Un breve artículo sobre las simetrías de Lie en S-sistemas. Uno de mis primeros artículos no publicados.

1. B´usqueda de Simetr´ıas en S-Sistemas
Enrique D´ıaz Ocampo
aVicente Guerrero 83 Morelos CP 62577, Morelos M´exico
Abstract
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Keywords: S-sistemas, Simetr´ıas, Ecuaciones diferenciales
2020 MSC: 00-01, 99-00
1. Introducci´on
Una manera de estudiar los fen´omenos biol´ogicos pueden ser mediante sis-
temas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, estos son de la forma
dXi
dt
= fi(X1, ..., Xn, t) i ∈ 1, ..., n (1)
es decir, cada ecuaci´on diferencial est´a asociada a una funci´on f que no es lineal.5
Entre la gran cantidad de formas que puede tomar dicha funci´on, la aproxima-
ci´on por ley de potencias ha mostrado que el comportamiento cualitativo de las
soluciones es significativamente similar al visto en poblaciones celulares Koma-
rova et al. (2003). Los S-Sistemas son un tipo especial de ecuaciones diferenciales
utilizado en la biolog´ıa ´osea Komarova et al. (2003); Jerez & Camacho (2018)10
dXi
dt
= αi
n
j=1
Xj
gij
− βi
n
j=1
Xj
hij
, i ∈ 1, ..., n (2)
con Xi, αi, βi ≥ 0 para toda i ∈ {1, .., n}, y los exponentes con doble ´ındice
pueden ser cualquier real. Cada ecuaci´on del sistema est´a compuesta por la
resta de dos productos expresados por ley de potencias.
Dada la complejidad de estos sistemas, se utilizan tecnicas m´as sofisticadas para
el estudio de sus soluciones, por ejemplo los Grupos de simetr´ıas de Lie de un15
par´ametro Kilmister & Hydon (2001).
Preprint submitted to Journal of LATEX Templates 10 de marzo de 2020

2. Objetivo general de investigaci´on Dado un S-Sistema, determinar bajo que
condiciones existen simetr´ıas r´ıgidas.
1.1. Justificaci´on
El estudio de las propiedades de los S-Sistemas brinda la oportunidad de20
poder emplearlos en m´as modelaciones. Si bien se han hecho trabajos soobre bajo
que condiciones un S-sistema posee simetr´ıas Voit (1992), es necesario considerar
un estudio m´as amplio para poder brindar distintas simetr´ıas del sistema y
por ende encontrar coordenadas can´onicas que nos permitan transformar las
ecuaciones 2 en unas m´as sencillas para su implementaci´on computacional.25
2. Teor´ıa
2.1. Marco te´orico
Daremos unas definiciones elementales para empezar a trabajar las simetr´ıas.
Definici´on 2.1. Sea B ⊂ Rn
definido por una ecuaci´on algebr´aica. Una trans-
formaci´on Γ : B → B que a cada (x1, ..., xn) lo manda en ˆx(x 1, ..., xn que30
satisface
1. La transformaci´on preserva la estructura de B.
2. La transformaci´on es un difeomorfismo de Clase C∞
.
es una simetr´ıa.
Para dar un ejemplo de simetr´ıa, podemos tomar el conjunto35
B = {(x, y) ∈ R2
|x2
+ y2
= 1},
y mediante la transformaci´on rotaci´on
(ˆx, ˆy) = (x cos(θ) − y sin(θ), x sin(θ) + y cos(θ)),
podemos ver que cada punto lo rota un ´angulo θ pero aun sigue perteneciendo
a B. A este tipo de simetr´ıas se les conoce como simetr´ıas discretas pues no
dependen de un par´ametro real. De las simetr´ıas no discretas nos interesan las
de Lie.40
2

