El número e, también conocido como número de Euler o constante de Napier, es uno de los números más importantes en cálculo. Jakob Bernoulli lo descubrió al estudiar el interés compuesto y demostró que e es el límite al que converge una inversión con una tasa de interés del 100% compuesto de forma continua. e se define como la suma de 1 dividido entre los factoriales de los números enteros desde 0 a n, y tiene propiedades importantes como que la función exponencial f(x)=e^x es su propia derivada cuando x=0.

1. Número e Lucas M. Castelo

2. Introducción El número e , también conocido como Número de Euler o Constante de Napier es uno de los números reales más relevantes, considerado como el número del cálculo por excelencia. Se relaciona con diversos resultados importantes como la derivada de la función exponencial: f( x ) = e ^ x Su valor aproximado es: e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

3. Introducción Su valor aproximado es: e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

4. Descubrimiento El descubrimiento del número e se le acredita a Jakob Bernoulli, que estudiaba un problema llamado interés compuesto.

5. Descubrimiento Si se invierte una Unidad Monetaria con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2: 1UM x 0.5 = 1.5 UM 1.5UM x 0.5 = 2.25 Que sería igual a: 1 UM x 1.50^2 = 2.25 UM.

6. Descubrimiento Si dividimos el año en 4 trimestres, se obtienen 1 UM x 1.25^4, y si se reciben los pagos cada mes, 1UM x (1 + 1/12)^12 De esta forma se deduce que si dividieramos el año en n partes, al cabo del año tendríamos

7. Descubrimiento Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2.71828 ... . De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas: este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua.

8. Definición e se suele definir como la sumatoria de 1 partido por los factoriales de todos los números enteros a desde el 0 hasta n: Aunque otra definición habitual es: ln e = 1

9. Propiedades Cálculo: 1. La función exponencial f(x) = e^x es la única función que es su propia derivada y ambas valen 1 para x=0 :

10. Propiedades Cálculo: 2. e es el límite de la sucesión Aplicando esta propiedad se puede obtener el límite de una función:

11. Propiedades Desarrollo decimal: El desarrollo decimal de e es completamente irregular, pero mediante el uso de fracciones continuas, se puede la fracción normalizada: Que se escribe como e = [2, 1, 2 ,1, 1, 4 ,1, 1, 6 ,1 ... 1, 2n ,1, ... ]

12. Propiedades Álgebra e es un número Trascendente, ya que no puede ser obtenido directamente como resolución de una ecuación algebraica. Es un Irracional