Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)

1
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Y
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Autores:
José Luis Hernández Domínguez
Germán Chiock Cuadros
Profesor:
Mg. Rogelio Contreras Infante
Universidad Peruana de Ciencias e Informática
Programa ESPEL
2013

2
INDICE
Introducción ............................................................................................... 3
Conceptos generales ………………………………………………………. 4
Número Primo ………………………………………………………. 4
Número Compuesto ..................................................................... 4
Múltiplo de un número ……………………………………………… 4
Propiedades ………………………………………………………. 4
Submúltiplo, Factor ó Divisor de un número ………………………. 5
Propiedades de los divisores de un número ………………… 5
Número de divisores de un número ................................................. 5
Parte Alícuota ………………………………………………………….. 6
Número Par ……………………………………………………………… 6
Número Impar ………………………………………………………….. 6
Números Perfectos ......................................................................... 6
Números amigos ………………………………………………………. 6
Propiedades Fundamentales de los números primos ……………… 6
Descomposición en factores primos ………………………………….. 7
Propiedad de la descomposición en factores primos ……….. 7
Regla para descomponer un número en sus factores primos ……. 7
Manera de conocer si un número es primo o no ………………… 7
MÁXIMO COMÚN DIVISOR ………………………………………………… 9
Cálculo del M.C.D. …………………………………………………… 9
Método abreviado para hallar el M.C.D. ……………………………. 9
Ejemplos prácticos 1, 2, 3 …………………………………………… 10
Ejemplos prácticos 4 …………………………………………………. 11
Ejemplos prácticos 5,6 …………………………………………………. 12
Ejemplos prácticos 7,8 …………………………………………………. 13
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO .................................................................. 16
Cálculo del M.C.M. .......................................................................... 16
Propiedades básicas .......................................................................... 17
Método abreviado para hallar el M.C.M. …………………………….. 18
Ejemplos prácticos 1 ......................................................................... 19
Ejemplos prácticos 2, 3, 4, 5 ......................................................... 20
Ejemplos prácticos 6, 7, 8 ................................................................. 21
Otros usos del M.C.M. ..................................................................... 23
Ejemplos de aplicación del M.C.D. y del M.C.M. …………………… 24
CONCLUSIONES …………………………………………………………….. 25
Anexo I – Propiedades de la divisibilidad ………………………………….. 27
BIBLIOGRAFÍA ……………………………………………………………… 31

3
INTRODUCCION
El presente trabajo tratará sobre dos temas muy importantes dentro
de la aritmética: el Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común
Divisor.
Cabe mencionar que para poder trabajar y entender las
operaciones que se realizan dentro de estos dos temas es
necesaria la revisión de conceptos previos de la teoría de la
divisibilidad; la teoría de los números primos así como de los
múltiplos y de los divisores los cuales nos permitirán realizar
relaciones entre ellos.
Es dentro de este contexto en que se hace necesario aplicar
reglas y procedimientos prácticos haciendo uso de las reglas de
potenciación, así como el uso de operaciones básicas en las
resoluciones de los problemas propuestos en los cuales se ha
procedido de manera lo más asertiva posible para lograr un enfoque
didáctico para una mejor comprensión y si obtener un aprendizaje
significativo

4
Conceptos generales
Número Primo Absoluto ó simple
Es el número que sólo es divisible entre sí mismo y la unidad
Número Compuesto
Es el número que además de ser divisible entre sí mismo y la unidad lo
es con otros números.
Múltiplo de un número
Es el número que contiene a este número un número exacto de veces.
Por ejemplo:
14 es múltiplo de 2 porque 14 contiene al número dos en 7 veces.
Los múltiplos de un número se forman multiplicando al número por la
serie infinita de números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5,….
Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene un
número entero de veces.
Propiedades:
El número 0 solamente tiene un múltiplo, que es el 0. Los
demás números naturales tienen infinito número de
múltiplos.
El número 0 es múltiplo de todos los números.
Todos los números son múltiplos de 1
Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8.
En los múltiplos de 3, la suma de los valores de sus cifras
es también múltiplo de 3.
Los múltiplos de 5 terminan en 0, o en 5.

