calculo extremo

1. SEMANA 1
RELACIONES
• RELACIONES BINARIAS
• DOMINIO Y RANGO
• GRÁFICA DE RELACIONES
• RELACIÓN INVERSA

2. 1 Pares ordenados
Son entes matemáticos que consisten de una Primera componente y
Segunda componente y se les denota por el símbolo: (a, b).
Definición formal.-El par ordenado (a, b) se define como el conjunto:
(a, b) ={{a}},{a, b}}
2 Producto Cartesiano:
El producto cartesiano AxB
AxB={(a;b)/ a∈A} y b∈B}
Ejemplo:
Dado un conjunto A={a, b}
y un conjunto B={1,2}
AxB={(a; 1),(a; 2),(b; 1),(b; 2)

3. También se puede representar el producto cartesiano en un par de ejes
coordenados.
En el eje de abscisas (x) el conjunto A
En el eje de ordenadas (y) el conjunto B
y los pares ordenados en la intersecciones de las perpendiculares a cada uno de
los ejes, que pasan por los elementos involucrados.

4. 1) Si A ={1,2}, entonces P(A) ={ ;{1};{2},{1,2}}
Recuerda que cada uno de los subconjuntos posibles formados con los
elementos del conjunto A, es un elemento de P(A).
P(A) x A={(,1); (,2); ({1},1); ({1},2); ({2},1); ({2},2); ({1,2},1);
({1,2},2)}
observa que en cada par ordenado, el 1° elemento ∈ P(A) y el 2° elemento ∈ A
2) a) Si A={a}, B={2}, C={a, b}, D={1,2}
CxD={(a,1); (a,2); (b,1); (b,2)}
Ubicamos ahora A⊂C y B⊂D
AxB ={(a,2)}

5. En ejes cartesianos:
El único par ordenado de AxB ;(a,2) ∈ CxD
Entonces AxB ⊂ CxD
2) b)Si AxB ⊂ CxD ¿Se sigue de esto necesariamente que A⊂C y B⊂D? Explique:
Si a∈A⇒(a, b) ∈ AxB, ∀b∈B
Si el elemento a pertenece al conjunto A entonces el par ordenado (a,b)
pertenece al producto cartesiano AxB para todo elemento b que pertenece al
conjunto B.
Por la hipótesis del ejercicio AxB ⊂ CxD, entonces. . .
Si (a, b) ∈ AxB entonces (a, b) ∈ CxD luego a∈C, luego A⊂C
Análogamente puede hallarse que B⊂D: Si b∈B ⇒ (a, b) ∈ AxB, ∀a∈A por la
hipótesis del ejercicio AxB ⊂ CxD, entonces. . .
Si (a, b) ∈ AxB entonces (a, b) ∈ CxD luego b∈D, luego B⊂D

6. 3 Relaciones Binarias
Dado un producto cartesiano A x B, diremos que R es una relación binaria de A en B, si
y sólo si, R es un subconjunto de A x B. Es decir :
Existe una relación R ⊂ AxB ↔ ∀ (x, y)∈ R: x ∈ A , y ∈ B
Incluida en el producto cartesiano AxB si y sólo si para todo par ordenado (x, y) que
pertenece a la relación R se verifica que el elemento x pertenece al conjunto A y que el
elemento y pertenece al conjunto B.
Sean A={1,2} y B={2,3}
En AxB ={(1,2); (1,3); (2,2); (2,3)}
Definimos R⊂AxB : (x, y) ∈ R ↔ y =2x
Equivalentemente R ={(x, y) ∈ AxB / y= 2x}

7. Nota.- De analizar los pares ordenados que conforman AxB resulta que algunos
verifican (otros no) o puede suceder que todos verifiquen e incluso también puede
suceder que ningún par ordenado verifique la condición.
Analizamos:
en el par (1,2) x= 1 y = 2 , 2 = 2.1 entonces (1,2) ∈ R
en el par (1,3) x= 1 y = 3 , 3= 2.1 entonces (1,3) R
en el par (2,2) x= 2 y = 2 entonces (2,2)  R
en el par (2,3) x= 2 y = 3 , 3= 2.2 entonces (2,3)  R
Por tanto: R={(1,2)}
El dominio de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del
primer conjunto A que intervienen en la relación.
La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del
segundo conjunto B que intervienen en la relación.

