La hipérbola es una curva plana definida como el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos fijos es constante. Se describe mediante ecuaciones canónicas y elementos como vértices, focos, ejes y distancias. La elipse es el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante, y también se define a través de ecuaciones canónicas y elementos como vértices, focos, ejes y distancias.

2. Hipérbola
La hipérbola es una curva abierta y plana, con dos ramas que se define como el lugar geométrico de los puntos
en el plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (𝒇 𝒚 𝒇𝟏), determinados focos, es constante e igual a
2a, siendo 2a la longitud del eje real o mayor de la hipérbola.

3. V: Vértice, están exactamente a la misma distancia uno del otro.
a: Medida desde un vértice hasta el centro.
2a: Medida de vértice a vértice, a esta medida se le llama eje mayor.
F: Foco, están exactamente ubicados a la misma medida desde el centro hacia ellos.
Tener en cuenta que los vértices siempre deben ir mas cerca al centro que los focos.
c: Distancia desde el foco hacia el centro.
2c: Distancia entre focos, conocido como distancia focal.
Tener en cuenta que los conocidos como puntos fijos de la hipérbole, son los focos.
b: Distancia formada desde V en línea recta hasta la circunferencia.
Como se ve en la imagen, se forma un triangulo rectángulo, entre a,b y c, entonces se puede aplicar el teorema de Pitágoras para hallar
distancias.
Para determinar si el eje principal es paralelo al eje x o eje y, basta con ver sobre donde están ubicados los vértices, en este caso son paralelos al
eje x, por tanto, el eje principal es paralelo al eje x.

4. Ecuación canónica (Centro en (0,0)
Como o cuando reconocer una ecuación canónica.
- Una condición, debe tener dos variables que normalmente suelen ser representadas como (x,y).
- Segunda condición, las variables deben estar elevadas al cuadrado 𝑥2
, 𝑦2
como máximo exponente.
- Tercera condición, los coeficientes que acompañan a cada una de las variables deben tener signos diferentes.
Voy a dar un ejemplo de como se verían una ecuación canónica con centro en (0,0).
Ej.
𝑥2
9
−
𝑦2
25
= 1
- Esto se debe a que hay dos fracciones igualadas a 1, la x y y al cuadrado no deben tener coeficiente acompañándolas como en el
ejemplo
Ecuaciones referentes para hallar los elementos de la hipérbola.
•
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 EJE PRINCIPAL PARALELO AL EJE X
•
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1 EJE PRINCIPAL PARALELO AL EJE Y
La fracción positiva siempre va a determinar a que eje es paralelo el eje principal.
También, siempre en la fracción positiva va como denominador 𝒂𝟐
, por ende el denominador de la fracción negativa es 𝒃𝟐
.

5. Ecuación canónica con centro en (h.k)
Con centro en (h,k) quiere decir que puede tener el centro en cualquier punto del plano cartesiano.
Ecuaciones referentes para hallar los elementos de la hipérbola.
•
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 −
𝑦−𝑘 2
𝑏2 = 1
•
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 −
𝑥−ℎ 2
𝑏2 = 1
Tener en cuenta que una fracción es positiva y la otra es negativa, también observar como la x va acompañada de la h, y la y va con
la k.
𝑎2
𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑏2
𝑣𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.
Se debe tener cuidado ya que el negativo que está dentro de los paréntesis, afectan en el momento de remplazar valores.
Como se menciono atrás, h siempre va acompañando a x, por ende cuando se remplace, este valor será la coordenada x del
centro, de la misma forma pero con la k, que siempre acompañará a la y, al remplazar ese valor será igual a la coordenada y del
centro.
Ej para hallar el centro.
(𝑦−5)2
16
−
𝑥+2 2
4
= 1
Hallamos a h, el negativo de la ecuación referente, con el positivo que tiene el 2 del ejemplo, daría como resultado 𝒉 = −𝟐
Hallamos a y, el negativo de la ecuación referente, con el negativo que tiene el 5 del ejemplo, daría como resultado 𝒌 = 𝟓
Entonces, el centro de está ecuación es (−𝟐, 𝟓).

