2. ¿Qué es un fractal?
Son objetos geométricos que poseen dos características fundamentales:
• Autosimilitud.
• Dimensión Fraccionaria.
Lineales
Los objetos Fractales
se pueden clasificar
en: Complejos
Caóticos
2
4. Autosimilitud
• … o estadística: cada región del objeto conserva, de manera
estadísticamente similar, sus características globales.
5. Dimensiones
• Dimensión de inmersión: Se refiere al espacio
que contiene al objeto de estudio.
• Dimensión topológica: Nos dice si nuestro
objeto es una arista, un plano, un volumen, un
hipervolumen, etc. Su valor es siempre entero.
• Dimensión fractal: se refieren a cómo el objeto
geométrico llena el espacio en el que está
inmerso. Las dimensiones fractales pueden ser
enteras o fraccionarias.
7. Dimensión Fractal
Método de contar cajas
La dimensión de un conjunto viene dada por la fórmula
Donde N(h) es el número de bolas de diámetro h que se necesitan para
cubrir el conjunto.
Ejemplo:
Dimensión de un segmento es 1.
Dimensión de una circunferencia es 1.
Dimensión del fractal de Koch ,
9. Fractales Clásicos
Conjunto de Cantor:
• Es un sistema fractal simple y pedagógicamente interesante
pero su interés va mucho más allá ya que está estrechamente
relacionado con la geometría de los atractores extraños.
• Propiedades fractales del conjunto de Cantor:
1. C tiene estructura a escalas arbitrariamente pequeñas
2. C es perfectamente auto-similar.
3. La dimensión de C no es entera… es ln2/ln3=0.63...
• Otras dos propiedades (no fractales) del conjunto de Cantor
son:
1. C tiene medida nula.
2. Consiste una cantidad no numerable de puntos.
10. Fractales Clásicos
Curva de Koch:
• Perímetro infinito que encierra un área finita.
• Dimensión fractal: 4/log 3 ≈ 1.26
11. Fractales Clásicos
Triángulo de Sierpinski:
• Área nula.
• Dimensión fractal:
El diseño de antenas se ejecuta en gran medida por
tanteo. Muchas antenas están compuestas por una
distribución de pequeñas antenas. Si la distribución es
regular, la antena presenta alto rendimiento y si es
aleatoria ofrece robustez. Parece que un diseño
fractal como el de la figura combina ambas
propiedades. En el caso de un solo hilo, siguiendo
una forma fractal, al doblar se consigue empaquetar
más hilo en el mismo espacio y la forma dentada
genera capacitancia e inductancia extra.
12. Fractales Clásicos
Curva de Hilbert:
• Longitud infinita en área finita.
• La curva tiene la curiosa propiedad de ser una curva continua
que pasa por todos los puntos del cuadrado unidad. Pero, si una
curva es unidimensional, ¿cómo es posible que llene un espacio
bidimensional? ¿Podemos decir entonces que esta curva es
también bidimensional?
• Es denso en el plano.
13. Fractales Clásicos
Alfombra de Sierpinski:
• Superficie nula… perímetro infinito
• Dimensión: log(8)/log(3) ~ 1.892789…
Esponja de Menger:
• Volumen nulo… superficie infinita.
14. Fractales Clásicos
Conjunto de Mandelbrot: Estadísticamente autosimilar
• Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una
sucesión por inducción:
• Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al
conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.
• Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que
diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de
Mandelbrot.
• En cambio, si c = -1 obtenemos la sucesión 0, -1, 0, -1,… que sí es
acotada, y por tanto, -1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.
• A menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo
de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al
conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en
módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto.