5
Los múltiplos de 6 terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la suma de los
valores de sus cifras es múltiplo de 3.
En los múltiplos de 9, la suma de los valores de sus cifras
es múltiplo de 9.
Submúltiplo, Factor o Divisor de un número:
Es el número que esta contenido en el primero un número exacto de
veces.
A los divisores también se les denomina Factores
Ejemplo:
4 es submúltiplo de 24 porque está contenido en 24 seis veces
Ejemplo:
Si 12 ÷ 4 = 3 entonces 4 es divisor de 12
Si (4) (3) = 12 entonces 12 es múltiplo de 4
Propiedades de los divisores de un número:
Todo número "a", distinto de 0, es divisor de sí mismo.
El 1 es divisor de todos los números.
Todo divisor de un número distinto de cero es menor o
igual a él, por tanto, el número de divisores es finito.
Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su
suma y de su diferencia.
Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier
múltiplo de éste.
Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero,
el primero lo es del tercero.
Número de divisores de un número:
Procedimiento:
• Descomponer el número en sus factores primos.
• Luego se identifican los exponentes de los factores primos
considerando que si un factor no tiene exponente, éste será la
unidad
• A cada exponente se le suma la unidad
• Cada resultado se multiplican entre sí
Ejemplo:
Consideremos el número 2 520:
Su descomposición en factores es 2 520 = 23
· 32
· 5 · 7

6
El número de divisores de 2 520 es: (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 4
Parte Alícuota:
Parte alícuota de un número es una de las partes iguales en la que se
puede dividir un número.
Los divisores de un número se denominan partes alícuotas (iguales) de ese
número.
Por ejemplo:
8 es factor ó divisor de 64 porque esta contenido en 64 la cantidad de 8
veces. Por lo tanto la parte alícuota es 8.
Número Par:
Es todo número múltiplo de 2
La fórmula general de los número pares es 2n
Número Impar:
Es todo número que NO es múltiplo de 2.
La fórmula general de los números impares es 2n±1
Números perfectos:
Son los números que son iguales a la suma de todos sus factores, excepto
el mismo número. 6, 28 y 496 son números perfectos.
Números amigos:
Son dos números tales que cada uno de ellos es igual a la suma de los
divisores del otro. Ejemplo, 220 y 284.
Propiedades Fundamentales de Números Primos
o Todo número compuesto tiene por lo menos un factor primo
mayor que 1.
o La serie de números primos es ilimitada, o sea que por más
grande sea un número primo, siempre existirá otro primo mayor.
o Si un número primo no divide a otro, necesariamente es primo
con el.
Por ejemplo: El número primo 5 no divide a 11; por lo tanto,
5 y 11 son primos entre sí.
o Todo número que divide a un producto de dos factores y es primo
con uno de ellos, necesariamente divide al otro factor.
Por ejemplo: 5 divide al producto de 8 x 10 = 80. Es primo
con 8 entonces divide a 10.
o Todo número primo que divide a un producto de varios factores,
divide por lo menos a uno de ellos.

7
Por ejemplo: 3 divide al producto de 2 x 5 x 9 = 90. Es
primo con 2 y 5 pero divide a 9.
o Todo número primo que divide a una potencia de un número tiene
que dividir a este número.
Por ejemplo: El número primo 2 divide a 16 que es 42
y
también divide 4.
o Si dos números son primos entre sí, entonces todas sus potencias
también son números primos entre sí.
Por ejemplo: 2 y 3 son primos entre sí entonces dos
potencias cualesquiera de ambos serán primos entre si; es
decir, 8(=23
) 243(=35
) son primos entre sí.
Descomposición en factores primos
Es convertirlo en un producto de factores primos.
o Propiedad de la descomposición en factores primos:
Todo número es igual a un producto de factores primos.
Regla para descomponer un número en sus factores primos
o Se divide el número dado entre el menor de sus divisores primos;
el cociente se divide también entre el menor de sus divisores
primos y así sucesivamente con los demás cocientes, hasta hallar
un cociente primo, que se dividirá entre sí mismo.
Por ejemplo:
Descomponer en sus factores primos el número 12740
• Solución:
o Se divide el número dado 12740 entre el
menor de los divisores primos, el número 2 y
así sucesivamente hasta que se llega al
número 3185 cuyo divisor menor es 5; a
continuación se divide entre 7.
Manera de conocer si un número es primo o no.
Se divide el número entre todos los números primos menores que él y si
se llega, sin obtener cociente exacto a una división inexacta en que el
cociente sea menor ó igual que el divisor, el número dado es primo. Si
alguna división es exacta, el número dado NO es primo.

8
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número
que divide a todos exactamente.
Cálculo del máximo común divisor
1) Se descomponen los números en factores primos.
2) Se toman los factores comunes con menor exponente.
3) Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d.
Método abreviado para hallar el M.C.D.
El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos se puede
hallar rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados entre
un factor común; los cocientes nuevamente entre un factor común y así
sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre sí. El m.c.d. es el
producto de los factores comunes.
Por ejemplo:
Hallar el m.c.d. de 3430, 2450, 980, 4410
3430 2450 980 4410 10
343 245 98 441 7
49 35 14 63 7
7 5 2 9
m.c.d. = 10 X 7
2
= 490

