probabilidad 1 conjuntos

1. PROBABILIDAD Y ESTADICA
Ing. Merly Isabel Canul Salazar
Especialidad en Estadística
Instituto Tecnológico de Mérida

2. UNIDAD 1
TEORIA DE LA
PROBABILIDAD

3. Clase 2
ANALISIS COMBINATORIO
Existen en esencia dos tipos de problemas:
1.-El problema de citar todo lo que pueda
suceder en una situación dada
2.-Determinar cuantas cosas diferentes
puedan suceder (sin construir en realidad una
lista completa).

4. REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
DE OPCIONES
Teorema 1.- Si una operación consta de dos pasos, de los
cuales el primero se puede llevara a cabo de n1 maneras y para
cada una de estas el segundo se puede hacer de n2 maneras,
entonces la operación se puede efectuar en n1 x n2 maneras.
Con k pasos, donde k es un entero positivo, se obtiene la
siguiente regla:
Teorema 2.- Si una elección consta de k pasos, de los cuales el
primero se puede realizar en n1 formas, para cada uno de éstos
el segundo se puede hacer en n2 maneras, …, y para cada uno
de estos el k-ésimo se puede realizar en nk formas, entonces
toda la elección se puede hacer en n1 x n2 x … x nk formas.

5. Ejemplo: Un inspector de control de
calidad desea seleccionar una parte de
la inspección de cada uno de cuatro
recipientes diferentes que contienen
4,3,5,y 4 partes, respectivamente. ¿De
cuantas maneras diferentes se pueden
escoger las cuatro partes?
El número total de maneras es 4x3x5x4
= 240 maneras.

6. DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Mediante el uso de diagramas de árbol
adecuados, se puede generalizar sin
dificultad la regla procedente de la
“multiplicación de opciones” de manera
que se aplique a elecciones en que
intervengan más de dos pasos.

8. PERMUTACIONES
Una permutación es un arreglo de
todos, o parte de un conjunto de
objetos.
Permutaciones simples (sin repetición)
Sea un conjunto a1,a2,a3,…an, de n
elementos distintos entre sí; las
permutaciones simples de clase p (p n)
son todos los grupos ordenados que
pueden formarse tomando p elementos
distintos entre los n elementos dados.

9. En particular cuando p = n todas las
permutaciones son grupos donde figuran los
n elementos dados y la diferencia de un
grupo con otro es el orden en que dichos
elementos están enlistados
El número de permutaciones de n
distintos objetos es n!

10. En términos factoriales
El número de permutaciones de n
objetos distintos tomando p a la vez es
(en términos factoriales):
nPp = n ! ……. (1)
(n-p)!

11. Por el principio fundamental
de cuenta
nPp = n(n-1) (n-2)…(n-p+1) ...............(2)
Si p=n las ecuaciones (1) y (2) se satisfacen
solo si tenemos que 0! = 1 y tomaremos
realmente esto como una definición de 0!.
0! = 1 por definición
n siempre es positivo

12. Ejemplo:
Si 16 concursantes se someten a una
contienda de prueba ¿En cuantas formas
pueden los jueces otorgar un primer
premio y un segundo premio?
nPp = n(n-1) (n-2)…(n-p+1)= 16 (16-2+1)
= 16(15) = 240
nPp = n! = 16! = 240
(n-p)! (16-2)!

13. PERMUTACIONES
INDISTINGUIBLES (con repetición).
El número de permutaciones diferentes de
n objetos de los cuales n1 son de un tipo,
n2 son de un 2º tipo,…, nk de un k-ésimo
tipo es:
n!
---------------
n1!n2!…nk!

14. Tenemos 3 letras: a, b, c,
sus permutaciones simples serían:
abc acb bac bca cab cba
Si las letras b y c son ambas iguales a “x”
entonces las 6 permutaciones de las letras a, b, c
son:
axx axx xax xax xxa xxa
por lo que únicamente son 3 distintas.
ejemplo:
En cuantas formas diferentes pueden
acomodarse 3 focos rojos, 4 amarillos y 2 azules
en un árbol de navidad con 9 receptáculos.

15. PERMUTACIONES
CIRCULARES
Las permutaciones que se dan al
acomodar objetos en un circulo.
Dos de éstas no se consideran diferentes
(y se cuentan una sola vez) si los objetos
correspondientes en los dos arreglos
tienen los mismos objetos a su izquierda y
a su derecha.

