El documento describe las secciones cónicas y la elipse en particular. La elipse es el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos fijos es constante. Contiene elementos como los vértices, focos, ejes mayor y menor. Se presentan ecuaciones para representar la elipse y ejemplos de resolución de problemas aplicando sus propiedades.

1. SECCIONES CÓNICAS
ELIPSE

2. ¿Cuál es la utilidad del estudio de la
Elipse?
Sirve para determinar, representar puntos en el plano que cumplen unas condiciones
especiales.
Un espejo elíptico refleja todos los
rayos emitidos por uno de sus focos
y los focaliza en el otro foco. La
distancias recorridas por la luz de
los focos a lo largo de cualquier
camino son iguales
Mesa de billar elíptica Una bola que
pasa por el foco, para
sucesivamente por los focos y su
trayectoria irá acercándose poco a
poco al semieje mayor.
ELIPSE

3. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante identifica los elementos y grafica la elipse.
Reconoce las diferentes expresiones algebraicas que representan una elipse y
resuelve problemas aplicados a la ingeniería donde utiliza conceptos y
propiedades de la elipse.

4. Datos/Observaciones
SECCIONES
CÓNICAS
ELIPSE

5. El nombre de “secciones cónicas” se derivó del hecho de que estas figuras se encontraron
originalmente en un cono. Cuando se hace intersecar un cono con un plano obtenemos distintas
figuras. Cada una de ellas es una cónica.
ELIPSE
¡Una vez más!

6. Es el lugar geométrico de un punto 𝑃 que se mueve en un plano de tal manera que la suma
de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es siempre igual a una constante
positiva 2𝑎.
1 ELIPSE
ELIPSE
Ecuación Ordinaria
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
Ecuación Canónica
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Ecuación General
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2

7. Eje Menor: cuya longitud es de 2𝑏.
Eje Mayor: Recta perpendicular a la directriz 𝐿𝐷 que
pasa por los vértices y el focos.
Vértice (𝑽): La elipse tiene 2 vértices, la distancia
entre ellos es de 2𝑎.
Foco (𝑭): La elipse tiene 2 focos, la distancia entre
ellos es de 2𝑐.
Directriz(𝑳𝑫 ): Recta fija que dista
𝑎2
𝑐
del centro.
Y cuya distancia entre ambas rectas es
2𝑎2
𝑐
.
Lado recto (𝑳𝑹): Es una cuerda focal perpendicular al
eje mayor, cuya longitud es de
2𝑏2
𝑎
.
ELIPSE
1.1 Elementos
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

8. Observa la orientación y las ecuaciones de la elipse.
1 ELIPSE
ELIPSE
Ecuación Ordinaria
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
Ecuación Canónica
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Ecuación General
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑎 > 𝑏

9. Observa la orientación y las ecuaciones de la elipse.
1 ELIPSE
ELIPSE
Ecuación Ordinaria
𝑥 − ℎ 2
𝑏2 +
𝑦 − 𝑘 2
𝑎2 = 1
Ecuación Canónica
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1
Ecuación General
𝐴𝑥2
+ 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑎 > 𝑏

10. ELIPSE
1.1 Elementos

11. Datos/Observaciones
Bosqueje la gráfica de la ecuación 5𝑥2 + 9𝑦2 + 50𝑥 − 18𝑦 + 89 = 0 y
determine los vértices, focos, lado recto y la ecuación de las rectas
directrices.
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
5 𝑥 + 5 2
+ 9 𝑦 − 1 2
= −89 + 125 + 9
5 𝑥2
+ 10𝑥 + 9 𝑦2
− 2𝑦 = −89
5 𝑥 + 5 2
+ 9 𝑦 − 1 2
= 45
5 𝑥 + 5 2
45
+
9 𝑦 − 1 2
45
=
45
45
𝑥 + 5 2
9
+
𝑦 − 1 2
5
= 1
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
9 = 5 + 𝑐2
𝑐 = 2
𝑎 = 3 𝑏 = 5
𝑎2
= 9 𝑏2
= 5
𝑉1 −5 − 3,1 = −8, 1
𝐶 −5, 1
𝑉2 −5 + 3,1 = −2, 1
𝐹1 −5 − 2,1 = −7, 1
𝐹2 −5 + 2,1 = −3, 1
𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
=
10
3
𝐿𝐷:
𝑎2
𝑐
=
9
2
= 4.5 𝑥 = −5 ± 4.5
𝑥 = −9.5 𝑥 = −0.5