9
Ejemplo práctico 01:
Hallar el M.C.D. de (72, 90,120)
Solución:
1. Factorizamos cada número
72=23
x 32
90=2 x 32
x 5
120=23
x 3 x 5
2. Factores comunes a todos elevados al menor exponente
Los factores son 2 y 3
3. M.C.D. (72, 90,120)=2 x 3=6
Respuesta: M.C.D. (72, 90,120) = 6
Hallar el M.C.D. de (24,36)
Solución:
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8,12
Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18
Como 24 y 36 tienen varios divisores en común: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y el mayor de
ellos es 12, por tanto el M.C.D. (24,36)=12
Respuesta: M.C.D. (24,36)=12

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Hallar el M.C.D de 1800, 420, 1260 y 108
1800 2 420 2 1260 2 108 2
900 2 210 2 630 2 54 2
450 2 105 3 315 3 27 3
225 3 35 5 105 3 9 3
75 3 7 7 35 5 3 3
25 5 1 7 7 1
5 5 1
1
1800 = 2
3
X 3
2
X 5
2
420 = 2
2
X 3
1
X 5
1
X 7
1
1260 = 2
2
X 3
2
X 51
X 7
1
108 = 2
2
X 3
3
Factores comunes = 2
2
x 3
Respuesta: El M.C.D. es 22 x 3 = 12
María quiere dividir una cartulina de 40 cm. de largo y 30 cm. de ancho en
cuadrados iguales, tan grandes como sea posible, de forma que no le sobre
ningún trozo de cartulina.
¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado?
Solución.-
1º Para que no le sobre ningún trozo, calculamos los divisores del 40 y del 30:
divisores del 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40
divisores del 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30
2º Como el ancho y el largo de un cuadrado son iguales, buscamos los
divisores comunes:
Divisores comunes del 40 y del 30: 1, 2, 5 y 10

11
3º Para que el cuadrado sea tan grande como se pueda, escogemos el máximo
divisor común.
m.c.d. (30, 40) = 10
Respuesta: Cada cuadrado hará 10 cm. de lado.
Ejemplo práctico N° 5
Carlos y Luis tienen 25 cuencas blancas, 15 cuencas azules y 90 cuencas rojas
y quieren hacer el mayor numero de collares iguales sin que sobre ninguna
cuenca.
¿Cuantos collares iguales pueden hacer?
¿Que numero de cuencas de cada color tendrá cada collar?
Solución:
El número de collares iguales será el m.c.d. ya que se busca un divisor común
a 25, 15 y 90.
Entonces
25 5 15 3 90 2
5 5 5 5 45 3
1 1 15 3
5 5
1
25 = 52
15 = 3 X 5
90 = 2 x 3 X 5
El M.C.D. = 5
Se pueden hacer 5 collares iguales.
Para hallar el número de cuentas en cada collar se tiene:
25 : 5 = 5 cuencas blancas
15 : 5 = 3 cuencas azules
90 : 5 = 18 cuencas rojas
Ejercicio práctico N° 06
Se compra en una florería 24 rosas y 36 claveles. ¿Cuantos centros de mesa
se puede elaborar si se coloca la máxima cantidad de flores sin que sobre
ninguna?¿Cuantas rosas y claveles se colocan en cada centro de mesa?

12
Si todos los centros de mesa son iguales, el máximo número de centros que
podemos realizar utilizando ambas flores son 12.
Para buscar el número menor a 24 y 36 y que sea divisible por ambos, se
utiliza el M.C.D. Hemos utilizado el m.c.d. ya que buscamos un número menor
a 24 y 36 y que sea divisible entre ambos.
36 ÷12 = 3 claveles en cada centro
24÷12 = 2 rosas en cada centro
24 2 36 2
12 2 18 2
6 2 9 3
3 3 3 3
1 1
24 = 2
3
x 3
36 = 2
2
x 3
2
En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 lts., 360 lts.
y 540 lts. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales.
Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se
pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de
garrafas que se necesitan.
Solución:
250 2 360 2 540 2
125 5 180 2 270 2
25 5 90 2 135 3
5 5 45 3 45 3
1 15 3 15 3
5 5 5 5
1 1
250 = 2 X 5
3
360 = 2
3
X 3
2
X 5
540 = 2
2
X 3
3
x 5
M.C.D. = 2 X 5 = 10
Capacidad de las garrafas = 10 litros.
Número de garrafas de T1 = 250/10 = 25

13
Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.
Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de
modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y,
además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y
el número de cajas necesarias.
Solución:
Calculamos el máximo común divisor.
12028 2 12772 2
6014 2 6386 2
3007 31 3193 31
97 97 103 103
1 1
12028 = 2
2
X 31 X 97
12772 = 2
2
X 31 X 103
M.C.D. = 2
2
X 31 = 124
m. c. d. (12 028, 12 772) = 124
El M.C.D. nos da el número de naranjas que entrará en cada caja.
El valor es 124 naranjas en cada caja.
Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103
Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97
Respuesta: Cajas necesarias = 103 + 97 = 200
Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm
de ancho, en cuadrados lo más grandes posible.
a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera?
Solución:
a) La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y de 96, y
además debe ser el mayor divisor común; luego hay que calcular el m.c.d.
(256, 96).

