Cálculo multivariable

1. UNIDAD 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA PAMELA PONTI 1
UNIDAD NUMERO 5. ELIPSE
Definición:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
DEDUCCIÓN ALGEBRAICA DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0)
tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las
distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :

2. UNIDAD 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA PAMELA PONTI 2

3. UNIDAD 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA PAMELA PONTI 3
Observemos que B = 0, A y C son distintos y del mismo signo, si fueran iguales sería
una circunferencia.
De la deducción anterior podemos indicar que al ecuacion segmentaria de la elipse
centrada es:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 siendo a > b y el eje focal coincide con el eje X.
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 siendo a > b y el eje focal coincide con el eje Y.
Donde a y b son los puntos donde la elipse corta a los ejes x e y respectivamente.
La ecuación segmentaria de la elipse cuyo centro es el punto de coordenadas (h, k)
queda:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
La ecuación general de la elipse es:
𝐴𝑥2
+ 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Donde B = 0, A y C son distintos y del mismo signo, si fueran iguales sería una
circunferencia.
Ejemplo: Determinar la ecuación canónica o segmentaria de la siguiente sección cónica:
4𝑥2
+ 9𝑦2
= 36
Como se pude observar A = 9 B = 0 y C = 4 por lo tanto como A y C son valores positivos
y del mismo signo se trata de una elipse.
Lo primero que debemos hacer es igual a 1 la ecuación para eso dividimos miembro a
miembro por 36 obteniendo:
4𝑥2
36
+
49
36
=
36
36
Operando algebraicamente:

4. UNIDAD 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA PAMELA PONTI 4
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1
Se trata de una elipse centrada con eje focal en el eje X, a = 3 y b = 2.
Gráficamente
ELEMENTOS PRINCIPALES DE LA ELIPSE
Eje focal: Recta que pasa por los focos.
Semieje focal: Segmento FF`= 2c
Centro: Punto medio del semieje focal.
Vértices: Puntos de intersección de la curva
con el eje focal (V, V`). Puntos de
intersección de la curva con el eje normal
(B,B`)
Eje Normal: Recta perpendicular al eje focal
por el centro.
Eje mayor: Segmento VV´=2a.
Eje menor: Segmento BB´= 2b.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la
curva.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por F o F´.
Lado recto: Cuerda focal perpendicular al
eje focal.
Ejemplo determinar la ecuación canónica de la siguiente sección cónica y determinar
todos sus elementos
4𝑥2
+ 24𝑥 + 𝑦2
− 6𝑦 + 29 = 0

5. UNIDAD 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA PAMELA PONTI 5
Lo que primero debemos hacer es agrupar las variables iguales y despejar el término
independiente
(4𝑥2
+ 24𝑥) + (𝑦2
− 6𝑦) = −29
Si observamos para que resulte más fácil completar el cuadrado del binomio es
conveniente extraer factor común 4 para la variable x
4. (𝑥2
+ 6𝑥) + (𝑦2
− 6𝑦) = −29
Completando cuadrados de binomios obtenemos:
4. (𝑥2
+ 6𝑥 + 9) + (𝑦2
− 6𝑦 + 9) = −29 + 36 + 9
Trabajando algebraicamente se obtiene:
4. (𝑥 + 3)2
+ (𝑦 − 3)2
= 16
Para obtener 1 debemos dividir miembro a miembro por 16
4. (𝑥 + 3)2
16
+
(𝑦 − 3)2
16
=
16
16
Obteniendo como sección cónica una elipse cuya ecuación canónica es:
(𝑥 + 3)2
4
+
(𝑦 − 3)2
16
= 1
Podemos observar que esta descentrada y su centro es el punto de coordenadas (-3,3),
además b = 2 y a = 4, por lo tanto su eje focal es paralelo al eje Y.
Empecemos a calcular los elementos de la elipse:
b = 2, a = 4 como 𝑏2
+ 𝑐2
= 𝑎2
reemplazando y despejando c obtenemos:
𝑐 = √42 − 22 = 2√3
Centro: (-3,3)
Eje focal: paralelo al eje Y
Eje mayor: 2.a
2.4 = 16
Eje menor: 2.b
2.2 = 4
Semieje focal 2.c
2. 2√3 = 4√3
Focos: (h, k ± c) = (-3, 3 ± 2√3)
F1 = (-3, 3 - 2√3)
F2 = (-3, 3 + 2√3)
Vértice: (h, k ± a)
(-3, 3 ± 4) =
V1 = (-3, -1)
V2 = (-3, 7)

6. UNIDAD 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA PAMELA PONTI 6
Puntos de intersección con el eje normal
V`= (h ± b, k)
(-3 ± 2, 3)
V`1 = (-5, 3)
V`2 = (-1, 3)
Gráficamente
EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE
La excentricidad es el cociente entre el semieje focal y el eje mayor, dada por la fórmula
𝑒 =
𝑐
𝑎
Como c < a, entonces la excentricidad es 0 < e < 1
Si la e = 0 entonces la elipse se transforma en una circunferencia.
Ejemplo: Una elipse tiene su centro en el origen, y su eje mayor coincide con el eje Y.
Si uno de los focos es el punto (0, 3) y la excentricidad es igual a 1/2. Hallar las
coordenadas de otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la ecuaci6n de la
elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos.

7. UNIDAD 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA PAMELA PONTI 7
Podemos observar que se trata de una elipse centrada debido a que su eje mayor
coincide con el eje Y, como uno de los focos es el punto (0, 3). Tenemos c = 3, y las
coordenadas del otro foco son (0, - 3). Como la excentricidad es 1/2, tenemos:
𝑒 =
1
2
=
𝑐
𝑎
=
3
𝑎
de donde a = 6.
Además en toda elipse se verifica:
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
Despejando b y reemplazando a y cc por sus respectivos valores obtenemos:
𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 = √62 − 32) = 3√3
Luego la ecuación de la elipse centrada es:
𝑥2
27
+
𝑦2
36
= 1
Por tanto, las longitudes de los ejes mayor y menor son 2a = 12 y 2b = 6√3,
respectivamente.
FAMILIA DE ELIPSES
En la ecuación de la elipse vemos que pueden variar los parámetros de las coordenadas
del centro o los radios. Las familias de elipses se generan dejando constantes alguno
de ellos y variando los restantes.
DESIGUALDADES Y REGIONES DEL PLANO

8. UNIDAD 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA PAMELA PONTI 8
RECTA TANGENTE A UNA ELIPSE
Sea 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1), 𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2) puntos de la elipse, la recta que pasa por ellos tiene la
forma:
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
. (𝑥 − 𝑥1) (1)
Por ser puntos de la elipse verifican su ecuación:
𝑥2
1
𝑎2 +
𝑦2
1
𝑏2 = 1
𝑥2
2
𝑎2 +
𝑦2
2
𝑏2 = 1
Restando miembro a miembro la primer de la segunda ecuación se obtiene:
𝑥2
2−𝑥2
1
𝑎2 +
𝑦2
2−𝑦2
1
𝑏2 = 0 O también:
(𝑥2 − 𝑥1). (𝑥2 + 𝑥1)
𝑎2
+
(𝑦2 − 𝑦1). (𝑦2 + 𝑦1)
𝑏2
= 0
Dividiendo por (𝑥2 − 𝑥1). (𝑦2 + 𝑦1)
𝑥2+𝑥1
𝑎2.(𝑦2+𝑦1)
+
𝑦2−𝑦1
𝑏2.(𝑥2−𝑥1)
= 0 Trabajando algebraicamente
𝑥2+𝑥1
𝑎2.(𝑦2+𝑦1)
= −
𝑦2−𝑦1
𝑏2.(𝑥2−𝑥1)
−
𝑏2
𝑎2
.
𝑥2+𝑥1
𝑦2+𝑦1
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
Reemplazando en (1)
𝑦 − 𝑦1 = −
𝑏2
𝑎2
.
𝑥2+𝑥1
𝑦2+𝑦1
. (𝑥 − 𝑥1) Por ser tangente 𝑥1 = 𝑥2 𝑦1 = 𝑦2

9. UNIDAD 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA PAMELA PONTI 9
𝑦 − 𝑦1 = −
𝑏2
𝑎2 .
2.𝑥1
2.𝑦1
. (𝑥 − 𝑥1) Simplificando:
𝑦 − 𝑦1 = −
𝑏2
𝑎2
𝑥1
𝑦1
. (𝑥 − 𝑥1)
Cuando la recta es vertical se calcula utilizando la ecuación
𝑥. 𝑥1
𝑎2
+
𝑦. 𝑦1
𝑏2
= 1
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la elipse
𝑥2
4
+
𝑦2
1
= 1 en el punto (2,0)
En la ecuación podemos observar que a = 2 y b = 1 el punto de tangencia es (2,0) Por
lo tanto x1= 2 y1 = 0, reemplazando en la ecuación obtenemos:
𝑥. 𝑥1
𝑎2
+
𝑦. 𝑦1
𝑏2
= 1
𝑥. 2
22
+
𝑦. 0
12
= 1
Operando algebraicamente:
𝑥
2
= 1
Gráficamente: