1. ECUACIONES LIENALES Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma: a(x)y’+b(x)y=c(x) es una ecuación lineal.<br />Forma ordinaria:<br />11868152749550y=1μ(x) Qx*μ(x)dxy=1μ(x) Qx*μ(x)dxCuando Q(x)=0, la ecuación lineal es homogénea, cuando Q(x)≠0 es no homogénea.Cuando la ecuación es homogénea se realiza por el método de variables separadas y cuando es no homogénea se puede realizar por dos métodos:.- factor integrante.- variación de parámetrosL a solución general de las ecuaciones diferenciales lineales es la siguiente:<br />Ejemplo xdy=(x sinx-y)dx1.- el dx se pasa del otro lado de la ecuación dividiendo a dy y la x se pasa dividiendo a (x sinx-y)dydx= (xsinx-y )x<br />Esto es lo mismo que tener:dydx= xsinxx-yxdydx=sinx-yxLa ecuación anterior se pasa a su forma ordinaria y’+ yx = sin xComo aquí podemos observar que Q(x) no es igual a cero por lo tanto es una ecuación lineal no homogénea y en este ejemplo se resolverá por factor integrante.P(x)= 1x Q(x)= sin xμ= e1x dx= elnx=x usando la forma de la solución general tenemos:31108655605780derivadaintegralxSin x1-cos x0-sen xderivadaintegralxSin x1-cos x0-sen xy= 1x sinx (x)dx42494206012815004297680596773004227195619442503806190596773037719006196330y= 1x xsinx dxy= 1x[-x cos x +senx + c]y= -xcosxx+ sinxx+ cxy= -cos x + sinxx+ cxECUACIONES DE BERNOULLI4004310-29457654005580-319786003579495-29457653575685-3161030<br /> DEFINICION<br /> Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma donde y son funciones reales y continuas en un intervalo y es una constante real diferente de y se conoce como ecuación de Bernoulli1.2<br /> <br />Observación: cuando la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados. <br /> <br /> TEOREMA<br /> La ecuación de Bernoulli 1.12se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución . <br />Demostración: <br />Al dividir la ecuación 1.12 por yn, resulta <br /> 1.13<br />Usando la regla de la cadena, calculemos y’ a partir de la sustitución u= y1-n<br />Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en <br />la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería. <br /> <br />Ejemplo: <br />Resuelva la ecuación <br />Solución <br />Ésta es una ecuación de Bernoulli con , P(x)=-5y .Q(x)= - 5x2 Para resolverla primero dividamos por y3<br />Ahora efectuemos la transformación u=y-2. Puesto que dudx=-2ydydx, la ecuación se transforma en <br />Simplificando obtenemos la ecuación lineal <br />Cuya solución es <br />y al sustituir u=y-2se obtiene la solución de la ecuación original <br />Observación: en esta solución no está incluida la solución y=0, que se perdió durante el proceso de dividir por y3. Es decir, se trata de una solución singular. <br /> <br />Ejemplo: <br />Compruebe que la ecuación diferencial <br />se transforma en una ecuación de Bernoulli al hacer . <br /> <br />Solución <br />Como <br />Sustituyendo obtenemos <br />la cual es una ecuación de Bernoulli. <br />