1. Historia del calculo
El Cálculo constituye una de las grandes
conquistas intelectuales de la
humanidad. Una vez construido, la
historia de la matemática ya no fue
igual: la geometría, el álgebra y la
aritmética, la trigonometría, se
colocaron en una nueva perspectiva
teórica. Detrás de cualquier invento,
descubrimiento o nueva teoría, existe,
indudablemente, la evolución de ideas
que hacen posible su nacimiento.

2. Inicio del calculo
• Es muy interesante prestar atención en el bagaje de
conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a
través de los años para dar lugar, en algún momento en
particular y a través de alguna persona en especial, al
nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que
seguramente se va a convertir en un descubrimiento
importante para el estado actual de la ciencia y, por lo
tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza
conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de
dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de
personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero
hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez
social, científica y matemática que permitiría construir el
Cálculo que utilizamos en nuestros días.

3. Teorema fundamental del calculo
• El teorema nos dice que la derivación y la
integración (definida) son operaciones inversas,
en forma parecida a como lo son la división y la
multiplicación. Los procesos de límite (usados
para definir la derivada y la integral definida)
conservan esta relación de inversas.

4. Suma de Reimman
Si P = { x0, x1, x2, ..., xn} es una partición del
intervalo cerrado [a, b] y f es una función
definida en ese intervalo, entonces la Suma de
Riemann de f respecto de la partición P se
define como:
donde tj es un número arbitrario en el intervalo
[xj-1, xj].

5. Propiedades de la integral definida
• Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos
de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas
con más facilidad.
• 1) donde c es una constante
• 2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante,
entonces las siguientes propiedades son verdaderas:
(se pueden generalizar para más de dos funciones)
• 3) Si x está definida para x = a entonces

6. Propiedades de la integral definida
• 4) Si f es integrable en [a, b] entonces
• 5) Propiedad del intervalo: si f es integrable en
los dos intervalos cerrados definidos por a, b y
c entonces:

7. Propiedades de la integral indefinida
• 1. La integral de una suma de funciones
es igual a la suma de las integrales de
esas funciones.
• ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
• 2. La integral del producto de una
constante por una función es igual a
la constante por la integral de la función.
• ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

8. Teorema de existencia para integrales
definidas.
• Sea una función real y = f (x), que es continua en un
intervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al
menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el
que se verifica: Que el valor de f (c) es el valor medio de la
función f (x) en el intervalo [a, b].Quizá sea interesante
hacer varias observaciones:
• 1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la
existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.
• 2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de
variación media en el intervalo considerado. Se trata de un
concepto diferente.
• 3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que
se alcanza, presupone el cálculo de una integral definida

9. Función Primitiva
• Función primitiva o antiderivada de una
función dada f(x), es otra función F(x) cuya
derivada es la función dada.
• F'(x) = f(x)
• Si una función f(x) tiene primitiva,
tiene infinitas primitivas, diferenciándose
todas ellas en una constante.
• [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

10. Métodos de Integración
• El método de integración por partes permite
calcular la integral de un producto de dos
funciones aplicando la fórmula:
• Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas
se eligen como u.
• Las funciones exponenciales y trigonométricas
del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

11. • En las integrales racionales suponemos que el grado
del numerador es menor que del denominador, si no
fuera así se dividiría.
• Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor
grado que numerador, descomponemos el
denominador en factores.
• Dependiendo de las raíces del denominador nos
encontramos con los siguientes tipos de integrales
racionales:
Métodos de Integración

12. Tipos de integrales racionales:
• Integrales racionales con raíces reales simples
• La fracción puede escribirse así:
• Los coeficientes A, B y C son números que que se
obtienen efectuando la suma e identificando
coeficientes o dando valores a x.

13. Tipos de integrales racionales:
• Integrales racionales con raíces reales
múltiples
• La fracción puede escribirse así:

14. Tipos de integrales racionales
• Integrales racionales con raíces complejas
simples
• La fracción puede escribirse así:
• Esta integral se descompone en una de
tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente.