3.70
2.40
1950
3.67
1.80
1960
3.58
0.92
1970
3.40
0.64
1980
3.05
0.62
1990
2.55
0.61
2000
2.10
0.60
2010
1.90
0.59
Para este caso al ser muy largo el proceso de c´lculo, es muy dif´ resolverlo
a
ıcil
manualmente por lo que es necesario usar un programa de simulaci´n llamado
o
Stella 9.0.1. Usando el siguiente software, vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Construir el modelo de poblaci´n
o
21

23. Figura 5.9: diagrama de Forrester de la poblaci´n
o
2. Definimos los par´metros de TNac y TDefun
a
a) Doble click en el par´metro y lo definimos como TIME
a
Figura 5.10: definici´n de TNac
o
b) Click en la flecha para colocar la tabla (El programa entre intervalos
lo aproxima linealmente)Figura 5.11
22

24. Figura 5.11: par´metro TNac
a
c) An´logamente para TDefun
a
3. Definir el tipo de aproximaci´n (Usaremos Range-Kutta 4) y la variaci´n
o
o
de tiempo
Figura 5.12: Definici´n de tiempo. DT=variaci´n
o
o
4. Ejecutar el programa y ver los resultados Fig 5.13 y Fig 5.14
23

25. Figura 5.13: Tabla Poblaci´n - Defunciones (en millones de habitantes)
o
24

26. Figura 5.14: Gr´fico Habitantes-Tiempo
a
5. Verificar y contrastar con la realidad.
25