CONJUNTOS_NUMERICOS.pdf

MÓDULO DE MATEMÁTICA
INGRESO 2024
GUÍA DE ESTUDIO - UNIDAD N° 1
Dirección del Módulo de Matemática:
Prof. Sara Pettina
Coordinación General del Módulo de Matemática:
Prof. Marianela Bello
Co-Coordinación del Módulo de Matemática:
Prof. Germán Diez
Dictado de clases presenciales:
Prof. Matías Albornoz
Prof. Gabriel Aluz
Prof. Sofía Amorós
Prof. Melanie Antolinez
Prof. Carla Barbieri
Prof. Giuliana Calani
Prof. Sebastián Egea
Prof. Carolina González
Prof. Lorena Granero
Prof. Verónica Lanzavequia
Prof. Agostina Ligutti
Prof. Melina Moreno
Prof. Darío Oropel
Prof. Ruth Santos
Prof. Paula Sosa
Prof. Matías Vidoret
Prof. Micaela Virga

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Página
Símbolos matemáticos 3
UNIDAD N° 1: Los números
TEMA N° 1: Conjuntos numéricos 4
1.- Números naturales 4
1.1.- Propiedades del conjunto de los números naturales 4
1.2.- Múltiplos y divisores 6
1.3.- Números primos y compuestos 7
1.4.- Descomposición de números en factores primos 7
1.5.- Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 9
2.- Números enteros 11
2.1.- Propiedades del conjunto de los números enteros 12
2.2.- Operaciones con números enteros 12
3.- Números racionales 16
3.1.- Propiedades del conjunto de los números racionales 18
3.2.- Amplificación y simplificación 19
3.3.- Expresiones fraccionarias y decimales de los números racionales 20
3.4.- Operaciones con números racionales 24
3.5.- Propiedades de las operaciones con números racionales 29
4.- Números irracionales 30
4.1.- Números irracionales importantes 31
4.2.- Propiedades de los números irracionales 32
5.- Números reales 33
5.1.- Propiedades de los números reales 33
5.2.- Aproximación de los números reales 34
5.3.- Operatoria con números reales 35
5.4.- Error de aproximación de números reales 35
5.5.- Intervalos reales 36
5.6.- Valor absoluto o módulo de un número real 39
6.- Unión e intersección de conjuntos 42
TEMA N° 2: Potenciación 43
1.- Propiedades de la potencia 43
2.- Potencias con base entera y exponente natural 44
3.- Potencias con base y exponente entero 45
4.- Potencias con base racional y exponente entero 45
5.- Operaciones con potencias 45
TEMA N° 3: Radicación 50
1.- Relación entre la raíz y la potencia 51
2.- Radicales equivalentes 53
3.- Composición o descomposición de raíces 53
4.- Operaciones con raíces 55
5.- Racionalización 58
TEMA N° 4: Logaritmos 62
1.- Logaritmos naturales o neperianos 63
2.- Logaritmos iguales 63
3.- Logaritmos decimales 63
4.- Propiedades de los logaritmos 63
Bibliografía 69

3
ℕ: Números naturales (a;b): Intervalo abierto
ℤ: Números enteros (a;b]: Intervalo semiabierto por la izquierda
ℚ: Números racionales [a;b): Intervalo semiabierto por la derecha
𝕀: Números irracionales [a;b]: Intervalo cerrado
ℝ: Números reales ϕ: Número irracional fi =
1+√5
2
: Existe π: número irracional pi (3,1415…)
∄: No existe e: Número e o constante de Euler (2,7182…)
: Para todo 𝑓: 𝐴 → 𝐵: función de A en B
: Conjunto vacío 𝑓−1
: Función inversa
∪: Unión ≅ : Aproximadamente igual
: Intersección f o g: Composición de las funciones f y g.
: Pertenece f(x): función de x
: No pertenece Dom f: Dominio de la función f
∞: Infinito Rec f: Recorrido de la función f
−∞: Menos infinito % : Porcentaje
a = b: a igual a b : Incluido
a ≠ b: a distinto de b ⊈: No incluido
a > b: a mayor a b ∆: Discriminante
a < b: a menor a b |a|: Valor absoluto de a, para a  ℝ
a ≥ b: a mayor o igual que b ∆= |
a b
c d
| = ad − bc: determinante
a ≤ b: a menor o igual que b
Nota: Agrega los que vayas utilizando y no aparezcan en la lista.

4
Un concepto básico y elemental del lenguaje matemático es el de número. Para poder trabajar
en matemática, es necesario comprender la noción de número, sus propiedades y transformaciones.
TEMA N° 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
A los distintos tipos de números se los pueden agrupar en conjuntos, teniendo en cuenta una
serie de propiedades. En esta unidad se repasarán los conjuntos de números: Naturales, Enteros,
Racionales, Irracionales y Reales. Se analizarán las principales propiedades y sus operaciones.
1.- NÚMEROS NATURALES
Se llama ℕ al conjunto de los números naturales. Este es el primer conjunto numérico
construido y estudiado por el hombre que le sirvió para contar.
Se escribe como: ℕ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … }
La secuencia para encontrar cada número natural es sumar uno al anterior. La representación
en la recta numérica es:
Como se puede observar, este conjunto NO contiene al número cero.
1.1.- PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
 El conjunto de los números naturales tiene un primer elemento que es el 1.
 No tiene un elemento final, siempre se puede encontrar un número natural sumando 1 al
último encontrado. Es por ello que se dice que es un conjunto infinito.
 Para todo número natural n SIEMPRE existe un consecutivo (n+1) que también es natural. Por
ejemplo: n = 3 es un número natural y su consecutivo (n+1) = 3+1 = 4
 Para todo número natural n, NO SIEMPRE existe un antecesor (n - 1). Por ejemplo: si n = 1, su
antecesor sería (n – 1) = 1 – 1 = 0 y cero no está incluido en el conjunto de los números
naturales.
 Se dice que es un conjunto discreto, ya que, entre dos números naturales consecutivos, no
existe otro número natural.
1 2 3 5
4 7
6

5
 Al sumar o multiplicar dos números naturales entre sí, se obtiene por resultado otro número
natural. Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de cierre o de clausura.
 Se aplica la propiedad conmutativa con respecto a la suma y la multiplicación. Por ejemplo:
3 + 2 = 2 + 3 = 5
5 ∙ 4 = 4 ∙ 5 = 20
 Se aplica la propiedad asociativa con respecto a la suma y la multiplicación. Por ejemplo:
(4 + 2) + 3 = 4 + (2 + 3) = 9
(3 ∙ 5) ∙ 2 = 3 ∙ (5 ∙ 2) = 30
 Existe elemento neutro con respecto a la multiplicación. Para todo número natural n si se lo
multiplica por el número natural 1 se obtiene el mismo número n.
Por ejemplo: 3 ∙ 1 = 3 , siendo 3 un número natural
 En cuanto a la propiedad distributiva, SÓLO se cumple cuando se hace referencia al
producto respecto de la suma.
 𝐚, 𝐛  𝐜  ℕ → 𝐚 ∙ (𝐛 + 𝐜) = 𝐚 ∙ 𝐛 + 𝐚 ∙ 𝐜
Esto se lee: Para todo () a, b y c que pertenecen () al conjunto de los números naturales
implica entonces que el producto de a por el resultado de la suma de b más c, es igual a, a por b
más a por c.
Cabe destacar que la propiedad distributiva NO se aplica a la suma respecto del producto.
 𝐚, 𝐛  𝐜  ℕ, 𝐚 + (𝐛 ∙ 𝐜)  (𝐚 + 𝐛) ∙ (𝐚 + 𝐜)
 En el conjunto de los números naturales, las operaciones de sustracción y división se definen
con algunas restricciones:
En la sustracción se debe cumplir que el minuendo debe ser
mayor al sustraendo.
Por ejemplo:
(43 - 13) = 30 donde 30  ℕ
(32 - 54) = -22 donde (–22)  ℕ
En la división, el dividendo debe ser múltiplo del divisor.
Por ejemplo:
36 : 9 = 4 donde 4  ℕ
27 : 4 = 6,75 donde 6,75  ℕ
a - b c
=
minuendo
sustraendo
diferencia

6
1.2.- MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Los múltiplos de un número son:
Los múltiplos de un número son los que contienen a este una cantidad exacta de veces.
Se obtienen multiplicando el número por los sucesivos números cardinales. Por ejemplo:
los múltiplos de 3 son 0, 3, 6, 9, 12, …
PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS
 Cualquier número es múltiplo de sí mismo.
 Cualquier número es múltiplo de 1.
 La suma de dos múltiplos de un número es también múltiplo de ese número.
 Si al menos uno de los factores en una multiplicación es múltiplo de un número, el producto
también lo es.
Los divisores de un número son aquellos que lo dividen en forma exacta.
Por ejemplo, los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
PROPIEDADES DE LOS DIVISORES
 Todo número es divisor de sí mismo.
 El número 1 es divisor de cualquier número.
 Un número natural que es divisor de dos números es también divisor de su suma.
 Si un número natural es divisor de al menos uno de los factores de una multiplicación, también
lo es del producto.
ALGUNOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad permiten reconocer si un número es divisible por otro, sin realizar
la división.
 Un número es divisible por 2 cuando su último dígito es 0 o par.
 Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Por ejemplo: 237
es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. (2+3+7=12).
 Un número es divisible por 5 cuando su último dígito es 0 o 5.
 Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.

7
 Un número es divisible por 10 cuando su último dígito es 0.
 Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los dígitos de lugar impar
y la suma de los dígitos de lugar par es 0 o múltiplo de 11. Por ejemplo: el número 1.375 es
divisible por 11. Ya que, (1+7)-(3+5)=8-8=0
Otra forma de expresar los múltiplos y divisores de un número es:
M(a): indica el conjunto de todos los múltiplos de a.
Div(a): indica el conjunto de todos los divisores de un número a.
Por ejemplo: M(5): 0, 1, 5, 10, 15, 20, … ; Div(6): 1, 2, 3 y 6.
Según las reglas de divisibilidad, se distinguen dos clases genéricas de números: primos y
compuestos.
1.3.- NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Por ejemplo: 3 es primo porque solo se puede dividir por 1 y 3.
El primer número primo es 2.
El 1 sólo tiene un divisor, NO se considera primo.
Un número compuesto se puede descomponer como producto
de otros factores.
Por ejemplo: 10 es compuesto, y sus divisores son 1, 2, 5 y 10.
1.4.- DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS
Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más factores primos.
Para descomponer un número en producto de factores primos se siguen estos pasos:
1°) Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical (actúa como "ventana" de división) y a
su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7,... ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente
obtenido se coloca debajo del número inicial propuesto.
2°) Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar
a un cociente igual a 1.
Un número es primo si
solo tiene dos divisores:
él mismo y la unidad.
Un número b es
compuesto si tiene tres o
más divisores.

8
Por ejemplo: Al realizar la descomposición en producto de factores primos del 24 se obtiene:
Los números que están a la izquierda de la línea son los cocientes parciales y los de la
derecha, son los factores primos.
Recuerda que siempre se debe comenzar a dividir por el menor número primo por el cual sea
divisible el número solicitado (en el ejemplo 24).
Cada vez que veas este ícono, es porque te invitamos a ver un video.
Haz click en él luego de haber leído cada tema de esta guía.
¡Te dejamos el primer video!
El ícono del lápiz indica que hay ejercicios para practicar los temas desarrollados.
Te recomendamos que hagas todos los ejercicios de la guía y los prácticos
adicionales, las dudas que te surjan las puedes despejar a través del foro de la
unidad, así como también, en las clases de consulta con los tutores.
ACTIVIDAD
1.- Descomponer como producto de factores primos los siguientes números:
a) 20
b) 90
c) 125

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1.5.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (mcd)
A.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm)
El mcm de dos o más números, es el menor de sus múltiplos comunes, distintos de 0.
El mcm(a,b): indica el mínimo común múltiplo de a y b.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y luego se multiplican los
factores comunes y no comunes entre los números elevados a su mayor exponente.
Por ejemplo: si se quiere calcular el mcm entre 24 y 60:
1°) Descomponer en factores primos cada número.
2°) El mcm entre 24 y 60 se obtiene como el producto de los factores primos comunes y no comunes
elevados al mayor exponente. Luego, 𝑚𝑐𝑚(24,60) = 23
∙ 3 ∙ 5 = 120
B.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR (mcd)
El mcd de 2 o más números es el mayor de sus divisores comunes.
mcd(a,b): indica el máximo común divisor entre a y b.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y luego se multiplican los
factores comunes elevados a su menor exponente.

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Por ejemplo: si se quiere calcular el mcd entre 24 y 60:
1°) Descomponer en factores primos cada número.
2°) El mcd entre 24 y 60 se obtiene como producto de los factores primos comunes elevados al
menor exponente. Luego, mcd(24,60) = 22
∙ 3 = 12, lo que implica que 12 es el mayor de los
divisores comunes entre 24 y 60.
ACTIVIDADES
2.- Obtener el mcm de:
a) 42 y 12
b) 2, 4, 15, 30
3.- Calcular el mcd de:
a) 12 y 18
b) 36, 60, 84 y 96

11
2.- NÚMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros está formado por todos aquellos números que sirven para
contar, sus opuestos y el cero. Este conjunto se identifica con el símbolo ℤ y se define como:
ℤ = {… , −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … }
Es decir, el conjunto de los números enteros (ℤ) está formado por:
 Los números enteros positivos o números naturales ( +
) = 1, 2, 3, …
 El cero = 0
 Los números enteros negativos ( -
) = -1, -2, -3, …
El símbolo matemático que indica la unión es ∪ que se lee “unido”. Luego podemos escribir
el conjunto de los números enteros como: ℤ = ℕ ∪ {𝟎} ∪ {… , −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏}
Algunos ejemplos de situaciones cotidianas en las que utilizamos los números enteros:
 -2 en el tablero del ascensor señala el segundo subsuelo: 2 niveles debajo de la planta baja
(nivel cero).
 -5 en la columna del termómetro indica 5 grados abajo del cero.
 Alejandro Magno, rey de Macedonia, murió 323 años antes del año cero (comienza de la
Era Cristiana). Se puede decir que Alejandro murió en el año -323.
El signo menos adelante de la cantidad indicamos que está antes del origen elegido.
En los ejemplos: -2, -5, -323 son números negativos, anteponiendo el signo menos a un
número natural tenemos un número negativo.
Al representar los números enteros en la recta numérica se hace de forma ordenada, sabiendo
que van aumentando en la medida que se desplaza a la derecha de dicha gráfica.

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2.1.- PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
 Los números enteros son un conjunto ordenado, infinito y sin primer elemento.
 Todo número dentro del conjunto ℤ tiene un antecesor y un sucesor.
 Se dice que es un conjunto discreto, ya que, entre dos números enteros consecutivos, no existe
otro número entero.
 Se cumple la Ley de cierre o de clausura con respecto a la adición y a la multiplicación, que
sostiene que al sumar o multiplicar dos números enteros entre sí, su resultado será un número
entero.
 Se cumplen las propiedades conmutativa y asociativa con respecto a la adición y a la
multiplicación.
 Se cumple la distributiva del producto con respecto a la suma, tanto por izquierda como por
derecha. En símbolos:  𝐚, 𝐛  𝐜  ℤ ; 𝐚 ∙ (𝐛 + 𝐜) = (𝐛 + 𝐜) ∙ 𝐚 = 𝐚 ∙ 𝐛 + 𝐚 ∙ 𝐜
 Los números enteros tienen elemento neutro con respecto a la adición que es el cero y con
respecto al producto que es el 1. En símbolos:
 𝐚  ℤ ,  𝟎  ℤ / (𝐚 + 𝟎) = (𝟎 + 𝐚) = 𝐚
 𝐚  ℤ ,  𝟏  ℤ / (𝐚 ∙ 𝟏) = (𝟏 ∙ 𝐚) = 𝐚
2.2.- OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
A.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
 SUMA O RESTA DE ENTEROS DE IGUAL SIGNO: Se suman sus valores absolutos y se
mantiene el signo que tienen los términos. Por ejemplo: 56 + 30 = 86 / - 45 - 30 = -75
 SUMA O RESTA DE ENTEROS DE DISTINTO SIGNO: El resultado tiene signo igual al término
de mayor valor absoluto. El resultado tendrá como valor absoluto la diferencia entre el número
de mayor y el de menor valor absoluto. Por ejemplo: 36 – 15 = 21 / -52 + 24 = -28
 LA SUMA DE UN NÚMERO Y SU OPUESTO ES SIEMPRE IGUAL A CERO.
Uso de paréntesis en operaciones de números enteros:
Paréntesis precedidos por el signo + : Al eliminar un paréntesis precedido por un signo +, los
números que se “ubican en el interior del paréntesis” conservan su signo.
Ejemplo: 23 + (25 – 46 + 25) = 23 + 25 – 46 + 25 = 27
Paréntesis precedidos por el signo - : Al suprimir un paréntesis precedido por un signo -, los
términos ubicados “dentro del paréntesis” se remplazan por sus opuestos.
Ejemplo: 12 + 40 – (16 + 22 – 20) = 12 + 40 – 16 – 22 + 20 = 34

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ACTIVIDADES
4.- Resolver las siguientes operaciones con números enteros.
a) 22 + 35 =
b) 0 + 32 =
c) 11 + (-11) =
d) (-12) + (-29) =
e) –(3+7) + (-3) + (-7) =
f) 31 – (-8) – 32 =
5.- El crédito de la tarjeta para comprar es de $5000 y se hace un gasto de $1320. ¿Qué números
enteros hay que sumar para obtener el nuevo saldo? Realizar la operación.
6.- El ascensor baja tres pisos desde la planta baja y luego sigue bajando dos pisos más ¿En qué
piso está al final del viaje?
7.- Ordenar de la forma más conveniente y resolver:
a) 85 + (-8) + 32 + 39 + (-16) + 7 =
b) 8 + 0 + (-18) + 123 + (-9) + 10 =
B.- MULTIPLICACIÓN CON ENTEROS
Al multiplicar dos números enteros:
 Si tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
 Si tienen signos distintos, el resultado es negativo.
 El producto de un entero por cero es cero.
 El producto de un entero por uno es el mismo entero.
 El producto de un entero por (-1) es igual al opuesto del entero.
Ejemplos:
a) 12 ∙ 3 = 36
b) −16 ∙ (−14) = 224
c) −8 ∙ 24 = −192
d) 50 ∙ (−3) = −150
Regla de los signos

14
ACTIVIDADES
8.- Calcular:
a) (−4) ∙ (−3) + 2 ∙ (−5) =
b) (−4) ∙ (−3 + 2) ∙ (−5) =
c) (−2) ∙ (5 ∙ 2 − (−5) ∙ (7)) =
d) (−10) ∙ (0 ∙ 2) + (−3) ∙ (7) =
9.- Escribir como producto de números enteros y resolver:
a) En la planilla hay un saldo inicial de $200, se cargan 5 pagos de $150. ¿Cuál es el nuevo
saldo?
b) El ascensor baja los subsuelos de a 2. Después de tres paradas en su camino descendente,
desde la planta baja, ¿En qué piso está?
c) Estudiantes de administración logran aumentar las ventas a 10 mil unidades de producto
en el primer mes, en el segundo mes sufren una caída en las ventas de 5 mil unidades y en los 3
meses restantes venden en cada uno el doble de lo que se vendió en el mes anterior. Al cabo de
los 5 meses ¿Cuántas unidades de producto lograron vender?
C.- DIVISIÓN CON ENTEROS
Al dividir dos números enteros:
 Si tienen signos distintos, el resultado es negativo.
 Si tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
 Al dividir un número por 1 el número no cambia.
 Al dividir un número por (-1) cambia solo el signo del número.
 Cero dividido por cualquier entero distinto de cero es cero.
 No se puede dividir por cero.
Ejemplos:
a) (-36) : (-9) = 4
b) 54 : 6 = 9
c) -120 : 10 = -12
d) 84 : (-4) = -21

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D.- OPERACIONES COMBINADAS
Al resolver ejercicios que presentan varias operaciones, la prioridad para resolverlas es:
1° Paréntesis, luego corchetes y finalmente llaves.
2° Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
3° Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.
ACTIVIDADES
10.- Resolver las siguientes operaciones:
a) 85 ∙ (−2) + 90 ∙ 5: 3 − 27 ∙ (−3) =
b) 9 ∙ 2 + 3 ∙ (−12) + 45: (−9) − (−9): 3 =
c) – (9 + 7 – 8) + 5 + (-3 + 4) – (-9) =
d) -8 + 2 – (4 – 7 + 2) + (-6 + 1 – 3) =
11.- Expresar numéricamente las siguientes situaciones:
a) Cincuenta años antes de Cristo.
b) Deuda de cinco mil pesos.
c) Un punto a favor.
d) Seis grados bajo cero.
e) Dos metros bajo el nivel del mar.
12.- Escribir todos los números enteros:
a) Mayores que -3 y menores que 4.
b) Mayores e iguales que -15 y menores que -3.
13.- Un hombre nació el año 25 a.C. Otro hombre nació el año 10 d.C.
a) ¿Cuántos años tenía cada uno a la fecha que nace Cristo?
b) ¿Cuál de los dos nació más próximo al nacimiento de Cristo? Justificar.
14.- Leer cada situación, plantear la operación y resolver:
a) Un calamar se encuentra a 12 metros bajo el nivel del mar. Sube 7 metros y luego baja 3
metros ¿A qué distancia del nivel del mar se encuentra?

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b) Un termómetro marcaba 3 grados bajo cero a las 9 de la mañana. Cinco horas más tarde
subió a 7 grados, y 6 horas después bajó 5 grados ¿Qué temperatura marcó finalmente?
c) En la ciudad de Junín, la temperatura subió 3°C por la mañana y bajó 10°C por la tarde.
¿Cuál ha sido la variación de la temperatura a lo largo del día?
d) Alicia y Jorge están en el mismo punto. Alicia avanza 7 pasos y retrocede 2, mientras que
Jorge retrocede primero 2 pasos y avanza luego 7. ¿A qué distancia estarían al final el uno del otro?
e) Matilde fue al banco y solicitó el saldo de su cuenta de ahorro. Le informaron que dicho
saldo es de $1.258 y también le suministraron el detalle de sus movimientos en el último mes:
depositó $2500, extrajo $300, le debitaron el impuesto inmobiliario por un valor de $4700, lo
cobraron $500 por mantenimiento de cuenta y obtuvo $300 de intereses. ¿Cuál era su saldo hace
un mes?
f) El nivel de agua en un pozo ha disminuido 63 cm en una semana. Si el descenso diario es
el mismo. ¿Cuánto ha bajado cada día?
3.- NÚMEROS RACIONALES
“Una persona es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que es, en tanto que el denominador es lo que cree
ser. Cuanto mayor es el denominador, tanto más pequeño es el valor de la fracción”
Cita del escritor ruso, Leon Tolstoi, autor de novelas realistas “Guerra y Paz, y Ana Karentina”
“Más grave que el número de oyentes era su composición social. Desde el proscenio, decorado
con un jarroncito de flores y una pared llena de símbolos masónicos, mientras Monsieur Lagrange
la presentaba, Flora descubrió que tres cuartas partes de los asistentes eran patrones y sólo un
tercio obreros”
Fragmento de la obra “El Paraíso en la otra esquina del escritor peruano, Mario Vargas Llosa,
Premio Nobel de Literatura
El conjunto de los números racionales está formado por todos los números que pueden ser
escritos como una fracción, cuyo numerador y denominador son números enteros y el
denominador debe ser siempre distinto de cero. Este conjunto se identifica con el símbolo ℚ.
También se los puede definir como el conjunto de todos los números que pueden ser expresados
como cociente entre dos números enteros.
Si a y b son números enteros y b  0,
a
b
es un número racional.

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Dado que los números enteros se pueden expresar como fracción, el número entero dividido
por uno se puede concluir que pertenecen al conjunto de los números racionales.
Lo explicado anteriormente se resume en:
es el conjunto de números de la forma a dividido por b, tal que, a y b pertenecen a ℤ y b es
distinto de cero.
Hay que tener en cuenta que el conjunto de los racionales contiene a los números naturales,
enteros, fracciones y decimales, positivos y negativos.
No incluye a los decimales infinitos no periódicos, estos pertenecen al conjunto de los
números irracionales.
Ejemplos que pertenecen a los números racionales:
Representación de los números racionales →
Para representar los números racionales en una recta numérica se
pueden seguir los siguientes pasos:
1° Se divide cada unidad en partes iguales según lo que indica el denominador.
2° Luego, a partir del cero, se cuenta el número de partes que indica el numerador dentro de
cada unidad. Esta ubicación indica la posición del número racional en la recta numérica.
Por ejemplo: Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:
3
2
,
7
2
, −
1
2
, −
5
2

18
A cada número racional le corresponde un único punto en la recta numérica, pero no a todo
punto de la recta numérica le corresponde un número racional, es decir, “ℚ no completa la recta
numérica”.
Para comparar fracciones, en algunos casos es fácil, ya que:
 Una fracción negativa es siempre menor que una positiva.
 De dos fracciones de igual denominador, es menor la que tiene menor numerador.
 Pero cuando no se puede observar directamente el orden de menor a mayor de las mismas, se
debe saber que en general:
a
b
<
c
d
si y solo sí a ∙ d < c ∙ b
a
b
>
c
d
si y solo sí a ∙ d > c ∙ b
a
b
=
c
d
si y solo sí a ∙ d = c ∙ b
3.1.- PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
 Los números racionales (ℚ) son un conjunto ordenado, infinito, sin primer elemento ni último.
 Es un conjunto denso, es decir, entre dos números racionales existen infinitos racionales.
 Hay que tener en cuenta que:
−𝑎
𝑏
=
𝑎
−𝑏
= −
𝑎
𝑏
 Todos los números naturales y enteros son racionales.
 Cualquiera sea el número entero m ≠0, las expresiones
a
b
y
ma
mb
representan el mismo número
racional, o sea,
a
b
=
ma
mb
 Para cualquier fracción se puede hallar una fracción equivalente a ella, que tenga numerador y
denominador coprimos entre sí:
1
7
=
3 ∙ 1
3 ∙ 7
=
3
21
(−
2
5
) =
9 ∙ (−2)
9 ∙ 5
= (
−18
45
)
 Si el numerador y el denominador son primos, la fracción es irreducible. Por ejemplo:
1
7
,
2
5
,
3
8
son irreducibles.

19
3.2.- AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
Una fracción se puede amplificar o simplificar, sin cambiar su valor, o sea, si realizas estos
procedimientos se obtiene una fracción equivalente (es decir, se ven diferentes, pero representan
el mismo valor numérico).
Para amplificar una fracción se debe multiplicar por el mismo factor el numerador y
denominador.
Por ejemplo:
2
3
=
2 ∙2
3∙2
=
4
6
(
2
3
𝑠𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 2)
Para simplificar una fracción se debe dividir por el mismo número el numerador y
denominador.
Por ejemplo:
8
10
=
8:2
10:2
=
4
5
(
8
10
𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 2)
Simplificar una fracción es hallar la fracción irreducible equivalente a ella.
Mediante la amplificación y la simplificación se pueden obtener distintos representantes de un
mismo número racional.
ACTIVIDADES
15.- Representar en la recta numérica:
a) Los números fraccionarios positivos:
3
8
,
8
2
,
15
4
b) Los números fraccionarios negativos: −
1
3
,−5
6
,− 4
12
16.- Indicar cuáles de estos números son:
a) Menores que 0
b) Mayores que 0 y menores que 1
c) Mayores que 1
−
5
2
,
2
9
,
−4
5
,
8
7
, −3 , −
1
3
,
7
4
,
5
6
¿Cómo pudiste determinar si los números racionales expresados como fracciones son
menores que cero, se encuentran entre 0 y 1 o son mayores que 1?

20
17.- Escribir cinco fracciones equivalentes a
7
10
, cuyo numerador sea menor que 49.
18.- Completar con los numeradores o denominadores que faltan:
a)
2
3
=
9
=
27
b) −
5
6
= 12
= −45
19.- Escribir la fracción irreducible equivalente a:
a)
18
45
=
b)
−28
14
=
20.- Encontrar tres fracciones irreducibles que tengan:
a) Numerador 3
b) Denominador 18
21.- Ordenar en forma creciente y representar en la recta numérica los siguientes números
racionales:
3
8
,
5
8
,
5
4
,
1
2
,
9
8
,
1
8
22.- Encontrar un número racional comprendido entre:
a)
2
3
𝑦
11
12
b)
−1
2
𝑦
−1
5
3.3.- EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y DECIMALES DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Un número racional escrito en forma de fracción es equivalente a una única expresión decimal.
A.- EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL
Para expresar una fracción como número decimal, se debe dividir el numerador por el
denominador.

21
Por ejemplo:
a) −
1
2
= −1 ∶ 2 = −0,5
b) −
2
3
= −2 ∶ 3 = −0, 6
̅ = −0,6666666 ….
c)
7
5
= 7 ∶ 5 = 1,4
El cociente puede ser un número decimal con una cantidad finita o infinita de cifras decimales.
 Si la cantidad de decimales resultante es finita se dice que es un Expresión Decimal Exacta.
Por ejemplo: -0,5 o 1,4
 Si la cantidad de decimales es infinita se dice que es una Expresión Decimal Periódica. Dentro
de ellas se identifican dos tipos:
 Si en la parte decimal sólo hay números que se repiten infinitamente se dice que es una
Expresión Decimal Periódica Pura. Por ejemplo: −8, 5
̅ ó 0, 16
̅
̅
̅
̅
 Si en la parte decimal hay números que no se repiten y otros que se repiten infinitamente,
se dice que es una Expresión Decimal Periódica Mixta. Por ejemplo: −8,63
̅ ó 3,012
̅
̅
̅
̅
B.- EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL
Se deben considerar tres casos:
 TRANSFORMACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL FINITO A UNA FRACCIÓN
Para transformar una expresión decimal exacta en fracción:
1°) Se escribe en el numerador de la fracción el número decimal sin coma.
2°) En el denominador una potencia de 10 cuyo exponente será el número total de decimales
o simplemente en el denominador se escribe un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales
tenga el número decimal.
3°) Se simplifica si es posible.

22
Por ejemplo:
 TRANSFORMACIÓN DE UN DECIMAL PERIÓDICO A UNA FRACCIÓN
Los números decimales infinitos periódicos son aquellos que inmediatamente después de la
coma decimal hay una o más cifras que se repiten infinitamente (período).
Por ejemplo: 1, 4
̅ = 1,444444444 … (𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 4).
Para transformar este tipo de número en fracción, se escribe en el numerador el número
decimal sin la coma menos lo que está antes del período, en este caso la parte entera, y en el
denominador tantos nueves como cifras tenga el período.

23
 TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL SEMIPERIÓDICO A FRACCIÓN
Los números decimales infinitos semiperiódicos son aquellos que inmediatamente después
de la coma decimal hay una o más cifras que se repiten una cantidad finita de veces (anteperíodo)
y luego una o más cifras que se repiten infinitamente (período). Por ejemplo:
−0,1425
̅̅
̅̅ (𝑎𝑛𝑡𝑒𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 14, 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 25).
Para transformar un decimal semiperiódico a fracción tienes que escribir en el numerador el
número decimal sin la coma menos lo que está antes del período (anteperíodo + parte entera) y en
el denominador se escribe tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el
anteperíodo.
Ejemplos:
0,27
̅ =
27 − 2
90
=
25
90
=
5
18
Como se puede observar el anteperíodo cuenta con 1 cifra y el período con 1 cifra, por lo que
en el denominador colocamos un 9 (según las cifras del período) seguido por un 0 (según las cifras
del anteperíodo).
41,152
̅ =
41152 − 4115
900
=
37037
900
Período de una cifra, por lo tanto, un 9 en el denominador. Anteperíodo de 2 cifras, dos ceros
a continuación del 9 del denominador.
ACTIVIDAD
23.- Expresar como fracción los siguientes números decimales:
a) 5, 05
̅
̅
̅
̅ =
b) 2,145
̅ =
c) 8,75 =
d) 0,64 =

24
3.4.- OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
A.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Para la adición y sustracción de números racionales se consideran dos casos: Escritos como
fracción o como número decimal.
 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON FRACCIONES
 CON IGUAL DENOMINADOR: Se suman o restan los numeradores y se conserva el
denominador. Ejemplos:
a)
5
7
+
3
7
=
5+3
7
=
8
7
b)
8
5
−
2
5
=
8−2
5
=
6
5
 CON DISTINTO DENOMINADOR:
Una forma es:
1°) Obtener el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
2°) Amplificar cada fracción, de modo de obtener expresiones equivalentes a ellas con igual
denominador.
3°) Sumar o restar los numeradores y conservar el denominador.
Ejemplos:
a)
3
8
+
5
6
=
3∙3
8∙3
+
5∙4
6∙4
=
9
24
+
20
24
=
29
24
mcm (8,6) = 24
b)
17
15
−
9
10
=
17∙2
15∙2
−
9∙3
10∙3
=
34
30
−
27
30
=
7
30
mcm (15,10) = 30
Otra forma de resolver es:
1°) Obtengo el mcm. del denominador, que será el denominador resultado.
En el ejemplo: mcm (3,15) = 15.
2°) Divido a 15 por el primer denominador (3) y al resultado lo multiplico por el primer numerador (1).
Luego obtengo: 15:3x1 = 5 → ubico el resultado en el numerador resultado en el primer lugar.

25
3°) Repito el paso 2° con la segunda fracción. Luego, 15:15x4 = 4 → lo ubico en el numerador resultado
en el segundo lugar.
4°) Sumo el numerador (o resto si correspondiera) y obtengo 9 de numerador resultado, copio el
denominador común 15.
5°) En este caso se puede simplificar el resultado obteniendo la fracción irreducible
3
5
ACTIVIDADES
24.- Resolver y escribir el resultado como fracción irreducible.
a) −
𝟐
𝟓
−
𝟏
𝟏𝟎
=
b) 𝟑 – (−
𝟐
𝟑
) =
c) −
𝟐
𝟏𝟎
− 𝟏 =
d)
𝟕
𝟒
+
𝟗
𝟔
−
𝟏
𝟓
=
e)
𝟗
𝟖
+
𝟏𝟑
𝟖
+ (−
𝟕
𝟖
) =
f) −𝟑 +
𝟏
𝟑
+ (−
𝟒
𝟑
) =
g)
𝟓
𝟒
+
𝟓
𝟏𝟔
+ (−
𝟕
𝟏𝟐
) =
25.- Leer cada situación comprensivamente, plantear la operación y resolver:
a) De su sueldo, este mes, el Sr. López gasto
1
3
la primera semana,
1
4
la segunda y
1
6
la
tercera. ¿Qué parte gastó hasta ahora?
b) Un empresario depositó
1
4
de las ganancias del mes pasado en el banco, gastó
1
10
en la
compra de acciones y el resto lo invirtió en la empresa. ¿Qué parte de las ganancias del mes pasado
invirtió en la empresa?

