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ELIPSE
Definición: una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que
la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sea F1
y F2 dos puntos del plano y sea d una constante mayor que la distancia F1 F2. Un
punto Q pertenece a la elipse de focos F1 y F2 si: F1 Q + F2 Q = d = 2a donde
a es el semieje mayor de la elipse.
                         ELEMENTOS DE LA ELIPSE

Vértices               :   A, B, C, D
Distancia Focal        :   F1 F2 = 2 c
Eje mayor o focal      :   AB = 2 a
Focos                  :   F1 y F2
Eje menor              :   CD = 2 b
Centro                 :   C


 Perímetro de una elipse en función
de la longitud de sus ejes (a y b) es:
          π (A + B), donde:
A = (a + b) / 2; y B = raíz[ (a² + b²) / 2 ]




En   la siguiente grafica complementamos los elementos de la elipse
a)   En el triangulo OAF2 se cumple a²= b²+c²
b)   Los vértices de la elipse son A1(-a, 0), A2(a, 0), B1(0, -b), B2(0, b).
c)   Los focos de la elipse son F1(-c, 0), F2(c, 0),
d)   Los vértices cortan aleje en X en a y –a
e)   Los vértices cortan al eje en Y en b y –b

                        ECUACIÓN DE UNA ELIPSE
La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Si ambos lados se dividen
                         por r2: (x2/r2) + (y2/r2) = 1
   La ecuación de una elipse es esa misma con una pequeña modificación:
                             (x2/a2) + (y2/b2) = 1
CONSTRUCCIÓN DE UNA ELIPSE
 Un truco sencillo para construir una elipse consiste es colocar un clavo o alfiler
en cada foco de la elipse.




Luego anudamos un hilo, de acuerdo al limite que deseemos lograr o bien
ajustándolo en la medida máxima. Tomamos un lápiz y lo deslizamos
perpendicularmente a la hoja con el límite que nos permite el hilo y así le
damos forma a la elipse. Fácil, no? Esta es la idea para graficar la elipse en
nuestro Jardín Elipsoidal.

                           EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 01. Dibujar la elipse (x2/64) + (y2/16) = 1
Solución:
Ya sabemos que la elipse corta a los ejes en x=±8 y en y=±4.
Añadimos algunos puntos:
 (a) Escoger y = 2. Luego de la ecuación
(x2/64) + (4/16) = 1. Restamos 1/4 en ambos lados (x2/64) =3/4 Extraemos la raíz
cuadrada x/8 = √(3)/√(4) = 1.732/2 = 0.866 de la cual x = 6.93 con una exactitud
razonable.
 (b) Escoger y = 3. Luego de la ecuación
(x2/64) + (9/16) = 1. Restamos 9/16 en ambos lados (x2/64) =7/16
Extraemos la raíz cuadrada x/8 = √(7)/√(16) = 2.6457/4 = 0.6674 de la cual,
aproximadamente, x = 5.29
De nuevo, x e y pueden ser de cualquier signo. Obtenemos 12 puntos,
suficientes para una gráfica tosca:
 x   8   6.93   5.29   0   -5.29   -6.93   -8   --6.93   -5.29   0    5.29   6.93   (8)

 y   0   2      3      4   3       3        0   -2       -3      -4   -3     -2     (0)


 EJERCICIO 02. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y
cuyos focos son los puntos F (3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la
gráfica con el eje x es el punto (5, 0).
Solución:
Como la elipse corta al eje x en el punto (5,
0) se deduce que a = 5 y como c = 3 se
tiene que,                         y por tanto
         .
 De esta forma, los vértices de la elipse son
los puntos V1 (5, 0), V2 (-5, 0), V3 (0, 4) y V4
(0, -4). Además, su ecuación viene dada
por:
EJERCICIO 04. Halla la ecuación de la elipse que se origina en el papel
milimetrado del jardín elipsoidal.

EJERCICIO 05. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 4y2 =
100
Solución:
La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:
 x² y ²
   +     =1
 4 25       (porqué?)                        La última
ecuación corresponde a una elipse centrada en el
origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2.
Además, los focos de la elipse están localizados sobre
el eje y.
De otro lado,                   , de donde            y
en consecuencia, los focos se encuentran localizados en
los puntos               y           .
Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2,
0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).

