Este documento describe los diferentes tipos de números y sus propiedades. Introduce los números naturales, enteros, racionales e irracionales, y explica cómo estos conjuntos forman los números reales. También cubre temas como sistemas numéricos, números primos y compuestos, expresiones decimales, y propiedades de la suma, multiplicación y orden de los diferentes tipos de números.

1. 1. Sistemas Numéricos
1.1. Números.
Son usados en la cotidianidad para representar cantidades conocidas y
determinadas. El símbolo de un número es llamado comúnmente cifra o
numeral, y expresan una determinada cantidad. Los números se pueden
clasificar debido a sus características como se mostrará a continuación.
1.1.1. Números Cardinales.
Indican la cantidad de elementos que contiene un determinado
conjunto. Por ejemplo los conjuntos {A, B, C, D} y {1, 2,3, 4} no son
iguales pero tiene el mismo valor de número cardinal llamado cuatro.
1.1.2. Números Primos.
Un número primo es aquel que solo es divisible por él mismo y por la
unidad (1). Por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. El único número
que cumple con la propiedad de ser par y primo es el número dos.
1.1.3. Números Compuestos.
Un número compuesto es todo número natural no primo. Es decir
aquel número que tiene uno o más divisores, diferentes de sí mismo
y de la unidad. Por ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc. De igual forma
tiene otra característica relevante y es que se pueden escribir como
el producto de dos enteros menores que el. De ésta forma el número
4 es compuesto ya que se puede expresar como 2 x 2; el número 10
es compuesto debido a que se puede expresar como 2 x 5, entre
otros.

2. 1.1.4. Teorema Fundamental de la Aritmética
El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número
entero n mayor que uno, se puede representar de forma única,
sin importar el orden, como un producto de números primos.
Ejemplo 1.1
Representar en factores primos el número 240.
Solución: Se empieza buscando el divisor primo más pequeño del
número 240 como:
240= 2 x 120
El divisor más pequeño es el 2. Se efectúa el mismo procedimiento
de manera sistemática así:
120= 2 x 60
60= 2 x 30
30= 2 x 15
15 = 3 x 5
5 = 1 x 5
De ésta forma, solo restaría sustituir el valor de cada igualdad:
240= 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 ó expresado en términos de cocientes:
240= 24
𝑥 3 𝑥 5
Comúnmente estos cálculos se expresan de la siguiente forma:

3. 240 2
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Visto de éste modo podemos decir que no existe otra forma para
simplificar en términos de números primos el ejemplo anterior. Como
la multiplicación es conmutativa podemos afirmar que el orden es
irrelevante y el enunciado del teorema se cumple a cabalidad.
Ejemplo 1.2
Representar en factores primos el número 680.
Solución: ejecutamos los mismos pasos del ejemplo 1.1. Se empieza
buscando el divisor primo más pequeño del número 680 como:
680= 2 x 340
El divisor más pequeño es el 2. Se efectúa el mismo procedimiento
de manera sistemática así:
340= 2 x 170
170= 2 x 85
85= 5 x 17
17 = 1 x 17
De ésta forma, solo restaría sustituir el valor de cada igualdad:
680= 2 x 2 x 2 x 5 x 17 ó expresado en términos de cocientes:
680= 23
𝑥 5 𝑥 17
Expresando los cálculos de forma tradicional tendríamos:

4. 680 2
340 2
170 2
85 5
17 17
1
1.2. Números Naturales.
Los números naturales se denotan con la letra N, son los que normalmente
usamos para contar. No poseen parte decimal y son aquellos que poseen la
propiedad de ser positivos, es decir:
N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…}
Adicionalmente su estructura algebraica la representan dos operaciones,
puesto que al realizar las operaciones suma y multiplicación con dos o más
números N, el resultado será otro número N. Para dos números cualquiera
a, b, su suma se representa como a + b y su multiplicación o producto como
a x b, a.b o ab.
1.2.1. Propiedades de los Números Naturales
A continuación se describirán las propiedades fundamentales de los
números naturales, teniendo en cuenta que a, b, c, son números N.
 Propiedad Asociativa de la suma:
(a + b)+ c= a + (b + c)
 Propiedad Conmutativa de la Suma:
a + b = b+ a
 Propiedad Asociativa del producto:
(a.b).c =a.(b.c)
 Propiedad Conmutativa del Producto:

5. a.b = b.a
 Elemento Neutro o Identidad en el Producto:
1.a = a.1 = a
 Propiedad Distributiva del producto con respeto a la Suma:
a.(b + c) = a.b + a.c
1.2.2. Orden de los Números Naturales
En los números N se puede comparar el tamaño de dos o más
números cualquiera que éstos sean. Es decir si a≠b indica que a es
diferente de b. Lo que nos podría indicar que a<b o a>b, que se lee a
es menor que b o a es mayor que b respectivamente o bien: a≤b o
a≥b que se leería a es menor o igual que b y a es mayor o igual a b
respectivamente. Es decir el orden de los números se puede
expresar mediante el uso de los siguientes símbolos:
 < menor que
 > mayor que
 ≤ menor o igual que
 ≥ mayor o igual que
De éstas relaciones de orden y teniendo en cuenta que a, b, c son
números N, podemos establecer las siguientes propiedades:
 Propiedad Reflexiva:
a ≤ a
 Propiedad Antisimétrica:

6. Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b
 Propiedad Transitiva:
Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c
 Propiedad de orden Total:
Siempre a ≤ b o b ≤ a.
El orden de los números N no es ajeno a la suma y al producto, por
lo tanto: a>b si y solo si a= b + c.
1.3. Números Enteros.
Si agregamos a los números N sus inversos aditivos y el cero, obtendremos
de esta manera los números enteros. Se denotan por la letra Z.
Z= {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
1.3.1. Propiedades de los Números Enteros
Los números Z también cumplen con las propiedades de la suma y la
multiplicación de los números N, y además:
 Elemento Neutro para la suma:
Existe un número entero, que se denota por 0, tal que: 0 + a =
a + 0= a para cualquier entero a.
 Elemento opuesto para la Suma:
Para cada número entero a existe otro número entero (Solo
uno), que denotamos por –a tal que:
-a + a = a + (-a) = 0

7. 1.3.2. Orden de los Números Enteros
Para las relaciones de orden y teniendo en cuenta que a, b, c son
números Z, podemos establecer las siguientes propiedades:
 Relación de orden con la Suma:
Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + a
 Relación del orden con el producto por números positivos:
Si a ≤ b y c ≥ 0, entonces a.c ≤ b.c
Para clarificar un poco los conceptos veremos un par de ejemplos
ilustrativos de los números enteros, aplicando sus operaciones más
básicas.
Ejemplo 1.3.
Sumar: 1 + (-4) + 8
Solución: antes de proceder a ejecutar la suma primero
desarrollamos los valores de los signos, de esta manera:
+ . + = +
+ . - = -
En consecuencia: 1 – 4 + 8= 5
Ejemplo 1.4.
Realizar la siguiente operación entre números Z.
7. (8 + 5) + (-9)
Solución: 7.8 + 7.5 -9
=56 + 35 – 9 = 91 – 9= 82

8. De otra forma seria:
7. 13 – 9
= 91- 9 = 82
1.4. Números Racionales
Son los números que se pueden representar como el cociente de dos
números Z, con denominador diferente de 0, es decir,
𝑎
𝑏
con b≠0. Los
números racionales se denotan por la letra Q.
Q= {
1
2
,
4
4
,
−10
5
,
20
10
, …}
1.4.1. Propiedades de los Números Racionales
 Conmutativa de la suma:
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑐
𝑑
+
𝑎
𝑏
 Asociativa de la suma:
𝑎
𝑏
+ (
𝑐
𝑑
+
𝑒
𝑓
) = (
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
) +
𝑒
𝑓
= (
𝑎
𝑏
+
𝑒
𝑓
) +
𝑐
𝑑
 Asociativa en la Multiplicación:
𝑎
𝑏
𝑥 (
𝑐
𝑑
𝑥
𝑒
𝑓
) = (
𝑎
𝑏
𝑥
𝑐
𝑑
) 𝑥
𝑒
𝑓
 Distributiva de la Multiplicación respecto a la suma:
𝑎
𝑏
𝑥 (
𝑐
𝑑
𝑥
𝑒
𝑓
) = (
𝑎
𝑏
𝑥
𝑐
𝑑
) + (
𝑎
𝑏
𝑥
𝑒
𝑓
)
Ejemplo 1.5.
Sumar: (
2
3
+
12
3
)

9. Solución: Podemos observar que el denominador es común para las
dos fracciones, por tanto se procede sumando los numeradores y
dejando el denominador común.
=(
14
3
)
Ejemplo 1.6.
Sumar: (
5
7
+
12
3
)
Solución: Se sigue la siguiente indicación: (
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
) = (
𝑎.𝑑+𝑏.𝑐
𝑏.𝑑
) , por lo
tanto:
(
5
7
+
12
3
) = (
5.3 + 7.12
7.3
)
(
15 + 84
21
) = (
99
21
)
Ejemplo 1.7.
Realizar la siguiente resta:
(
5
7
−
12
3
)
Solución: Se multiplica la primera fracción por 3 y la segunda fracción
por 7 con el fin de obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m), en éste
caso 21.
(
5
7
−
12
3
) = (
5.3 − 12.7
7.3
)
(
15 − 84
21
) = (
−69
21
)
La fracción
−69
21
es una fracción que se puede simplificar, dividiendo
tanto numerador como denominador por un determinado valor, en
este caso seria 3:

10. Es decir
−69
3
= −23 y
21
3
= 7. Constatamos que no se pueda simplificar
más y consignamos la respuesta:
(
−69
21
) =
−23
7
1.5. Números Irracionales
Las magnitudes que no pueden ser medidas por ningún número
entero o ningún número fraccionario, son llamadas
Inconmensurables y los números que se originan para medir dichas
cantidades son los llamados Irracionales.
Por ejemplo, la razón del perímetro de una circunferencia a su
diámetro es un número irracional es decir, 𝜋=3,142592…Otro
ejemplo seria, √2=1,414213…
A su vez los números irracionales se pueden clasificar como:
1.5.1. Números Algebraicos
Son aquellos números producto de una ecuación algebraica
representados por radicales finitos libres o anidados. Por
ejemplo: √2,
√3+√3
4
, entre otros. Es decir cualquier radical no
exacto de cualquier orden es un número irracional algebraico.
1.5.2. Números Trascendentes
Son aquellos números que no pueden representarse mediante
radicales libres o anidados, provienen de las funciones
llamadas trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales. De ésta forma el número pi y e, son
irracionales trascendentes ya que no se pueden expresar
mediante radicales. Los irracionales trascendentes también
surgen de consignar números decimales no periódicos sin un

11. patrón definido, por ejemplo: 3,1234560259310… o
0,10100110010111…
1.6. Números Reales
A su vez los números conformados por el conjunto de los números
Irracionales y el conjunto de los números racionales se denominan
números Reales, como se muestra a continuación:
Se denotan con la letra R, y satisfacen las siguientes leyes para la
suma y la multiplicación:
 Ley Conmutativa
a + b = b + a
a.b = b.a
 Ley Asociativa

12. a + (b + c) = (a + b) + c
a.(b.c) = (b.c).a
 Ley Distributiva
a.(b + c) = a.b + a.c
 Elemento Neutro
a + 0 = a
a.1 = a
 Inverso
a + (-a) =0
a.𝑎−1
=1
1.6.1 Propiedades de Orden
 Tricotomía
Si a y b son dos números R, se cumple una y sólo una de las
siguientes propiedades:
a<b o a = b o a>b
 Transitividad
a<b y b<c → a<c
 Aditiva
a<b ↔ a + c < b + c
 Multiplicativa
Cuando c es positivo: a<b ↔ a.c < b.c
Cuando c es negativo: a<b ↔ a.c > b.c

13. No obstante vale la pena puntualizar acerca de los símbolos
anteriormente expuestos:
↔ Equivalencia, puede leerse como “es equivalente a” o “si y
solo si”
→ Implicación.
1.7. Expresiones Decimales
Los números racionales e irracionales se pueden representar
mediante expresiones decimales. Los racionales mediante
expresiones decimales periódicas, es decir, en las que hay una
determinada combinación de dígitos que se repiten indefinidamente.
Además los números irracionales se representan mediante
expresiones decimales infinitos no periódicos.
De igual forma existen varios tipos de expresiones decimales como:
1.7.1. Expresión Decimal Exacta
Son aquellos que poseen una cantidad exacta de dígitos
después de la coma decimal o dicho de otra forma, un número
finito de cifras decimales. Por ejemplo:
5
2
= 2,5
1.7.2. Expresión Decimal Periódica
Son aquellos cuyas cifras decimales se repiten, reciben el
nombre de periodo y se denota con un arco que abarca dicho
periodo (^). Pueden existir expresiones periódicas de dos
tipos: Expresiones Decimales Periódicas Puras y Expresiones
Decimales Periódicas Mixtas.
 Expresiones Periódicas Puras
El periodo comienza inmediatamente después de la coma
decimal, como se muestra a continuación:

14. 50
22
= 2,272727…
Como podemos observar el periodo 27, inicia inmediatamente
después de la coma por lo tanto representa una expresión
periódica pura y se representa como: 2,27̂
 Expresiones Periódicas Mixtas
Si el periodo no comienza inmediatamente después de la
coma decimal, es una expresión periódica mixta como se
muestra a continuación.
23
12
= 1,91666…
De lo anterior vemos que el periodo es 16 pero no inicia
después de la coma sino después de una cifra llamada ante
periodo denotada para el ejemplo como 91. De ésta forma la
expresión periódica mixta se representaría así: 1,916̂