Este documento proporciona una introducción a los números complejos. Comienza con una breve historia de los números complejos desde Herón de Alejandría hasta Euler. Luego explica cómo se definen y representan los números complejos, cómo se pueden operar y algunas de sus propiedades. Finalmente, discute aplicaciones de los números complejos en ingeniería, física y otras áreas, y explica la fórmula de Euler que relaciona los números complejos con la trigonometría.

1. Leonhard Paul Euler
NÚMEROS
COMPLEJOS
Martti Oliva - Números complejos 1

2. Índice
1. Historia
2. Números complejos
a. Definición
b. Representación
c. Operar con números complejos
d. Números complejos de forma polar
e. Propiedades interesantes
3. Aplicaciones de los números complejos
4. Fórmula de Euler y trigonometría
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3. 1. Historia
Durante todo el transcurso de primaria y secundaria, hemos oído hablar de unos números un tanto
complejos e inexplicables hasta ese momento. Pero al comenzar 1º de Bachillerato, podemos
observar que en los libros de matemáticas, ha aparecido un nuevo tema en concreto: Números
Complejos.
Antes de profundizar en la historia de los números, es bueno saber que son. Existen ecuaciones
que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Por ejemplo, la ecuación x2 + 9 = 0
no tiene solución real, ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado dé -9.
Para comenzar, debemos conocer el origen de los números complejos. La primera referencia que
se encontró de los números complejos fue en la obra Estereometría de Herón de Alejandría,
alrededor de la mitad del siglo I. En un fragmento, aparece la raíz cuadrada de un número
negativo.
La siguiente referencia sobre los números complejos se data en el año 275 en la obra de
Diophantus, Arithmetica. En su intento de calcular los lados de un triángulo rectángulo de
perímetro 12 y área 7, Diophantus planteó resolver la ecuación 336 x2 + 24 = 172 x, ecuación de
raíces complejas.
La primera explicación a estos números la dan los matemáticos hindúes. Mahavira, en el año
850, comentó en su tratado de los números negativos la primera definición:
“como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por
tanto no puede tener raíz cuadrada”.
Posteriormente, Bhaskara, en 1150, hacía referencia en su libro Lilavati a la inexistencia de la raíz
cuadrada de un número negativo de esta forma:
“El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de
un número positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz
cuadrada de un número negativo ya que un número negativo no es un cuadrado.”
Primeros estudios: S. XVI
En 1545, Jerome Cardan, matemático, físico y filósofo italiano, publicó “Ars Magna” en el cual
describe un método para resolver ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro. Esta obra
se convertía así en el mayor tratado de álgebra desde los Babilonios, 3000 años antes, que
dedujeron cómo resolver la ecuación de segundo grado. Un problema planteado por Cardan en su
trabajo es el siguiente:
“Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente
que esta cuestión es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente
forma.”
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4. 1. Historia
Fue el ingeniero hidráulico Rafael Bombelli, unos treinta años después de la publicación
de la obra de Cardan, quien introdujo un razonamiento a las conclusiones de Cardan. Este
razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli
desarrolló un cálculo de operaciones con números complejos que se ajusta a los que conocemos
en la actualidad.
A principios de 1620, Albert Girard sugirió que las ecuaciones de grado n tenían n raíces.
René Descartes, que bautizó con el nombre de imaginarios a estos números, apuntó también que
toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado, aunque alguna de ellas podían ser
números imaginarios.
Los números complejos fueron ampliamente utilizados en el siglo XVIII. Leibniz y Johan
Bernoulli usaron números imaginarios en la resolución de integrales.
Los números complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por Jean D'Alembert
en hidrodinámica y por Euler, D’Alembert y Joseph-Louis Lagrange en pruebas erróneas del
teorema fundamental del álgebra. Euler fue el primero en usar la notación
haciendo además un uso fundamental de los números complejos al relacionar la exponencial con
las funciones trigonométricas por la expresión.
Por otro lado, Euler expuso su identidad, la ecuación más famosa de la matemática. En ella
se puede decir que está resumida toda la matemática. Encontramos los conceptos de suma,
multiplicación, exponenciación e identidad. Además, tenemos los cinco números fundamentales:
■ El cero: 0
■ El uno: 1
■ El número
■ El número e
■ El número i
Posteriormente, Carl Friedrich Gauss, en su tesis doctoral, daba la primera prueba correcta del
teorema fundamental del álgebra.
La Universidad de Cambridge como ejemplo, a principios del siglo XIX, se preguntaba qué lógica
regía sobre las operaciones con números complejos que permitiese su enseñanza.
En el siglo XIX ya proponen algunos matemáticos, de Cambridge principalmente, que debía
haber unas reglas que gobernasen esta herramienta que ya demostraba a todas luces su utilidad
para muchos. La representación geométrica de los complejos como puntos del plano tiene sus
primeras citas en los trabajos de 1797 del noruego Caspar Wessel y en 1806 en los del suizo
Jean-Robert Argand.
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5. 1. Historia
No obstante sería la referencia de Gauss la que tendría el impacto suficiente. En 1833, William
Rowan Hamilton da la primera definición algebraica rigurosa de los complejos como pares de
números reales. Más tarde, es Augustin-Louis Cauchy quien da una definición abstracta de los
números complejos como clases de congruencias de polinomios reales, basándose en las clases
de congruencias de enteros dada por Gauss.
Ya comenzada la segunda mitad del siglo XIX, las dudas y misterios sobre los números complejos
ya habían desaparecido.
La presencia de los numeros complejos en diversas areas de las matemáticas puede ser
clasificadas de manera muy genérica de la siguiente forma:
■ Álgebra
■ Análisis
■ Geometría
■ Teoría de números
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6. 2. Números complejos
1. Definición
Para empezar, debemos definir un número complejo. Los números complejos conforman un
grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. La unidad
imaginaria es el número y se designa por la letra i.
■
■
Un número imaginario se denota por bi, donde :
■ b es un número real
■ i es la unidad imaginaria
Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
Números complejos en forma binómica
Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.
■ El número a se llama parte real del número complejo.
■ El número b se llama parte imaginaria del número complejo.
El conjunto de todos números complejos se designa por .
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7. 2. Números complejos
2. Representación
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y,
eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:
1. Por el punto (a,b), que se llama su afijo
2. Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).
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8. 2. Números complejos
2. Representación
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje
imaginario, Y.
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9. 2. Números complejos
3. Operar con números complejos
Para poder comprender los números complejos, debemos saber operar con ellos.
■ Suma y diferencia: Se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes
imaginarias entre sí.
■ Multiplicación: el producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad
distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i 2 = −1.
■ División: el cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto
es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.
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10. 2. Números complejos
4. Números complejos de forma polar
■ El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de
coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
5. Propiedades interesantes
■ Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.
■ Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
■ Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.
■ Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.
■ Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma
componente imaginaria.
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11. 3. Aplicaciones: números complejos
■ En ingeniería mecánica los números complejos se usan para representar la relación
espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material y para poner en
números el comportamiento de los fluidos.
■ Para análisis dinámico de estructuras y para el control numérico de acciones de una
máquina-herramienta por medio de números.
■ En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica
del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable
imaginaria.
■ Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los
define a través de cálculos con números complejos en el plano.
■ Los números complejos son usados en los modelamientos matemáticos de procesos
físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de señales
electrónicas.
■ Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda ancha,
amplificadores de señales, procesamiento digital de señales, transmisión eléctrica,
centrales hidroeléctricas.
■ Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas
sobre vigas (para los arquitectos e ingenieros civiles), estudio de ondas (para los físicos),
además se emplea en los estudios concernientes a la propagación del calor.
■ En sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de navegación
de buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio. Una herramienta
fundamental es la llamada transformada de Fourier (esta herramienta se emplea para las
aplicaciones anteriores) que usa intensivamente a los números complejos.
■ Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una
descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z =
r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal
de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de
la forma: f (t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z
nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias,
capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias
para las dos últimas.
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12. 4. Números complejos: Fórmula de Euler y trigonometría
Como vimos antes, la fórmula de Euler abarcaba prácticamente todas las unidades matemáticas.
Se encuentra otra expresión tal que así:
siendo z la variable compleja formada por : z=x+iy
Por otro lado, esta fórmula de Euler se puede ilustrar en el plano complejo.
Gracias a este trabajo, hemos podido conocer más a fondo todo lo que abarcan los números
complejos, la manera de operarlos, sus aplicaciones en la vida cotidiana y un poco de historia
de las matemáticas. Sin duda, la clasificación de los números queda mucho más clara, simple y
comprensible.
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