8. La gráfica de la relación R se define como:
Graf(R) ={(x.y) / y=R(x)}.
Por ejemplo: S={(y, z) ∈ BxC / z=y/2}
El dominio de la relación S es un conjunto formado por todos los elementos del primer
conjunto A que intervienen en la relación.
La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo
conjunto B que intervienen en la relación.
Dom (S) = {4,6,16}
Im (S) = {2,3,8}

9. 4. Gráfica de Relaciones
Dada una relación R se consideran los valores del dominio de R en el Eje X y
los valores del rango de R en el Eje Y. Así por ejemplo, la representación
gráfica de la relación R={(1,1); (2,1); (2,2); (3,1); (3,2); (4,2); (5,3)}
Notación: R x R = R2

10. Ejemplo: Bosquejaremos las gráficas de las siguientes relaciones en R:
L={(x, y)∈ RxR /x=y}
S={(x, y)∈ RxR /x= 2}={(2, y) / y ∈ R}
T={(x, y)∈ RxR /y= 3}={(x,3) / x ∈ R}
Para que un par ordenado se encuentre en la relación L sus dos
componentes deben ser iguales. Así, algunos pares ordenados en L son:
(−2,−2),(−1,−1),(0,0),(1,1),(6,6),(
7
5
,
7
5
), etc. Donde resulta en este caso:
Dom (L) = <−∞,∞> = R (EjeX)
Ran (L) = <−∞.∞> = R (EjeY)

11. En general, como el dominio ha de ser un conjunto continuo, entonces
uniendo todos los puntos de L se obtiene una RECTA.

12. Algunos elementos de la relación S son (2,−2),(2,−1),(2,0),(2,1),(2,32),etc.
Aquí basta que la primera componente sea igual a 2 para que tal par ordenado se
encuentre en la relación
S={(x, y) ∈ RxR / x= 2}={(2, y) / y ∈ R}
La segunda componente no
tiene restricciones en R:
Dom(S) ={2}
Ran(S) = <−∞,∞>
Aquí también la gráfica corresponde a
una recta (vertical) que precisamente
pasa por x=2.

13. En general, toda ecuación de la forma: x=C, C (constante) en el plano XY corresponde
a una recta vertical que pasa por x=C precisamente.
Análogamente, podemos ver que la gráfica de la relación T definida por
T={(x, y) ∈ R} x R / y=3} corresponde a una recta horizontal que pasa a la altura y= 3
Dom(T) = <−∞,∞>
Ran(T) ={3}

14. En general, toda ecuación de la forma :y=C, con C constante, en el plano XY
corresponde a una recta horizontal que pasa precisamente a la altura y=C.
Nota.-La gráfica correspondiente a
a) la ecuación y=0 coincide con el EJE X
b) la ecuación x=0 coincide con el EJE Y
5. Relación Inversa
Toda relación R de A en B tiene una relación inversa de B en A, denotada 𝑅−1,y
definida por:
𝑅−1
= {(b, a) / (a, b) ∈ R}
Así, los elementos de 𝑅−1 son aquellos pares ordenados obtenidos al inter-cambiar
entre sí de cada uno de los pares ordenados de la relación directa R

15. Ejemplo
Si A={1,2,3}, B={4,5}y la relación R de A en B:
R={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)}
Entonces R−1={(4,1),(5,1),(4,2),(5,2)}
6. Propiedad Fundamental de las Relaciones Inversas
Dada una relación R de A en B y su relación inversa R−1
de B en A:
Dominio de R−1 = Rango de R
Rango de R−1 = Dominio de R

16. Referencias:
• Venero A. (2012) Análisis Matemático 1
• Mitacc M. & Toro L. (2010). Tópicos de Cálculo. Volumen 1.
Tercera Edición.
• Leithold Louis (1989). El Cálculo con Geometría Analítica. Cuarta
Edición.
• Granville, Smith, Longley (1963). Cálculo Diferencial e Integral.
• Taylor & Wade (1965). Cálculo diferencial e integral.
• Piskunov. Calculo Diferencial e integral. Tomo I.