12. Datos/Observaciones
Bosqueje la gráfica de la ecuación 25𝑥2 + 16𝑦2 + 100𝑥 − 96𝑦 − 156 =
0 y determine los vértices, focos, lado recto y la ecuación de las rectas
directrices.
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
25 𝑥 + 2 2
+ 16 𝑦 − 3 2
= 156 + 100 + 144
25 𝑥2
+ 4𝑥 + 16 𝑦2
− 6𝑦 = 156
25 𝑥 + 2 2
+ 16 𝑦 − 3 2
= 400
25 𝑥 + 2 2
400
+
16 𝑦 − 3 2
400
=
400
400
𝑥 + 2 2
16
+
𝑦 − 3 2
25
= 1
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
25 = 16 + 𝑐2
𝑐 = 3
𝑎 = 5 𝑏 = 4
𝑎2
= 25 𝑏2
= 16
𝑉1 −2, 3 + 5 = −2 8
𝐶 −2, 3
𝑉2 −2, 3 − 5 = −2, −2
𝐹1 −2, 3 + 3 = −2, 6
𝐹2 −2, 3 − 3 = −2, 0
𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
=
32
5
𝐿𝐷:
𝑎2
𝑐
=
25
3
= 8. ෠
3 𝑦 = 3 ± 8. ෠
3
𝑦 = 11. ෠
3 𝑦 = −5. ෠
3

13. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. El centro de la elipse tiene por coordenadas 𝐶(2, 4). Si la distancia del centro a los focos es 3𝑢, su
excentricidad 1/3 y la elipse es de eje vertical, determine su ecuación ordinaria.
SOLUCIÓN:
𝑐
𝑎
=
1
3
𝑐 = 3
ELIPSE
𝑥 − 2 2
72
+
𝑦 − 4 2
81
= 1
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
81 = 𝑏2
+ 9
𝑏2
= 72
𝑎 = 9
ℰ:
𝑥 − 2 2
72
+
𝑦 − 4 2
81
= 1
RPTA:

14. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. El centro de una elipse es el punto 2, −4 y el vértice y el foco de un mismo lado del
centro son los puntos −2, −4 y −1, −4 respectivamente. Determine la ecuación
general de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la longitud del lado
recto.
SOLUCIÓN:
RPTA:
ELIPSE
𝑐 = 3
𝑥 − 2 2
16
+
𝑦 + 4 2
7
= 1
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
16 = 𝑏2
+ 9
𝑏2
= 7
𝑎 = 4
7 𝑥 − 2 2
+ 16 𝑦 + 4 2
112
= 1
7𝑥2
− 28𝑥 + 28 + 16𝑦2
+ 128𝑦 + 256 = 112
ℰ: 7𝑥2
+ 16𝑦2
− 28𝑥 + 128𝑦 + 172 = 0
ℰ: 7𝑥2
+ 16𝑦2
− 28𝑥 + 128𝑦 + 172 = 0
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
3
4
𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 2𝑏 = 2 7 𝐿𝑅:
2𝑏2
𝑎
=
14
4
=
7
2

15. LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS

16. Experiencia
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min

17. EJERCICIOS RETOS
1. Determine los vértices, los focos, extremos del eje normal, el lado recto, excentricidad y
las rectas directrices de 𝑥2 + 4𝑦2 + 6 = 12𝑦 − 2𝑥.
2. La ecuación de una elipse es 𝑥2
+ 4𝑦2
− 4 = 0 y en ella se traza una cuerda vertical 𝐿𝐴.
Hallar el área del triángulo equilátero 0𝐿𝐴 si 𝐿 ∈ 𝐼𝑉𝐶 y O(0,0).
3. Calcular la longitud del lado excentricidad y lado recto de la cónica 9𝑥2 + 4𝑦2 = 36.
4. Sabiendo que la excentricidad de una elipse es
1
3
y sus vértices 𝑉1(7,1) y 𝑉2(1, 1),
señale la ecuación de la cónica mencionada.
5. Hallar la ecuación de la elipse canónica vertical, sabiendo que la distancia entre sus
directrices es
50
21
y su excentricidad es
21
5
.

18. Espacio de
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas

19. Datos/Observaciones
Conclusiones
1. Los elementos principales para la ecuación de la elipse
son el centro y 2 valores “𝑎” y “𝑏”.
2. “𝑎” es la distancia del centro al vértice, “𝑐” la distancia del
centro al foco.
3. Por Pitágoras se cumple que 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

20. Datos/Observaciones
ELIPSE

21. Datos/Observaciones
FINALMENTE
Excelente tu
participación
Triunfo porque no pongo
excusas, pongo soluciones.

Ésta sesión quedará
grabada para tus
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios
propuestos de ésta sesión y
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus
dudas.