26
 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS DECIMALES
Para sumar o restar racionales expresados como decimales se debe:
1°) Alinear los números en columnas, de forma que los valores posicionales coincidan, añadiendo
los ceros, al final de los decimales, para que los números tengan la misma cantidad de cifras.
2°) Sumar o restar siguiendo el mismo procedimiento que con los números naturales, ubicando la
coma en el resultado bajo la “columna de las comas”.
Por ejemplo:
✓ 5,26 + 2,3 = 7,56
5,26
+
2,30
7,56
✓ 7,048 – 6,29 = 0,758
7,048
-
6,290
0,758
Para resolver operaciones combinadas es indispensable separar en
términos. Los signos más y menos que no estén encerrados entre
paréntesis, corchetes o llaves separan términos.
Las operaciones se deben resolver de izquierda a derecha.
Se pueden efectuar en forma fraccionaria o decimal, salvo cuando haya decimales
periódicos, en cuyo caso, primero se deben transformar en fracciones.
ACTIVIDAD
26.- Resolver
3
5
+
7
6
− 0,14 + 1, 3
̅ −
2
3
=

27
B.- MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES
 MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES ESCRITOS COMO FRACCIÓN
Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, simplificando el
resultado cuando sea posible. Es conveniente, si es posible, simplificar los factores del numerador
con los del denominador y luego realizar la multiplicación. Ejemplos:
a)
3
7
∙
4
5
=
3∙4
7∙5
=
12
35
b)
5
21
∙
28
15
=
1
3
∙
4
3
=
4
9
ó
5
21
∙
28
15
=
5∙28
21∙15
=
140
315
=
4
9
En este ejercicio b se ha resuelto de las dos maneras posibles, primero simplificando las
fracciones antes de realizar la multiplicación y luego se ha realizado la multiplicación simplificando
el resultado final.
Como se puede observar se obtienen los mismos resultados, pero resulta más sencillo primero
simplificar y luego resolver.
 MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES ESCRITOS COMO DECIMALES
Estos se multiplican como números naturales y la coma se ubica en el resultado contando de
derecha a izquierda tantas cifras decimales como cifras decimales sumen entre los dos factores.
Ejemplo: 1,17 ∙ 4,8 = 5,616
1,17 tiene 2 cifras decimales
4,8 tiene 1 cifra decimal
5,616 tiene 3 cifras decimales
Hay que tener en cuenta que para multiplicar un decimal por una
potencia de 10 (10, 100, 1000, 10.000, etc.) se traslada la coma hacia la
derecha tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10. Por ejemplo:
2,18 . 10 = 21,8
3,1 . 100 = 310

28
C.- DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
 DIVISIÓN DE RACIONALES ESCRITOS COMO FRACCIÓN
Para dividir una fracción por otra se multiplica la primera por el inverso de la segunda. Por
ejemplo:
a)
3
5
∶
1
2
=
3
5
∙
2
1
=
6
5
 DIVISIÓN DE RACIONAL ESCRITO COMO NÚMERO DECIMAL
En el este video puedes repasar cómo se realizan las divisiones entre racionales
expresados como decimales:
En este otro video también puedes repasar el tema:
ACTIVIDADES
27.- Expresar cada número racional en su forma decimal:
a)
1
2
=
b)
3
5
=
28.- Expresar cada número en su forma fraccionaria:
a) 0,6 =
b) -3,12
̅
̅
̅
̅ =
29.- Resolver:
a) 2,88 + 0,05 − 0,439 + 4 =
b)
9
7
∙
35
4
∙
16
6
=
c) 0,25 ∙ 2 + 3,25 ∙ 4,7 =

29
d)
2
9
∶
1
3
=
e) (
7
2
−
7
3
) ∙
9
5
+ 5:
5
3
=
30.- Resolver:
a) Margarita y Fernando fueron a un parque de diversiones y se gastaron la mitad del dinero
en las entradas y
3
8
en comida. ¿Cuánto dinero llevaron, si se quedaron con $2500?
b) Del total de estudiantes que se inscriben en el ingreso a la Facultad de Ciencias
Económicas, aproximadamente
2
5
promocionan el Módulo de Matemática,
1
4
abandonan antes del
segundo parcial y el resto quedan libres. ¿Qué fracción de estudiantes quedan libres?
c) Si el número de aspirantes que rinden el ingreso es de 1.500 ¿Cuántos estudiantes
promocionan? ¿cuántos abandonan? y ¿cuántos quedan libres?
3.5.- PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Dados a, b y c, números racionales cualesquiera, se cumplen las siguientes propiedades con
respecto a la:
ADICIÓN
 CONMUTATIVA: a + b = b + a
 ASOCIATIVA: a + (b + c) = (a + b) + c
 Existencia de elemento neutro: Para todo número racional el elemento neutro con respecto a
la suma es cero, porque: a + 0 = 0+ a = a
MULTIPLICACIÓN
 CONMUTATIVA: a . b = b . a
 ASOCIATIVA: a . (b . c) = (a . b) . c
 Existencia de elemento neutro: Para todo número racional distinto de cero el elemento neutro
con respecto a la multiplicación es uno, porque: a.1 = 1. a = a
 Existencia de elemento inverso: Para cada número a racional, siendo a distinto de cero, existe
un número racional
1
𝑎
= 𝑎−1
, tal que: 𝑎. 𝑎−1
= 𝑎−1
. 𝑎 = 1
 Distributiva con respecto a la adición y sustracción: a.(b + c) = a.b + a.c ; a.(b - c) = a.b - a.c

30
DIVISIÓN
 Distributiva sólo por derecha respecto a la adición y sustracción:
(a + b) : c = a : c + b : c ó (a - b) : c = a : c – b : c
¿Por qué son tan importantes las propiedades?
Las propiedades son como las leyes de tránsito, que permiten cruzar una ciudad y llegar en
forma ágil y correcta a un destino determinado.
Las propiedades, dan permiso (o prohíben) operar de distintas formas con los números. Por
lo tanto, préstales atención, sin ellas, difícilmente logres resolver adecuadamente los ejercicios y
llegar a un buen resultado.
4.- NÚMEROS IRRACIONALES
Los pitagóricos eran un grupo de matemáticos, filósofos y músicos que surgieron alrededor
de la figura de Pitágoras de Samos, descubrieron a los números irracionales por accidente.
Ellos creían que todo el universo podía ser expresado en términos de números, geometría y
relaciones entre números, lo que expresaban en una creencia dogmática de que toda cantidad era
representable por medio de cocientes o razones entre números naturales.
El problema se les presentó a los pitagóricos cuando trataron de
representar como fracción la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles
que se les formaba en una baldosa cuadrada dividida en dos partes por una de
sus diagonales.
Tomando como unidad el cateto de este triángulo y aplicando el Teorema
de Pitágoras (que se repasará más adelante en la Unidad 3), apareció el primer número irracional
que es: √2 cuyo valor aproximado es 1,4142135...
Se llama 𝕀 al conjunto de los números irracionales. Los números irracionales son aquellos
cuya expresión tiene infinitas cifras decimales no periódicas, por lo que no pueden ser escritos
como una fracción o cociente entre dos números enteros.
La expresión decimal de los números irracionales es un decimal infinito no periódico. Por
ejemplo:
 √2 = 1,414213 … 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
 √7 = 2,645751 … 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

31
Los puntos suspensivos al final del número decimal indican que las cifras continúan hasta el
infinito.
En la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar aproximaciones.
Estas pueden obtenerse con calculadora, utilizando fórmulas algebraicas o procedimientos
geométricos. Los valores obtenidos suelen truncarse o redondearse.
4.1.- NÚMEROS IRRACIONALES IMPORTANTES
Los números irracionales más utilizados en matemáticas y que se destacan por su presencia
en numerosos contextos son , e y .
EL NÚMERO  (pi)
La relación entre la longitud (L) de la circunferencia y su diámetro (d) está dado por el
número . Esta relación corresponde a:  =
L
d
Este número irracional tiene un valor igual a 3,1415926535… con infinitas cifras decimales no
periódicas. Al trabajar con 𝜋 muchas veces se expresan los resultados utilizando la letra que lo
representa en lugar de hacer alguna aproximación de su valor numérico ( = 3,14).
EL NÚMERO e
Este número debe su nombre al matemático suizo Leonhard Euler. Su valor es
2,7182818284…; con infinitas cifras decimales no periódicas.
Euler observó la presencia de este número en diversas áreas del conocimiento: en
economía para explicar modelos económicos predictivos; en biología para explicar el
crecimiento de poblaciones; en salud para estudiar enfermedades de carácter epidémico.
EL NÚMERO  (fi)
También conocido como número de oro o razón áurea, es considerado el número de las
proporciones perfectas y ha sido utilizado por artistas de todas las épocas, tanto en la arquitectura
como en la pintura, escultura o fotografía. El valor de  es 1,618033989…

32
4.2.- PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
 PROPIEDAD CONMUTATIVA: En la suma y la multiplicación se cumple la propiedad
conmutativa según la cual el orden de los sumando o factores no altera la suma o el producto
según corresponda. Por ejemplo, 𝜋 + Φ = Φ + 𝜋; así como en la multiplicación, 𝜋 ∙ Φ = Φ ∙ 𝜋
 PROPIEDAD ASOCIATIVA: Se cumple con respecto a la suma y la multiplicación, siendo
(𝜋 + Φ) + e = 𝜋 + (Φ + 𝑒); y de la misma manera con la multiplicación, (𝜋 ∙ Φ) ∙ e = 𝜋 ∙ (Φ ∙ 𝑒)
 ELEMENTO OPUESTO: Existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es
decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo, 𝜋 − 𝜋 = 0 y de la
misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir, Φ ∙
1
Φ
= 1
 La multiplicación es distributiva con relación a la suma y a la resta. Se debe tener en cuenta que
se puede distribuir por izquierda y por derecha. Por ejemplo: (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝜋 = 𝑎 ∙ 𝜋 + 𝑏 ∙ 𝜋
ACTIVIDADES
31.- Indicar si es un número racional o irracional, suponiendo que el patrón que se
observa en la parte decimal de algunos números se mantiene. Cuando se pueda
escríbelo como fracción.
a) 0,2757575…
b) 2,131131113…
c) 1,696969…
d) 0,05050505…
e) 3,48000…
f) 1,641598732549…
32.- Determinar si el resultado de la operación es un número irracional o no.
a) 1 + √2
b) 3. 
c) √25
d) 9 + √81
33.- Realizar las siguientes sumas algebraicas con números irracionales
a) √3 + 4 √3 − 6 √3 =
b) √2 + 3 √2 =
34.- Encerrar los números irracionales: −5,03054
̅ √7
3
5
√3
3
− π

33
5.- NÚMEROS REALES
Se llama ℝ al conjunto de los números reales y es la unión del
conjunto de los números racionales (ℚ) con el conjunto de los
números irracionales (𝕀). En símbolos matemáticos se puede
escribir que ℝ = ℚ ∪ 𝕀
A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa, es decir, existe
una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales. Por lo
tanto, no quedan espacios por llenar.
El conjunto ℝ se representa en la recta numérica, de forma que los números aumentan en
valor de izquierda a derecha, de la siguiente forma:
5.1.- PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
 Siendo a, b y c números reales cualesquiera, la adición verifica las siguientes propiedades1
:
Clausura o cierre
Al sumar dos números reales su resultado será
un número real
Conmutativa a + b = b + a
Asociativa (a + b) + c = a + (b + c)
Existencia de elemento neutro ∀𝐚 ∈ ℝ, ∃𝟎 ∈ ℝ / 𝐚 + 𝟎 = 𝟎 + 𝐚 = 𝐚
Existencia del elemento opuesto ∀𝐚 ∈ ℝ, ∃(−𝐚) ∈ ℝ / 𝐚 + (−𝐚) = (−𝐚) + 𝐚 = 𝟎
1
Recuerda que el símbolo ∀ se lee “para todo”, el ∃ se lee “existe”, ∈ se lee “pertenece” y la / se lee “tal que”. Luego
la siguiente expresión ∀𝐚 ∈ ℝ, ∃𝟎 ∈ ℝ / 𝐚 + 𝟎 = 𝟎 + 𝐚 = 𝐚, se lee “para todo a que pertenece a los reales, existe el
número cero que pertenece a los reales, tal que, a más cero es igual a cero más a que resulta igual a a

34
 Siendo a, b y c números reales cualesquiera, el producto verifica las siguientes propiedades:
Clausura o cierre
Al multiplicar dos números reales su
resultado será un número real
Conmutativa a . b = b . a
Asociativa (a . b) . c = a . (b . c)
Existencia de elemento neutro ∀𝐚 ∈ ℝ, ∃𝟏 ∈ ℝ / 𝐚 ∙ 𝟏 = 𝟏 ∙ 𝐚 = 𝐚
Existencia del elemento inverso ∀𝐚 ∈ ℝ, 𝐚 ≠ 𝟎, ∃𝐚−𝟏
∈ ℝ / 𝐚 ∙ 𝐚−𝟏
= 𝐚−𝟏
∙ 𝐚 = 𝟏
Distributiva del producto respecto de la suma
y/o resta. Se debe tener en cuenta que se
puede distribuir por izquierda y por derecha.
a . (b + c) = a.b + a.c
5.2.- APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES
Para facilitar cálculos y operaciones con reales se puede utilizar una aproximación de su
expresión decimal. Se pueden utilizar dos métodos:
 APROXIMACIÓN POR TRUNCAMIENTO: Para truncar un número en cierta cifra decimal se
eliminan las cifras decimales que le siguen. Por ejemplo:
✓ 4,455961 truncado a la milésima resulta 4,455.
✓ 7,1496328 truncado a la décima resulta 7,1.
 APROXIMACIÓN POR REDONDEO: Para redondear un número en una cierta cifra decimal
hay que fijarse en el valor de la cifra siguiente; si es mayor o igual a 5, sumamos 1 a la cifra a
redondear, de lo contrario la cifra se mantiene igual. Generalmente este es el método de
aproximación más utilizado. Ejemplos:
✓ 1,22578 redondeado a la milésima resulta 1,226.
✓ 6,15489 redondeado a la centésima resulta 6,15.
Para operar con números irracionales expresados como decimales, se puede utilizar
aproximaciones por redondeo o por truncamiento. Por ejemplo, si se quiere calcular √5 + √2 se
debe aproximar. Si se aproximan por redondeo a la centésima quedan: √5 ≈ 2,24 ; √2 ≈ 1,41.
Luego: √5 + √2 ≈ 3,65 esto quiere decir que la suma de la raíz cuadrada de
5 más la raíz cuadrada de 2 es aproximadamente igual (≈) a 3,65.