3. Definici´on 2.2. Suponga que B ⊂ Rn
y posee un conjunto infinito de simetr´ıas
dependientes de un par´ametro ∈ R tales que Γ : B → B, (x1, ..., xn) lo manda
en ˆx(x 1, ..., xn, ) y cumplen que
1. Γ0 es la trasnformaci´on trivial, es decir lo manda en ˆx(x 1, ..., xn, 0) =
(x1, ..., xn).45
2. Γ es una simetr´ıa para alguna vecindad del cero.
3. Γδ ◦ Γ = Γδ+ es una simetr´ıa para δ, en una vecindad del cero.
4. Cada funci´on coordenada de Γ puede ser representada como una serie de
Taylor en de orden 1 en alguna vecindad del cero, es decir
ˆxi(x1, ..., xn, ) = xi +
∂ˆx
∂
(x1, ..., .xn, 0) + O( 2
).
Dicho conjunto se llamar´a grupo de simetr´ıas de Lie de un par´ametro.50
Un ejemplo que cumple la definici´on dos es el siguiente
B = (x, y)|y = y(x) + c,
dy
dx
=
x2
+ y2
xy
, (ˆx, ˆy) = (e x, e y).
Dado que cada simetr´ıa es esencialmente un difeomorfismo, entonces se cumple
que son invertibles y por lo tanto es verdadera la siguiente proposici´on.
Proposici´on 2.1. Si B ⊂ R2
y posee un grupo de simetr´ıas de Lie de un
par´ametro, entonces toda simetr´ıa cumple que su Jacobiano es distinto de cero,55
es decir
ˆxx ˆxy
ˆyx ˆyy
= ˆxx ˆyy − ˆxy ˆyx = 0. (3)
Si solo consideramos las curvas soluci´on de una ecuacion diferencial ordinaria
de la forma
dy
dx
= ω(x, y), (4)
con ω ∈ C1
, esto es, nos restringimos al conjunto
C = (x, y)|y = y(x) + c,
dy
dx
= ω(x, y), c ∈ R , (5)
entonces tenemos que la transformaci´on (ˆx, ˆy) est´a en funci´on de x, es decir60
(ˆx, ˆy) = (ˆx(x, y), ˆy(x, y)) = (ˆx(x, y(x)), ˆy(x, y(x))), (6)
3

4. por lo tanto usando la regla de la cadena tenemos
dˆy
dˆx
=
dˆy
dx
dˆx
dx
=
∂ˆy
∂x + ∂ˆy
∂y
dy
dx
∂ˆx
∂x + ∂ˆx
∂y
dy
dx
=
ˆyx + ˆyyω(x, y)
ˆxx + ˆxyω(x, y)
= ω(ˆx, ˆy). (7)
La ecuaci´on (7) se conoce como la condici´on de simetr´ıa, y mediante ella pode-
mos determinar comportamientos de ω. Las siguientes proposiciones se deducen
usando dicha ecuaci´on y derivando con respecto a en cero.
Proposici´on 2.2. Si la ecuaci´on diferencial (4) posee la siguiente simetr´ıa de65
Lie (ˆx, ˆy) = (e x, e y), entonces ω cumple que
ωxx + ωyy = 0. (8)
Proposici´on 2.3. Si la ecuaci´on diferencial (4) posee la siguiente simetr´ıa de
Lie (ˆx, ˆy) = (x + , y + ), entonces ω cumple que
ωx + ωy = 0. (9)
Proposici´on 2.4. Si la ecuaci´on diferencial (4) posee la siguiente simetr´ıa de
Lie (ˆx, ˆy) = (x, y + ), entonces ω cumple que70
ωy = 0. (10)
Tomemos ahora un punto (x0, y0) ∈ C de (5), es posible que una simetr´ıa
tenga un punto fijo en (x0, y0). Dichos puntos se conocen como invariantes y
mediante ellos podemos obtener soluciones particulares de (4).
Definici´on 2.3. Un punto invariante es aquel que no es modificado por la si-
metr´ıa de Lie, esto es75
(ˆx, ˆy) = (x, y),
para todo ∈ (−δ, δ).
Definici´on 2.4. Si (x0, y0) ∈ C de (5) es un punto no invariante definimos la
´Orbita que pasa por (x0, y0) como
Orb = {(ˆx, ˆy)|ˆx = ˆx(x0, y0, ), ˆy = ˆy(x0, y0, ), (ˆx(x0, y0, 0), ˆy(x0, y0, 0)) = (x, y)}
(11)
4

5. Definici´on 2.5. Dado un punto no invariante(x0, y0) de una ´Orbita, el vector
tangente a dicha ´orbita que pasa por el punto (ˆx, ˆy) es80
(ξ(ˆx, ˆy), η(ˆx, ˆy)) =
∂ˆx
∂
,
∂ˆy
∂
. (12)
El vector tangente a (x0, y0) es
(ξ(x, y), η(x, y)) =
∂ˆx
∂ =0
,
∂ˆy
∂ =0
. (13)
De las definiciones anteriores podemos demostrar las siguientes proposiciones
Proposici´on 2.5. Un punto (x, y) es invariante si y s´olo si el vector tangente
a la ´orbita en el punto (x, y) es (0,0).
Proposici´on 2.6. Todos los puntos de una curva C como en (5) son invarian-85
tes si y s´olo si la tangente a la curva C en cada punto (x,y) es paralela al vector
(13).
Mediante las proposiciones anteriores podemos construir la siguiente propie-
dad que nos permite determinar si una simetr´ıa es trivial.
Proposici´on 2.7. Una simetr´ıa de Lie es trivial, es decir es la funci´on identi-90
dad si se cumple que
Q(x, y, ω(x, y)) = −ξ(x, y)w(x, y) + η(x, y) = 0, (14)
para todo punto (x,y) en C.
Por ´ultimo definiremos las coordenadas can´onicas que nos permiten trasformar
la ecuacion ((4)) es un sistema m´as sencillo.
Definici´on 2.6. Dado un grupo de Lie de un par´ametro de un conjunto C como95
en ( (5)), si existe una transformacion (r, s) = (r(x, y), s(x, y)) tales que
(ˆr, ˆs) = (r(ˆx, ˆy), s(ˆx, ˆy)) = (r(x, y + ), s(x, y + )) = (r, s + ), (15)
ξ(x, y)rx + η(x, y)ry = 0,
ξ(x, y)sx + η(x, y)sy = 1,
(16)
rxsy − rysx = 0, (17)
5