EJERCICIO 06. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que
tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0
Solución:
La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:


                                                   (Complementación            de
cuadrado)
                                        (Factorización y simplificación)



                        (Dividiendo por 4)

  Esta última ecuación corresponde a la elipse
cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;
a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es
paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2
(ver fig. 6.5.10.).
Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3),
V3(3, -1) y V4(1, -1).
Como                         , se tiene que los
focos están localizados en los puntos                  y                   .
Elipse

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Elipse

  • 1. ELIPSE Definición: una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sea F1 y F2 dos puntos del plano y sea d una constante mayor que la distancia F1 F2. Un punto Q pertenece a la elipse de focos F1 y F2 si: F1 Q + F2 Q = d = 2a donde a es el semieje mayor de la elipse. ELEMENTOS DE LA ELIPSE Vértices : A, B, C, D Distancia Focal : F1 F2 = 2 c Eje mayor o focal : AB = 2 a Focos : F1 y F2 Eje menor : CD = 2 b Centro : C Perímetro de una elipse en función de la longitud de sus ejes (a y b) es: π (A + B), donde: A = (a + b) / 2; y B = raíz[ (a² + b²) / 2 ] En la siguiente grafica complementamos los elementos de la elipse a) En el triangulo OAF2 se cumple a²= b²+c² b) Los vértices de la elipse son A1(-a, 0), A2(a, 0), B1(0, -b), B2(0, b). c) Los focos de la elipse son F1(-c, 0), F2(c, 0), d) Los vértices cortan aleje en X en a y –a e) Los vértices cortan al eje en Y en b y –b ECUACIÓN DE UNA ELIPSE La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Si ambos lados se dividen por r2: (x2/r2) + (y2/r2) = 1 La ecuación de una elipse es esa misma con una pequeña modificación: (x2/a2) + (y2/b2) = 1
  • 2. CONSTRUCCIÓN DE UNA ELIPSE Un truco sencillo para construir una elipse consiste es colocar un clavo o alfiler en cada foco de la elipse. Luego anudamos un hilo, de acuerdo al limite que deseemos lograr o bien ajustándolo en la medida máxima. Tomamos un lápiz y lo deslizamos perpendicularmente a la hoja con el límite que nos permite el hilo y así le damos forma a la elipse. Fácil, no? Esta es la idea para graficar la elipse en nuestro Jardín Elipsoidal. EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIO 01. Dibujar la elipse (x2/64) + (y2/16) = 1 Solución: Ya sabemos que la elipse corta a los ejes en x=±8 y en y=±4. Añadimos algunos puntos: (a) Escoger y = 2. Luego de la ecuación (x2/64) + (4/16) = 1. Restamos 1/4 en ambos lados (x2/64) =3/4 Extraemos la raíz cuadrada x/8 = √(3)/√(4) = 1.732/2 = 0.866 de la cual x = 6.93 con una exactitud razonable. (b) Escoger y = 3. Luego de la ecuación (x2/64) + (9/16) = 1. Restamos 9/16 en ambos lados (x2/64) =7/16 Extraemos la raíz cuadrada x/8 = √(7)/√(16) = 2.6457/4 = 0.6674 de la cual, aproximadamente, x = 5.29 De nuevo, x e y pueden ser de cualquier signo. Obtenemos 12 puntos, suficientes para una gráfica tosca: x 8 6.93 5.29 0 -5.29 -6.93 -8 --6.93 -5.29 0 5.29 6.93 (8) y 0 2 3 4 3 3 0 -2 -3 -4 -3 -2 (0) EJERCICIO 02. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F (3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). Solución: Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se deduce que a = 5 y como c = 3 se tiene que, y por tanto . De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1 (5, 0), V2 (-5, 0), V3 (0, 4) y V4 (0, -4). Además, su ecuación viene dada por:
  • 3. EJERCICIO 04. Halla la ecuación de la elipse que se origina en el papel milimetrado del jardín elipsoidal. EJERCICIO 05. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 4y2 = 100 Solución: La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes: x² y ² + =1 4 25 (porqué?) La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y. De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos y . Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0). EJERCICIO 06. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0 Solución: La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes: (Complementación de cuadrado) (Factorización y simplificación) (Dividiendo por 4) Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes; a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig. 6.5.10.). Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1). Como , se tiene que los focos están localizados en los puntos y .