El documento describe diferentes sistemas de numeración, incluyendo enteros, binarios, octales y hexadecimales. Define cada sistema, sus símbolos y cómo se representan y calculan los números en cada sistema. También incluye tablas para sumar, restar, multiplicar y dividir en los sistemas binario, octal y hexadecimal.

1. NÚMERO ENTERO
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus
opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z = {…, -11, -10,…, -2, -1,
-0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos
deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las
temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por
debajo de la entrada al mismo…).
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y
que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:
• si a > 0, |a| = a; por ejemplo, |5| = 5;
• si a < 0, |a| = -a; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas
porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo
se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.
Sistema Decimal (con decimales) a binario
Para transformar un número del sistema decimal en sistema binario:
1. Se inicia por el lado izquierdo, multiplicando cada número por 2 (si la parte entera
es mayor que 0 en binario será 1, y en caso contrario es 0)
2. En caso de ser 1, en la siguiente división se utilizan sólo los decimales.
3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el
orden de su obtención.
4. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0,1
Ejemplo
0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario).
Proceso:
0,3125 x 2 = 0,625 => 0
0,625 x 2 = 1,25 => 1
0,25 x 2 = 0,5 => 0

2. 0,5 x 2 = 1 => 1
En orden: 0101 -> 0,0101 (binario)
Ejemplo
0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario).
Proceso:
0,1 x 2 = 0,2 => 0
0,2 x 2 = 0,4 => 0
0,4 x 2 = 0,8 => 0
0,8 x 2 = 1,6 => 1
0,6 x 2 = 1,2 => 1
0,2 x 2 = 0,4 => 0 <- se repiten las cuatro cifras, periódicamente
0,4 x 2 = 0,8 => 0 <-
0,8 x 2 = 1,6 => 1 <-
0,6 x 2 = 1,2 => 1 <-
En orden: 0 0011 0011
SISTEMA BINARIO
El sistema binario o sistema de numeración en base 2 es también un sistema de numeración
posicional igual que el decimal, pero sólo utiliza dos símbolos, el “0” y el “1”. Por lo tanto para
poder representar mayor número de información al tener menos símbolos tendremos que utilizar
más cifras:
Bit: 0 ó 1
Cuarteto: Número formado por 4 bits
Byte: 8 bits
Kilobyte: 1024 bytes
Megabyte: 1024 kilobytes
Gigabyte: 1025 megabytes
Un número es sistema binario es por lo tanto una secuencia de bits, así por ejemplo:
11101001 2 es un número en base 2 y representa el número:
1 * 27
+ 1 * 26
+ 1 * 25
+ 0 * 24
+ 1 * 23
+ 0 * 22
+ 0 * 21
+ 1 * 21
= 128 + 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 +
1 = 233
[EL SISTEMA OCTAL]
Es un sistema de base 8, es decir, con sólo ocho símbolos distintos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Por ejemplo:
40712 8 es un número en base 8 y representa el número:

3. large 4 times 8^4 + 0 times 8^3 + 7 times 8^2 + 1 times 8^1
+ 2 times 8^0 = 4 times 4094 + 0 times 512 + 7 times 64 + 1
times 8 + 2 times 1 = 16384 + 0 + 448 + 8 + 2 = 16842
Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos
consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.
Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos
como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.
En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de
que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos.
Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar del decimal, por ejemplo, para
contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Esto explicaría por qué en
latín nueve se parece tanto a nuevo. Podría tener el significado de número nuevo.
Fracciones
La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones,
puesto que el único factor primo para sus bases es 2.
Fracción Octal Resultado en octal
1/2 1/2 0,4
1/3 1/3 0,25252525 periódico
1/4 1/4 0,2
1/5 1/5 0,14631463 periódico
1/6 1/6 0,125252525 periódico
1/7 1/7 0,111111 periódico
1/8 1/10 0,1
1/9 1/11 0,07070707 periódico
1/10 1/12 0,063146314 periódico
Tabla de la suma en base 8:
+ 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 10
2 2 3 4 5 6 7 10 11
3 3 4 5 6 7 10 11 12
4 4 5 6 7 10 11 12 13
5 5 6 7 10 11 12 13 14
6 6 7 10 11 12 13 14 15
7 7 10 11 12 13 14 15 16

4. Tabla de la multiplicación en base 8:
* 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7
2 0 2 4 6 10 12 14 16
3 0 3 6 11 14 17 22 25
4 0 4 10 14 20 24 30 34
5 0 5 12 17 24 31 36 43
6 0 6 14 22 30 36 44 52
7 0 7 16 25 34 43 52 61
El sistema de numeración más utilizado actualmente en computación es el hexadecimal o base 16,
el cual consta de 16 dígitos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F . El sistema
hexadecimal un sistema de numeración vinculado a la informática, ya que los ordenadores
interpretan los lenguajes de programación en bytes, que están compuestos de ocho dígitos. A
medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento,
funcionan con múltiplos de ocho, como 16 o 32. Por este motivo, el sistema hexadecimal, de 16
dígitos, es un estándar en la informática.
Como nuestro sistema de numeración sólo dispone de diez dígitos, debemos incluir seis letras para
completar el sistema.
Estas letras y su valor en decimal son: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15.
El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numérico asociado a cada signo depende de
su posición en el número, y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en
este caso es 16.
Veamos un ejemplo numérico: 3E0,A (16) = ( 3×16
) + ( E×16¹ ) + ( 0×160 ) + ( A×16–1 ) = ( 3×256 ) + ( 14×16 ) +
( 0×1 ) + ( 10×0,0625 ) = 992,625
La utilización del sistema hexadecimal en los ordenadores, se debe a que un dígito hexadecimal
representa a cuatro dígitos binarios (4 bits = 1 nibble), por tanto dos dígitos hexadecimales
representaran a ocho dígitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad básica de
almacenamiento de información. Por ejemplo:
2A703 16 es un número en base 16 y representa el número:
Tabla de la suma en base 16:

5. + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B
D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C
E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D
F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E
Tabla de la multiplicación en base 16:
* 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10
2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 20
3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 30
4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 40
5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 50
6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 60
7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69 70
8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 80
9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87 90
A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96 A0
B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5 B0
C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 C0
D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3 D0
E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2 E0
F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1 F0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 C0 D0 E0 F0 100

6. Tabla de los primeros 16 números
Decimal Binario Octal Hexadecimal
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
Representación
Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que a
su vez pueden ser representados por cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados
mutuamente exclusivos. Las secuencias siguientes de símbolos podrían ser interpretadas todas como
el mismo valor binario numérico:
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0
| - | - - | | - | -
x o x o o x x o x o
y n y n n y y n y n
El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En un
ordenador, los valores numéricos pueden ser representados por dos voltajes diferentes y también se
pueden usar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un “positivo”, “sí”, o “sobre el
estado” no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la
arquitectura usada.
De acuerdo con la representación acostumbrada de cifras que usan números árabes, los números
binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Cuando son escritos, los números
binarios son a menudo subindicados, prefijados o sufijados para indicar su base, o la raíz. Las
notaciones siguientes son equivalentes:

7. • 100101 binario (declaración explícita de formato)
• 100101b (un sufijo que indica formato binario)
• 100101B (un sufijo que indica formato binario)
• bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
• 1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)
• %100101 (un prefijo que indica formato binario)
• 0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación)
SISTEMA OCTAL
Representar un número en sistema binario puede ser bastante difícil de leer, así que se creó el
sistema octal. En el sistema Octal (base 8), sólo se utilizan 8 cifras (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
Este Sistema de numeración una vez que se llega a la cuenta 7 se pasa a 10, etc.
Cuenta hecha en octal: 0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20,21,….. Se puede observar que en
este sistema numérico no existen los números: 8 y 9
El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es
potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario
o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el
mismo valor que en el sistema de numeración decimal.
Fracciones en Hexadecimal
Fracción Octal Resultado en octal
1/2 1/2 0,4
1/3 1/3 0,25252525 periódico
1/4 1/4 0,2
1/5 1/5 0,14631463 periódico
1/6 1/6 0,125252525 periódico
1/7 1/7 0,111111 periódico
1/8 1/10 0,1
1/9 1/11 0,07070707 periódico
1/10 1/12 0,063146314 periódico

8. SISTEMA HEXADECIMAL
El sistema hexadecimal, a veces abreviado como hex, es el sistema de numeración posicional de
base 16 —empleando por tanto 16 símbolos—. Su uso actual está muy vinculado a la informática y
ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad
básica de memoria
Tabla del Sistema Decimal, Binario, Octal y Hexadecimal
Decimal Binario Octal Hexadecimal
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
Autor: Efren Montero Mero