6. se llamar´an coordenadas can´onicas.
3. Resultados
3.1. Procedimiento para construir coordenadas can´onicas
La primer integral de (4) es una funci´on no constante φ(x, y) cuyo valor es100
constante en cualquier soluci´on de la ecuaci´on y por tanto
0 =
partialφ(x, y(x))
∂x
= φx + φy
dy
dx
= 0, (18)
con φy = 0.
Con el m´etodo de las caracter´ısticas podemos resolver ((17)) para obtener la
siguiente ecuaci´on
dx
ξ(x, y)
=
dy
η(x, y)
= ds. (19)
De este modo si ξ(x, y) = 0, entonces tenemos que105
dy
dx
=
η(x, y)
ξ(x, y)
(20)
r = φ(x, y(x)) = c. (21)
Obteniendo a r, podemos construir a y como una funci´on de r y x, entonces
s(r, x) =
dx
ξ(x, y(r, x)) r=r(x,y)
(22)
3.2. Procedimiento general para resolver una ecuacion diferencial ordinaria
mediante simetrias de Lie de un par´ametro
Dada una ecuaci´on diferencial (4), buscaremos simetr´ıas mediante la ecua-110
ci´on (7) o (14).
Luego aplicando la ecuaci´on (7) en las coordenadas (r, s) y escribiendo a (x, y)
en t´erminos de (r, s) tenemos
ds
dr
= Ω(r, s), (23)
6

7. como (r,s) son coordenadas canonicas, por la proposici´on 2.4 tenemos que
ds
dr
= Ω(r), (24)
as´ı, la soluci´on de la ecuaci´on (4) es115
s(x, y) −
r(x,y)
Ω(r)dr = c. (25)
4. Discusi´on
Las herramientas expuestas en el trabajo son ´utiles en ecuaciones diferen-
ciales ordinarias. La extensi´on a m´as dimensiones es posible mediante grupos
de Lie de varios par´ametros. No obstante la teor´ıa necesaria para trabajar esos
temas sobrepasa los limites de este trabajo. Sin embargo es posible determinar120
ciertas propiedades de un S-sistema de una dimensi´on
dy
dx
= αyg
− βyh
, (26)
tales como
ˆyx + ˆyy(αyg
− βyh
)
ˆxx + ˆxy(αyg − βyh)
= αˆyg
− βˆyh
,
donde podemos trabajar casos especiales cuando ˆyx = ˆxx = 0.
5. Conclusiones
La teor´ıa de grupos de Lie de un par´ametro busca caracter´ızar soluciones125
de ecuaciones diferenciales. Sus aplicaciones requieren de un avanzado nivel de
matem´aticas sobre teoria de Algebras de Lie, as´ı como Teor´ıa de Ecuaciones
parciales. Un estudio m´as complejo podr´ıa desarrollar t´ecnicas m´as sencillas
para el estudio de los S-sistemas.
Referencias130
Jerez, S., & Camacho, A. (2018). Bone metastasis modeling based on the in-
teractions between the BMU and tumor cells. Journal of Computational and
7

8. Applied Mathematics, 330, 866–876. URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.
cam.2016.12.026. doi:10.1016/j.cam.2016.12.026.
Kilmister, C. W., & Hydon, P. E. (2001). Symmetry Methods for Differential135
Equations: A Beginners Guide volume 85. doi:10.2307/3621809.
Komarova, S. V., Smith, R. J., Dixon, S. J., Sims, S. M., & Wahl, L. M.
(2003). Mathematical model predicts a critical role for osteoclast auto-
crine regulation in the control of bone remodeling. Bone, 33, 206–215.
doi:10.1016/S8756-3282(03)00157-1.140
Voit, E. O. (1992). Symmetries of S-systems. Mathematical Biosciences, 109,
19–37. doi:10.1016/0025-5564(92)90050-7.
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