Descripción de como resolver ecuaciones por el método de Bernoulli

1. Ecuación de Bernoulli<br />A una ecuación diferencial de la forma<br />y'+Pxy=f(x)yn<br />con n un número real, se le llama ecuación de Bernoulli.<br />Si n = 0 o n = 1, es una ecuación diferencial lineal. Además si n = 1, la ecuación se puede resolver mediante separación de variables. Así que nos concentramos en el caso en que n ≠ 0,1.<br />El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en transformarla en una ecuación diferencial lineal mediante un cambio de variable, veamos.<br />Dividiendo ambos lados por yn, resulta<br />y-ndydx+Pxy1-n=f(x)<br />Sea<br />w=y1-n<br />Entonces<br />dwdx=(1-n)y-ndydx<br />Por lo cual<br />11-ndwdx=y-ndydx<br />Sustituyendo en la ecuación diferencial obtenemos<br />11-ndwdx+Pxy1-n=f(x)<br />dwdx+1-nPxw=1-nf(x)<br />Que esto es una ecuación diferencial lineal<br />Ejemplo 1:<br />dydx-y=exy2<br />Dividiendo la ecuación por y2, resulta<br />y-2dydx-y-1=ex<br />Sea<br />w=y-1; dwdx=-y-2dydx; -dwdx=y-2dydx<br />Sustituyendo<br />-dwdx-w=ex<br />dwdx+w=-ex<br />Resolviendo la ecuación diferencial lineal tenemos<br />w=-12ex+c1ex<br />y recordando que w=y-1<br />y-1=-ex+2c1ex2<br />de donde<br />y=2ce-x-ex<br />Ejemplo 2:<br />y6y2-x-1dx+2xdy=0<br />Veamos si es una ecuación de Bernoulli.<br />6y3-xy-y+2xdydx=0<br />2xdydx-x+1y=-6y3<br />dydx-x+12xy=-3xy3<br />Así, efectivamente se trata de una ecuación de Bernoulli. Dividiendo por y3, se sigue que<br />y-3dydx-x+12xy-2=-3x<br />Sea w=y-2 Entonces<br />dwdx=-2y3dydx<br />-12dwdx=y3dydx<br />-12dwdx-x+12xw=-3x<br />dwdx-x+1xw=-6x<br />Resolviendo la ecuación diferencial lineal se obtiene<br />w=(6+ce-x)x-1<br />y-2=(6+ce-x)x-1<br />y=x6+ce-x<br />