35
5.3.- OPERATORIA CON NÚMEROS REALES
Como el conjunto de los números reales contiene a todos los conjuntos numéricos (ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀),
las operaciones básicas mantienen las mismas reglas que en cada uno de esos conjuntos.
Al operar con números irracionales, los resultados pueden expresarse en forma exacta, o bien,
utilizarse alguna aproximación de ellos. Ejemplos:
✓ 1,25 + 0,60 + √2 =
☺ 1,85 + √2 (sería el resultado en forma exacta)
☺ 3,26 (sería el resultado utilizando aproximación √2 ≈ 1,41)
✓ (
1
4
+ ).
2
3
=
1
4
.
2
3
+ .
2
3
=
☺
1
6
+
2
3
 (forma exacta)
☺ 2,26 (utilizando la aproximación ≈ 3,14)
5.4.- ERROR DE APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES
El valor absoluto de la diferencia entre un número y su valor aproximado es el error de
aproximación. En general el error de redondeo es menor que el que se comete al aproximar por
truncamiento. Ejemplo:
Si x = 2,7524 y tomamos 𝑥̅ = 2,8 como valor aproximado de x tenemos que:
x - 𝑥̅ = 2,7524 - 2,8 = -0,0476
En valor absoluto  − 0,0476 = 0,0476 es el error de aproximación.
ACTIVIDADES
35.- Escribir:
a) 3 números reales que no sean naturales.
b) 3 números reales que sean enteros, pero no naturales.
c) 3 números reales que sean irracionales.
d) 3 números reales que sean racionales, pero no enteros.
e) 3 números reales que sean racionales y a la vez sean enteros negativos.

36
36.- Marcar a qué conjuntos numéricos pertenecen los siguientes números reales.
ℕ ℤ ℚ 𝕀
-0, 5
̅
2,9
√8
−
9
3

0
-0,88
37.- Aproximar a la cifra indicada:
a) Truncar 45,186 a la décima.
b) Redondear 4,2215 a la centésima.
c) Redondear 4,2559 a la milésima.
38.- Utilizar calculadora para resolver: Calcular el valor de √3 y aproximar a la milésima. ¿Cuánto
es el error que se comete al aproximar de esta manera? (con 5 cifras significativas)
39.- Aproxime a los diezmilésimos el número , mediante los dos métodos que conoce. ¿Con qué
método se comete menor error, es decir, cuál está más cerca de  en la recta numérica?
5.5.- INTERVALOS REALES
Un intervalo real es un subconjunto del conjunto de los números reales, es decir, un
conjunto ordenado, formado por todos los números reales comprendidos entre dos valores llamados
extremos que pueden pertenecer o no a dicho subconjunto; y que pueden ser numéricos o no.
Geométricamente, un intervalo queda representado en la recta real como un segmento o una
semirrecta.

37
CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS
INTERVALO NOMBRE NOTACIÓN COMO CONJUNTO
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
OBSERVACIÓN
¿ ∈ 𝐎 ∉?
[𝑎; 𝑏]
Intervalo
Cerrado [𝑎; 𝑏] = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
𝑎 … … [𝑎; 𝑏]
𝑏 … … [𝑎; 𝑏]
(𝑎; 𝑏)
Intervalo
Abierto (𝑎; 𝑏) = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
𝑎 … … (𝑎; 𝑏)
𝑏 … … (𝑎; 𝑏)
[𝑎; 𝑏)
Intervalo
Semiabierto
por la
derecha
[𝑎; 𝑏) = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
𝑎 … … [𝑎; 𝑏)
𝑏 … … [𝑎; 𝑏)
(𝑎; 𝑏]
Intervalo
Semiabierto
por la
izquierda
(𝑎; 𝑏] = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
𝑎 … … (𝑎; 𝑏]
𝑏 … … (𝑎; 𝑏]
[𝑎; ∞)
Intervalo
extremo
infinito
[𝑎; ∞) = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≥ 𝑎} 𝑎 … … [𝑎;∞)
(𝑎; ∞)
Intervalo
extremo
infinito
(𝑎; ∞) = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 > 𝑎} 𝑎 … … (𝑎;∞)
(−∞; 𝑎]
Intervalo
extremo
infinito
(−∞; 𝑎] = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑎} 𝑎 … … (−∞; 𝑎]
(−∞; 𝑎)
Intervalo
extremo
infinito
(−∞; 𝑎) = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑎} 𝑎 … … (−∞; 𝑎)
a b
a b
a b
a b
a
a
a
a

38
ACTIVIDAD
40.- Completar la siguiente tabla:
INTERVALO NOMBRE NOTACIÓN COMO
CONJUNTO
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
OBSERVACIÓN
¿ ∈ O ∉?
[−4; 1]
−4 … … [−4; 1]
1 … … [−4; 1]
(2; 5)
2 … … (2; 5)
5 … … (2; 5)
[1; 6)
1 … … [1;6)
6 … … [1;6)
(−1; 2]
−1 … … (−1; 2]
2 … … (−1; 2]
[3; ∞) 3 … … [3;∞)
(3; ∞) 3 … … (3; ∞)
(−∞; 2] 2 … … (−∞;2]
(−∞; 2) 2 … … (−∞; 2)

39
5.6.- VALOR ABSOLUTO O MÓDULO DE UN NÚMERO REAL
El valor absoluto de un número corresponde a la distancia de dicho número al punto de origen
o cero. Para representar el valor absoluto de un número se utilizan dos barritas verticales. Es decir,
el valor absoluto de un número real “a” se representa por a.
Por ejemplo:
5 representa cinco unidades de distancia del cero. Es decir, 5= 5.
-5 representa cinco unidades de distancia del cero. Es decir, -5= 5.
Los valores absolutos de -5 y 5 son equivalentes, es decir, que estos números están a igual
distancia del cero.
Si dos números tienen igual valor absoluto, pero distinto signo, se dice que son
opuestos. Por ejemplo, -5 y 5 son números opuestos entre sí.
Entre las propiedades de los números opuestos podemos mencionar:
 Un número cualquiera “a” es opuesto de “b”, si y solo sí, “b” es opuesto de “a”.
 El opuesto del opuesto de “a” es “a”.
 El opuesto de cero es cero.
 “a” es positivo, sí y solo sí, el opuesto de “a” es negativo.
Se puede concluir que, dado un número real, el valor absoluto o módulo de este es el mismo
número si es positivo, mientras que, si es negativo, es el valor opuesto del número.
Simbólicamente:
𝑎 ∈ ℝ, |𝑎| = {
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0

40
ACTIVIDADES
41.- Intervalos reales a partir de un valor absoluto: Marca en la recta numérica los valores de x que
cumplen con las siguientes expresiones:
a) Trabajamos con valores de x menores o menores iguales a un número:
|x| < 4
|x| ≤ 3
Luego de ver las gráficas, se puede hacer una generalización, expresando el conjunto
solución como un intervalo real. Completa la misma:
Si x, a ∈ ℝ ∧ a > 0 / |x| < a → x ∈ ( ; )
Si x, a ∈ ℝ ∧ a > 0 / |x| ≤ a → x ∈ _____________
b) Trabajamos con valores de x mayores o mayores iguales a un número:
|x| > 2
|x| ≥ 1
Luego de ver las gráficas, se puede hacer una generalización, expresando el conjunto
solución como un intervalo real. Completa la misma:
Si x, a ∈ ℝ ∧ a > 0 / |x| > a → x ∈ _____________
Si x, a ∈ ℝ ∧ a > 0 / |x| ≥ a → x ∈ _____________

41
42.- Completar la siguiente tabla:
INTERVALO NOMBRE NOTACIÓN COMO
CONJUNTO
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
{𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ |𝑥| ≥ 3}
{𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ |𝑥| < 5}
(−∞; 6]
(−∞; −
1
2
] ∪ [
1
2
; ∞)
(−∞; −3) ∪ (3; ∞)
[−2,5 ; ∞)
43.- Colocar ∈ o ∉ según corresponda:
a) -3 _____ (−2; 8) b)
1
3
_____ (−1; 1) c) −1, 5
̅ _____ (−1;2)
d) 6 _____ (−∞; 6) e) 7 _____ (−2;7] f) 0,81 _____ (−1; 0,91]
g) √2 _____ (−2; 2) h) √16 _____ (0; 4] i) −9 _____ (−∞; −9,5]
Representación de
intervalos - parte 1
Representación de
intervalos - parte 2

42
6.- UNIÓN E INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
La “unión” entre dos conjuntos es un nuevo conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a cada uno de los conjuntos que intervienen, comunes o no.
En símbolos: Sea A y B dos conjuntos, 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙/𝒙 ∈ 𝑨 ∨ 𝒙 ∈ 𝑩}
La expresión simbólica se lee A unión B es igual a las x tal que x pertenece a A “o” x
pertenece a B. El conjunto formado por A unión B incluye todos los elementos que pertenecen a A
y todos los que pertenecen a B.
La “intersección” entre dos conjuntos está definida como el conjunto formado por los
elementos comunes, que pertenecen a todos los conjuntos que intervienen.
En símbolos: Sea A y B dos conjuntos, 𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙/𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∈ 𝑩}
La expresión simbólica se lee: A intersección B es igual a las x tal que x pertenecen a A
“y” x pertenece a B. El conjunto formado por A intersección B incluye todos los elementos comunes
que pertenecen a A y a B.
Si dos o más conjuntos no tienen elementos comunes se dice que la intersección es vacía y
el símbolo del conjunto vacío es ∅ o { }. A los conjuntos cuya intersección es el conjunto vacío se
los llama conjuntos disjuntos.
Ejemplos:
 Dentro de los conjuntos numéricos ℚ ∩ 𝕀 = ∅, luego el conjunto de números racionales y el
conjunto de números irracionales son conjuntos disjuntos.
 Si ℚ ∪ 𝕀 = ℝ
 (−1; 5] ∩ [1; 6) = [1; 5]
 (−1; 5] ∪ [1; 6) = (−1;6)
ACTIVIDAD
44.- Representar gráficamente los siguientes intervalos e indicar su solución:
a) (−2; 7) ∪ [5; 9) = b) (−2; 7) ∩ [5; 9) =
c) (−∞; 2) ∪ [2; ∞) = d) (−∞; 2) ∩ [2; ∞) =
e) (−5; 8) ∪ (−4;−2) = f) (−5;8) ∩ (−4; −2) =
g) [−2; 9] ∪ [9; ∞) = h) [−2; 9] ∩ [9; ∞) =
i) {[−2; 5] ∪ [4; 9)} ∩ (3; 7) =

43
TEMA N° 2: POTENCIACIÓN
Una potencia es una forma abreviada de
escribir una multiplicación de factores iguales. En
ella se deben identificar la base y el exponente.
La base es el factor que se repite, mientras
que el exponente indica cuántas veces debe repetirse dicho factor. El valor de la potencia es el
producto total que se obtiene al multiplicar la base por sí misma tantas veces como indica el
exponente, es decir:
Por ejemplo: 23
= 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8, donde la base es igual a 2, el exponente es 3 y el
valor de la potencia es 8.
Esta operación se puede aplicar a todos los conjuntos numéricos que se han explicado.
1.- PROPIEDADES DE LA POTENCIA
 Si el exponente es 0 y la base distinta de cero, el valor de la potencia es 1. Ejemplo: (-3)0
= 1 o
150
= 1.
 Si el exponente es 1, el valor de la potencia es igual a la base. Ejemplos: (-2)1
= (-2) o 51
= 5.
 Si la base de una potencia es 0, entonces el resultado, para cualquier exponente natural, es
siempre igual a cero. Ejemplo: 02
= 0.
 Si la base de una potencia es par, el valor de la potencia para cualquier exponente es par.
Ejemplos:
82
= 8 . 8 = 64
23
= 2 . 2 . 2 = 8
 Si la base de una potencia es impar, el valor de la potencia para cualquier exponente es impar.
Ejemplos:
72
= 7 . 7 = 49
33
= 3 . 3 . 3 = 27

44
Las potencias de exponente 2 se leen “al cuadrado” o “elevado al cuadrado”; las potencias de
exponente 3 se leen “al cubo” o “elevado al cubo”. Esto se debe a la relación que tienen con el área
de un cuadrado y el volumen de un cubo respectivamente. Por ejemplo: 42
se lee “cuatro al
cuadrado” y 53
se lee “cinco al cubo”.
2.- POTENCIAS CON BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL
Por ejemplo: (-5)4
, donde (-5) es la base y 4 es el exponente.
Así: (-5)4
= (-5) . (-5) . (-5) . (-5) = 625 que es el valor de la potencia
Para leer esta potencia decimos: (-5) elevado a 4 o a la cuarta potencia.
Dentro de estas potencias se debe tener en cuenta que:
 Potencias con base positiva y exponente un número natural, el resultado siempre será positivo.
Ejemplo: 82
= 8 . 8 = 64
 Potencias con base negativa, el resultado es:
 POSITIVO: Si el exponente es un número natural par. Ejemplo: (−2)2
= (−2) ∙ (−2) = 4
 NEGATIVO: Si el exponente es un número natural impar. Ejemplo:(−2)3
= (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = −8
BASE EXPONENTE SIGNO DEL RESULTADO
Entero positivo Número par
Positivo
Número impar
Entero negativo Número par Positivo
Número impar Negativo
Hay que tener cuidado que no es lo mismo:
- 24 = - (2 · 2 · 2 · 2) = - 16, en este caso el exponente NO afecta el negativo que se
encuentra delante de la base.
(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) ·(- 2) = 16, en este caso la base es (-2).

