Métodos de Solucion Gaussiana

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERECTORADO ACADÉMICO
SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVO A DISTANCIA
CABUDARE
Métodos de Solución
Gaussiana
Alumno: Whilfred R. Guedez G.
CI: 22.202.546
Sección: SAIA-B
Profesor: Domingo Méndez

2. Métodos De Eliminación Gaussiana
Una vez analizado los temas de la unidad III podemos indicar que el proceso en el
método de Eliminación de Gaussisana o de Gauss, radica en efectuar
transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas,
intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes,
operaciones con filas o columnas.), destinadas a transformarlo en un sistema
triangular superior, que resolveremos por remonte. En forma general este método
propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta
tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por
sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.
Descomposición LU
El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede
factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz
triangular superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran
operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los
términos independientes bi de manera eficiente.
La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene sus variantes en
cuanto a los valores iniciales de la diagonal que tomen las matrices L y U, es decir
si los valores de la diagonal de la matriz L tiene números 1, formalmente esto se
refiere a la Descomposición de Doolitle. Pero si los valores de la diagonal de la
matriz U tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de
Crout.

3. Factorización De Cholesky
Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En otras palabras,
[A] = [A] T. Tales sistemas ocurren comúnmente en problemas de ambos
contextos: el matemático y el de ingeniería. Ellos ofrecen ventajas
computacionales ya que sólo se necesita la mitad de almacenamiento y, en la
mayoría de los casos, sólo se requiere la mitad del tiempo de cálculo para su
solución. Al contrario de la Descomposición LU, no requiere de pivoteo. El método
de Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una matriz A es
simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser
factorizada como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la
matriz triangular inferior, es decir los factores triangula es resultantes son la
traspuesta de cada uno.
Factorización de QR, Householder
Anteriormente analizamos la factorización LU de una matriz el cual conduce a un
método muy eficiente para resolver un sistema lineal. Otro método de factorización
de una A, llamada factorización QR de A. Esta factorización se usa ampliamente
en los programas de computadora para determinar valores propios de una matriz,
para resolver sistemas lineales y para determinar aproximaciones por mínimos
cuadrados.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación
en la ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en cualquier
rama de la ingeniera existe al menos una aplicación que requiera del
planteamiento y solución de tales sistemas.

4. MÉTODO DE ITERATIVO DE GAUSS – SEIDEL.
Los valores que se van obtenido desde el inicio de la sustitución, se van sustituyen
a las siguiente ecuaciones (iteraciones).
Ejemplo:
10X1 + 1X2 = 11
2X1 + 10X2 = 12
Despeje de X1 en la ecuación 1
X1 = 11 - 1 X2
10
1 Iteración
X1 = 11 - 1 (0) = 1.1
10
2 Iteración
X1 = 11 - 1 (.98) = 1.002
10
3 Iteración
X1 = 11 - 1 (.9996) = 1.00002
10
Despeje de X1 en la ecuación 2
X2 = 12 - 2 X2
10
X2 = 0
X2 = 12 - 2 (1.1) = .98
10
X2 = 12 - 2 (1.002) = .9996
10
X2 = 12 - 2 (1.00002) = .999992
10

5. Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2.
10X1 + 1X2 = 11
2X1 + 10X2 = 12
2(1) +10(1) = 12
10(1)+1 (1) = 11
12 = 12
11 = 11
Error aproximado
a = 1.00004-1.002 * 100 = -1.959 = .1959 %
1.00004
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
A) SISTEMAS CON SOLUCION UNICA
1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de
Gauss-Jordán.
Solución.
a) Escribimos la matriz aumentada del sistema.
Debemos llevar a dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante
operaciones elementales en los renglones de la matriz, para ésto, escribiremos la
matriz y a continuación una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s)
operación(es) que estamos efectuando para que el lector pueda seguir el
desarrollo.
Notación para las operaciones elementales en renglones
Nuevo renglón i de la matriz aumentada.

6. Intercambio del renglón i con el renglón j.
Nuevo renglón j de la matriz aumentada.
b) Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida.
2) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales
Solución.
Escribiendo la matriz aumentada del sistema y reduciendo de acuerdo a la
operación indicada tenemos:
B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES
1) Obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales.
Solución.
La última matriz está en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducir
más, de donde obtenemos:
Despejando x, y
Luego x, y dependen de z, si z = t, t •¸ R, tenemos
Es decir, el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones ya que para
cada valor de t habrá un valor para x, y, z.
Por ejemplo:
Si T=0 entonces, es una solución para el sistema de ecuaciones.
Si T=1 entonces es otra solución para el sistema de ecuaciones.

7. Si T=4 entonces también es solución para el sistema de ecuaciones.
Así una vez más, remarcamos, el sistema tiene una infinidad de soluciones.
2) Resolver el sistema de ecuaciones:
Solución.
Si w = t, tenemos:
Hay infinidad de soluciones.
C) SISTEMAS SIN SOLUCION
1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
Solución.
No hay necesidad de seguir reduciendo, del segundo renglón se tiene que da la
igualdad (¡contradicción!), por lo tanto, el sistema no tiene solución.
2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
Solución.
Del tercer renglón se tiene que da la igualdad 0=3, luego el sistema no tiene
solución.
D) SISTEMAS HOMOGENEOS
Un sistema de ecuaciones lineales se dice HOMOGENEO si cada una de las
ecuaciones está igualada a cero es decir
Los sistemas homogéneos SIEMPRE tienen solución ya que