16. El número de permutaciones de n objetos
distintos agregados en circulo es:
(n-1)!
El número de permutaciones circulares de clase p
de n elementos, que denotaremos se obtiene
dividiendo entre p el número de permutaciones
lineales, o sea:
p
pnnnn
p
P
P pnc
pn
)1)...(2)(1(,
,


)!1(
)!1(!
, 

 n
n
nn
n
n
PP c
n
c
nn

17. En cada caso las 3 permutaciones lineales mostradas
son una misma permutación circular
C B D
A B D E A E
ABC DEB AED
BAC EBD EDA
CAB BDE DAE

18. COMBINACIONES
A las combinaciones les interesa el
número de diferentes agrupaciones de
objetos que se pueden incurrir sin tener
en cuenta su orden.

19. El número total de combinaciones de p
objetos seleccionados de n se denota
por nCp
nCp = ___n!___
p!(n-p)!
que también puede escribirse como:
!!
)1)...(1(
p
P
p
pnnn
p
n pn









20. Los métodos de permutaciones y
combinaciones proporcionan la base para
contar los resultados posibles en situaciones
relativamente complejas.
ejemplo:
Se tiene un grupo de 4 hombres y 6 mujeres,
de cuantas maneras se pueden escoger
aleatoriamente los miembros para un comité
de tal manera que resulten seleccionados
dos mujeres y un hombre?

21. Determinamos el # de combinaciones de
resultados que contiene exactamente 2
mujeres de 6 y un hombre de 4 y luego
establecer la relación de este número con el
número total de combinaciones posibles.
3 de comités con 2 mujeres y un hombre
= 6C 2 X 4C1
se utiliza la multiplicación para resultados
secuenciales.

22. Calculo del número de combinaciones
Consideremos el conjunto de los cuatro
primeros números naturales 1, 2, 3 y 4.
Todas las combinaciones de clase 2 son:
12 23
13 24
14 34
Observemos que 12 y 21 es una sola
combinación.

23. Si a cada una de las 6 combinaciones de clase
2 se permuta de las 2!=2 maneras posibles,
obtenemos las permutaciones de clase 2.
Las permutaciones de clase p de n elementos
se obtienen de las combinaciones de clase p
de dichos n elementos, permutando cada
combinación de las p! maneras posibles (es
decir, cada combinación produce p!
permutaciones), este hecho nos lleva a:
pnpn PCp ,,! 

24. De donde:
Hemos establecido antes que:
De donde tenemos:
!
,
,
p
P
C pn
pn 
)1)...(2)(1(,  pnnnnP pn
!
)1)...(2)(1(
!
,
,
p
pnnnn
p
P
C pn
pn



25. Ejemplo
En términos factoriales tenemos que:
)!(!
!
!
)!(
!
!
,
,
pnp
n
p
pn
n
p
P
C pn
pn





26. EJERCICIOS
1. Si una prueba de opción múltiple consiste
en 5 preguntas cada una con 4 respuestas
posibles de las que solo una es correcta.
a) De cuantas formas diferentes puede
elegir un estudiante una respuesta a
cada pregunta?
b) De cuantas maneras puede escoger una
respuesta a cada pregunta y tener mal
todas las respuestas?

27. 2. Un testigo de accidente de tránsito en el
que huye el culpable dice a la policía que
el # de placas contenía las letras RLH
seguidas de 3 dígitos cuyo primer
número es un 5. Si el testigo no puede
recordar los dos últimos dígitos pero
tiene la certeza de que los 3 eran
diferentes, encuentre el número máximo
de placas de automóvil que la policía
tiene que verificar.

28. Clase 4
ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS
Experimento aleatorio.- Es aquel que
puede producir resultados diferentes
aun cuando se repita siempre de la
misma manera.
Espacio muestral del experimento.- Es
el conjunto de todos los resultados
posibles de un experimento aleatorio.
Se denota por S.

29. Eventos.- es un subconjunto del
espacio muestral de un experimento
aleatorio.
Dado que lo eventos son subconjuntos,
es posible usar las operaciones básicas
con conjuntos como la unión.
Intersección y el complemento para
formar otros eventos de interés.

