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1. CURVAS EN EL PLANO: CIRCUNFERENCIAS, ELIPSES,
HIP´ERBOLAS Y PAR´ABOLAS
En el espacio, si dos rectas se cortan en un punto V y una recta gira en torno a la otra, se
obtiene una superficie c´onica. La recta que gira recibe el nombre de generatriz y la otra se
denomina eje de giro. El punto de intersecci´on de ambas rectas se llama v´ertice.
La intersecci´on de una superficie c´onica con un plano que no pasa por su v´ertice, da lugar a
las curvas llamadas c´onicas. Las circunferencias son las curvas que se obtienen cortando
una superficie c´onica con un plano perpendicular al eje. Las elipses son las curvas que se
obtiene cortando una superficie c´onica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus
generatrices. Las hip´erbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie c´onica
con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices. Las par´abolas son las curvas que se
obtienen al cortar una superficie c´onica con un plano paralelo a una sola generatriz.
Nosotros vamos a estudiar estas curvas como lugares geom´etricos.
La CIRCUNFERENCIA de centro O y radio r > 0 es el lugar geom´etrico de los puntos
del plano, P, tales que la distancia a O es r. Es decir, d(P, O) = r.
Si el centro es O = (0, 0) y el radio es r > 0 la ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
es x2
+ y2
= r2
, mientras que las ecuaciones param´etricas son
x = r cos α
y = r sen α α ∈ [0, 2π]
En general, si el centro es O = (a, b) y el radio es r > 0 su ecuaci´on cartesiana es
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
, mientras que las ecuaciones param´etricas son
x = a + r cos α
y = b + r sen α α ∈ [0, 2π]

2. 1. Halla la ecuaci´on de la circunferencia de centro (−3, 0) y que pasa por (3, −8).
2. Halla la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por (3, 0), (−1, 0) y (0, 3).
3. Halla los valores de k para que la ecuaci´on x2
+ y2
− 4x + 6y + k = 0 represente:
a) una circunferencia, b) un punto, c) ninguna l´ınea.
4. Sea considera la circunferencia C : x2
+ y2
+ 2x + 4y + 1 = 0. Determina los valores de
k para que la recta y = 2x + k sea:
a) exterior a C, b) tangente a C, c) secante a C.
5. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2
+y2
+4x+6y−12 = 0
en los puntos de abscisa 2.
6. Encuentra la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos (−1, −2) y (3, 2)
cuyo centro est´a en la recta y = −2x.
7. Halla la ecuaci´on de la circunferencia de centro (1, 2) y tangente a la recta 4x+3y = 35.
Halla el punto de contacto.
8. Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la circunferencia x2
+y2
= 1 trazadas
desde el punto (2, 0).
9. Halla los puntos de intersecci´on de las dos circunferencias. x2
+ y2
+ 6x − 16 = 0,
x2
+ y2
− 6x − 6y + 8 = 0, y la longitud de la cuerda com´un.
La ELIPSE es el lugar geom´etrico de los puntos P del plano tales que la suma de las
distancias a dos puntos fijos F y F , llamados focos, es constante. Si llamamos 2a a esa
constante, los puntos P cumplen d(P, F) + d(P, F ) = 2a.
Consideremos la recta que une los focos F y F y O su punto medio. En O situamos
el origen de coordenadas y en la recta que une los focos el eje OX. A los puntos A y A ,
intersecci´on de la elipse con la recta que pasa por F y F , se les llama v´ertices de la elipse.
Observa que OA = a, ya que d(A, F) + d(A, F ) = 2a. Tambi´en se llama v´ertices a los
puntos B y B que son intersecci´on de la mediatriz del segmento FF con la elipse. Como
B es un punto de la elipse BF + BF = 2a y, como BF = BF, se tiene que BF = a.
Llamando b a OB y c a la mitad de la distancia entre los focos, se tiene que a2
= b2
+ c2
.
Se llama excentricidad al cociente e = c
a
. En la elipse e < 1. La ecuaci´on reducida de la
elipse respecto de sus ejes es
x2
a2
+
y2
b2
= 1. Las ecuaciones param´etricas de la elipse son:
x = a cos α
y = b sen α α ∈ [0, 2π]