14
256 2 96 2
128 2 48 2
64 2 24 2
32 2 12 2
16 2 6 2
8 2 3 3
4 2 1
2 2
1
256 = 28
36 = 25
x 3
M.C.D. = 25
= 32
La longitud del lado del cuadrado es de 32 cm.
b) Área de la plancha de madera 256 x 96 = 24.576 cm2
Área de uno de los cuadrados 32 x 32 = 1.024 cm2
De la plancha de madera se obtienen 24 576 ÷ 1.024 = 24 cuadrados
El m.c.d de 600 y 1000 es :
a. 100 b. 200 c. 250 d. 500 e. 600
Se tiene: 600 y 1 000
600 2 1000 2
300 2 500 2
150 2 250 2
75 3 125 5
25 5 25 5
5 5 5 5
1 1
600 = 23 x 3 x 52
1000 = 23 x 53
M.C.D. = 23 x 52 = 200

15
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Mínimo común múltiplo (MCM) es un concepto que se utiliza en la matemática.
El MCM de dos ó más números es el menor número que contiene un número
exacto de veces a cada uno de ellos.
En algunos casos, obtener el MCM es muy sencillo. El primer paso es calcular
los múltiplos de los números y luego buscar la primera equivalencia, yendo de
menor a mayor (es decir, el número más pequeño que es múltiplo de los dos y
que, por lo tanto, aparece en las dos listas de múltiplos que calculamos
previamente).
Cálculo del M.C.M.
Para números pequeños, tiene que ser el múltiplo del mayor de ellos
mirándose si el mayor de los números dados contiene exactamente a los
demás. Si es así, el mayor es el MCM. Si no los contiene, se busca cuál es el
menor múltiplo del número mayor que los contenga exactamente y éste será el
m.c.m. buscado
Ejemplo:
Hallar el m.c.m. de 8 y 4
El número mayor es 8 y contiene exactamente a 4, por lo tanto 8 es el m.c.m.
de 8 y 4.
Ejemplo:
Hallar el m.c.m. de 8, 6 y 4
El número mayor 8 contiene a 4 pero no contiene exactamente a 6
Por lo tanto se deben hallar los múltiplos de 8 que contengan a 6 y a 4; es
decir:
8 x 2 = 16 contiene exactamente a 4 pero NO a 6
8 x 3 = 24 contiene exactamente a 4 y a 6.
Por lo tanto, 24 es el m.c.m. de 8,6 y 4.
Ejemplo:
Hallar el MCM de 3 y 5.
Los múltiplos de cada uno son:
3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33…
5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55…

16
El primer múltiplo común de 3 y 5 es 15 y éste es el valor del M.C.M. pues
contiene exactamente a ambos.
Propiedades básicas:
• El m.c.m. de dos números es igual a su producto dividido entre su m.c.d.
o En efecto, el producto de los dos números es múltiplo de ambos y
los contiene exactamente
El mínimo común múltiplo de dos números primos es el producto de
ambos.
o Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al
mayor, será el mayor.
o Un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no
sería múltiplo del mayor.
El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al
cociente entre su producto y el m.c.d de ellos.
El máximo común divisor de varios números está incluido en el mínimo
común múltiplo.
El m.c.m. de varios números descompuestos en sus factores primos es
igual al producto de los factores primos comunes y no comunes
afectados por su mayor exponente.
Ejemplo:
Si A= 23
x 33
x 5
B= 24
x 32
x 52
x 7
C= 2 x 32
x 11
Hallar el M.C.M.
Solución.-
24
x 33
x 52
x 7 x 11 es común múltiplo de A, B y C porque contiene
todos los factores primos con iguales o mayores exponentes y es el
menor múltiplo común de A. B y C porque cualquier otro producto menor