30. Ejemplo
Se analizan muestras de plástico de
policarbonato para determinar la resistencia a
las rayaduras y la resistencia a los impactos.
Los resultados de 49 muestras se resumen a
continuación:
Resistencia a las rayaduras
alta Baja
Resistencia alta 40 4
a los impactos baja 2 3

31. Sea A que denote el evento de que una muestra tiene alta
resistencia a los impactos y sea que B denote el evento de
que una muestra tiene alta resistencia a las rayaduras.
Determinar :
a) El número de muestras que son altamente resistentes
a los impactos y altamente resistentes a las rayaduras.
b) El número de muestras que tienen una resistencia baja
a los impactos.
c) El número de muestras que son altamente resistentes
a los impactos o altamente resistentes a las rayaduras.

32. Eventos mutuamente excluyentes
Se dice que dos eventos denotados
como E1 y E2 tales que 
son mutuamente excluyentes.
Dos o más eventos son mutuamente
excluyentes o disjuntos si no pueden
ocurrir simultáneamente, es decir, la
ocurrencia de un evento impide
automáticamente la ocurrencia del otro
evento (ó eventos).
 21 EE

33. Eventos no excluyentes
Dos o más eventos no son excluyentes, o
conjuntos cuando es posible que ocurran
ambos.
Nótese que esta definición no indica que
tales eventos necesariamente deban
ocurrir siempre en forma simultánea.

34. Probabilidad definición
La veracidad o factibilidad de un resultado
se cuantifica asignando un número del
intervalo [0,1] al resultado (o un
porcentaje de 0 a 100%).
La probabilidad de un resultado puede
interpretarse como nuestra probabilidad
subjetiva, o grado de creencia, de que el
resultado ocurrirá.

35. Probabilidad clásica (a priori)
Existen algunos fenómenos que de
antemano se conocen sus resultados.
Si un suceso puede ocurrir en n maneras
diferentes de un número total de N
maneras posibles, todos igualmente
factibles, entonces la probabilidad de un
suceso es n/N.

36. La probabilidad de aparición del suceso
(llamada ocurrencia) viene dada por:
P= P{E} = n/N
La probabilidad de no aparición del suceso
(llamada no ocurrencia) viene dada por :
q = P {no E} = }{111 EPP
N
n
N
nN



37. así pues p + q = 1 ó
P { E }+ P{ no E} = 1
La probabilidad clásica define la probabilidad de
que un evento ocurra como:
Número de resultados donde ocurre el evento
Probabilidad = -------------------------------------------------------------
de un evento Número total de posibles resultados
Donde cada resultado debe tener la misma
probabilidad

38. Probabilidad como frecuencia
relativa (a posteriori)
La probabilidad de un resultado se interpreta
como el valor límite de la proporción de veces
que ocurre el resultado en N repeticiones del
experimento aleatorio cuando N se incrementa
sin restricciones.
Siempre que un espacio muestral conste de N
resultados posibles que son igualmente
factibles, la probabilidad de cada resultado es
1/N.

39. Para un espacio muestral discreto, la
probabilidad de un evento E, denotada
como P(E), es igual a la suma de las
probabilidades de los resultados en E.

40. Ejemplo
En la inspección visual de un lugar dado en las
obleas de un proceso de fabricación de
semiconductores se obtuvo la siguiente tabla:
# de partículas de contam. Prop. de obleas
0 0.40
1 0.20
2 0.15
3 0.10
4 0.05
5 o más 0.10

41. Si se selecciona una oblea de este proceso al
azar y se inspecciona el mismo lugar
a)¿Cuál es la probabilidad de que no contenga
partículas de contaminación?
b)¿Cuál es la probabilidad de que una oblea
contenga tres o más partículas en el lugar
inspeccionado?
c)¿Cuál es la probabilidad de que una oblea
contenga 0 o más de 3 partículas en el lugar
inspeccionado?

42. Axiomas y Teoremas
Los axiomas permiten calcular con facilidad las
probabilidades de algunos evento a partir del
conocimiento de las probabilidades de otros
eventos.
La probabilidades un número que se asigna a
cada miembro de una colección de eventos de un
experimento aleatorio que satisface las siguientes
propiedades:

43. Si S es el espacio muestral y E es cualquier
evento en un experimento aleatorio,
a) P(S)=1
b)
c) Para dos eventos
1)(0  EP
 2121 EEconEyE
)()()( 2121 EPEPEEP 

44. Estos axiomas implican los siguientes
resultados:
P()= 0
Y para cualquier evento E,
P(E’) = 1- P(E)

45. REGLAS DE ADICION
Se emplean cuando queremos determinar la
probabilidad de un evento u otro (o ambos) que
ocurre en una sola observación.
Para eventos mutuamente excluyentes es:
P(A o B) = P(AUB) = P(A) + P(B)
para eventos mutuamente no excluyentes es:
P(A ó B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
ó P(A U B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Esta es a regla general de la adición.