3. 1. Dada la elipse 4x2
+9y2
= 900, encuentra la longitud de los semiejes y su excentricidad.
2. Inscribe un rect´angulo de lados paralelos a los ejes y per´ımetro 12 en la elipse x2
+2y2
=
6
3. Dada la elipse 3x2
+2y2
= 21, halla los valores de n para los cuales la recta x−2y−n = 0
es:
a) secante a la elipse, b) tangente a la elipse, c) exterior a la elipse.
4. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la elipse
x2
9
+
y2
16
= 1,
en el punto de abscisa 1 situado en el primer cuadrante.
5. Dada la elipse x2
+ 4y2
= 100 y uno de sus puntos (6, 4), comprueba la propiedad
geom´etrica siguiente (v´alida en cada punto): la tangente y la normal en ese punto son
las bisectrices de los ´angulos formados por los radios vectores del punto. [Observaci´on:
127 ± 60
√
3 = 10 ± 3
√
3].
La HIP´ERBOLA es el lugar geom´etrico de los puntos P del plano tales que la diferencia
de sus distancias a dos puntos fijos F y F , llamados focos, es constante. Si llamamos 2a a
esa constante, son los puntos P tales que |d(P, F) − d(P, F )| = 2a.
Los puntos A y A se llaman v´ertices de la hip´erbola. Consideremos el segmento que
une F y F y sea O su punto medio. En O situamos el origen de coordenadas y en la recta
que une los focos el eje OX: es decir para cierto c > 0, F = (c, 0), F = (−c, 0). Se llama
excentricidad al cociente e = c
a
> 1. Si, adem´as, para b > 0 se cumple que a2
+ b2
= c2
, la
ecuaci´on reducida de la hip´erbola es
x2
a2
−
y2
b2
= 1. Las rectas y = ±b
a
x se llaman as´ıntotas
de la hip´erbola.
Cuando a = b, la hip´erbola se dice que es equil´atera y su ecuaci´on reducida es x2
− y2
=
λ = 0. En este caso, las as´ıntotas son las rectas y = ±x y la ecuaci´on de la hip´erbola
equil´atera referida a sus as´ıntotas es xy = k, siendo k una constante.

4. 1. Encuentra los v´ertices y los focos de la hip´erbola
x2
9
−
y2
16
= 1.
2. Inscribe un tri´angulo equil´atero en la hip´erbola x2
− 7y2
= 4, que tenga un v´ertice en
un v´ertice de la hip´erbola.
3. Dada la hip´erbola x2
− 4y2
= 36 y uno de sus puntos (10, 4), comprueba la propiedad
geom´etrica siguiente (v´alida en cada punto): la tangente y la normal en este punto son
las bisectrices de los ´angulos formados por los radios vectores del punto. [Observaci´on:
161 ± 60
√
5 = 5
√
5 ± 6].
4. Representa la familia de hip´erbolas equil´ateras definida por la ecuaci´on xy = k, para
los valores de k > 0. Comp´arala con la familia xy = k , con k < 0.
La PAR´ABOLA es el lugar geom´etrico de los puntos del plano que equidistan de un punto
fijo F llamado foco, y de una recta fija r, llamada directriz. Se llama eje de la par´abola a
la recta perpendicular a la directriz trazada desde el foco. Se llama v´ertice de la par´abola
al punto intersecci´on de ´esta con el eje. Si la directriz es la recta x = −p
2
y el foco es el punto
F = (p
2
, 0), la ecuaci´on de la par´abola es y2
= 2px. La excentricidad de una par´abola siempre
es 1.
1. Encuentra la ecuaci´on de la par´abola que tiene por directriz la recta x = 5 y el foco
en el punto F = (−4, 0)
2. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la par´abola y2
= 8x en los puntos
de abscisa x = 2.
3. Dada la par´abola y2
= 4x, y uno de sus puntos P = (4, 4), comprueba la propiedad
geom´etrica (v´alida en cada punto): la tangente a la par´abola en P es la bisectriz del
´angulo formado por la recta PF y la perpendicular por P a la directriz.