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debería tener:
a) Algún factor primo de menos en cuyo caso no sería múltiplo del
número que contiene a ese factor ; por ejemplo:
24
x 32
x 52
x 7 es menor que 2 4
x 33
x 52
x 7 x 11 pero no será
múltiplo de C porque no contiene al factor primo 11 presente en la
descomposición de factores de C
Ó
b) Teniendo los mismos factores primos, alguno estaría elevado a algún
exponente menor , en cuyo caso no sería múltiplo del número que
contiene ese factor elevado a un exponente mayor; por ejemplo:
23
x 33
x 52
x 7 x 11 no sería múltiplo de B porque el factor primo
está sólo elevado al cubo y no a la cuarta potencia como es uno de
los factores de B.
Por lo tanto, sin ningún otro número menor que el producto 2 4
x 33
x 52
x
7 x 11 puede ser común múltiplo de A, B y C; entonces 2 4
x 33
x 52
x 7 x
11 es el valor del m.c.m. de los números dados.
Método abreviado para hallar el M.C.M.
El m.c.m. por descomposición de factores se puede hallar más rápido
dividiendo cada uno de los número dados entre su menor divisor y así
sucesivamente con los cocientes hasta obtener como cociente el valor
de 1. El M.C.M. es el producto de todos los divisores primos.
Ejemplo:
Hallar el m.c.m. de 30, 60 y 190.
Dado que 30 es divisor de 60, sólo se considera para el cálculo a 60 y a
190.
60 190 2
30 95 2
15 95 3
5 95 5
1 19 19
1
M.C.M. = 2
2
x 3 x 5 x 19
= 1140

18
Hallar el m.c.m. de 24, 48, 56 y 168
Como 24 es divisor de 48 y 56 de 168 entonces se puede prescindir de
ellos.
Entonces de hallará el m.c.m. de 48 y de 168 porque todo múltiplo de
éstos números será múltiplo de sus divisores 24 y 56.
Ejemplo Práctico N°01
Tres avisos luminosos encienden sus luces de la siguiente manera: el primero
cada 6 segundos, el segundo aviso cada 9 segundos y el tercero cada 15
segundos.
Pregunta: ¿a los cuantos segundos de iniciadas las secuencias encenderán los
tres avisos de forma simultánea?
Solución:
6 9 15 2
3 9 15 3
1 3 5 3
1 1 15 5
1 1 1
A continuación se tiene: 2 * 3* 3* 5= 90
Los tres avisos se encenderán simultáneamente 90 segundos después de
encendido.
48 2 168 2
24 2 84 2
12 2 42 2
6 2 21 3
3 3 7 7
1 1
48 = 2
4
x 3
168 = 2
3
x 3 x 7
M.C.M. = 2
4
x 3 x 7
= 336

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Ejemplo práctico N°02
Hallar el Mínimo Común Múltiplo de 6, 12 y 18
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36 ...
Los múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60 ...
El menor múltiplo común a los tres números es 36.
Entonces el m.c.m. (6, 2,18) es 36.
Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero
cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.
Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.
Solución.-
Debemos tener todos los tiempos en la misma unidad, por ejemplo en
segundos.
12 = 22
x 3
18 = 2 x 32
60 = 22
x 3 x 5
m. c. m. (12 , 18, 60) = 22
x 32
x 5 = 180
180 ÷ 60 = 3 Coinciden cada 3 minutos, por tanto en los 5 minutos siguientes
sólo coinciden una vez. Sólo a las 6.33 h.
Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los
dos en Barcelona.
¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?
Solución.-
18 = 2 x 32
24 = 23
x 3
m. c. m. (18, 24) =23
x 32
= 72
Los viajeros se encontrarán nuevamente dentro de 72 días.
¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48,
en cada caso, da resto 9?
Solución
m. c. m. (15, 20, 36, 48) = 24
x 32
x 5 = 720
720 + 9 = 729

20
Juan tiene la gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas.
Acaba de tomar los dos medicamentos a la vez. ¿De aquí a cuantas horas
volverá a tomárselos a la vez ?
Solución.-
Se busca un número de horas que sea mayor ó igual a 12 horas y que sea
múltiplo de 8 y 12 a la vez.
De todos los múltiplos que cumplen esta condición se requiere el más pequeño
por lo tanto, se desea hallar el m.c.m. (8,12)
8 = 23
12 = 22 x 3
M.C.M.= 23
x 3 = 8 x 3 = 24
Juan volverá a tomar sus medicinas dentro de 24 horas.
Luis y Ana visitan a su abuela cada cierto tiempo. Luis la visita cada 12 días y
Ana cada 15 días. Hoy han coincidido los dos. ¿De aquí a cuantos días
volverán a coincidir en casa de su abuela?
Solución.-
Se busca un número mayor que 15 y que es múltiplo de (contenga
exactamente a) 12 y 15. De todos los múltiplos que cumplen la condición
escogemos el valor más pequeño, por lo tanto, buscamos el m.c.m.
12 = 22
x 3
15 = 3 x 5
M.C.M. (12, 15) = 22
x 3 x 5 = 60
Luis y Ana volverán a coincidir en casa de su abuela dentro de 60 días.
Un autobús A sale cada 6 minutos, el B cada 8 minutos y el C cada 10 minutos.
Si los tres han coincidido en la parada a las 7:00, ¿cuándo volverán a estar los
tres juntos?
Solución.-
Se trata de calcular el mínimo común múltiplo de los tres números:
6 = 2 x 3 x 1
8 = 2 x 3 x 1
10 = 2 x 5 x 1
M.C.M. = 23
x 3 x 5 x 1 = 120
12 2 15 3
6 2 5 5
3 3 1
1