45
3.- POTENCIAS DE BASE Y EXPONENTE ENTERO
Si a y b son números enteros con a  0, entonces se tiene que:
ab = a · a · a · … · a
b veces
𝒂−𝒃
= (
𝟏
𝒂
)
𝒃
=
𝟏𝒃
𝒂𝒃 =
𝟏
𝒂𝒃
Si el exponente es negativo, para comenzar a realizar la operación,
primero se debe transformar en positivo. Para ello, se da vuelta la base y
se cambia el signo del exponente.
Ejemplos:
2−3
= (
1
2
)
3
=
13
23
=
1
8
(−4)−2
= (
1
−4
)
2
=
12
(−4)2
=
1
16
4.- POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO
Para calcular el valor de una potencia cuya base es una fracción, se debe calcular el valor de
la potencia del numerador y del denominador, es decir, se eleva tanto el numerador como el
denominador al exponente. Por ejemplo:
(
5
3
)
2
=
5
3
∙
5
3
=
25
9
(
2
7
)
−2
= (
7
2
)
2
=
7
2
∙
7
2
=
49
4
Tener presente que la adición reiterada de un mismo número puede representarse como un
producto. Por ejemplo: 6 + 6 + 6 + 6 = 4 ∙ 6 = 24 .
En cambio: 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 64
= 1.296
n.a  an
5.- OPERACIONES CON POTENCIAS
A.- SUMAS Y RESTAS DE POTENCIAS
Para sumar y restar potencias hay que calcular el valor de cada potencia y luego sumar o
restar los resultados obtenidos.

46
Ejemplos:
(-2)2 + (-2)3 + (-2)4 = 4 + (-8) + 16 = 4 – 8 + 16 = 12
32 + (-3)2 - (-4)3 – (-2)2 = 9 + 9 - (-64) - 4 = 9 + 9 + 64 – 4 = 78
B.- POTENCIA DE UNA POTENCIA
El resultado de calcular la potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y cuyo
exponente es el producto de los dos exponentes. Es decir: (𝑎𝑚)𝑛
= 𝑎𝑚∙𝑛
Por ejemplo:
(32)2
= 32∙2
= 34
= 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81
((−4)2)3
= (−4)2∙3
= (−4)6
= 4.096
((
3
4
)
2
)
2
= (
3
4
)
2∙2
= (
3
4
)
4
=
81
256
C.- PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
El producto de dos o más potencias de igual base da como resultado una potencia con la misma
base y exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. Es decir: 𝑎𝑏
∙ 𝑎𝑐
= 𝑎𝑏+𝑐
Por ejemplo:
32
∙ 33
∙ 34
= 32+3+4
= 39
= 19.683
0,82
∙ 0,83
∙ 0,8 = 0,82+3+1
= 0,86
= 0,262144
D.- COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
El cociente de potencias de igual base da como resultado una potencia con la misma base y
exponente igual a la resta de los exponentes de los factores. Es decir: 𝑎𝑏
: 𝑎𝑐
= 𝑎𝑏−𝑐
32
: 33
= 32−3
= 3−1
=
1
3
0,82
: 0,8 = 0,82−1
= 0,81
= 0,8

47
E.- PRODUCTO DE POTENCIAS DE DISTINTA BASE E IGUAL EXPONENTE
El producto de potencias de distinta base e igual exponente es igual a una potencia con el mismo
exponente y la base es el producto de las bases iniciales. Es decir, el producto de las bases
elevado al mismo exponente. 𝑎𝑏
∙ 𝑐𝑏
= (𝑎 ∙ 𝑐)𝑏
32
∙ 42
= (3 ∙ 4)2
= 122
= 144
1,24
∙ 0,34
= (1,2 ∙ 0,3)4
= 0,364
= 0,01679616
F.- COCIENTE DE POTENCIAS DE DISTINTA BASE E IGUAL EXPONENTE
El cociente de potencias de distinta base e igual exponente es igual a una potencia con el mismo
exponente y la base es el cociente de las bases iniciales. Es decir, el cociente de las bases
elevado al mismo exponente. 𝑎𝑏
: 𝑐𝑏
= (𝑎: 𝑐)𝑏
82
: 42
= (8 ∶ 4)2
= 22
= 4
1,24
∶ 0,34
= (1,2 ∶ 0,3)4
= 44
= 256
G.- PRODUCTO O COCIENTE DE POTENCIAS CON DISTINTA BASE Y EXPONENTE
Para multiplicar o dividir potencias de distinta base y exponente debemos resolver cada potencia
por separado, es decir, no se pueden aplicar las propiedades antes mencionadas.
(
1
2
)
2
∙ (
2
3
)
3
=
1
4
∙
8
27
=
2
27
H.- PROPIEDAD DISTRIBUTIVA RESPECTO AL PRODUCTO Y AL COCIENTE
En símbolos:
(𝑎 ∙ 𝑏)𝑐
= 𝑎𝑐
∙ 𝑏𝑐
(𝑎 ∶ 𝑏)𝑐
= 𝑎𝑐
: 𝑏𝑐
Por ejemplo:
(4 ∙ 2)2
= 42
∙ 22
82
= 16 ∙ 4
64 = 64
(4 ∶ 2)2
= 42
: 22
22
= 16: 4
4 = 4

48
Hay que tener en cuenta que no se puede distribuir con respecto a la suma o a la resta.
(6 + 3)2 ≠ 62 + 32
porque
(6 + 3)2 = 92 = 81
62 + 32 = 36 + 9 = 45
Luego, 81 ≠ 45
(10 - 6)2 ≠ 102 - 62
porque
(10 - 6)2 = 42 = 16
102 - 62 = 100 - 36 = 64
Luego, 16 ≠ 64
ACTIVIDADES
45.- Aplicar propiedades de potencia y resolver:
a) (−
3
10
)
−5
∙ (−
3
10
)
4
=
b) (−
1
6
)
5
: (−
1
6
)
2
=
c) (
5
3
)
2
: (
5
3
)
3
=
d) [(−
3
5
)
2
]
2
=
e)
3−5
3−2 =
f) 25
∙
22
210
=
46.- Completar con el número que verifica las siguientes igualdades:
a) (
5
3
)
….
=
125
27
b) (
1
3
)
….
= 27
Potenciación parte 1 Potenciación parte 2

49
c) (
2
7
)
….
=
49
4
d) (−
1
3
)
5
∙ (−
1
3
)
….
= −3
e) (
3
5
)
….
∶ (
3
5
)
3
=
25
9
f) (−2)3
∙ (4)3
=
g) ( ∙ )4
= 354
47.- Calcular las siguientes potencias:
a) (−2)0
∙ (4)3
=
b) (0, 7
̅)−3
=
c) (−1,2)2
=
d) (−
1
2
)
−5
=
e) 20
+ 21
+ 22
+ 23
+ 24
=
f) 6 ∙ 32
−
92
9
+ 93
=
g) (
3
5
)
2
∙ (
3
5
)
−5
∙ (
3
5
)
7
=
h) (((−
9
5
)
−3
)
2
)
−4
=
i) (3x)4
∙ (
y
6x
)4
∙ (
2
5y
)4
=

50
TEMA N° 3: RADICACIÓN
Suponiendo que en un terreno de 400 metros cuadrados se quiere armar una carpa cuadrada
que tiene 25 metros de lado a fin de celebrar una fiesta ¿será posible armarla?
Lo primero que se debe realizar es calcular la medida del lado del terreno, lo que se puede
hacer mediante la radicación: √400 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠2 = 20 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.
Como se observa si la carpa tiene de lado 25 metros no entrará en el terreno que tiene una
medida de 20 metros de lado. Por lo tanto, se deberá buscar otro terreno u otra carpa para celebrar
la fiesta.
La radicación es la operación inversa a la potenciación y consiste en que, dados dos
números, llamados índice y radicando, se puede hallar un tercer número, al que se llamará
raíz. Ese número (raíz) elevada al índice, es igual al radicando.
En símbolos matemáticos: √𝐚
𝐧
= 𝐛 ↔ 𝐛𝐧
= 𝐚, ∀ 𝐧 ∈ ℕ ∧ 𝐧 > 𝟏
Donde:
n es el índice de la raíz
a es el radicando
b es el radical o n-ésima raíz de a
Para calcular el valor numérico de una raíz se debe tener en cuenta el valor del índice y el
signo del radicando. Si se considera la raíz √a
n
se tiene que:
 SI n ES PAR, cuando:
a > 0, el valor de la raíz es único.
a = 0, en valor de la raíz es 0.
a < 0, no existe ningún número real que cumpla la condición bn = a,
por lo que la raíz no tiene ningún valor real.
 SI n ES IMPAR, el valor de la raíz es único, sin importar el signo del radicando.

51
Por ejemplo:
√49 = 7 ya que 72
= 49
√−16
4
la raíz no tiene ningún valor real
√64
3
= 4 ya que 43
= 64
√−32
5
= −2 ya que (−2)5
= −32
Para nombrar a las raíces tenemos en cuenta su índice. Por ejemplo, si el índice es:
 2 (que generalmente no se escribe) se llama raíz cuadrada.
 3 se llama raíz cúbica.
 4 raíz cuarta
 5 raíz quinta, y así sucesivamente.
Algunas raíces importantes: √1
𝑛
= 1 ; √0
𝑛
= 0 ; √𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎
1.- RELACIÓN ENTRE LA RAÍZ Y LA POTENCIA
Como se puede observar existe una estrecha relación entre las potencias y raíces. En efecto,
toda raíz puede ser expresada como una potencia de exponente fraccionario.
Por ejemplo:
√33
4
⋅ √3 = 33/4
⋅ 31/2
= 33/4+1/2
= 35/4
Por otro lado, toda potencia de exponente fraccionario, por ejemplo, 91/2
, puede expresarse
utilizando raíces: √9
En general, si se tiene una potencia de exponente fraccionario de la forma
𝐚
𝐦
𝐧 con n  ℕ y m  ℤ , se escribe: 𝐚
𝐦
𝐧 = √𝐚𝐦
𝐧