8. Es solución del sistema, ésta solución es llamada la solución trivial, así un sistema
homogéneo de ecuaciones lineales tiene solución única o tiene una infinidad de
soluciones.
1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
Solución.
Luego x=y=z=0, el sistema tiene solución única, la solución trivial.
Algo más para agregar
Hay dos temas adicionales que se deben de mencionar: La interpolación con los
datos igualmente espaciados y la Extrapolación.
Ya que los métodos de Newton y de LaGrange son compatibles con los datos
espaciados en forma arbitraria, se debe de preguntar por qué se aborda el caso de
los datos igualmente espaciados. Antes del advenimiento de las computadoras
digitales, estos métodos tuvieron gran utilidad en la interpolación de tablas con
datos igualmente espaciados. De hecho se desarrolla un esquema conocido como
tabla de diferencias divididas para facilitar la implementación de estas técnicas.
Sin embargo, y debido a que las fórmulas son un subconjunto de los esquemas de
Newton y LaGrange compatibles con la computadora y ya que se dispone de
muchas funciones tabulares como rutinas de biblioteca, la necesidad de puntos
equidistantes se fue perdiendo. En particular, se puede emplear en la derivación
de fórmulas de integración numérica que emplean comúnmente datos
equidistantes.
La extrapolación es el proceso de calcular un valor de f(X) que cae fuera del rango
de los puntos base conocidos X0, X1,..., Xn. La interpolación más exacta
usualmente se obtiene cuando las incógnitas caen cerca de los puntos base.

9. Obviamente, esto no sucede cuando las incógnitas caen fuera del rango, y por lo
tanto, el error en la extrapolación puede ser muy grande. La naturaleza abierta en
los extremos de la extrapolación representa un paso en la incógnita porque el
proceso extiende la curva más allá de la región conocida. Como tal, la curva
verdadera diverge fácilmente de la predicción. Por lo tanto, se debe tener cuidado
extremo en casos donde se deba extrapolar.
MÉTODO ITERATIVO DE JACOBI
Este método consiste en despejar las variables X1, X2, X3… X4 por cada reglón
según el número de ecuaciones dadas, después se le asigna un valor de cero, y se
sustituye en la ecuación del despeje para encontrar el valor de la primera iteración
y posteriormente, estos valores se sustituyen para encontrar el valor de la segunda
ecuación, y así sucesivamente hasta encontrar el valor.
El valor de las
incógnitas
Ejemplo:
10X1 + 1X2 = 11
2X1 + 10X2 = 12
Convergente: Se a próxima
al valor real.
Divergente: Se aleja del
valor real.
Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2
X2 = 12 - 2 X2
X1 = 11 - 1 X2 10
10

10. X 1 = X2 = 0
1 Iteración
X1 = 11 - 1 (0) = 11/10
10
2 Iteración
X1 = 11 - 1 (12/2) = .98
10
3 Iteración
X1 = 11 - 1 (.98) = 1.002
10
Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2.
10X1 + 1X2 = 11
10(1)+1 (1) = 11
11 = 11
X2 = 12 - 2 (0) = 12/10
10
X2 = 12 - 2 (11/10) = .98
10
X2 = 12 - 2 (.98) = 1.004
10
2X1 + 10X2 = 12
2(1) +10(1) = 12
12 = 12
COMPARACIONES: MÉTODO DE JACOBI Y GAUSS-SEIDEL: (CON VISUAL
BASIC).
Son dos métodos numéricos, que nos permite hallar soluciones a sistemas con el
mismo número de ecuaciones que incógnitas, en los dos métodos se realiza el
siguiente proceso, con una pequeña variación en Gauss-Siedel.

11. Tenemos estas ecuaciones:
5X-2Y+Z=3
-X-7Y+3Z=-2
2X-Y+8Z=1
1. Despejar cada incógnita en función de las demás.
X= (3+2Y-Z)/5
Y= (X-3Z-2)/-7
Z= (1-2X+Y)/8
2. Dar valores iníciales a las incógnitas
X1= 0
Y1= 0
Z1= 0
Por Jacobi:
Reemplazar en cada ecuación los valores iníciales, esto nos dará nuevos valores
que serán usados en la próxima iteración
X= (3+2*0-0)/5 = 0,60
Y= (0-3*0-2)/-7 = 0,28
Z= (1-2X+Y)/8 = 0,12

12. Por Gauss-Seidel
Reemplazar en cada ecuación los valores más próximos hallados.
X= (3+2*0-0)/5 = 0,6
Y= (0,6-3*0-2)/-7 = 0,2
Z= (1-2*0,6+0,2)/ 8=0
Se realiza cuantas iteraciones se desee, usando como valores iníciales los nuevos
valores hallados. Se puede detener la ejecución del algoritmo al calcular el error
del cálculo, el cual lo podemos hallar con esta fórmula: sqr( (x1-x0)^2 + (y1-
y0)^2 +(z1-z0)^2 ).
Con jacobi

13. Con Gauss-Seidel
La principal diferencia, es que como el método de gauss_seidel utiliza los valores
inmediatamente encontrados, entonces hace que todo el proceso sea más rápido,
y como consecuencia hace de éste, un método más eficaz.
Las fórmulas usadas en la hoja de Excel para el método de Jacobi son:
= (3+2*D5-E5)/5
= (C5-3*E5-2)/-7
= (12*C5+D5)/8
= (RAIZ ((C6-C5) ^2+ (D6-D5) ^2 + (E6-E5) ^2)
Que corresponde a la variable X, Y, Z y Error respectivamente. Y para el
método de Gauss-Seidel:
= (3+2*J5-K5)/5
= (I6-3*K5-2)/-7
= (1-2*I6+J6)/8
= (RAIZ((I6-I5)^2+ (J6-J5)^2 + (K6-K5)^2)