21
Por lo tanto, los tres autobuses vuelven a coincidir 120 minutos (2 horas)
después, es decir, a las 9:00.
El m. c. m de 18; 24 y 15 es:
A. 150 B. 200 C. 300 D. 360 E. 180
Solución:
18 2 24 2 15 3
9 3 2×32 12 2 23×3 5 5 3×5
3 3 6 3 1
1 2 2
1
M.C.M. (18, 24, 15) = (23
)(32
)(5) = 8×9×5 = 360
Tres ómnibus salen de la misma estación terminal en tres direcciones distintas.
El primero tarda 1h 45 minutos en volver al punto de partida, y permanece 15
minutos en la estación.
El segundo tarda 1h 5 minutos y permanece 7 minutos en la estación.
El tercero tarda 1h 18minutos y permanece 12 minutos en la estación.
Se sabe que la primera salida ha tenido lugar a las 6 de la mañana, determine:
a) A que hora volverán a salir juntos de la estación
b) El número de viajes efectuados por cada uno.
Solución.-
En problemas de coincidencia en el tiempo se utiliza el M.C.M. pues se busca
un múltiplo de los números dados.
1º Se desea hallar los tiempos que tardan cada uno de los ómnibus en hacer el
recorrido incluyendo el tiempo de parada y se convertirá a una sola unidad de
medida; es decir a minutos:
Ómnibus 1 = 1h 45' + 15' = 1 h 60' = 2 h = 120 minutos
Ómnibus 2 = 1h 5’ + 7’ = 60’ + 5’ + 7’ = 72 minutos
Ómnibus 3 = 1h 18’ + 12’ = 60’ + 18’ + 12’ = 90 minutos
Se hallará el m.c.m. de (120, 72, 90).
m.c.m. (120, 72, 90) = 360'

22
lo pasamos a horas: 360/60 = 6 horas
a) por tanto, si salieron a las 6 de la mañana, le sumamos 6 horas y volverán a
salir juntos de la estación a las 12 de la mañana.
b) el número de viajes... ¿se entiende en un día completo? si es así,
24 horas son 1440 minutos, por tanto:
el primero hará 1440/120 = 12 viajes en un día
el segundo hará 1440/72 = 20 viajes en un día
el tercero hará 1440/90 = 16 viajes en un día
Otros usos del Mínimo Común Múltiplo:
El MCM puede utilizarse para la suma de fracciones de distinto denominador.
Lo que debemos hacer es considerar el mínimo común múltiplo de los
denominadores de las fracciones y, tras convertirlas en fracciones
equivalentes, sumarlas. En otras palabras, supongamos que debemos sumar
las fracciones 7/15 y 4/10; a simple vista se aprecia que sus denominadores
son diferentes, por lo cual no es posible proceder a sumar sus numeradores.
Para resolver dicha operación, tal y como se ha expresado anteriormente, será
necesario en primer lugar volver compatibles ambas fracciones.
Con ese objetivo, deberemos buscar el mínimo común múltiplo de sus
denominadores, que en este caso es 30. Luego, para convertir sus
numeradores, dividiremos este valor por cada denominador y multiplicaremos
su cociente por el numerador: (30 / 15) * 7 = 14 y (30 / 10) * 4 = 12. Así, con
las fracciones 14/30 y 12/30, sólo queda sumar sus numeradores, lo cual nos
devuelve la fracción 26/30 (nótese que el denominador permanece intacto).
Otro uso del MCM se encuentra en el ámbito de las expresiones algebraicas.
El MCM de dos de estas expresiones equivale a aquélla con el coeficiente
numérico más pequeño y grado inferior que es susceptible de división por
todas las expresiones dadas sin que quede resto.

23
Ejemplo de aplicación del MCM y el MCD.
Hallar el m.c.d y el m.c.m de 24 y de 180
Solución:
Primer Paso: se descompone factorialmente aplicando reglas de divisibilidad:
180 2 24 2
90 2 12 2
45 3 6 2
15 3 3 3
5 5 1
1
Por lo tanto se tiene:
180: 22
x 32
x 5 x 1
24: 23
x 3 x 1
En este caso para hallar el m.c.d se tendrá que escoger “factores comunes
de menor exponente “, del ejemplo se tiene que estos factores son el 2, 3 y 1.
Por lo tanto el m.c.d (24, 180) es : 22
x 3 x 1= 12
En este caso para hallar el m.c.m se tendrá que escoger los “factores
comunes de mayor exponente y no comunes”. En este caso el factor no común
es el 5
El m.c.m (24, 180) es : 23
x 32
x 5 = 360