52
Por ejemplo:
(3,25
̅)
9
2 = √(3,25
̅)
9
2
(
2
3
)
5
6
= √(
2
3
)
5
6
(3p + 2)−
3
5 =
1
(3p + 2)
3
5
=
1
√(3p + 2)3
5 0,01
1
3 = √0,01
3
De esta propiedad se pueden extraer algunas conclusiones:
 Se puede observar que:
Si n es impar → √an
n
= a
Si n es par → √an
n
= |a|
Ejemplos:
√9 = √32 = 3 porque 32
= 9 o √9 = √(−3)2 = (−3) porque (−3)2
= 9
√(−6)2 = √36 = 6 porque 62
= 36 o √(−6)2 = √36 = (−6) porque (−6)2
= 36
√27
3
= √33
3
= 3 porque 33
= 27
√(−8)
3
= √(−2)3
3
= −2 porque (−2)3
= (−8)
 El índice y el exponente del radicando son simplificables entre sí. Por ejemplo:
 El índice y el exponente del radicando son amplificables entre sí. Por ejemplo:
Al interpretar las raíces como una potencia de exponente racional, conviene reducirlas a un
índice común para multiplicar, dividir y comparar radicales.
Dados dos números a y b reales positivos y n un número natural se cumple:

53
Por ejemplo: Si se quiere comparar √25
3
y √7. Para ello hay que expresar los radicales con
el mismo índice:
√25
3
= √252
6
= √625
6
√7 = √73
6
= √343
6
Como 625 > 343 entonces √625
6
> √343
6
⇒ √25
3
> √7
2.- RADICALES EQUIVALENTES
Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias
asociadas son equivalentes. Por ejemplo: √49 = √427
6
𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟
9
2
=
27
6
Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales equivalentes, multiplicando o dividiendo el
exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número.
Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical. Un radical es
irreducible, cuando la fracción de la potencia asociada es irreducible.
Para cambiar el índice de la raíz se puede amplificar o simplificar dicho exponente por un
número entero distinto de cero.
Es decir:
√𝑎
𝑛
= 𝑎
1
𝑛 = 𝑎
1∙𝑚
𝑛∙𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛𝑚 = √𝑎𝑚
𝑛𝑚
Luego la raíz √𝑎𝑚
𝑛𝑚
es equivalente a √𝑎
𝑛
.
3.- COMPOSICIÓN O DESCOMPOSICIÓN DE RAÍCES
A.- COMPOSICIÓN DE RAÍCES
Un factor se puede introducir a una raíz, como factor del radicando, si lo elevo al índice de
ella.
𝑎√𝑐
𝑏
= √𝑎𝑏 ∙ 𝑐
𝑏
Por ejemplo:
2√9
5
= √25 ∙ 9
5
= √32 ∙ 9
5
= √288
5

54
B.- DESCOMPOSICIÓN DE RAÍCES
Un factor se puede extraer de una raíz si dicho factor tiene raíz exacta.
√𝑎𝑠 ∙ 𝑏
𝑠
= 𝑎 √𝑏
𝑠
Por ejemplo:
√54
3
= √27 ∙ 2
3
= √33 ∙ 2
3
= 3 √2
3
ACTIVIDADES
48.- Expresar las siguientes potencias como raíces:
a) 16
3
2
b) (0,125)
1
4
c) m−
5
3
d) (x3
)
2
3
e) (2x − y2
)
1
2
49.- Expresar las siguientes raíces como potencias:
a) √25
4
=
b) √−7
7
=
c) √112
3
=
d) √2x3
6
=
50.- Comparar las siguientes raíces expresando los radicales con un mismo índice:
a) √8 y √64
6
b) √27
3
, √16
4
y √64
6

55
51.- Expresar los radicandos como potencia y luego obtener tres radicales equivalentes a:
a) √8 =
b) √27
3
=
c) √81
4
=
52.- Extraer factores del radical:
a) √2 ∙ 32 ∙ 55 =
b) √80 =
c) √3888
4
=
53.- Introducir factores en el radical:
a) 2√3 =
b) 22
. 33
√6
4
=
c) 81/3
√6
3
=
4.- OPERACIONES CON RAÍCES
A.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON RAÍCES
Para que dos o más raíces se puedan sumar o restar es necesario que estén definidas en los
números reales y sean semejantes, es decir, deben tener el mismo índice y el mismo radicando.
Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.
Para comprobar si dos radicales son semejantes, se deben simplificar cuando sea posible y
extraer todos los factores que sea posible.
La suma o resta de radicales semejantes es otro radical semejante, cuyo coeficiente es igual
a la suma o resta de los coeficientes de los radicales. 𝐚 √𝐦
𝐛
± 𝐜 √𝐦
𝐛
= (𝐚 ± 𝐜)√𝐦
𝐛
Ejemplo N° 1:
− √𝟒
𝟑
+ 𝟑 √𝟒
𝟑
− 𝟐 √𝟒
𝟑
+ 𝟖 √𝟒
𝟑
= (−𝟏 + 𝟑 − 𝟐 + 𝟖)√𝟒
𝟑
= 𝟖√𝟒
𝟑

56
Ejemplo N° 2:
𝟕 √𝟓 − 𝟔 √𝟑 + 𝟖√𝟓 − 𝟑 √𝟑 − 𝟒 √𝟑 =
Primero se deben agrupar los términos semejantes y luego se resuelve:
(𝟕 + 𝟖)√𝟓 + (−𝟔 − 𝟑 − 𝟒)√𝟑 =
𝟏𝟓√𝟓 − 𝟏𝟑 √𝟑
Ejemplo N° 3:
√3 + √27 − 2 √75 =
Se debe aplicar la propiedad de descomposición para obtener términos semejantes:
√3 + √3 ∙ 32 − 2 √3 ∙ 52 =
√3 + 3 √3 − 2 ∙ 5 √3 =
(1 + 3 − 10)√3 = −6√3
La adición o sustracción de dos raíces con igual índice pero distinto radicando NO es igual
a la raíz de la suma de los radicandos. Es decir: √𝑎
𝑛
∓ √𝑏
𝑛
≠ √𝑎 ∓ 𝑏
𝑛
B.- PRODUCTO DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
El producto de dos o más raíces, definidas en los números reales, con igual índice es otra raíz
que tiene el mismo índice y cuyo radicando es el producto de los radicandos de los factores.
√𝐚
𝐛
∙ √𝐜
𝐛
= √𝐚 ∙ 𝐜
𝐛
∀ 𝐛 ∈ ℕ
Por ejemplo:
√𝟐
𝟑
∙ √𝟒
𝟑
= √𝟐 ∙ 𝟒
𝟑
= √𝟖
𝟑
= 𝟐
C.- COCIENTE DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
El cociente de raíces, definidas en los números reales, con igual índice es otra raíz que tiene
el mismo índice y cuyo radicando es el cociente de los radicandos del divisor y el dividendo.
√𝐚
𝐧
∶ √𝐛
𝐧
= √𝐚: 𝐛
𝐧
O bien
√𝐚
𝐧
√𝐛
𝐧 = √
𝐚
𝐛
𝐧

57
Ejemplo:
√𝟓𝟎 ∶ √𝟐 = √𝟓𝟎 ∶ 𝟐 = √
𝟓𝟎
𝟐
= √𝟐𝟓 = 𝟓
D.- PRODUCTO O COCIENTE DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE
Si los radicales no tienen el mismo índice, se deberá lograr que los tengan, para ello es
necesario buscar el “mínimo común índice (m.c.i)”, que es el mínimo común múltiplo de los índices
y luego escribir radicales equivalentes a los dados que tengan el índice encontrado.
Por ejemplo: √8
4
∙ √4
3
=
m.c.i(4;3) = 12
√83
12
∙ √44
12
= √(23)3
12
∙ √(22)4
12
= √29 ∙ 28
12
= √217
12
= √212 ∙ 25
12
= 2 √25
12
= 2 √32
12
E.- RAÍZ DE UNA RAÍZ
La raíz de una raíz es igual a otra raíz que tiene como índice el producto de los índices de las
raíces originales y cuyo radicando es el radicando original.
√√𝑐
𝑏
𝑎
= √𝑐
𝑎∙𝑏
Por ejemplo:
√√64
3
= √64
6
= 2
ACTIVIDADES
54.- Aplicar las propiedades de la radicación y resolver:
a) 3√2 + 5√2 − 4√2 =
b) 12√2 − 8√3 + √2 + 4√3 + 6√45 =
Simplificación de
radicales | Parte 1
Simplificación de
radicales | Parte 2
Simplificación de
radicales | Parte 3
Simplificación de
radicales | Parte 4

58
c) √2 ∙ √7 =
d) √
4
3
∙ √
1
2
=
e) √x
5
∶ √xy2
5
=
f) √a11
n
: √a5
n
=
g)
√y2n+1
√y4n−6
=
h) √
144
81
∶
36
9
=
i) (−
5
4
∙ √9
3
) : (−√3) =
j) √b2c5
3
∙ √b c3
4
=
k)
√4m
3
√64m
4 =
55.- Expresar de la forma más simple posible:
a) √√√a
3
=
b) √3 √4 √2 =
c) √√
81
16
=
5.- RACIONALIZACIÓN
Racionalizar un denominador es, en caso de ser posible, eliminar el número irracional del
denominador. Es decir, escribir una fracción equivalente a la dada con denominador racional.

59
Se pueden identificar tres casos:
 Racionalizar fracciones que contengan raíz cuadrada en el denominador.
 Racionalizar fracciones que contengan raíz n-ésima en el denominador.
 Racionalizar fracciones que contengan la suma o resta de dos o más raíces cuadradas o bien
la suma o resta de un número natural con una raíz.
A.- RACIONALIZAR FRACCIONES QUE CONTIENEN RAÍZ CUADRADA EN EL DENOMINADOR
Para racionalizar expresiones del tipo:
Se debe amplificar la fracción por √b
Es decir:
a
√b
=
a
√b
∙
√b
√b
=
a ∙ √b
(√b)
2 =
a ∙ √b
b
Por ejemplo:
3
√2
=
3
√2
∙
√2
√2
=
3 ∙ √2
(√2)
2 =
3 ∙ √2
2
B.- RACIONALIZAR FRACCIONES QUE CONTIENEN RAÍZ N-ÉSIMA EN EL DENOMINADOR
Racionalizar expresiones del tipo:
Se debe amplificar la fracción por √b𝑛−𝑚
𝑛

60
Por ejemplo:
3
√23
5 =
3
√23
5 ∙
√22
5
√22
5 =
3√22
5
√23 ∙ 22
5 =
3√22
5
√25
5 =
3√22
5
2
=
3√4
5
2
C.- RACIONALIZAR FRACCIONES QUE CONTIENEN LA SUMA O RESTA DE DOS O MÁS RADICALES
DE ÍNDICE 2 O LA SUMA O RESTA DE UN NÚMERO CON UNA RAÍZ
Racionalizar expresiones del tipo:
En general cuando el denominador sea un binomio (dos términos) con al menos un radical,
se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un
binomio es igual al binomio con el signo central cambiado.
También tenemos que tener en cuenta que: "el producto de una suma por la diferencia de sus
términos es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos".
Es decir: (a + b).(a – b) = a2
- b2
Ejemplo N° 1:
8
√7 − √3
=
8
(√7 − √3)
∙
(√7 + √3)
(√7 + √3)
=
8(√7 + √3)
(√7)
2
− (√3)
2 =
8(√7 + √3)
7 − 3
=
8(√7 + √3)
4
= 2(√7 + √3) = 2√7 + 2√3
Ejemplo N° 2:
√10
2 + √5
=
√10
(2 + √5)
∙
(2 − √5)
(2 − √5)
=
√10 ∙ (2 − √5)
(2)2 − (√5)
2 =
√10 ∙ (2 − √5)
4 − 5
=
2√10 − √10 ∙ √5
−1
=
2√10 − √50
−1
= −2√10 + 5 √2
Racionalización de
denominadores |
Parte 1
Racionalización de
denominadores |
Parte 2
Racionalización de
denominadores |
Parte 3

61
ACTIVIDADES
56.- Racionalizar los siguientes radicales:
a)
2
3√2
=
b)
2
3 √4
5 =
c)
2
√2−√3
=
d) √
2
√2
3
=
e)
√3
3+2√7
=
57.- Realizar las siguientes operaciones:
a) 3√√x
4
3
+ 5 √x
12
− 6√√x
3
4
=
b) (√5 + 2) ∙ (√5 − 2) =
c) (2√7 − 3)
2
−
√7
√7−3
+ 1, 6
̅ =
d)
√3+√5
√5−√3
− (√5 − √3)
2
+ (−2)−3
+ 8(−1 3
⁄ )
=
58.- Resolver las siguientes operaciones combinadas y expresar el resultado como fracción
irreducible. Recomendación: Intenta resolver sin utilizar calculadora, a fin de ver cuánto has
incorporado de los contenidos vistos, luego puedes controlar tus resultados:
a) (0, 4
̅ + 3−1) ∙ (−
1
2
+ 1)
−2
+ √−
1
8
3
=
b) √
7
8
− 1
3
+ (3 −
1
2
)
−2
− 0,02:
1
10
=
c) [0, 5
̅ ∙ √81 − (−
1
2
)
2
] : (1 +
1
2
)
2
=

62
TEMA N° 4: LOGARITMOS
Dados dos números reales positivos a y b, con b distinto de 1, se dice que el logaritmo de a
en base b es aquel número c tal que b elevado a c es igual a a. Es decir:
La expresión 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 = 𝐜 se lee “logaritmo de a en base b”
Ejemplos:
𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏𝟔 = 𝟒 𝐲𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝟐𝟒
= 𝟏𝟔
𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟏𝟐𝟓 = 𝟑 𝐲𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝟓𝟑
= 𝟏𝟐𝟓
𝐥𝐨𝐠𝐚 (𝐚𝟗) = 𝟗 𝐲𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐚𝟗
= 𝐚𝟗
La base b de un logaritmo es un número real positivo distinto de 1, es decir, 𝐛 ∈ ℝ+
− {𝟏}
Por ejemplo, para calcular el 𝐥𝐨𝐠𝟏 𝟐𝟓 se debe encontrar un número x tal que 𝟏𝐱
= 𝟐𝟓, como
dicho número NO EXISTE, 𝐥𝐨𝐠𝟏 𝟐𝟓 no está definido, al igual que cualquier otro logaritmo cuya
base sea igual a 1 no se puede resolver.
El argumento a de un logaritmo es siempre un número real positivo, es decir, 𝐚 ∈ ℝ+
.
Por ejemplo, para calcular 𝐥𝐨𝐠𝟐(−𝟖) se debe encontrar un número x tal que 𝟐𝐱
= −𝟖, como
dicho número real NO EXISTE, -8 no puede ser argumento de un logaritmo, al igual que ningún
otro número negativo.

63
1.- LOGARITMOS NATURALES O NEPERIANOS
Los logaritmos que tienen como base el número irracional e se llaman logaritmos naturales
o neperianos, y se representan por 𝐥𝐧 𝐱
Es decir, 𝐥𝐧 𝐱 = 𝐥𝐨𝐠𝐞𝐱
Por ejemplo: 𝐥𝐧 𝐞𝟐
= 𝐥𝐨𝐠𝐞𝐞𝟐
= 𝟐 𝐲𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐞𝟐
= 𝐞𝟐
2.- LOGARITMOS IGUALES
Dos logaritmos en la misma base son iguales si y solo sí sus argumentos son iguales. Es
decir:
𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛 = 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐜 ⟺ 𝐛 = 𝐜
ACTIVIDADES
59.- Calcular el valor de la expresión:
a) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟑𝟐 + 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝐥𝐨𝐠𝟖𝟓𝟏𝟐 =
b) 𝐥𝐨𝐠𝟐
𝟑
𝟒
𝟗
− 𝐥𝐨𝐠𝟓
𝟔
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟏𝟔
+ 𝐥𝐨𝐠𝟐
𝟒
𝟑𝟐
𝟏𝟎𝟐𝟒
=
3.- LOGARITMOS DECIMALES
Los logaritmos más utilizados son los logaritmos de base 10, llamados logaritmos decimales.
Por convención matemática se ha establecido que un logaritmo decimal se expresa como log x. Es
decir:
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎𝐱 = 𝐥𝐨𝐠 𝐱
4.- PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
A.- LOGARITMO DE LA UNIDAD
El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0. Es decir: 𝐥𝐨𝐠𝐚𝟏 = 𝟎 ya que 𝐚𝟎
= 𝟏
Por ejemplo: 𝐥𝐨𝐠𝟓𝟏 = 𝟎 ya que 𝟓𝟎
= 𝟏

64
B.- LOGARITMO DE LA BASE
El valor del logaritmo cuya base es igual al argumento es siempre igual a 1. Es decir:
𝐥𝐨𝐠𝐚𝐚 = 𝟏 ya que 𝐚𝟏
= 𝐚
Por ejemplo: 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟖𝟏𝟖 = 𝟏 ya que 𝟏𝟖𝟏
= 𝟏𝟖
C.- LOGARITMO DE UN PRODUCTO
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Es decir:
𝐥𝐨𝐠𝐚(𝐛 ∙ 𝐜) = 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛 + 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐜
Por ejemplo: 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟗 ∙ 𝟖𝟏) = 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟗 + 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟖𝟏 = 𝟐 + 𝟒 = 𝟔
D.- LOGARITMO DE UN COCIENTE
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.
Es decir: 𝐥𝐨𝐠𝐚(𝐛: 𝐜) = 𝐥𝐨𝐠𝐚 (
𝐛
𝐜
) = 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛 − 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐜
Por ejemplo: 𝐥𝐨𝐠𝟐 (
𝟑𝟐
𝟖
) = 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟑𝟐 − 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟖 = 𝟓 − 𝟑 = 𝟐
E.- LOGARITMO DE UNA POTENCIA
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente de la potencia y el
logaritmo de la base de la potencia. Es decir: 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛𝐜
= 𝐜 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐛
Por ejemplo: 𝐥𝐨𝐠𝟖 𝟔𝟒𝟓
= 𝟓 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟖 𝟔𝟒 = 𝟓 ∙ 𝟐 = 𝟏𝟎
 LOGARITMO DE UNA POTENCIA DE 10: El logaritmo decimal de una potencia de 10 equivale
al exponente de la potencia. Es decir: 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝐧
= 𝐧
Por ejemplo: 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟎 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟐
= 𝟐 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 = 𝟐
 LOGARITMO DE UNA RAIZ: Recordar que: √𝐱𝐪
𝐩
= 𝐱𝐪 𝐩
⁄
Luego: 𝐥𝐨𝐠𝐚 √𝐱𝐪
𝐩
= 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐱𝐪 𝐩
⁄
=
𝐪
𝐩
∙ 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐱

65
F.- CAMBIO DE BASE DE UN LOGARITMO
Para cambiar la base de un logaritmo se puede utilizar la siguiente fórmula:
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 =
𝐥𝐨𝐠𝐜𝐛
𝐥𝐨𝐠𝐜𝐚
; 𝐜𝐨𝐧 𝐚, 𝐛, 𝐜 > 𝟎; 𝐚 ≠ 𝟏 𝐲 𝐜 ≠ 𝟏
Por ejemplo, si se quiere cambiar la base del logaritmo de 9 a una nueva base 3:
𝐥𝐨𝐠𝟗 𝟐𝟕 =
𝐥𝐨𝐠𝟑𝟐𝟕
𝐥𝐨𝐠𝟑𝟗
=
𝟑
𝟐
ACTIVIDADES
60.- Aplicando todo lo estudiado, calcular el valor de los siguientes logaritmos, intenta no usar
calculadora para adquirir destreza en la utilización de propiedades:
a) log2 64 = b) log3 243 = c) log10 1000 =
d) log4 16 = e) log425 425 = f) log1/2 49 =
g) log2
1
9
= h) log1/3 243 = i) log1/5 625 =
j) log36 6 = k) log343 49 = l) log5 25√5 =
ll) log0,4 0,064 = m) loga a7
= n) log√b b5/2
=
ñ) ln e1/2
= o) loga √a3
5
= p) logb b3/4
=
q) log2(8 ∙ 32) = r) log1/2(8 ∙ 32) = s) log√2 (
16∙4
√2
) =
61.- Hallar el argumento de los siguientes logaritmos:
a) log6 𝑥 = 1 b) log3 𝑥 = 3 c) log2/3 𝑥 = −3
d) ln 𝑥 = 1 e) log2 𝑥 = 5 f) log10 𝑥 = −4
g) log1/225 𝑥 = −2 h) log√2 𝑥 = 2 i) log√𝑎 𝑥 =
3
2
j) log𝑏/2 𝑥 = 2 k) log0,05 𝑥 = 3 l) log0,25 𝑥 = −2

66
62.- Calcular el valor de la base en cada uno de los siguientes logaritmos:
a) log𝑥 4 = 2 b) log𝑥 2 = 3 c) log𝑥 125 = −3
d) log𝑥 49 = −2 e) log𝑥 729 = 3 f) log𝑥
243
32
= −5
g) log𝑥 2 = −
2
3
h) log𝑥 √5 = −
1
2
i) log𝑥 16 = −2
j) log𝑥 0,125 = −3 k) log𝑥
3
4
= −3 l) log𝑥 √36
3
= 2
63.- Calcular el valor de las siguientes expresiones aplicando propiedades de logaritmos:
a) log5
125 ∙ 5 ∙ √252
3
√6252
3 =
b) log2 512 + log3 243 − log8 64 =
c) −5 ∙ log2/3
4
9
+ 7 ∙ log7 49 − 3
4
∙ log
10
100 =
d) √27
3
∙ log5 1 +
2
5
∙ log1/4 32 + 3 ∙ log√3 √3 =
e)
1
5
log5 √625 −
1
10
log7 74
+ 3 log 1 =
f) 6 log8
7
64
49
− 3 log 10000 + 4 log5
6
125
216
=
g)
log5(
1
125
)+log3(
1
27
)
log8(
1
512
)
=
h)
log11 √121
3
−log3 √243
5
( √log2 256
3
∶ √log3 243 )
log5 25 =

67
64.- Escribir cada una de las siguientes expresiones como suma y diferencia de logaritmos:
a) log𝑎
𝑥
𝑦𝑧
=
b) log𝑝 [
(𝑎−𝑏)
3
5 ∙ 𝑐
2
7
𝑑
3
4
] =
c) log𝑝
√6 𝑎2 𝑏 √𝑐2
5
𝑎 √𝑏3
7
𝑐5
=
65.- Expresar como un solo logaritmo:
a)
5
3
log 𝑥2
− 6 log √𝑦 +
1
4
log 𝑥4
−
7
2
log 𝑦6
=
b)
3
2
log𝑎 𝑥
4
3 +
2
5
log𝑎 𝑥𝑦 − 6 log𝑎 𝑦
1
2 =
66.- Sabiendo que log 2 = 0,30 ; log 3 = 0,47 y log 5 = 0,69 calcular los siguientes
logaritmos sin utilizar calculadora.
a) log 6 =
b) log
5
3
=
c) log 15 =
d) log 0,125 =
e) log √27
4
=
f) log
√36
5
√27
4 =

68
67.- Resolver:
a) Si log √x = y, calcular log x2
en función de y.
b) Si log √e = m, calcular log e2
en función de m.
c) Si log x5
= p y log √y = 𝑞, calcular log(
𝑥
𝑦
) en función de p y q.
68.- Utilizar la fórmula de cambio de base para simplificar cada logaritmo con respecto a la base
indicada y calcular su valor:
a) log32 8 ; a base 2
b) log25 5 ; a base 5
c) log16 8 ; a base 2
d) loga x ; a base x
69.- Aplicando la propiedad de cambio de base calcular los siguientes logaritmos sin usar
calculadora:
a) log64 8 =
b) log81 27 =
c) log49 343 =
70.- Determinar si las siguientes relaciones son Verdaderas (V) o Falsas (F):
Relaciones V o F
a) log𝑎 𝑢𝑣 = log𝑎 𝑢 + log𝑎 𝑣
b) log𝑎 𝑢 = log𝑎 𝑣 + log𝑎
𝑢
𝑣
c)
log𝑎 𝑢
log𝑎 𝑣
= log𝑎
𝑢
𝑣
d) log𝑎 √𝑢 = √log𝑎 𝑢
           

69
Baeza, Á., Fehrman, P., Rodríguez, C., Molina, R., Norambuena, A., Venegas, S. y Villena, M.
(2014). Aritmética y Álgebra. Manual esencial. Santillana, Tomo I.
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Berruti, Pedro (1969). “Manual de ingreso en primer año: Matemáticas y Castellano”, 46° edición,
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Educatina: https://www.youtube.com/channel/UCvYgy9xNtl7jeJAdzppgK8g
Matemáticas Profe Alex: https://www.youtube.com/channel/UCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ
Miguemáticas: https://www.youtube.com/channel/UC4dLo2q0aUNsrHj5m6gcGlQ
Vitual Preparatoria: https://www.youtube.com/channel/UC6UUKWYnkmek45zkkDBVPfg
Última fecha de acceso: 20/07/2023.

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