46. Ejemplo:
Se clasificaron las obleas según estuvieran en el centro o en el borde
de la máquina herramienta de deposición electrónica que se empleó
en su fabricación y por el grado de contaminación. En la tabla se
muestra la proporción de obleas en cada categoría.
No partículas de
contaminación
centro borde
0 0.30 0.10
1 0.15 0.05
2 0.10 0.05
3 0.06 0.04
4 0.04 0.01
5 o más 0.07 0.03

47. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una oblea seleccionada al azar de
este lote estuviera en el centro de la máquina-herramienta de
deposición electrónica?
b) Sea que E1 denote el evento de que una oblea contenga 4 o más
partículas y sea que E2 denote el evento de que una oblea está en el
borde. ¿Cuál es la probabilidad de que una oblea contenga cuatro o
más partículas y que estuvieran en el borde?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una oblea estuvo en el borde o que
contenga 4 o más partículas?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que una oblea contenga menos de 2
partículas o que sea a la vez del borde y contenga más de cuatro
partículas?

48. Clase 5
DEPENDENCIA ESTADISTICA
Dos eventos son dependientes cuando la
ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos
afecta la probabilidad de ocurrencia del otro
evento.

49. PROBABILIDAD CONDICIONAL
En un proceso de fabricación, 10% de las piezas presentan
imperfecciones superficiales visibles y 25 % de las piezas con
imperfecciones superficiales son funcionalmente defectuosas.
Sin embargo, solo 5% de las piezas sin imperfecciones superficiales
son funcionalmente defectuosas.
La probabilidad de una pieza con un defecto funcional depende del
conocimiento de la presencia o ausencia de una imperfección
superficial.
Si una pieza tiene una imperfección superficial, la probabilidad de que
sea funcionalmente defectuosa es de 0.25
Si una pieza no tiene ninguna imperfección superficial, la probabilidad
de que sea funcionalmente defectuosa es 0.05

50. Definición: La probabilidad condicional
de un evento B dado un evento A,
denotada como P(B l A), es
P(B l A) = P(AB) / P(A)

51. Cuando todos los resultados de un experimento
aleatorio son igualmente factibles.
Si hay n resultados posibles entonces.
P(A) = ( número de resultados en A) / n
P(AB) = (número de resultados en AB) / n
P(B l A) puede interpretarse como la frecuencia
relativa del evento B entre los ensayos que
producen un resultado en el evento A

52. Ejemplo:
Molécula 1
presente
no si
Molécula 2 presente
No 212 24
si 18 12
El registro de 266 muestras de aire se ha clasificado
con base en la presencia de dos moléculas raras.
Encuentre la probabilidad de obtener una muestra
a) cuya molécula 2 este presente dado que se sabe está presente la
molécula 1.
b) en las que está presente molécula uno.
c) cuya molécula dos este presente
d) cuya molécula 1 este presente dado que se sabe está presente la
molécula 2

53. REGLAS DE MULTIPLICACION
Probabilidad conjunta
Cuando estamos interesados en la probabilidad de
que dos eventos ocurran simultáneamente o en
sucesión.
La regla de multiplicación para los eventos
independientes es:
P(A y B) = P(AB)= P(A) P(B)
para eventos dependientes es:
P(A y B) = P(AB)= P(A) P(B|A)
P(A y B) = P(AB)= P(B) P(A|B)

54. Ejemplo
La probabilidad de que la batería de un automóvil sometida
a alta temperatura en el compartimiento del motor, tenga
una corriente de carga baja es 0.7
La probabilidad de que la batería este sometida a alta
temperatura en el compartimiento del motor es 0.05
Sea que A denote el evento de que una batería tiene una
corriente de carga baja Y sea que B denote el evento que
una batería está sometida a alta temperatura en el
compartimiento del motor.
¿Cuál es la probabilidad de que una batería tenga una
corriente de carga baja y esté sometida a alta temperatura
en el compartimiento del motor?

