El documento describe dos sistemas para representar números binarios negativos: el complemento a uno y el complemento a dos. El complemento a uno representa los números negativos realizando un NOT bit a bit del número positivo correspondiente. El complemento a dos evita los problemas del complemento a uno y representa los números negativos mediante un patrón de bits un bit mayor que el complemento a uno positivo correspondiente.

1. COMPLEMENTOS PARA OPERACIONES BINARIAS
Complemento a uno
Como alternativa para representar números negativos puede usarse un sistema conocido
como complemento a uno. La forma del complemento a uno de un número binario es un
NOT bit a bit aplicado al número – Recordemos que el complemento a uno de un número
positivo no sufre ningún cambio (C1 (2)= 00000010 C1 (-2)= 11111101). Como en la
representación de signo-y-magnitud, el complemento a uno tendrá dos representaciones
del 0: 00000000 (+0) y 11111111 (-0). Como ejemplo, el complemento a uno de 0101011
(43) se convierten en 1010100 (-43). El rango para la representación en complemento a
uno con 8 bits es -127 a +127 (en base 10). Para sumar dos números representados en este
sistema, uno hace una suma binaria convencional, pero es necesario sumar el último
acarreo obtenido al resultado de la suma. Para ver porqué esto es necesario, consideramos
el caso de la suma de -1 (11111110) a +2 (00000010). ¡La adición binaria solamente da a
00000000, que no es la respuesta correcta! Solamente cuando se suma el acarreo al
resultado obtenemos el resultado correcto (00000001).
Este sistema numérico de representación era común en computadoras más antiguas; el
PDP-1 y la serie de UNIVAC 1100/2200, entre muchas otras, utilizaron la aritmética en
complemento a uno. (Una observación de terminología: El sistema es conocido como
“complemento a uno” porque la negación de x se forma restando x a una cadena larga de
unos. La aritmética del complemento a dos, por otra parte, forma la negación de x
restando la potencia de dos que utiliza un bit más en la representación (Siguiendo con el
ejemplo de 8 bits el número a restar sería 100000000).
Complemento a dos
Valores con números de 8 bits
Valor del complemento a dos Valor sin signo
00000000 0 0
00000001 1 1
... ... ...
01111110 126 126
01111111 127 127
10000000 −128 128
10000001 −127 129
10000010 −126 130
... ... ...
11111110 −2 254
11111111 −1 255

2. Los problemas de las múltiples representaciones del 0 y la necesidad del acarreo de
salida, se evitan con un sistema llamado Complemento a dos. En el complemento a dos,
los números negativos se representan mediante el patrón de bits que es un bit mayor (sin
signo) que el complemento a uno del valor positivo. En el complemento a dos, hay un
solo cero (00000000). Para negar un número (negativo o positivo) invertimos todos los
bits y añadimos un 1 al resultado. La suma de un par de números enteros en complemento
a dos es la misma que la suma de un par de números sin signo (excepto para la detección
de desbordamiento si se usa). Por ejemplo, la suma en complemento a dos de 127 y –128
da el mismo patrón de bits que la suma sin signo del 127 y 128, tal y como se puede ver
en la tabla de abajo. El valor -8, representado en binario con cuatro bits (1000) es un caso
especial, ya que su complemento a dos es el mismo, es necesario cinco bits para su
representación (01000).
Una forma fácil de implementar el complemento a dos es la siguiente:
Ejemplo 1 Ejemplo 2
1. Empezando desde la derecha encontramos el primer '1' 0101001 0101100
2. Hacemos un NOT a todos los bits que quedan por la izquierda 1010111 1010100
Tabla de comparación
La tabla siguiente compara la representación de los enteros entre 8 y -8 (incluidos) usando
4 bits.
Representación de enteros de 4 bits
Entero Signo y
Decimal Complemento a 1 Complemento a 2 BCD- exceso 8
positivo magnitud
+8 1000 n/a n/a n/a 1111
+7 0111 0111 0111 0111 1110
+6 0110 0110 0110 0110 1101
+5 0101 0101 0101 0101 1100
+4 0100 0100 0100 0100 1011
+3 0011 0011 0011 0011 0011
+2 0010 0010 0010 0010 1001
+1 0001 0001 0001 0001 1000
(+)0 0000 0000 0000 0000 0111
(−)0 n/a 1000 1111 n/a n/a
−1 n/a 1001 1110 1111 0110
−2 n/a 1010 1101 1110 0101
−3 n/a 1011 1100 1101 0100
−4 n/a 1100 1011 1100 0011
−5 n/a 1101 1010 1011 0010
−6 n/a 1110 1001 1010 0001
−7 n/a 1111 1000 1001 0000
−8 n/a n/a n/a 1000 n/a