Ecuación de Bernoulli

2. ECUACI ´ON DE BERNOULLI
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. ECUACI ´ON DE BERNOULLI DEFINICI ´ON
ECUACI ´ON DE BERNOULLI
DEFINICI ´ON
Las ecuaciones de Bernoulli de orden 1 son aquellas de la forma:
y + g(x)y = f(x)yn
Los terminos g(x) y f(x) deben ser funciones continuas de variable x y n
puede ser cualquier n´umero real.
En el caso n = 0, la ecuaci´on se reduce inmediatamente a una ecuaci´on lineal
de orden 1.
En el caso n = 1, la ecuaci´on se reduce inmediatamente a una ecuaci´on de
variable separable de orden 1.

4. ECUACI ´ON DE BERNOULLI DEFINICI ´ON
EJEMPLOS
EJEMPLOS DE ECUACIONES DE BERNOULLI
1 x3 dy
dx
+ x2y = 2y−4/3
2 y + xy = xy2
3 y2 dx
dy
+ 2yx = x4
4 y + y = y4
5
dx
dt
= tx

5. ECUACI ´ON DE BERNOULLI M´ETODO DE SOLUCI ´ON
M´ETODO DE SOLUCI ´ON
Para solucionar una ecuaci´on de Bernoulli de la forma y + g(x)y = f(x)yn,
realizamos la sustituci´on:
u(x) = y1−n
(x)
y derivando obtenemos:
u =(1 − n)y−n
y (1)
yn
u =(1 − n)y (2)
remplazando en la ecuaci´on original obtenemos:
u + (1 − n)g(x)u = (1 − n)f(x)
que es una ecuaci´on lineal de primer orden, podemos entonces soluconar la
ecuaci´on por el m´etodo ya conocido en la secci´on anterior.

6. ECUACI ´ON DE BERNOULLI EJEMPLOS
EJEMPLOS
EJEMPLO
Solucionar la EDO: y +
1
x
y =
1
y
En este caso n = −1; realizamos entonces la sustituci´on u = y2 para obtener
la ecuaci´on:
u +
2
x
u = 2
que es lineal, calculamos el factor integrante µ(x) = e 2/xdx = x2
y multiplicamos toda la ecuaci´on por este factor integrante
x2
u + 2xu = 2x2
agrupamos de la forma
d
dx
x2
u = 2x2

7. ECUACI ´ON DE BERNOULLI EJEMPLOS
EJEMPLOS
EJEMPLO
integramos a ambos lados y solucionamos la ecuaci´on para obtener:
u =
2
3
x +
C
x2
remplazamos u = y2,
y2
=
2
3
x +
C
x2
y podemos despejar y para obtener una soluci´on expl´ıcita:
y =
2
3
x +
C
x2

8. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
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