24
CONCLUSIONES
Las abreviaturas empleadas para designar al Mínimo Común Múltiplo pueden
ser el M.C.M o también m.c.m.
El método más intuitivo para saber cual es el mínimo común múltiplo de varios
números, consiste en calcular los múltiplos de cada número y, el menor
múltiplo común a dichos números será su Mínimo Común Múltiplo.
Ejemplo demostrativo:
Mínimo Común Múltiplo de 6, 12 y 18
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36 ...
El menor múltiplo común a los tres números es 36
Por lo que el m.c.m. (6 , 12 , 18) = 36
Otro procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo, más corto y que
resulta más fácil de utilizar, es la factorización (descomposición en factores
primos) de los números. Para ello, procederemos como sigue:
Realizamos la factorización de los números.
Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
El m.c.m. será el producto de los factores anteriores.
Ejemplo demostrativo:
Por ejemplo hallar el Mínimo Común Múltiplo de 36, 84 y 120
Factorización de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
Factorización de 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 3 x 7
Factorización de 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 23 x 3 x 5
Factores comunes y no comunes, con mayor exponente: 23 x 32 x 7 x 5 = 8 x 9
x 7 x 5 = 2.520
Por tanto, el m.c.m. (36, 84, 120) = 2.520
Por lo tanto se verifica que:
MCD (a, b) x mcm (a , b) = a x b

25
De la igualdad anterior se desprende que también podemos calcular el mínimo
común múltiplo de dos números, dividiendo el producto de los mismos por su
máximo común divisor.
Otro concepto que se aceptaría para hallar el m.c.d. seria el siguiente:
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los
divisores comunes.
Para hallar el máximo común divisor de dos o más números, por ejemplo,
m.c.d. (12, 18), se seguirían estos pasos:
1.°Se descompone cada número en producto de factores primos.
2.°El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el
máximo común divisor de los números dados.
12 2 18 2
6 2 9 3
3 3 3 3
1 1
Por lo tanto se tiene que :
12= 22
x 3
18= 2 x 32
m.c.d. (12, 18) = 2 x 3 = 6

26
Anexo I
Propiedades de la Divisibilidad
Todo número que divide a otros varios, divide a su suma
Por ejemplo:
Sea al número 3 que divide a 6, 9 y 12
6 = 3 x 2
9 = 3 x 3
12 = 3 x 4
Sumando ambos miembros de la igualdad, se tiene:
6 + 9 + 12 = (3 x 2) + (3 x 3 ) + (3 x 4)
= 3 (2 + 3 + 4)
= 3 (9)
Esto implica que la suma de (6 + 9 + 12 = 27) contiene al número 3 nueve
veces.
Por lo tanto, 3 divide a la suma de los números.
Todo número que NO divide a otros varios, divide a su suma; si la
suma de los residuos que resultan de dividir entre el número que no los
divide, es divisible entre este número
Por ejemplo:
7 no divide a 15, ni 37 ni 46
El residuo de dividir 15 entre 7 es 1
El residuo de dividir 46 entre 7 es 4.
La suma de los residuos (1+2+4=)7 es divisible por 7
Entonces:
15 = 7 x 2 + 1
37 = 7 x 5 + 2
46 = 7 x 6 + 4
Sumando las igualdades:
15 + 37 + 46 = (7 x 2 + 1) + (7 x 5 + 2) + (7 x 6 + 4)
= (7 x 2) + (7 x 5) + (7 x 6) + (1 + 2+ 4)
= 7(2 + 5 + 6) + 7
= 7 (13) + 7
En el segundo miembro de la igualdad, 7 divide a (7 x 13) porque éste es
múltiplo de 7 y tambien a 7 porque todo número es divisible por sí mismo.
Entonces, 7 divide a la suma de los números dados.

27
Si un número divide a todos los sumandos de una suma, menos a uno
de ellos, no divide a la suma; y el residuo que se obtiene al dividir la
suma entre el número, es el mismo que se obtiene dividiendo el
sumando no divisible entre dicho número.
Sea el número 5 que divide a 10 y a 20 pero no a 22.
10 = 5 x 2
20 = 5 x 4
22 = 5 x 4 + 2
Sumando miembro a miembro
10 + 20 + 22 = (5 x 2 ) + (5 x 4 ) + (5 x 4 + 2)
10 + 20 + 22 = 5 ( 2 + 4 + 4) + 2
10 + 20 + 22 = (5 X 10) + 2
El segundo miembro de la igualdad nos indica que el número 5 esta
contenido 10 veces pero no exactamente siendo el residuo de la división el
número 2.
Todo número que divide a otro, divide a sus múltiplos
Sea el número 3 que divide a 30
Un múltiplo cualquiera de 30 es 30 x 3 = 90
Es decir 30 x 3 = 30 + 30 + 30
En el segundo miembro de la igualdad 3 divide a todos los sumandos por lo
tanto dividirá a su suma. Por lo tanto 3 divide a 30.
Todo número que divide a otros dos, divide a su diferencia
Sea el número 5 que divide a 10 y a 25
Entonces:
25 = 5 x 5
10 = 5 x 2
Restando miembro a miembro:
25 – 10 = (5 x 5) – (5 x 2)
= 5 (5 – 2)
= 5 ( 3 )
Este resultado indica que la diferencia de (25 – 10 = 15) contiene a 5 tres
veces; es decir, 5 divide a 15.

28
Todo número que no divide a otros dos, divide a su diferencia si los
residuos por defecto que resultan de dividir estos dos números entre el
número que no los divide son iguales.
Sea el número 5 que no divide a 24 ni a 19.
El residuo por defecto de dividir 24 entre 5 es 4; es decir 24 = 5 x 4 + 4
El residuo por defecto de dividir 19 entre 5 es 4; es decir 19 = 5 x 3 + 4
Restando miembro a miembro
24 – 19 = (5 x 4) + 4 – {(5 x 3) + 4}
= 5 (4 – 3)
24 – 19 = 5 (1)
Por lo tanto la diferencia de (24 – 19 = 5) contiene a 5 en 1 vez; por lo tanto 5
divide a la diferencia.
Todo número que divide a la suma de dos sumandos y a uno de estos,
tiene que dividir al otro sumando
Sea la suma 8 + 10 = 18.
El número 2 divide a 18 y a 10
Por la propiedad de que Todo número que divide a otros dos, divide a su
diferencia entonces:
8 + 10 – 10 = 18 – 10
8 = 18 – 10
Entonces como 2 divide a la diferencia entonces divide a 8
Todo número que divide a uno o dos sumandos y no divide al otro, no
divide a la suma
Sea la suma 4 + 13 = 17. El número 2 divide 4 pero NO a 13
Entonces 17 – 4 = 13. Si 2 dividiera a 13 como lo hace con 4 entonces tendría
que dividir a la diferencia y es no lo es pues 2 no divide a 13.
Todo número que divide al dividendo y al divisor de un a división
inexacta, divide al residuo
Sea la división 24 = (9 x 2) + 6, donde 24 es el dividendo; 9 es el divisor; 2 es el
cociente; 6 es el residuo
El número 3 divide al dividendo y al divisor
Entonces 24 – (9 x 2) = 6
Si 3 divide 24 y a 9 entonces 3 divide a los múltiplos de 9 es decir a (9x2) que
es un múltiplo de 9.
Si 3 divide a la diferencia (24 – 18) entonces divide a 6 el resultado de esa
diferencia.

29
Todo número que divide al divisor y al resto de una división inexacta,
divide al dividendo.
Sea la división: 28 = 8 (3) + 4
El número 2 divide al divisor (=8) y al residuo (=2)
Si 2 divide al divisor 8 también divide a sus múltiplos en este caso a 8(3)
Y 2 divide a 4 porque es múltiplo de él.
Y por la propiedad que Todo número que divide a otros varios, divide a su
suma; entonces 2 divide a 28.
Divisibilidad por 2:
Un número es divisible por 2 cuando termina en cero ó en cifra par.
Todo número entero es igual a un múltiplo de 3 más la suma de los valores
absolutos de sus cifras.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus
cifras es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son cero ó forman
un múltiplo de cuatro.
Un número es divisible por 5 cuando termina en cero ó en cinco.
Divisibilidad entre 7:
Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha,
multiplicándola por 2, restando este producto de lo que le queda a izquierda y
así sucesivamente, da cero ó múltiplo de 7.
Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras de a derecha son
ceros ó forman un múltiplo de 8
Divisibilidad entre 9
Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus
cifras es múltiplo de 9.

30
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores
absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de
sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero ó múltiplo de 11.
Un número es divisible por 13 cuando, separando la primera cifra de la
derecha, multiplicándola por 9, restando este producto de lo que le queda a
izquierda y así sucesivamente, da cero ó múltiplo de 13.
Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras de la derecha son
ceros ó forman un múltiplo de 25
Divisibilidad por 125
Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras de la derecha
son ceros ó forman un múltiplo de 25
BIBLIOGRAFÍA:
“Matemática Superior”. Autor : Editorial Santillana, 2012. Lima, Perú.
“La matemáticas básicas” . Autor: Editorial Corefo, 2012 . Lima, Perú.
“Matemática fácil con Baldor – Aritmética. Autor: Editorial Septiembre, 2010,
Lima, Perú
Webgrafía:
http://matematica1.com/category/aritmetica-de-baldor/

Máximo Común Divisor (mcd) y Mínimo Común Múltiplo (mcm)

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