6. Ecuación general de la hipérbola.
𝑨𝒙𝟐
+ 𝑩𝒚𝟐
+ 𝑪𝒙 + 𝑫𝒚 + 𝑬 = 𝟎
El siguiente ejemplo es de como se pasa de la ecuación canónica de la hipérbola con centro (0,0) a la general.
Ej.
𝑥2
4
−
𝑦2
9
= 1
Se hace resta de fraccionarios con el método de la carita feliz.
9𝑥2
− 4𝑦2
36
= 1
El 36 que está dividiendo pasa a multiplicar.
9𝑥2
− 4𝑦2
= 1 ∗ 36 esto es lo mismo que decir, 9𝑥2
− 4𝑦2
= 36
Recordemos que en la ecuación general de la hipérbola debe dar = 0, entonces para ello colocamos -36 a ambos lados de la ecuación
9𝑥2
− 4𝑦2
− 36 = 36 − 36
9𝑥2
− 4𝑦2
− 36 = 0
Esa sería la ecuación general para esta ecuación canónica con centro en (0,0)

7. Ecuación general de la hipérbola
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Pasar de la ecuación canónica con centro de (h,k) a la general de la hipérbola.
- Acá se emplea recordar temas pasados del algebra como el cuadrado de un binomio y resta de fracciones(método de la carita feliz)
Voy a explicar con el ejemplo.
Ej.
(𝑥 − 2)2
5
−
𝑦 + 4 2
10
= 1
10(𝑥 − 2)2
− 5(𝑦 + 4)2
50
= 1
- Resolver la potencia de los binomios, pasar el 50 que divide a multiplicar, queda así,
10 𝑥2
− 2 ∗ 𝑥 ∗ 2 + 4 − 5 𝑦2
+ 2 ∗ 𝑦 ∗ 4 + 16 = 1 ∗ 50
10 𝑥2
− 4𝑥 + 4 − 5 𝑦2
+ 8𝑦 + 16 = 50
10𝑥2
− 40𝑥 + 40 − 5𝑦2
− 40𝑦 − 80 = 50
Como la ecuación general de la hipérbola es igual a 0, para eso restamos -50 a cada lado del igual y organizamos la ecuación para que
quede como la ecuación general de la hipérbola,
10𝑥2
− 40𝑥 + 40 − 5𝑦2
− 40𝑦 − 80 − 50 = 50 − 50
𝟏𝟎𝒙𝟐
− 𝟓𝒚𝟐
− 𝟒𝟎𝒙 − 𝟒𝟎𝒚 − 𝟗𝟎 = 𝟎
Ecuación general de la hipérbola

8. ELIPSE
Lugar geométrico de las puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos es constante.
Los puntos fijos se llaman focos.

9. a: La distancia entre Vértice 𝑉1 𝑜 𝑉2 con el centro.
2a: Distancia entre vértices, también conocido como eje mayor.
Eje mayor: Es la distancia entre los vértices mas lejanos.
b: Distancia entre 𝑉3 𝑜 𝑉4
2b: Distancia entre vértices 3 y 4, también conocido como eje menor.
Eje menor: Distancia entre los vértices más cercanos.
C: Distancia entre foco y centro.
2c: Distancia entre focos.

