1. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS<br />Sea la expresión :<br />M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 forma ordinaria<br />∂M/∂Y=∂N/∂X } esto es la derivada parcial<br />Procesos:<br />Algebraicas para resolver la ecuación se resume mediante la expresión matematica:<br />F (x,y)=Mx,ydx+[Nx,y-∂∂yMx,ydx]dy<br />Ejemplo:<br />2xydx+(x2-1)dy=0<br />Paso uno:<br />Verificar que sea exacta<br />∂M∂y 2xy=2x derivada respecto a y<br />∂N∂X x2-1=2x derivada respecto a x<br />Por los resultados que dan las derivadas parciales esto nos indica que si son iguales los resultados si es exacta.<br />Segundo paso:<br />Aplicar formula<br />F(x,y)=2xydx+[x2-1-∂∂y2xydx]dy<br />=x2y+x2-1-∂∂yx2ydy<br />=x2y+x2-1-x2dy<br />=x2y-dy<br />=x2y-y+c<br />ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS POR FACTOR INTEGRAL<br />M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 forma ordinaria<br />∂M/∂Y≠∂N/∂X no es exacta<br />μx,ysea el factor integral,que le permite a la expresion ser exacta<br />μ=epxdx o μ=epydy<br />Forma o método de solución:<br />P(x)=∂My-∂NxN<br />P(y)=∂Ny-∂MxM<br />Ejemplo:<br />3x2ydx+ydy=0<br />∂M∂y3x2y=3x2 ∂N∂x=y=0<br />∂M∂y≠∂N∂x<br />P(x)= 3x2-0y=3x2y<br />P(y)= 0-3x23x2y=-3x23x2y=-1y<br />μ=e-dyy=e-lny=elny-1=y-1<br />Por lo tanto el factor integral es y-1 o 1y<br />(1y)[3x2ydx+ydy=0]<br />=3x2dx+dy=0<br />∂M∂y3x2=0<br />∂N∂x1=0<br />Ya es exacta <br />F(x,y)=3x2dx+[1-∂∂y(3x2dx)]dy<br />=x3+1-∂∂yx3dy<br />=x3+dy<br />=x3+y+c<br />ECUACIONES DIEFRENCIALES LINEALES<br />Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden<br />...<br />Utilizando notación matricial el sistema se puede escribir<br />donde<br />y su derivada<br />y<br />Esta notación, además de simplificar la escritura, enfatiza el paralelismo entre los sistemas y las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.<br />Se dice que un vector x = {f (t)} es solución del sistema si sus componentes satisfacen todas las ecuaciones del sistema. <br />Supóngase que P y q son continuos en un intervalo a < t < b . En primer lugar, se estudia la ecuación homogénea<br />(1)<br />Una vez que esta ecuación esté resuelta se resolverá la no-homogénea.<br />Sean<br />soluciones específicas de la ecuación homogénea.<br />Teorema 1<br />Si y son soluciones del sistema (1), entonces<br />es solución también, donde y son constantes arbitrarias.<br />Este es el principio de superposición y se comprueba sin más que diferenciar la solución propuesta y sustituirla en (1)<br />Ecuación de Bernoulli<br />Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma donde y son funciones reales y continuas en un intervalo y es una constante real diferente de y se conoce como ecuación de Bernoulli HYPERLINK quot;
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/footnode.htmlquot;
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1.2 <br /> <br />Observación: cuando la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados. <br />La ecuación de Bernoulli (1.12)se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución . <br />Demostración: <br />Al dividir la ecuación 1.12 por , resulta <br />(1.13)<br />Usando la regla de la cadena, calculemos a partir de la sustitución <br />Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en <br />la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería. <br /> <br />Ejemplo: <br />Resuelva la ecuación <br />Solución <br />Ésta es una ecuación de Bernoulli con , y . Para resolverla primero dividamos por <br />Ahora efectuemos la transformación . Puesto que , la ecuación se transforma en <br />Simplificando obtenemos la ecuación lineal <br />Cuya solución es <br />y al sustituir se obtiene la solución de la ecuación original <br />Observación: en esta solución no está incluida la solución , que se perdió durante el proceso de dividir por . Es decir, se trata de una solución singular. <br />