Tema5 ud3

TEMA 5
Variables aleatorias unidimensionales
Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial
1 V i bl l t i C t1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatoriasp
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.
4. Medidas características de una variable aleatoria.
5. Desigualdad de Chebyshev.

Esquema inicial
1 V i bl l t i C t1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias2. Tipos de variables aleatorias2. Tipos de variables aleatoriasppp
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.
4. Medidas características de una variable aleatoria.4. Medidas características de una variable aleatoria.4. Medidas características de una variable aleatoria.
5. Desigualdad de5. Desigualdad de5. Desigualdad de ChebyshevChebyshevChebyshev...

1. Variable aleatoria. Concepto (1/6)
¿Qué son los sucesos cuando estamos interesados en un carácter
cuantitativo?cuantitativo?
EJEMPLOJ O
Experimento aleatorio: lanzar dos dados
 ={(1 1) (1 2) (2 1) (2 2) (3 1) (1 3) (2 2) (4 1) (1 4) (2 3)
Espacio muestral
 ={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (1,3), (2,2), (4,1), (1,4), (2,3),
(3,2), (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3), (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3),
(3,4), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4), (3,6), (6,3),
(4 5) (5 4) (4 6) (6 4) (5 5) (5 6) (6 5) (6 6)}(4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)}
Carácter a estudio: suma de las puntuaciones (X)

 (a  X  b)
(  X)(a  X)
(a < X)
(X  b)
b
( )
x
Xa b

DEFINICIÓN
:X   R
 (1,1) 2 ( , )
 (1,2),(2,1) 3
p(3)=P[X=3]= P[X-1
(3)]=P[{(1,2),(2,1)}]

EJEMPLO
Resultados del experimento aleatorio
(elementos de (S))
Valor de la variable
aleatoria X
Valor de la función de
probabilidad, p(x)
(1 1) 2 p(2)=1/36(1,1) 2 p(2)=1/36
(1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36
(3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36
(4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36
(1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36
(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36
(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36
(3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36
(4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36( , ), ( , ), ( , ) 10 p(10) 3/36
(5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36
(6,6) 12 p(12)=1/36

DEFINICIÓN
:X   R
i is x
(, (), P)
RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA
P[X-1
(xi)] vendrá representado por P[X=xi]

( () P) N ió j i(, (), P) Notación conjuntista
(X, p)
Notación de Análisis(X f) Notación de Análisis
Matemático
(X, f)
(X, F)

Esquema inicial
1 V i bl l t i C t1 V i bl l t i C t1 V i bl l t i C t1. Variable aleatoria. Concepto1. Variable aleatoria. Concepto1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatoriasp
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.

2. Tipos de variables aleatorias (1/2)
Variable aleatoria discreta
Se denomina variable aleatoria discreta a aquella cuyos
posibles valores que pueden observarse son finitos op q p
numerables
Variable aleatoria continua
Se denomina variable aleatoria continua a aquella cuyos
posibles valores que pueden observarse son infinitos noposibles valores que pueden observarse son infinitos no
numerables

2. Tipos de variables aleatorias (2/2)
1 2, ,...., kx x x
1 2 1, ,...., , ,...k kx x x x 
[ , ],....,[ , ]i j k tx x x x[ , ],....,[ , ]i j k tx x x x

Esquema inicial
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.

3. Distribuciones de variables aleatorias (1/17)
p(xi)=P[X=xi]= P[X-1
(xi)]p(xi)=P[X=xi]= P[X (xi)]
(X  xi) {xi , xi-1 , xi-2 ,…. , x1}
P(X  xi) p(xi)+ p(xi-1)+p(xi-2)+…. +p(x1)
F(xi)=P[X≤xi]= p(xi)+ p(xi-1)+p(xi-2) +…. +p(x1)

a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x)

Resultados del experimento Valor de la variable Valor de la función de
a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x) EJEMPLO
p
aleatorio (elementos de (S)) aleatoria X probabilidad, p(x)
(1,1) 2 p(2)=1/36
(1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36
(3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36
(4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36
(1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36p( )
(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36
(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36
(3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36( , ), ( , ), ( , ), ( , ) 9 p(9) 4/36
(4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36
(5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36
(6 6) 12 p(12)=1/36
(6,6) 12 p(12)=1/36

( )
a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x) EJEMPLO
6/36
p(x)
6 7 x
3/36
4/36
5/36
p(x) =
6 -7- x
36
x = 2,...,12
1/36
2/36
3/36
0 en el resto
X2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

b) Representación integral: función de distribución, F(x) (escalonada)

CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓNCÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

b) Representación integral: función de distribución, F(x) GRÁFICA
 si 0
0.25
0 75
si 0 1
( )
i 1 2
0 x
x
F x

  
 
0.75
( )
si 1 2
si1 2
x
x

 
 

6/36
p(x)
4/36
5/36
6/36
( )
6 -7- x
36
x = 2,...,12
1/36
2/36
3/36
p(x) =
0 en el resto
X2 3 4 5 6 7
1/36
8 9 10 11 12

b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO
1F(x)
26/36
30/36
33/36
35/36
1( )
10/36
15/36
21/36
26/36
3/36
6/36
10/36
X
1/36
3/36
X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

[ , ],....,[ , ]i j k tx x x x
[ ]i jP x X x 
jxix
ji

a) Representación diferencial: origen de f(x)
Histograma para 20 clases
400
Histograma para 50 clases
200
100
200
300
80
120
160
-5 -3 -1 1 3 5 7
0
100
-5 -3 -1 1 3 5 7
0
40

a) Representación diferencial: función de densidad, f(x)
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DENSIDADCÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DENSIDAD

a) Representación diferencial: función de densidad, f(x) EJEMPLO
i d id il i lX  “proporción de accidentes automovilísticos mortales” Rg X  [0,1]
3
f(x) =
42 x (1-x) 5 0< x  1
0 en otro caso 1
1,5
2
2,5
0 en otro caso
x
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0
0,5
1

3.0
2.0
5
dxx)-(1x420.3)XP(0.2

b) Representación integral: función de distribución, F(x) (continua)

b) Representación integral: función de distribución, F(x)
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
PROPIEDADES
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
RELACIÓN ESPECIAL ENTRE F(x) Y f(x)

b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO
 

2.0
5
dxx)-(1x420.2)P(X
=
0,6
0,8
1
=
)2(F0.2)P(X 
0
0,2
0,4
x
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 x <0
F(x) = x2(21-70x+105x2-84x3+35x4-6x5) 0< x  1
0 x <0
1 x 1

Esquema inicial
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
4. Medidas características de una variable aleatoria
5. Desigualdad de5. Desigualdad de5. Desigualdad de ChebyshevChebyshevChebyshev

4. Medidas características de una v.a. (1/9)
Esperanza matemática (definición)Esperanza matemática ( )
  ( )E X xp x  (caso discreto)
x
  ( )E X xf x dx  (caso discreto)
k
RELACIÓN CON LA ESTRUCTURA DE LA MEDIA ARITMÉTICA
1
'
k
i i
i
X f x

 
PROPIEDAD    E aX b aE X b  

Paradoja de Allais (1953)
Problema de decisión 1
Opción A 1M € con toda seguridad
Maurice Allais
Opción B Un juego de azarOpción B Un juego de azar
10% de ganar 100M €
89% de ganar 1M €
1% de no ganar nada

MotivaciónProblema de decisión 2
MotivaciónProblema de decisión 2
Problema de decisión 2
Opción C
11% de ganar 1M €11% de ganar 1M €
89% de ganar 0 €
Opción D
10% de ganar 100M €10% de ganar 100M €
90% de ganar 0 €

MotivaciónProblema probabilístico equivalenteMotivaciónProblema probabilístico equivalente
Números de la lotería
1 2-11 12-100
Opción A………….
Opción B………….
Opción C………….
1M
0
1M
1M
100M
1M
1M
1M
0
Opción D…………. 0 100M 0

GANANCIAS PÉRDIDAS
PROBABILIDAD
ALTA
0.95 de ganar 100.000.000 0.95 de perder 100.000.000
Temor a la desilusión Esperanza de evitar la pérdida
Efecto certeza
Temor a la desilusión Esperanza de evitar la pérdida
AVERSIÓN AL RIESGO
Acepta lo desfavorable
BÚSQUEDA DEL RIESGO
Rechaza lo favorable
PROBABILIDAD
p
0.01 de ganar 100.000.000 0.01 de perder 100.000.000PROBABILIDAD
BAJA
Efecto posibilidad
g
Esperanza de gran ganancia
BÚSQUEDA DEL RIESGO
p
Temor a la gran pérdida
AVERSIÓN AL RIESGO
ec o pos b dad
Rechaza lo favorable Acepta lo desfavorable

GANANCIAS PÉRDIDAS
AVERSIÓN AL RIESGO BÚSQUEDA DEL RIESGOPROBABILIDAD
ALTA
Opción 1, paradoja Allais
Efecto “funcionario”
Opción 2, paradoja Allais
Efecto “Breaking bad”Efecto certeza
BÚSQUEDA DEL RIESGO AVERSIÓN AL RIESGOPROBABILIDAD
Jugar a cualquier lotería
Efecto “inversor”
Pólizas de seguro
Efecto “apocalipsis”
PROBABILIDAD
BAJA
Efecto posibilidadec o pos b dad

Varianza (definición)Varianza ( )
  2 2
( ) ( )Var X x p x   (caso discreto)
x
  2 2
( ) ( )Var X x f x dx   (caso discreto)
PROPIEDAD    2
Var aX b a Var X 

Mediana F(x) = ½Mediana F(x) ½
Moda Max f (x)Max f (x)
Percentiles F(x) = i/100Percentiles F(x) i/100
Cuartiles F(x) = i/4Cuartiles F(x) = i/4
GENERALIZACIONES DESDE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Momento centrado en el origen
r
r E X      1 E X  
Caso especial
 1 
Momento centrado en la mediaMomento centrado en la media
 
Caso especial
 
r
r E X   
   2 2
2 ( )E X Var X       
2
2 2 1   

Esquema inicial
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
4. Medidas características de una variable aleatoria4. Medidas características de una variable aleatoria4. Medidas características de una variable aleatoria
5. Desigualdad de Chebyshev

5. Relaciones entre media y varianza (1/2)
Desigualdad de Chebyshev
   1 1
1P X k P X k    2 2
1P X k P X k
k k
          
Pafnuty Chebyshev
1
Pafnuty Chebyshev
(1821-1894)
  2
1
1P k X k
k
        

5. Relaciones entre media y varianza (2/2)
Estandarización de una v aEstandarización de una v.a
Importante en un caso especial de distribución:
Distribución Normal
X 


Abraham de Moivre
(1667-1754)

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