55. Probabilidad marginal
La regla de multiplicación es útil para determinar la
probabilidad de un evento que depende de otros
eventos.
Para un evento B cualquiera, B puede expresarse
como la unión de la parte de B que está en A y la
parte de B que está en A’.
B = (A  B) U (A’  B)
Regla de probabilidad total (para dos eventos)
P(B)=P(B  A)+P(B  A’)= P(A) P(B|A)+P(A’) P(B|A’)

56. Ejemplo
La probabilidad de que un chip sujeto a niveles de contaminación
altos durante la fabricación, ocasione una falla de un producto es
0.10; la probabilidad de que un chip sujeto a niveles de
contaminación medios durante la fabricación, ocasione una falla de
un producto es 0.01 y la probabilidad de que un chip sujeto a niveles
de contaminación bajos durante la fabricación, ocasione una falla de
un producto es 0.001
En una corrida particular de producción, 20% de los chips están
sujetos a niveles de contaminación altos, 30% a niveles de
contaminación medios y 50% a niveles de contaminación bajos.
¿Cuál es la probabilidad de que un producto que use uno de estos
chips falle?

57. Resumen
TIPO DE
PROBABILIDAD
SIMBOLO
FORMULA EN
CONDICIONES DE
INDEPENDEN.
ESTAD.
FORMULA EN
CONDICIONES DE
DEPENDEN. ESTAD.
Marginal P(A) P(A) Suma de las prob. de
los eventos conjuntos
en que ocurre A
Conjunta P(AB)
Ó P(BA)
P(A) X P(B)
P(B) X P(A)
P(A|B) X P(B)
P(B|A) X P(A)
Condicional P(B|A) P(B) P(BA) / P(A)
ó P(A|B) P(A) P(AB) / P(B)
Probabilidades en condiciones de
independencia y dependencia estadística

58. Clase 7
INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA
a) La probabilidad Marginal o incondicional
es la simple probabilidad de que suceda un
evento.
b) La probabilidad Conjunta de 2 o más
eventos independientes ocurran al mismo tiempo
o en sucesión es el producto de sus
probabilidades marginales. En forma matemática
se puede expresar así:
P(AB) = P(A) X P(B)

59. c) Probabilidad Condicional en condiciones de
independencia estadística se expresa
simbólicamente en la forma siguiente:
P(B|A) La probabilidad del evento B si el evento A
ha ocurrido.
Para eventos estadísticamente independientes es:
P(B|A) = P(B)
Ya que sus probabilidades no son afectadas en lo
absoluto por la ocurrencia de uno de ellos.

60. De hecho la independencia estadística se define
simbólicamente como la condición en que
P(B|A) = P(B)
Y usaremos esto como nuestra definición formal de
independencia
Definición.- Dos eventos A y B son independientes
si y solo si
P(A  B) = P(A) x P(B)

61. Teorema de bayes
Revisión de las probabilidades previas de
Probabilidad
La idea de obtener las probabilidades posteriores
(a posteriori) con limitada información disponible
se atribuye al reverendo Thomas Bayes (1702-
1761), y a la fórmula básica de probabilidad
condicional bajo dependencia:
Se le llama teorema de Bayes.
)(
)(
)|(
AP
BAP
ABP 

62. Ejemplo 1
Supongamos, que tenemos igual número de dos
tipos de dados cargados en un tazón. En la mitad
de ellos, un as sale 40% de las veces; por tanto,
P(as) = 0.4. En la otra mitad, un as sale 70% de
las veces y P(as) = 0.7. Al primer tipo lo
llamaremos tipo 1 y al segundo tipo lo llamaremos
tipo 2. Se extrae un dado, se lanza una vez y sale
un as. ¿Cuál es la probabilidad de que sea el dado
1?

63. Ejemplo 2
Consideremos el problema de un equipo de ligas pequeñas
de béisbol que ha estado empleando una máquina
automática de pitcheo. Si la máquina se instala bien (es
decir, si está ajustada correctamente), lanzará strikes el
85% de las veces. Si no está bien instalada, lanzará strikes
solo 35% de las veces. La experiencia nos indica que las
instalaciones se efectúan correctamente el 75 % de las
veces. Una vez que se instala la máquina para la práctica
de bateo en un día, lanza 3 strikes en los primeros 3
lanzamientos.
¿Cuál será la probabilidad revisada de que la instalación
esté bien hecha?