10. Ecuación canónica con centro en (0,0)
Características para reconocer una elipse.
- Tiene dos variables (x,y)
- Las dos variables están elevadas al cuadrado (𝑥2
, 𝑦2
)
Características en la ecuación general.
- Siempre igualada a cero.
- El exponente máximo de x y y es al cuadrado.
- Al menos una de los dos variables debe tener coeficiente.
Para reconocer una ecuación canónica de la elipse con centro en (0,0)
-Primero, encontramos dos fracciones.
- Las dos fracciones deben sumar(ser positivas)
- Deben ser igual a 1 “=1”
. Arriba, en el numerador de las dos fracciones solo tiene (𝑥2
, 𝑦2
)
Formulas referente de la ecuación canónica con centro en (0,0)
•
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
•
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1
Cuando el 𝑎2
sea denominador de 𝑥2
, es que el eje mayor es paralelo al eje x.
Cuando el 𝑎2
sea denominador de 𝑦2
, es que el eje mayor es paralelo al eje y.
Para reconocer y remplazar en la formula referente, es de tener en cuenta que el número mayor de los denominadores siempre será 𝑎2

11. Ecuación canónica de la elipse con centro en (h,k)
Formulas referente de la ecuación canónica con centro en (h,k)
•
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
•
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 = 1
Tener en cuenta que “h” siempre va con “x”, y “k” siempre va con “y”, como se ve en las ecuaciones referentes; además, el
negativo de las formulas altera la ecuación.
Ecuaciones generales de la eclipse.
Ecuación general de la elipse con centro (0,0)
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐸 = 0
Ecuación general de la elipse con centro en (h,k)
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

12. Tarea1
- Para el desarrollo de la actividad, antes tuve que investigar todo sobre la elipse, donde encontré las diferentes ecuaciones
canónicas/ordinarias de la misma.
En está tarea en especifico utilice una de las ecuaciones canónicas con centro(h,k), más específicamente donde la 𝑎2
es
denominador de la fracción donde está “x”, esto porque la ecuación ofrecida en la actividad tiene como denominador mayor al
que está en la fracción de “x”.
- También de la investigación saque la información que cuando se emplea la formula anterior quiere decir que el eje mayor es
paralelo al eje x, y que al remplazar los valores estos cambian el signo (positivo-negativo) debido a la ecuación.
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
- Una vez remplazados los datos, vemos que el h de la ecuación siempre será la coordenada x en el centro, y k siempre será la
coordenada de y en el centro.
- Para hallar la distancia de 𝐹1 𝑜 𝐹2, se emplea el teorema de Pitágoras, teniendo en cuenta que a es la hipotenusa.
a: Distancia entre 𝑉1 𝑜 𝑉2 con el centro.
b: Distancia entre 𝑉3 𝑜 𝑉4con el centro.
c: Distancia entre 𝐹1 𝑜 𝐹2 con el centro.
- Formulas para hallar Lado recto para hacer la gráfica se emplea la formula
2.𝑏2
𝑎
.
- Formula para hallar la excentricidad
𝑐
𝑎
.

13. TAREA 2
- Acá se tenía que completar cuadrados para obtener la ecuación canónica de la elipse.
- Se emplea la factorización, de trinomio cuadrado y por factor común.
- Se emplea formula para hallar el tercer termino de los trinomios,
𝑏
2
2
.
- Al emplear esta formula y hallar tercer termino, también ese tercer termino lo multiplicamos por el
factor común respectivo y colocamos el resultado al otro lado del igual.
- Usamos el método de pasar de multiplicar a dividir o viceversa y de sumar a restar o viceversa.

14. TAREA 3
- Se solicitaba encontrar la ecuación canónica dando los vértices y focos.
- Se tiene que conocer los distintos elementos de la elipse, como el eje mayor, eje menor, a, b , c y lado recto.
- Al graficar las coordenadas dadas se puede encontrar centro, eje mayor y c.
- Con lo anterior vemos que el eje mayor es paralelo al eje x y que el centro esta en (h,k), por ende sabemos que ecuación se
va a emplear
𝑥−ℎ 2
𝑎2
𝑦−𝑘 2
𝑏2 = 1.
- Como se sabe el eje mayor y este es dos veces a, se puede sacar el valor a.
- Ahora teniendo el valor de a y de c, empleamos el teorema de Pitágoras para hallar b al cuadrado.
- Una vez encontramos estos datos, podemos remplazar los datos ecuación canonica con centro en (h,k)para encontrar el
resultado.