Wiki libro matemática

Índice general
1 Matemáticas 1
1.1 Etimología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Algunas deﬁniciones de matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Epistemología y controversia sobre la matemática como ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 La inspiración, las matemáticas puras, aplicadas y la estética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Notación, lenguaje y rigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 La matemática como ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Ramas de estudio de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7.1 Matemáticas puras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7.2 Matemáticas aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.9 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.9.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.10 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Áreas de las matemáticas 8
2.1 Fundamentos/general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Geometría y topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Matemática discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Matemáticas aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7.1 Probabilidad y estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7.2 Ciencias de cómputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7.3 Ciencias físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7.4 Otras ciencias matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Número entero 13
3.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
i

ii ÍNDICE GENERAL
3.2 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.1 Números con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 La recta numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Operaciones con números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.1 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.2 Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.3 Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.6.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Geometría 16
4.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Axiomas, deﬁniciones y teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2.1 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Topología y geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Tipos de geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4.1 Geometrías según el tipo de espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4.2 Geometría asociadas a transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4.3 Geometría según el tipo de representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4.4 Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.6.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Trigonometría 20
5.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2 Unidades angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3 Las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3.1 Razones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3.2 Razones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3.3 Otras funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3.4 Funciones trigonométricas recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3.5 Funciones trigonométricas inversas recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4 Equivalencia entre las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.5 Valor de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.6 Sentido de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.6.1 Primer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.6.2 Segundo cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ÍNDICE GENERAL iii
5.6.3 Tercer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.6.4 Cuarto cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.7 Cálculo de algunos casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.7.1 Para 90-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.7.2 Para 90+α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.7.3 Para 180-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.7.4 Para 180+α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.7.5 Para 270-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.7.6 Para 270+α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.7.7 Para -α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.8 Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.8.1 Recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.8.2 De división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.8.3 Por el teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.9 Seno y coseno, funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.10 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.11 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.11.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Trigonometría esférica 36
6.1 La esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.1.1 Círculo máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.1.2 Volumen y superﬁcie de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.1.3 Dominio sobre la superﬁcie esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Triángulo esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2.1 Fórmulas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 Pentágono de Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.4 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.5 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.6 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.7 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.7.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.7.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.7.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Capítulo 1
Matemáticas
ab
c
El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos
de las matemáticas.
Las matemáticas o la matemática[1]
(del latín mat-
hematĭca, y este del griego μαθηματικά, derivado de
μάθημα, ‘conocimiento’) es una ciencia formal que, par-
tiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico,
estudia las propiedades y relaciones entre entidades abs-
tractas como números, figuras geométricas o símbolos.
Para explicar el mundo natural se usan las matemáticas,
tal como lo expresó Eugene Paul Wigner (Premio Nobel
de física en 1963):[2]
La enorme utilidad de las matemáticas en
las ciencias naturales es algo que roza lo miste-
rioso, y no hay explicación para ello. No es en
absoluto natural que existan “leyes de la natu-
raleza”, y mucho menos que el hombre sea ca-
paz de descubrirlas. El milagro de lo apropiado
que resulta el lenguaje de las matemáticas para
la formulación de las leyes de la física es un re-
galo maravilloso que no comprendemos ni nos
merecemos.
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el
razonamiento, las matemáticas han evolucionado basán-
dose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con
el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los
objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos,
han tenido un fin práctico.
Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecie-
ron por primera vez con la matemática helénica, especial-
mente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas
siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones,
hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemá-
ticas interactuaron con los nuevos descubrimientos cien-
tíficos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la
investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo
como una herramienta esencial en muchos campos, entre
los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería,
la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas
que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como
la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia ar-
mónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las mate-
máticas destinada a la aplicación del conocimiento mate-
mático a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nue-
vos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, condu-
cen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos
también participan en las matemáticas puras, sin tener en
cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicacio-
nes prácticas de las matemáticas puras suelen ser descu-
biertas con el paso del tiempo.
1.1 Etimología
La palabra «matemática» (del griego μαθηματικά mat-
hēmatiká , «cosas que se aprenden») viene del griego
antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo
de estudio o instrucción». El significado se contrapo-
ne a μουσική (musiké) «lo que se puede entender sin
haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y
campos similares, mientras que μαθηματική se refiere
a las áreas del conocimiento que sólo pueden entender-
se tras haber sido instruido en las mismas (astronomía,
aritmética).[3]
Aunque el término ya era usado por los
pitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a. C., alcanzó su
significado más técnico y reducido de «estudio matemá-
tico» en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su
adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), «relacionado
con el aprendizaje», lo cual, de manera similar, vino a sig-
nificar «matemático». En particular, μαθηματική τέχνη
(mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa
«el arte matemática».
La forma más usada es el plural matemáticas, que tie-
ne el mismo significado que el singular[1]
y viene de la
forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural
en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por
1

2 CAPÍTULO 1. MATEMÁTICAS
Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, «todas las
cosas matemáticas». Algunos autores, sin embargo, ha-
cen uso de la forma singular del término; tal es el caso
de Bourbaki, en el tratado Elementos de matemática (Éle-
ments de mathématique), (1940), destaca la uniformidad
de este campo aportada por la visión axiomática moder-
na, aunque también hace uso de la forma plural como
en Éléments d'histoire des mathématiques (Elementos de
historia de las matemáticas) (1969), posiblemente sugi-
riendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la uni-
ficación de las matemáticas.[4]
Así mismo, en el escrito
L'Architecture des mathématiques (1948) plantea el tema
en la sección «Matemáticas, singular o plural» donde de-
fiende la unicidad conceptual de las matemáticas aunque
hace uso de la forma plural en dicho escrito.[5]
1.2 Algunas definiciones de mate-
mática
Establecer definiciones claras y precisas es el fundamento
de la matemática, pero definirla ha sido difícil, se mues-
tran algunas definiciones de pensadores famosos:
• René Descartes: (Cirilo Flórez Miguel, ed. Obra
completa. Biblioteca de Grandes Pensadores 2004)
“La matemática es la ciencia del orden y la medida,
de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos
y fáciles.”
• David Hilbert: (Putnam, Hilary: On the infinite. Phi-
losophy of Mathematics, p.187, 1998). “En un cier-
to sentido, el análisis matemático es una sinfonía del
infinito. La matemática es el sistema de las fórmulas
demostrables.”
• Benjamin Peirce: (Nahin, Paul , The Story of i , p.68,
1998). “La matemática es la ciencia que extrae con-
clusiones necesarias.”
• Bertrand Russell: (Principia mathematica, 1913).
“Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino
cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera,
como la de una escultura.”
• Ibo Bonilla: (Qué es matemática?, Academia.edu,
2014). “Hacer matemática es desentrañar los ritmos
del Universo”. “La matemática es la ciencia de es-
tructurar una realidad estudiada, es el conjunto de
sus elementos, proporciones, relaciones y patrones
de evolución en condiciones ideales para un ámbito
delimitado”.
• John David Barrow: (Imposibilidad. P 96. Gedisa,
1999). “En el fondo, matemática es el nombre que
le damos a la colección de todas las pautas e inter-
relaciones posibles. Algunas de estas pautas son en-
tre formas, otras en secuencias de números, en tanto
que otras son relaciones más abstractas entre estruc-
turas. La esencia de la matemática está en la relación
entre cantidades y cualidades.”
1.3 Epistemología y controversia
sobre la matemática como cien-
cia
El carácter epistemológico y científico de las matemáticas
ha sido ampliamente discutido. En la práctica, las mate-
máticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas,
estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes va-
riables. Los matemáticos buscan patrones,[6][7]
formulan
nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemá-
tica mediante deducciones rigurosas. Éstas les permiten
establecer los axiomas y las definiciones apropiados para
dicho fin.[8]
Algunas definiciones clásicas restringen las
matemáticas al razonamiento sobre cantidades,[1]
aunque
solo una parte de las matemáticas actuales usan números,
predominando el análisis lógico de construcciones abs-
tractas no cuantitativas.
Existe cierta discusión acerca de si los objetos matemáti-
cos, como los números y puntos, realmente existen o sim-
plemente provienen de la imaginación humana. El ma-
temático Benjamin Peirce definió las matemáticas como
“la ciencia que señala las conclusiones necesarias”.[9]
Por
otro lado, Albert Einstein declaró que: “cuando las leyes
de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas;
cuando son exactas, no se refieren a la realidad”.[10]
Se ha discutido el carácter científico de las matemáticas
debido a que sus procedimientos y resultados poseen una
firmeza e inevitabilidad inexistentes en otras disciplinas
como pueden ser la física, la química o la biología. Así, la
matemática sería tautológica, infalible y a priori, mientras
que otras, como la geología o la fisiología, serían falibles
y a posteriori. Son estas características lo que hace dudar
de colocarse en el mismo rango que las disciplinas antes
citadas. John Stuart Mill afirmaba:
La lógica no observa ni inventa ni descubre,
pero juzga.
Así, los matemáticos pueden descubrir nuevos proce-
dimientos para resolver integrales o teoremas, pero se
muestran incapaces de descubrir un suceso que pon-
ga en duda el Teorema de Pitágoras o cualquier otro,
como sí sucede constantemente con las ciencias de la
naturaleza.[11]
La matemática fue ser entendida como ciencia; si es así
debiera señalarse su objeto y su método. Sin embargo, al-
gunos plantean que la matemática es un lenguaje formal,
seguro, eficiente, aplicable al entendimiento de la natura-
leza, tal como indicó Galileo; además muchos fenómenos
de carácter social, otros de carácter biológico o geológico,

1.5. NOTACIÓN, LENGUAJE Y RIGOR 3
pueden ser estudiados mediante la aplicación de ecuacio-
nes diferenciales, cálculo de probabilidades o teoría de
conjunto. [12]
. Precisamente, el avance de la física, de la
química ha exigido la invención de nuevos conceptos, ins-
trumentos y métodos en la matemática, sobre todo en el
análisis real, análisis complejo y el análisis matricial. [13]
1.4 La inspiración, las matemáti-
cas puras, aplicadas y la estéti-
ca
Sir Isaac Newton (1643-1727), comparte con Leibniz la autoría
del desarrollo del cálculo integral y diferencial.
Es muy posible que el arte del cálculo haya sido desarro-
llado antes incluso que la escritura,[14]
relacionado funda-
mentalmente con la contabilidad y la administración de
bienes, el comercio, en la agrimensura y, posteriormente,
en la astronomía.
Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que
son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que
aparecen nuevos problemas dentro de las propias mate-
máticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman propuso
la integral de caminos como fundamento de la mecánica
cuántica, combinando el razonamiento matemático y el
enfoque de la física, pero todavía no se ha logrado una
definición plenamente satisfactoria en términos matemá-
ticos. Similarmente, la teoría de cuerdas, una teoría cien-
tífica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas
fundamentales de la física, sigue inspirando a las más mo-
dernas matemáticas.[15]
Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en
la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros pro-
blemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las ma-
temáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles
en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los concep-
tos matemáticos generales aceptados. El notable hecho de
que incluso la matemática más pura habitualmente tiene
aplicaciones prácticas es lo que Eugene Wigner ha defi-
nido como «la irrazonable eficacia de las matemáticas en
las Ciencias Naturales».[16]
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión
de los conocimientos en la era científica ha llevado a la
especialización de las matemáticas. Hay una importante
distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas
aplicadas. La mayoría de los matemáticos que se dedican
a la investigación se centran únicamente en una de estas
áreas y, a veces, la elección se realiza cuando comien-
zan su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas apli-
cadas se han fusionado con otras áreas tradicionalmente
fuera de las matemáticas y se han convertido en disci-
plinas independientes, como pueden ser la estadística, la
investigación de operaciones o la informática.
Aquellos que sienten predilección por las matemáticas,
consideran que prevalece un aspecto estético que defi-
ne a la mayoría de las matemáticas. Muchos matemáti-
cos hablan de la elegancia de la matemática, su intrínseca
estética y su belleza interna. En general, uno de sus as-
pectos más valorados es la simplicidad. Hay belleza en
una simple y contundente demostración, como la demos-
tración de Euclides de la existencia de infinitos números
primos, y en un elegante análisis numérico que acelera el
cálculo, así como en la transformada rápida de Fourier.
G. H. Hardy en A Mathematician’s Apology (Apología de
un matemático) expresó la convicción de que estas con-
sideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para
justificar el estudio de las matemáticas puras.[17]
Los ma-
temáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar de-
mostraciones de los teoremas que son especialmente ele-
gantes, el excéntrico matemático Paul Erdős se refiere a
este hecho como la búsqueda de pruebas de “El Libro” en
el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.[18][19]
La popularidad de la matemática recreativa es otra señal
que nos indica el placer que produce resolver las pregun-
tas matemáticas.
1.5 Notación, lenguaje y rigor
La mayor parte de la notación matemática que se utiliza
hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII.[20]
Antes de
eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minu-
cioso proceso que limitaba el avance matemático. En el
siglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de las no-
taciones empleadas en la actualidad. La notación moder-
na hace que las matemáticas sean mucho más fácil para

Leonhard Euler. Probablemente el más prolífico matemático de
todos los tiempos.
los profesionales, pero para los principiantes resulta com-
plicada. La notación reduce las matemáticas al máximo,
hace que algunos símbolos contengan una gran cantidad
de información. Al igual que la notación musical, la no-
tación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y
codifica la información que sería difícil de escribir de otra
manera.
El símbolo de infinito en diferentes tipografías.
El lenguaje matemático también puede ser difícil para
los principiantes. Palabras tales como o y sólo tiene sig-
nificados más precisos que en lenguaje cotidiano. Ade-
más, palabras como abierto y cuerpo tienen significa-
dos matemáticos muy concretos. La jerga matemática,
o lenguaje matemático, incluye términos técnicos como
homeomorfismo o integrabilidad. La razón que explica la
necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el len-
guaje matemático requiere más precisión que el lenguaje
cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en
el lenguaje y en la lógica como el «rigor».
El rigor es una condición indispensable que debe tener
una demostración matemática. Los matemáticos quieren
que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un ra-
zonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas
erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han da-
do varias veces en la historia de esta ciencia.[21]
El nivel
de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el
tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pe-
ro en tiempos de Isaac Newton los métodos empleados
eran menos rigurosos. Los problemas inherentes de las
definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un re-
surgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostracio-
nes oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemáticos con-
tinúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones
asistidas por ordenador.[22]
Un axioma se interpreta tradicionalmente como una «ver-
dad evidente», pero esta concepción es problemática. En
el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena
de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en
el contexto de todas las fórmulas derivadas de un sistema
axiomático.
1.6 La matemática como ciencia
Carl Friedrich Gauss se refería a la matemática como «la
reina de las ciencias».[23]
Tanto en el latín original Scien-
tiārum Regīna, así como en alemán Königin der Wissens-
chaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como
(campo de) conocimiento. Si se considera que la ciencia
es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas,
o por lo menos las matemáticas puras, no son una ciencia.
Muchos filósofos creen que las matemáticas no son expe-
rimentalmente falseables, y, por tanto, no es una ciencia
según la definición de Karl Popper.[24]
No obstante, en la
década de 1930 una importante labor en la lógica mate-
mática demuestra que las matemáticas no puede reducir-
se a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que
«la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de
física y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto, las
matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las cien-
cias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sido
hasta ahora».[25]
Otros pensadores, en particular Imre La-
katos, han solicitado una versión de Falsacionismo para
las propias matemáticas.
Una visión alternativa es que determinados campos cien-

1.7. RAMAS DE ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS 5
Carl Friedrich Gauss, apodado el “príncipe de los matemáticos”,
se refería a la matemática como “la reina de las ciencias”.
tíficos (como la física teórica) son matemáticas con
axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De he-
cho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la cien-
cia es «conocimiento público» y, por tanto, incluye a las
matemáticas.[26]
En cualquier caso, las matemáticas tie-
nen mucho en común con muchos campos de las ciencias
físicas, especialmente la exploración de las consecuencias
lógicas de las hipótesis. La intuición y la experimentación
también desempeñan un papel importante en la formula-
ción de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias.
Las matemáticas experimentales siguen ganando repre-
sentación dentro de las matemáticas. El cálculo y simula-
ción están jugando un papel cada vez mayor tanto en las
ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción
de que las matemáticas no se sirven del método científico.
En 2002 Stephen Wolfram sostiene, en su libro Un nuevo
tipo de ciencia, que la matemática computacional merece
ser explorada empíricamente como un campo científico.
Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son
muy variadas. Muchos matemáticos consideran que lla-
mar a su campo ciencia es minimizar la importancia de
su perfil estético, además supone negar su historia den-
tro de las siete artes liberales. Otros consideran que ha-
cer caso omiso de su conexión con las ciencias supone
ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus
aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impul-
sado considerablemente el desarrollo de las matemáticas.
Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el
anterior, es si la matemática fue creada (como el arte) o
descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos
temas de incumbencia de la filosofía de las matemáticas.
Los premios matemáticos se mantienen generalmente se-
parados de sus equivalentes en la ciencia. El más pres-
tigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla
Fields,[27][28]
fue instaurado en 1936 y se concede ca-
da cuatro años. A menudo se le considera el equivalente
del Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son el
Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reco-
noce los logros en vida de los matemáticos, y el Premio
Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en
2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente tra-
bajo, que puede ser una investigación innovadora o la so-
lución de un problema pendiente en un campo determi-
nado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver,
denominada los «Problemas de Hilbert», fue recopilada
en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta
lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos
y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resuel-
tos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales,
titulada «Problemas del milenio», se publicó en 2000. La
solución de cada uno de los problemas será recompensa-
da con 1 millón de dólares. Curiosamente, tan solo uno
(la hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.
1.7 Ramas de estudio de las mate-
máticas
La Sociedad Estadounidense de Matemática distingue
unas 5000 ramas distintas de matemáticas.[29]
En una
subdivisión amplia de las matemáticas se distinguen cua-
tro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructu-
ra, el espacio y el cambio[cita requerida]
que se corresponden
a la aritmética, álgebra, geometría y cálculo.[cita requerida]
Además, hay ramas de las matemáticas conectadas a
otros campos como la lógica y teoría de conjuntos, y las
matemáticas aplicadas[cita requerida]
.
1.7.1 Matemáticas puras
Cantidad
Estructura
Espacio

Cambio
1.7.2 Matemáticas aplicadas
El término matemáticas aplicadas se refiere a aquellos
métodos y herramientas matemáticas que pueden ser uti-
lizados en el análisis o resolución de problemas pertene-
cientes al área de las ciencias básicas o aplicadas.
Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en
el estudio de problemas en física, química, biología, me-
dicina, ciencias sociales, ingeniería, economía, finanzas,
ecología entre otras.
Sin embargo, una posible diferencia es que en matemáti-
cas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas
“hacia afuera”, es decir su aplicación o transferencia ha-
cia el resto de las áreas. Y en menor grado “hacia dentro”
o sea, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Este
último sería el caso de las matemáticas puras o matemá-
ticas elementales.
Las matemáticas aplicadas se usan con frecuencia en dis-
tintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y op-
timización de procesos o fenómenos, como el túnel de
viento o el diseño de experimentos.
Estadística y ciencias de la decisión
La estadística trata de las técnicas para recolectar, orga-
nizar, presentar, analizar un conjunto de datos numéricos
y a partir de ellos y de un marco teórico, hacer las infe-
rencias de lugar. Es una herramienta fundamental para la
investigación científica y empírica en los campos de la
economía, genética, informática, ingeniería, sociología,
psicología, medicina, contabilidad, etc.
Se consagra en forma directa al gran problema univer-
sal de como tomar las decisiones inteligentes y acertadas
en condiciones de incertidumbre. Sirve como fuente de
instrucción para los niveles introductorios de estadística
descriptiva y, por tanto, los conceptos manejados y las
técnicas empleadas han sido presentadas de la forma más
simple, claramente posibles.
Matemática computacional
1.8 Véase también
• Historia de la matemática
• Filosofía de la matemática
• Fundamentos de la matemática
• Belleza matemática
• Matemático
• Matemáticos importantes.
• Áreas de las matemáticas
• Modelo matemático
• Ciencia
• Olimpiada Internacional de Matemática
• Clasificación UNESCO de las matemáticas
• Portal:Matemática. Contenido relacionado con
Matemática.
1.9 Referencias
[1] «matemática», Diccionario de la lengua española (avance
de la vigésima tercera edición). Consultado el 20 de enero
de 2013.
Utilízase más en plural con el mismo sig-
nificado que en singular.
[2] Libro “Del átomo a la mente”, 2002, de Ignacio Martínez
y Juan Luis Arsuaga. Capítulo 1 “La carta de Dios”, sub-
título “El Libro de la Naturaleza”, aproximadamente en el
sitio 5.5% del libro.
[3] Heath, Thomas (1921). A History of Greek Mathematics.
Oxford, Clarendon Press. OCLC 2014918.
[4] Maurice Marshaal (2006). Bourbaki: a secret society of
mathematicians (en inglés). American Mathematical So-
ciety. p. 56. ISBN 978-0-8218-3967-6.
[5] Francois Le Lionnais (1948). Les grands courants de la
penseé mathématique (en francés). pp. 35–47.
[6] Steen, LA, (29 de abril de 1988). Mathematics:The Science
of Patterns (Scientific American Library, 1994) Science,
240: 611-616.
[7] Keith Devlin (1996). Matemáticas: La ciencia de los pa-
trones: La búsqueda de la Orden en la vida, la mente y el
Universo. Scientific American. ISBN 978-0-7167-5047-
5.
[8] Jourdain
[9] Peirce, p.97
[10] Einstein, p. 15. La cita es la respuesta de Einstein a la
pregunta: "¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo
después de todo un producto del pensamiento humano in-
dependiente de la experiencia, estén tan admirablemente
adaptadas a los objetos de la realidad? "
[11] Sánchez Ron, José Manuel (8 de febrero de 2000). «La
matemática, instrumento universal de conocimiento: de
Euclides a Gödel» (conferencia). Aula Abierta: La ciencia
a través de su historia. Madrid: Fundación Juan March.
[12] Takeuchi-Ramírz- Ruíz. Ecuaciones diferenciales. Limu-
sa, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional
de Colombia, 3ra. edición (1978)

1.10. ENLACES EXTERNOS 7
[13] Boyer. Historia de la matemática
[14] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Arithmetic» (en in-
glés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-
1556080104
[15] Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). Oxford
University Press, ed. The Feynman Integral and Feynman’s
Operational Calculus.
[16] Eugene Wigner, 1960, "La irracional eficacia de las
matemáticas en la de Ciencias Exactas y Naturales"
Communications on Pure and Applied Mathematics13 '(1):
1-14.
[17] Hardy, GH (1940). A Mathematician’s Apology. Cambrid-
ge University Press.
[18] Oro, Bonnie; Simons, A. Rogers (2008). MAA, ed. Proof
and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy.
[19] Aigner, Martin; Ziegler, M. Gunter (2001). Proofs from
the Book. Springer.
[20] Utilización de diversos símbolos matemáticos (Véase
Anexo:Símbolos matemáticos)
[21] Véase falsa demostración para comprobar mediante ejem-
plos sencillos los errores que se pueden cometer en una de-
mostración oficial. El teorema de los cuatro colores con-
tiene ejemplos de demostraciones falsas aceptadas acci-
dentalmente por otros matemáticos del momento.
[22] Ivars Peterson,La matemática turística, Freeman, 1988,
ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 “Algunos se quejan de que el
programa de ordenador no puede ser verificado correcta-
mente,” (en referencia a la Haken de Apple la prueba de
color Teorema de los Cuatro).
[23] Waltershausen
[24] Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Fuera de
su mente: La vida y de 15 de los Grandes Descubrimientos
científicos. p. 228.
[25] Popper 1995, p. 56
[26] Ziman
[27] «Actualmente la Medalla Fields es sin duda el mejor y el
más influyente premio en las matemáticas». Monastyrsky
[28] Riehm
[29] Clasificación bibliográfica de la Sociedad Americana de
Matemáticas de 2010
1.9.1 Bibliografía
• Pierce, Benjamin (1882). Linear Associative Alge-
bra. Van Nostrand. Digitalizado por University of
California Libraries. Págs. 97-229.
• Einstein, Albert (1923). «Geometry and experien-
ce», en Sidelights on relativity. P. Dutton., Co.
• Peterson, Ivars. (2001). Mathematical Tourist, New
and Updated Snapshots of Modern Mathematics.
Owl Books. ISBN 0-8050-7159-8.
• Jourdain, Philip E. B., «The Nature of Mathema-
tics», en The World of Mathematics. Courier Dover
Publications. ISBN 0-486-41153-8.
• Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr.
1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Ver-
lag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8.
• Popper, Karl R. (1995). «On knowledge», en In
Search of a Better World: Lectures and Essays from
Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6.
• Ziman, J.M., F.R.S. (1968). Public Knowledge:An
essay concerning the social dimension of science.
Cambridge University Press.
• Riehm, Carl (August 2002). «The Early History of
the Fields Medal», en Notices of the AMS. AMS 49
(7). Págs. 778–782.
1.10 Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multi-
media sobre Matemáticas. Commons
Wikilibros
• Wikilibros alberga libros y manuales sobre
Matemáticas.
• Wikcionario tiene definiciones y otra informa-
ción sobre matemática.Wikcionario
• Wikinoticias tiene noticias relacionadas con
Matemáticas.Wikinoticias
• Wikisource contiene obras originales de o sobre
Matemáticas.Wikisource
• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre
Matemáticas. Wikiquote

Capítulo 2
Áreas de las matemáticas
Esta es una lista de todas las áreas de las matemáti-
cas modernas, con una breve explicación de su alcance y
enlaces a otras partes de esta enciclopedia, de un modo
sistemático.
La forma en que se organizan las matemáticas de alto ni-
vel está determinada sobre todo por los usos, y cambia
cada cierto tiempo; esto contrasta con los planes, al pa-
recer atemporales usados en la educación de las matemá-
ticas, donde el cálculo parece ser el mismo hace siglos.
El cálculo en sí mismo no aparece como un título ya que
la mayor parte del contenido allí estudiado se encuentra
bajo el título de Análisis. Este ejemplo ilustra, en parte,
la dificultad de comunicar los principios de cualquier sis-
tema grande de conocimientos. La investigación sobre la
mayoría de los asuntos del cálculo fue realizada en siglo
XVIII, y ha sido asimilado largamente.
2.1 Fundamentos/general
Matemática recreativa
Desde los cuadrados mágicos al Conjunto de Mandelbrot,
los números han sido una fuente de diversión y placer pa-
ra millones de personas a lo largo de los años. Muchas
ramas importantes de las matemáticas “serias” tienen sus
raíces en lo que inicialmente no era más que un juego o
un puzzle.
Historia y biografías
La historia de las matemáticas está fuertemente interco-
nectada consígo misma. Esto es perfectamente natural:
las matemáticas tienen una estructura orgánica interna,
derivando nuevos teoremas de los que se han demostra-
do antes. Cada nueva generación de matemáticos basa sus
logros en los de sus antepasados, y así, el los conocimien-
tos crecen formando nuevas capas, como la estructura de
una cebolla.
Lógica matemática y fundamentos, incluyendo teoría
de conjuntos
Los matemáticos han trabajado siempre con lógica y sím-
bolos, pero por siglos las leyes subyacentes de la lógica
fueron supuestas, y nunca expresadas simbólicamente. La
lógica matemática, también conocido como lógica sim-
bólica, fue desarrollada cuando la gente finalmente notó
que las herramientas de las matemáticas se pueden uti-
lizar para estudiar la estructura de la lógica misma. Las
áreas de investigación en este campo se han ampliado rá-
pidamente, y se subdividen generalmente en varias áreas
distintas.
Teoría de modelos
La teoría modelo estudia las estructuras matemáticas en
un marco general. Su herramienta principal es la lógica
de primer orde.
• Teoría de la Computabilidad y teoría de la recursión
Teoría de conjuntos
Un conjunto puede ser pensado como si fuera una colec-
ción de objetos distintos unidas por una cierta caracterís-
tica común. La teoría de conjuntos se subdivide en tres
áreas principales:
• Teoría informal de conjuntos es la teoría básica
desarrollada por los matemáticos a fines del siglo
XIX.
• Teoría axiomática de conjuntos es un teoría axiomá-
tica rigurosa desarrollada en respuesta al descubri-
miento de defectos serios (por ejemplo la Paradoja
de Russell) en la teoría informal. Para esta teoría
los conjuntos son “lo que satisface los axiomas”, y
la noción de colecciones de objetos sirve solamente
como motivación para los axiomas.
• Teoría interna de conjuntos es una extensión axio-
mática de la teoría de conjuntos que apoya una iden-
tificación lógicamente consistente de cantidades ili-
mitados (infinitamente grandes) e infinitesimales (in-
finitamente pequeños) dentro de los números reales.
Ver también la Lista de tópicos de la teoría de con-
juntos.
Teoría de la demostración y constructivismo
8

2.4. ANÁLISIS 9
La teoría de la demostración nació de la ambición de
David Hilbert por formalizar todas las demostraciones en
matemáticas. El resultado más famoso del campo se en-
capsula en los Teoremas de incompletitud de Gödel. Otra
idea relacionada y muy conocida en la actualidad son las
Máquinas de Turing. El Constructivismo es la conse-
cuencia de las opiniones poco ortodoxas de Brouwer so-
bre la naturaleza de la lógica misma; hablando desde el
punto de vista del constructivismo, los matemáticos no
pueden afirmar “si un círculo es redondo o no” hasta que
han mostrado un círculo y han medido realmente su re-
dondez.
• Lógica algebraica
• Educación matemática
2.2 Aritmética
La aritmética o teoría de números fue históricamente una
de las primeras áreas de las matemáticas. Actualmente
sigue siendo una fuente importante de problemas mate-
máticos no resueltos.
Teoría de números
La teoría del número se refiere tradicionalmente a las ca-
racterísticas de números enteros. Más recientemente, ha
venido ser referido a clases más anchas de los problemas
que se han presentado naturalmente del estudio de núme-
ros enteros. Puede ser dividido en teoría elemental del nú-
mero (donde los números enteros se estudian sin la ayuda
de técnicas de otros campos matemáticos); teoría ana-
lítica del número (donde cálculo y análisis complejo se
utilizan como herramientas); teoría del número algébrico
(de que estudia los números algébricos - las raíces polino-
mios con número entero coeficientes); teoría geométrica
del número; teoría combinatoria del número y teoría de
cómputo del número. Vea también lista de los asuntos de
la teoría del número.
2.3 Álgebra
El estudio de la matemática comienza con los números;
primero los números naturales y los enteros y sus opera-
ciones aritméticas, que se clasificarían dentro del álgebra
elemental. Las características más avanzadas sobre nú-
meros enteros se estudian dentro de la teoría de números.
La búsqueda de métodos para resolver ecuaciones nos
lleva al campo del álgebra abstracta, que, entre otras co-
sas, estudia polinomios, anillos y campos, estructuras que
generalizan las características de los números corrientes.
Preguntas muy antiguas sobre construcciones con regla y
compás finalmente fueron resueltos usando la Teoría de
Galois. El concepto físicamente importante de los vecto-
res, generalizado a espacios vectoriales, se estudia dentro
del álgebra lineal.
Teoría del orden
Cualquier conjunto de numeros reales se puede ordenar
en forma ascendente. La teoría del orden amplía esta idea
a los sistemas en general. Incluye nociones como retículos
y estructuras algebraicas ordenadas.
Estructuras algebraicas
Dado un conjunto, diversas maneras de combinar o de
relacionar a miembros de eso fijaron pueden ser defini-
das. Si éstos obedecen ciertas reglas, entonces un detalle
estructura algebraica se forma. Álgebra universal es el es-
tudio más formal de estas estructuras y sistemas.
Teoría de campos y polinomios
La teoría del campo estudia las características de campos.
A campo es una entidad matemática para la cual la adi-
ción, la substracción, la multiplicación y la división están
bien definido. A polinómico es una expresión en la cual se
combinan las constantes y las variables usando solamente
la adición, la substracción, y la multiplicación.
Anillos conmutativos y álgebras conmutativas
En teoría de anillos (un rama del álgebra abstracta), un
anillo conmutativo es un anillo en el cual la operación
de multiplicación obedece la ley de conmutatividad. Es-
to significa que si a y b son elementos del anillo, enton-
ces a×b=b×a. El álgebra conmutativa estudia los anillos
conmutativos y sus ideales, módulos y álgebras. Es fun-
damental para la geometría algebraica y para la teoría de
números algebraicos. Los ejemplos más prominentes de
anillos conmutativos son los anillos de polinomios.
15: Álgebra lineal y multilineal; teoría de matrices.
16: Anillos sociables y álgebra sociables
17: anillos No-sociables y álgebra no-sociables
18: Teoría de la categoría; álgebra homological
19: K-teoría
20: Teoría del grupo y generalizaciones
22: Grupos topológicos, Grupos de mentira, y análisis so-
bre ellos
(También grupos de la transformación, análisis armónico
abstracto)
2.4 Análisis
Dentro del mundo de las matemáticas, análisis está el ra-
ma ese los focos en cambio: índices del cambio, cambio

10 CAPÍTULO 2. ÁREAS DE LAS MATEMÁTICAS
acumulado, y cosas múltiples que cambian concerniente
(o independientemente de) a una otra.
El análisis moderno es un rama extenso y rápidamente
que se amplía de las matemáticas que tocan casi cada otra
subdivisión de la disciplina, encontrando usos directos e
indirectos en los asuntos tan diversos como teoría del nú-
mero, criptografía, y álgebra abstracta. Es también la len-
gua de la ciencia sí mismo y se utiliza a través química,
biología, y física, de astrofísica a Cristalografía de la ra-
diografía. 26: Funciones verdaderas, incluyendo deriva-
dos y integrales 28: Medida y integración 30: Funciones
complejas, incluyendo teoría de la aproximación en do-
minio complejo 31: Teoría potencial 32: Varias variables
complejas y espacios analíticos 33: Funciones especia-
les 34: Ecuaciones diferenciales ordinarias 35: Ecuacio-
nes diferenciales parciales
Sistemas dinámicos
El estudio de las soluciones a ecuaciones del movimiento
de los sistemas que están sobre todo mecánico en natura-
leza; aunque esto se extiende de órbitas planetarias con el
comportamiento de circuitos electrónicos a las solucio-
nes de ecuaciones diferenciales parciales eso se presen-
ta adentro biología. Mucha de investigación moderna se
centra en el estudio de sistemas caóticos. Vea también lis-
ta de los asuntos dinámicos del sistema 37: Teoría ergódi-
ca 39: Ecuaciones de diferencia y ecuaciones funcionales
40: Secuencias, serie, summability 41: Aproximaciones
y extensiones 42: Análisis de Fourier, incluyendo Fou-
rier transforma, aproximación trigonometric, interpola-
ción trigonometric, y funciones orthogonal 43: Extrac-
to análisis armónico 44: El integral transforma, cálculo
operacional 45: Ecuaciones integrales 46: Análisis fun-
cional, incluyendo olomorfia infinito-dimensional, el in-
tegral transforma en espacios de la distribución 47: Teo-
ría del operador 49: Cálculo de variaciones y control óp-
timo; optimización (incluyendo teoría geométrica de la
integración) 58: Análisis global, análisis en los múltiples
(que incluyen olomorfia infinito-dimensional)
(También: teoría potencial probabilistic, aproximación
numérica, teoría de la representación, análisis en múlti-
ples)
2.5 Geometría y topología
Geometría se ocupa de relaciones espaciales, usando cali-
dades fundamentales o axiomas. Tales axiomas se pueden
utilizar conjuntamente con las definiciones matemáticas
para los puntos, las líneas rectas, las curvas, las superfi-
cies, y los sólidos para dibujar conclusiones lógicas. Vea
también Lista de los asuntos de la geometría
Geometría convexa y geometría discreta
Incluye el estudio de objetos por ejemplo polytopes y po-
liedros. Vea también Lista de los asuntos de la convexidad
Geometría combinatoria o discreta
El estudio de objetos geométricos y características que
son discreto o combinatorio, por su naturaleza o por su
representación. Incluye el estudio de formas tales como
Sólidos Platonic y la noción de tessellation.
Geometría diferencial
El estudio de la geometría usando cálculo, y se relaciona
muy de cerca con topología diferenciada. Cubre las áreas
tales como Geometría de Riemannian, curvatura y geo-
metría diferenciada de curvas. Vea también glosario de la
geometría y de la topología diferenciadas.
Geometría algebraica
A dada polinómico de dos verdaderos variables, enton-
ces los puntos en un plano donde está forma esa función
cero de la voluntad a la curva. curva algebraica amplía es-
ta noción a los polinomios sobre a campo en un número
dado de variables. La geometría algebraica se puede ver
como el estudio de estas curvas. Vea también lista de los
asuntos algebraicos de la geometría y lista de superficies
algebraicas.
Topología
Se ocupa de las características de una figura que no cam-
bian cuando la figura es deformada continuamente. Las
áreas principales son topología determinada del punto (o
topología general), topología algebraica, y la topología de
múltiples, definido abajo.
Topología general
También llamado topología determinada del punto. Ca-
racterísticas de espacios topológicos. Incluye las nociones
tales como abierto y cerrado sistemas, espacios compac-
tos, funciones continuas, convergencia, axiomas de la se-
paración, espacios métricos, teoría de la dimensión. Vea
también glosario de la topología general y lista de los
asuntos generales de la topología.
Topología algebraica
Las características de objetos algebraicos se asociaron a
un espacio topológico y cómo estos objetos algebraicos
capturan las características de tales espacios. Contiene
áreas como teoría de la homología, teoría del cohomo-
logy, teoría homotopy, y álgebra homological, algunos de
ellos ejemplos de functors. Homotopy trata de grupos ho-
motopy (incluyendo grupo fundamental) así como com-
plejos simplicial y A LA DERECHA complejos (tam-
bién llamado complejos de la célula). Vea también lista
de los asuntos algebraicos de la topología.

2.7. MATEMÁTICAS APLICADAS 11
Variedades
Una variedad se puede imaginar como una generaliza-
ción n-dimensional de una superficie tridimensional en
un espacio euclídeo. El estudio de variedades incluye a
la topología diferencial, que estudia las características de
las funciones diferenciables definidas sobre una variedad.
Véase también variedades complejas.
2.6 Matemática discreta
Combinatoria
Estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen cri-
terios determinados. Particularmente, se refiere a “con-
tar” los objetos en esas colecciones (combinatoria enume-
rativa) y con decidir si existen ciertos objetos "óptimos”
(combinatorias extremas). Incluye también a la teoría de
grafos, usada para describir objetos interconectados (un
grafo en este sentido es una colección de puntos conec-
tados). Mientras que éstas son las definiciones clásicas,
cierto grado de combinatoria está presente en muchas
partes de la resolución de problemas.
2.7 Matemáticas aplicadas
2.7.1 Probabilidad y estadística
Vea también glosario de la probabilidad y de la estadística
Teoría de probabilidades
El estudio de cómo un acontecimiento dado es proba-
blemente ocurrir. Vea también Categoría: teoría de las
probabilidades, y lista de los asuntos de la probabilidad.
Procesos estocásticos (MSC 60G/H) Considera con efec-
to agregado de una función al azar, o en un cierto plazo (a
serie de tiempo) o espacio físico (a campo al azar). Vea
también Lista de los asuntos estocásticos de los procesos,
y Categoría: Procesos estocásticos.
Estadística
Análisis de datos, y cómo es el representante él. Vea tam-
bién lista de asuntos estadísticos.
2.7.2 Ciencias de cómputo
Análisis numérico
Muchos problemas en matemáticas no pueden resolverse
en forma general de modo exacto. El análisis numérico
es el estudio de métodos iterativos y algoritmos para pro-
porcionar una solución aproximada a los problemas con
un determinado grado de error. Incluye derivación numé-
rica, integración numérica y métodos numéricos.
68: Ciencias de la computación
2.7.3 Ciencias físicas
Mecánica
Trata qué sucede cuando un objeto físico verdadero se
sujeta a las fuerzas. Esto se divide naturalmente en el es-
tudio de los sólidos rígidos, sólidos deformable, y los lí-
quidos, detallados abajo.
Mecánica de partículas
En matemáticas, una partícula es a punto-como, objeto
perfectamente rígido, sólido. Los mecánicos de la partí-
cula se ocupan de los resultados de sujetar partículas a
las fuerzas. Incluye mecánicos celestiales - el estudio del
movimiento de objetos celestiales.
Mecánica de los sólidos deformables
La mayoría de los objetos del mundo real no están punto-
como ni perfectamente rígido. Más importantemente, los
objetos se desforman cuando están sujetados a las fuer-
zas. Este tema tiene un traslapo muy fuerte con mecáni-
cos de la serie continua, que se refiere a la materia conti-
nua. Se ocupa de las nociones tales como tensión, tensión
y elasticidad. Vea también mecánicos de la serie conti-
nua.
Mecánica de fluidos
Líquidos en este sentido incluye no apenas líquidos, pero
fluyendo gases, e iguale sólidos bajo ciertas situaciones.
(Por ejemplo, seco arena puede comportarse como un lí-
quido). Incluye las nociones tales como viscosidad, flujo
turbulento y flujo laminar (su contrario). Vea también di-
námica fluida. 78: La óptica, teoría electromagnética 80:
Clásico termodinámica, traspaso térmico 81: Teoría de
Quantum, incluyendo la óptica del quántum 82: Mecáni-
cos estadísticos, estructura de la materia 83: Relatividad
y teoría gravitacional, incluyendo mecánicos relativistas
85: Astronomía y astrofísica 86: Geofísica
2.7.4 Otras ciencias matemáticas
90: Investigación de operaciones, la programación mate-
mática Investigación de operaciones (OR), también cono-
cido como investigación operacional, proporciona ópti-
ma o cerca de óptimas soluciones a problemas complejos.
OR usos modelización matemática, análisis estadístico y

12 CAPÍTULO 2. ÁREAS DE LAS MATEMÁTICAS
optimización matemática. Programación matemática (o
optimización) minimiza (o maximiza) una función real
sobre un dominio que es a menudo especiﬁcado por las
restricciones sobre las variables. Programación matemá-
tica estudia estos problemas y desarrolla métodos iterati-
vos y algoritmos para su solución. 91: La teoría de juegos
y matemáticas ciencias sociales (economía, sociología y
psicología). 92: Biología (véase también la biología mate-
mática) y otras ciencias naturales 93: Teoría de sistemas;
control, incluyendo un control óptimo 94: Información y
la comunicación, circuitos 97: Educación matemática 97:
Educación de las matemáticas
2.8 Referencias
2.8.1 Bibliografía
• Courant, Richard y H. Robbins, What Is Mathe-
matics? : An Elementary Approach to Ideas and
Methods, Oxford University Press, USA; 2ª edición
(1996). ISBN 0-19-510519-2.
2.8.2 Enlaces externos
•
• Esta obra deriva de la traducción parcial de
Areas_of_mathematics de Wikipedia en inglés, con-
cretamente de esta versión, publicada por sus edi-
tores bajo la Licencia de documentación libre de
GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-
CompartirIgual 3.0 Unported.

Capítulo 3
Número entero
La resta de dos números naturales no es un número natural cuan-
do el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es
negativo: en la imagen, solo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo
que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en rojo).
Los números enteros son elementos de un conjunto de
números que reúne a los positivos (1, 2, 3, ...), a los
negativos opuestos de los anteriores: (..., −3, −2, −1) y
al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «me-
nos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los
enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la
diferencia entre positivos y negativos, a veces también se
escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5,
etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que
es positivo. Si se considera ℕ = { 1,2,3,...} [1]
, entonces
un entero natural es un entero positivo y el conjunto ℕ es
parte propia de conjunto ℤ. El conjunto de todos los nú-
meros enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2,
−1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán
Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Al igual que los números naturales, los números ente-
ros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse,
de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso
de los enteros es necesario calcular también el signo del
resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números
naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para conta-
bilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nue-
vos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos
de último curso que pasaron a educación secundaria, en
total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también
puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 −
100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o
la altura toman valores por debajo del cero. La altura del
Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y
por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros
por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede
expresar como −423 m.
3.1 Historia
Los números enteros negativos son el resultado natural
de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con
diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justiﬁca porque estos números
positivos y negativos, siempre representaban una cantidad
de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación
en trabajos cientíﬁcos europeos, aunque matemáticos ita-
lianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hu-
biesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de
ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los
signos ya era conocida previamente por los matemáticos
de la India. [2]
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces,
cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la can-
tidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba
en «números rojos». Esta expresión venía del hecho que
lo que hoy llamamos números negativos se representaban
escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balan-
ce positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta
roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta
de 3 sueldos.
3.2 Introducción
Los números negativos son necesarios para realizar ope-
raciones como:
3 − 5 = ?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo,
la resta no puede realizarse con números naturales. Sin
13

14 CAPÍTULO 3. NÚMERO ENTERO
embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de
números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias
y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos.
Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde
1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin
embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde
2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500.
La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total
o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron
mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibi-
lidades se pueden expresar utilizando el signo de los nú-
meros negativos (o positivos): en el primer caso ganó en
total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en
total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una
pérdida es una ganancia negativa.
3.2.1 Números con signo
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordi-
narios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo
menos («−») delante se obtienen los números negativos:
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales
se les añade un signo más («+») delante y se les llama
números positivos.
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con
signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que
sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta
colección de números son los llamados «enteros».
3.2.2 La recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que to-
dos los positivos y que el cero. Para entender como están
ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos
son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir,
cuanto mayor es el número tras el signo. A este número
se le llama el valor absoluto:
Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
3.3 Operaciones con números ente-
ros
Los números enteros pueden sumarse, restarse,
multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse
con los números naturales.
3.3.1 Suma
En esta ﬁgura, el valor absoluto y el signo de un número se re-
presentan por el tamaño del círculo y su color.
En la suma de dos números enteros, se determina por se-
parado el signo y el valor absoluto del resultado.
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 ,
(−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera si-
milar a la suma de números naturales:
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32)
= (+44)
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57)
= (+44)
2. Propiedad conmutativa:
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propie-
dad adicional que no tienen los números naturales:
3.3.2 Resta
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora
es un caso particular de la suma.
Ejemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
3.3.3 Multiplicación
La multiplicación de números enteros, al igual que la su-
ma, requiere determinar por separado el signo y valor ab-
soluto del resultado.

3.6. REFERENCIAS 15
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la
regla de los signos:
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) ×
(+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros tiene también pro-
piedades similares a la de números naturales:
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
1. [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) =
−140
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) =
−140
2. Propiedad conmutativa:
(−6) × (+9) = −54
(+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están rela-
cionadas, al igual que los números naturales, por la pro-
piedad distributiva:
Ejemplo.
• (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
• [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) =
−21
3.4 Propiedades algebraicas
• El conjunto de los números enteros, conside-
rado junto con sus operaciones de adición y
multiplicación, tiene una estructura que en matemá-
ticas se denomina anillo; y posee una relación de or-
den. Los números enteros pueden además construir-
se a partir de los números naturales mediante clases
de equivalencia.
• El conjunto ℤ de los números enteros es coordina-
ble con el conjunto ℕ de los números naturales. O
sea que se puede establecer un correspondencia bi-
unívoca entre los dos conjuntos. [3]
3.5 Véase también
• Parte entera
• Entero (tipo de dato)
3.6 Referencias
[1] Una de las versiones constructivas de los números natura-
les de Peano
[2] Raúl Rodríguez y otros.« Cálculo diferencial e integral. »
Primera parte. Editorial Pueblo y Educación. La Habana
(1988) pág. 2
[3] Lía Oubiña. «Introducción a la teoría de conjuntos». Pu-
blicación de Eudeba. Buenos Aires
3.6.1 Bibliografía
• Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens,
D.; McClain, K. (2006). Mathematics. Applications
and Concepts. Course 2 (en inglés). McGraw-Hill.
ISBN 0-07-865263-4.
• Héfez. Introducción al álgebra
• A. G. Tsipkin. Manual de matemáticas.
• Birkhoﬀ y Mac Lane. Álgebra Moderna
• A. Adrian Albert. Álgebra superior
• Frank Ayres. Álgebra Moderna
• César A. Trejo. Concepto de número
ción sobre número entero.Wikcionario

Capítulo 4
Geometría
Alegoría de la geometría.
La geometría (del latín geometrĭa, y este del griego
γεωμετρία de γεω gueo, ‘tierra’, y μετρία metría,
‘medida’) es una rama de la matemática que se ocupa
del estudio de las propiedades de las figuras en el
plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos,
politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares,
curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo
técnico. También da fundamento a instrumentos como el
compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posi-
cionamiento global (en especial cuando se la considera en
combinación con el análisis matemático y sobre todo con
las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas con-
cretos relativos a medidas. Tiene su aplicación prácti-
ca en física aplicada, mecánica, arquitectura, geografía,
cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística,
etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en
la elaboración de artesanía.
4.1 Historia
Fragmentos de los Elementos de Euclides en los Papiros de Oxi-
rrinco.
La geometría es una de las ciencias más antiguas. Ini-
cialmente está constituida en un cuerpo de conocimien-
tos prácticos en relación con las longitudes, áreas y vo-
lúmenes.La civilización babilónica fue una de las pri-
meras culturas en incorporar el estudio de la geometría
con la invención de la rueda se abrió el camino al estu-
dio de la circunferencia, que conllevaría posteriormente
al descubrimiento del número π (pi); También desarro-
llaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada año
cuenta con 360 días, además implementaron una fórmu-
la para calcular el área del trapecio rectángulo.[1]
En el
Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos
de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el
siglo III a. C. configuró la geometría[2]
en forma axiomá-
tica y constructiva, tratamiento que estableció una norma
a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana
descrita en Los Elementos.
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de
determinar las posiciones de estrellas y planetas en la es-
fera celeste, sirvió como importante fuente de resolución
16

4.3. TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA 17
de problemas geométricos durante más de un milenio.
René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de
ecuaciones y la geometría analítica, marcando una nueva
etapa, donde las figuras geométricas, tales como las cur-
vas planas, podrían ser representadas analíticamente, es
decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enri-
quece con el estudio de la estructura intrínseca de los en-
tes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo
a la creación de la topología y la geometría diferencial.
4.2 Axiomas, definiciones y teore-
mas
Un teorema descubierto y probado por Arquímedes: una esfera
tiene 2
/3 del volumen de su cilindro circunscrito.
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por
la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin
errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente
los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo
establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert
propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomáti-
co, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las
definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades
de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza al-
go, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y
sus relaciones se denominan modelos.
Esto significa que las palabras “punto”, “recta” y “plano”
deben perder todo significado material. Cualquier con-
junto de objetos que verifique las definiciones y los axio-
mas cumplirá también todos los teoremas de la geometría
en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas
al del modelo tradicional.
4.2.1 Axiomas
La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana.
En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son
proposiciones que relacionan conceptos, definidos en
función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó
cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelis-
mo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo
cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías:
la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de
Nikolái Lobachevski.
En geometría analítica, los axiomas se definen en función
de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis mate-
mático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar
de puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquier
función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.
4.3 Topología y geometría
El nudo de trébol.
El campo de la topología, que tuvo un gran desarro-

18 CAPÍTULO 4. GEOMETRÍA
llo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo de
geometría transformacional, en que las transformacio-
nes que preservan las propiedades de las figuras son los
homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geome-
tría métrica, en que las transformaciones que no alteran
las propiedades de las figuras son las isometrías). Esto ha
sido frecuentemente expreso en la forma del dicho “la to-
pología es la geometría de la página de goma”.
4.4 Tipos de geometría
Desde los antiguos griegos, ha existido numerosas contri-
buciones a la geometría, particularmente a partir del siglo
XVIII. Eso ha hecho que proliferen numerosas subramas
de la geometría con enfoques muy diferentes. Para clasi-
ficar los diferentes desarrollos de la Geometría moderna
se pueden recurrir a diferentes enfoques:
4.4.1 Geometrías según el tipo de espacio
Los antiguos griegos un único tipo de geometría a saber
geometría euclídea, hábilmente codificada en los Elemen-
tos de Euclides y debido a una escuela alejandrina enca-
bezada por Euclides. Este tipo de geometría se basó en
un estilo formal de deducciones a partir de cinco pos-
tulados básicos. Los cuatro primeros fueron ampliamen-
te aceptados y Euclides los usó extensivamente, sin em-
bargo, el quinto postulado fue menos usado y con poste-
rioridad diversos autores trataron de demostrarlo a partir
de los demás, la imposibilidad de dicha deducción llevó
a constatar que junto con la geometría euclídea existían
otros tipos de geometrías en que el quinto postulado de
Euclídes no participaba. De acuerdo a las moficiaciones
introducidas en ese quinto postulado se llega a familias
diferentes de geometrías o espacios geométricos diferen-
tes entre ellos:
• La geometría absoluta, que es el conjunto de hechos
geométricos derivables a partir únicamente de los
primeros cuatro postulados de Euclides.
• La geometría euclídea, que es la geometría particu-
lar que se obtiene de aceptar como axioma también
el quinto postulado. Los griegos consideraron dos
variantes de geometría euclídea:
• Geometría euclídea del plano
• Geometría euclídea del espacio
• La geometría clásica es una recopilación de resulta-
dos para las geometrías euclídeas.
A partir del siglo XIX se llegó a la conclusión de que po-
dían definirse geometrías no euclídeas entre ellas:
• La geometría elíptica
• La geometría esférica
• La geometría finita
• La geometría hiperbólica
• La geometría riemanniana
4.4.2 Geometría asociadas a transforma-
ciones
En el siglo XIX se constató que otra forma de enfocar
los conceptos geométricos era estudiar la invarianza de
ciertas propiedades bajo diferentes tipos de transforma-
ciones matemáticas, así se clasificaron diversas propieda-
des geométricas en grupos y se plantearon subdisciplinas
consistentes en ver cuales eran las propiedades invariantes
bajo tipos particulares de transformaciones, así aparecie-
ron los siguientes tipos de enfoques geométricos:
• Geometría afín
• Geometría conforme
• Geometría convexa
• Geometría discreta
• Geometría de incidencia
• Geometría ordenada
• Geometría proyectiva
4.4.3 Geometría según el tipo de represen-
tación
Si bien Euclides básicamente se restingió a conceptos
geométricos representables mediante figuras (puntos, lí-
neas, círculos, etc.) el desarrollo de otras ramas de las
matemáticas no conectadas inicialmente con la geometría
propiamente dicha, llevó a poder aplicar las herramientas
de otras ramas a problemas propiamente geométricos así
nacieron:
• La geometría algebraica
• La geometría analítica
• La geometría descriptiva
• La Topología geométrica
• La geometría diferencial que engloba como ramas a:
• Geometría diferencial discreta
• La geometría de curvas y superficies
• La Geometría diferencial de curvas
• La Geometría diferencial de superficies
• La Geometría diferencial de hipersuperficies

4.6. REFERENCIAS 19
• Geometría diferencial de variedades
• La geometría de Riemann
• La Geometría fractal
• Geometría sintética
4.4.4 Aplicaciones geométricas
Además de las subramas propiamente dichas moderna-
mente han surgido numerosas aplicaciones prácticas de
la geometría entre ellas:
• • Geometría computacional
• Geometría constructiva de sólidos
• Geometría molecular
4.5 Véase también
• Portal:Matemática. Contenido relacionado con
Matemática.
• Portal:Álgebra. Contenido relacionado con
Álgebra.
4.6 Referencias
[1] Baldor, Gaaplex (2014). Geometría plana y del espacio y
trigonometría. México: publicaciones cultural. ISBN 978-
8435700788.
[2] Descubierta una geometría subyacente a la física cuántica
(en inglés).
4.6.1 Bibliografía
• Boyer, C. B. (1991) [1989]. A History of Mathema-
tics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach
edición). New York: Wiley. ISBN 0-471-54397-7.
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translator and
editor: A. Papadopoulos, Heritage of European
Mathematics Series, Vol. 4, European Mathemati-
cal Society, 2010.
• Jay Kappraﬀ, A Participatory Approach to Modern
Geometry, 2014, World Scientiﬁc Publishing, ISBN
978-981-4556-70-5.
• Leonard Mlodinow, Euclid’s Window – The Story
of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UK
edn. Allen Lane, 1992.
• Wikimedia Commons alberga contenido multi-
media sobre Geometría. Commons
• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje
sobre Geometría.Wikiversidad
• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre
Geometría. Wikiquote
ción sobre geometría.Wikcionario

Capítulo 5
Trigonometría
x
y
A
c
a
b
B
C
D
EO
Representación gráfica de un triángulo rectángulo en un sistema
de coordenadas cartesianas.
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo
significado etimológico es 'la medición de los triángulos'.
Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ trigōnos 'trián-
gulo' y μετρον metron 'medida'.[1]
En términos generales, la trigonometría es el estudio
de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente,
cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o in-
directamente en las demás ramas de la matemática y se
aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren me-
didas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ra-
mas de la geometría, como es el caso del estudio de las
esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuen-
tran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son
usadas en astronomía para medir distancias a estrellas
próximas, en la medición de distancias entre puntos
geográficos, y en sistemas global de navegación por sa-
télites.
5.1 Historia
Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los
teoremas sobre las proporciones de los lados de los trián-
gulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas care-
cían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto,
El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la
Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado
controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posi-
ción final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso
repetido de las funciones trigonométricas de esos ángulos que se
forman por los varios movimientos que se realizan.
Tablilla babilonia Plimpton 322.
los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un
campo que se podría llamar trilaterometría.
Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados
sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de
los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual
requiere la familiaridad con la distancia angular medida
sobre la esfera celeste. Sobre la base de la interpretación
de una tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 aC),
algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios
tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un
20

5.3. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 21
gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas
pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones de se-
gundo grado, o una tabla trigonométrica.
Papiro de Ahmes
Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, uti-
lizaban una forma primitiva de la trigonometría, para la
construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, es-
crito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 aC),
contiene el siguiente problema relacionado con la trigo-
nometría:
“Si una pirámide es de 250 codos de alto y el
lado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuál
es su Seked?"
La solución, al problema, es la relación entre la mitad
del lado de la base de la pirámide y su altura. En otras
palabras, la medida que se encuentra para la seked es la
cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide
y su respectiva cara.
5.2 Unidades angulares
En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría,
se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la
vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas
es el radián la más utilizada, y se define como la unidad
natural para medir ángulos, el grado centesimal se desa-
rrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se
usa en topografía, arquitectura o en construcción.
• Radián: unidad angular natural en trigonometría. En
una circunferencia completa hay 2π radianes (algo
más de 6,28).
• Grado sexagesimal: unidad angular que divide una
circunferencia en 360 grados.
• Grado centesimal: unidad angular que divide la cir-
cunferencia en 400 grados centesimales.
• Mil angular: unidad angular que divide la circunfe-
rencia en 6400 unidades.
5.3 Las funciones trigonométricas
La trigonometría es una rama importante de las matemá-
ticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y
ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia.
Con este propósito se definieron una serie de funciones,
las que han sobrepasado su fin original para convertirse
en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con
aplicaciones en los campos más diversos.
5.3.1 Razones trigonométricas
O
A
B
C
y
x
c
b
a
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usa-
remos para definir las razones seno, coseno y tangente,
del ángulo α , correspondiente al vértice A, situado en
el centro de la circunferencia.
• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse “sĭ-
nus” en latín) es la razón entre el cateto opuesto so-
bre la hipotenusa.
sin α =
CB
AB
=
a
c
• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el
cateto adyacente sobre la hipotenusa,
cos α =
AC
AB
=
b
c
• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón
entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
tan α =
CB
AC
=
a
b

22 CAPÍTULO 5. TRIGONOMETRÍA
0-0,5 0,5 1,5 2 2,5
0
1
2
3
-1
-2
-3
y
x
4
-4
y = sen (x)
y = cos (x)
y = tan (x)
Representación de las funciones trigonométricas en el plano car-
tesiano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.
O
A
B
D
C E
r
F G
Triángulo ABC proporcional con un ángulo inscrito en una cir-
cunferencia de centro A y radio 1
Representación gráfica
5.3.2 Razones trigonométricas inversas
• La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la
razón inversa de seno, o también su inverso multi-
plicativo:
csc α =
1
sin α
=
c
a
En el esquema su representación geométrica es:
csc α = AG
• La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa
de coseno, o también su inverso multiplicativo:
sec α =
1
cos α
=
c
b
sec α = AD
• La Cotangente: (abreviado como cot o cta o ctg) es
la razón inversa de la tangente, o también su inverso
multiplicativo:
cot α =
1
tan α
=
b
a
cot α = GF
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas
seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés es-
pecífico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas
se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y
cotangente no suelen utilizarse
0-0,5 0,5 1,5 2 2,5
0
1
2
3
-1
-2
-3
y
x
4
-4
y = csc (x)
y = sec (x)
y = cot (x)
Representación de las funciones trigonométricas inversas en el
plano cartesiano (x,y), los valores en el eje x expresados en
radianes.
5.3.3 Otras funciones trigonométricas
Además de las funciones anteriores, existen otras funcio-
nes trigonométricas. Matemáticamente se pueden definir
empleando las ya vistas. Su uso no es muy corriente, pero
sí se emplean, dado su sentido geométrico. Veamos:
El seno cardinal o función sinc (x) definida:
sinc (x) =
sin(x)
x
El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el
arco en una circunferencia, también se denomina sagita o
flecha, se define:
versin α = 1 − cos α
El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en
el cálculo esférico:

5.3. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 23
semiversin α =
versin α
2
El coverseno,
coversin α = 1 − sin α
El semicoverseno
semicoversin α =
coversin α
2
La exsecante:
exsec α = sec α − 1
5.3.4 Funciones trigonométricas recípro-
cas
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes
(dado que un radián es el arco de circunferencia de lon-
gitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier
cantidad expresada en radianes; por eso las funciones re-
cíproca se denominan con el prefijo arco, cada razón tri-
gonométrica posee su propia función recíproca:
y = sin x
y es igual al seno de x, la función recíproca:
x = arcsin y
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno
de y.
si:
y = cos x
y es igual al coseno de x, la función recíproca:
x = arccos y
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el
arcocoseno de y.
si:
y = tan x
y es igual al tangente de x, la función recíproca:
x = arctan y
x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al
arcotangente de y.
NOTA: Es común, que las funciones recíprocas sean es-
critas de esta manera:
y = arcsin x −→ y = sin−1
x
pero se debe tener cuidado de no confundirlas con:
y =
1
sin x
−→ y = csc x
0
-0,5
-
0,5
1,5
2
-4
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = arcsen (x)
y = arccos (x)
y = arctan (x)
Representación de las funciones trigonométricas reciprocas en el
plano cartesiano (x,y), como la recíproca del seno, el coseno y la
tangente, los valores en el eje y expresados en radianes.
Si aplicamos el criterio para obtener las funciones recí-
procas en el sentido estricto, definiendo el arcoseno como
la recíproca del seno, el arcocoseno como la recíproca del
coseno y el arco tangente como la recíproca de la tangen-
te, lo obtenido es la gráfica de la derecha. Es fácil perca-
tarse que estas representaciones no cumplen la unicidad
de la imagen, que forma parte de la definición de función,
eso es para un valor de x dado existen un número infinito

de valore que son su función, por ejemplo: el arcoseno de
0 es 0, pero también lo son cualquier múltiplo entero de
π .
arcsin(0) = π n
Para cualquier n número entero.
Dado que la recíproca de una función no tiene que cum-
plir necesariamente la unicidad de imagen, solo la funcio-
nes inyectivas y biyectivas dan funciones recíprocas con
esta propiedad, esta situación se repite para el resto de las
funciones recíprocas trigonométricas.
0
-0,5
-
0,5
1,5
2
-4
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = arcsen (x)
y = arccos (x)
y = arctan (x)
Representación de las funciones trigonométricas reciprocas, co-
rregidas.
A fin de garantizar el cumplimiento de la definición de
función, en cuanto a la unicidad de imagen, y que por
tanto las funciones trigonométricas recíprocas cumplan
los criterios de la definición de función, se suele restrin-
gir tanto el dominio como el codominio, esta corrección
permite un análisis correcto de la función, a pesar de que
no coincida exactamente con la reciproca de la función
trigonométrica original. Así tenemos que:
La función arcoseno se define:
arcsin : [−1, 1] → [−0, 5π , 0, 5π]
x → y = arcsin(x)
La función arcocoseno se define:
arccos : [−1, 1] → [0 , π]
x → y = arccos(x)
La función arcotangente se define:
arctan : R → [−0, 5π , 0, 5π]
x → y = arctan(x)
Esta restricción garantiza el cumplimiento de la defini-
ción de función, en cuanto a la existencia y unicidad de
la imagen, si bien tiene inconvenientes como el no poder
comparar el arcoseno y el arcocoseno al estar definidos en
codominios diferentes, o el de presentar discontinuidades
inexistentes, tanto si se emplean las funciones trigonomé-
tricas reciprocas en su forma directa como corregida se
ha de ser consciente de ello, y comprender las ventajas e
inconvenientes que esto supone.
5.3.5 Funciones trigonométricas inversas
recíprocas
Del mismo modo que las funciones trigonométricas di-
rectas recíprocas, cuando el ángulo se expresa en radia-
nes, se denomina arco a ese ángulo, y se emplea el prefijo
arco para la función trigonométrica recíproca, así tene-
mos que:
y = csc x
y es igual a la cosecante de x, la función recíproca:
x = arccsc y
x es el arco cuya cosecante vale y, o también x es la
arcocosecante de y.
si:
y = sec x
y es igual al secante de x, la función recíproca:
x = arcsec y
x es el arco cuya secante vale y, que se dice: x es el
arcosecante de y.
si:
y = cot x
y es igual al cotangente de x, la función recíproca:

5.4. EQUIVALENCIA ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 25
x = arccot y
x es el arco cuya cotangente vale y, o x es igual al
arcocotangente de y.
0
-0,5
-
0,5
1,5
2
-4
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = arccsc (x)
y = arcsec (x)
y = arccot (x)
Representación de las funciones trigonométricas inversas reci-
procas en el plano cartesiano (x,y), como la recíproca de la co-
secante, secante y cotangente, los valores en el eje y expresados
en radianes.
Al igual que en las funciones directas, si aplicamos el cri-
terio para obtener las funciones recíprocas, dado que las
funciones trigonométricas inversas no son inyectivas, lo
obtenido es la gráfica de la derecha, que no cumplen la
unicidad de la imagen, que forma parte de la definición
de función.
Para que se cumpla la definición de función, definimos un
dominio y un codominio restrijido. Así tenemos que:
La función arcocosecante se define:
arccsc : (−∞, −1] ∪ [1, ∞) → [−0, 5π , 0, 5π]
x → y = arccsc(x)
La función arcosecante se define:
arcsec : (−∞, −1] ∪ [1, ∞) → [0 , π]
x → y = arcsec(x)
0
-0,5
-
0,5
1,5
2
-4
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = arccsc (x)
y = arcsec (x)
y = arccot (x)
Representación de las funciones trigonométricas inversas reci-
procas, corregidas.
La función arcocotangente se define:
arccot : R → [0 , π]
x → y = arccot(x)
Esta restricción garantiza el cumplimiento de la definición
de función.
5.4 Equivalencia entre las funcio-
nes trigonométricas
5.5 Valor de las funciones trigono-
métricas
A continuación algunos valores de las funciones que es
conveniente recordar:
Para el cálculo del valor de las funciones trigonométri-
cas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera

de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regio-
montano en 1467, que nos permiten, conocido un ángu-
lo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas.
En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en
prácticamente todos los lenguajes de programación exis-
ten bibliotecas de funciones que realizan estos cálculos,
incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bol-
sillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta ob-
soleto.
5.6 Sentido de las funciones trigo-
nométricas
O
A
B D
C E
y
x
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro
O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de
radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la
circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos
como punto E.
Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O es
el centro de coordenada del sistema de referencia:
A ≡ O
a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo α sobre
el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la
vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que
pasa por E corta a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:
CB
OC
=
ED
OE
Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O,
por eso la distancia OE y OB son el radio de la circunfe-
rencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1,
y dadas las deﬁniciones de las funciones trigonométricas:
sin α = CB
cos α = OC
tan α = ED
tenemos:
sin α
cos α
=
tan α
1
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según
la deﬁnición ya expuesta.
5.6.1 Primer cuadrante
O
A B D
C E
x
y
O
A
B D
C E
y
x
Para ver la evolución de las funciones trigonométricas se-
gún aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a
la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos
correspondientes a cada función trigonométrica variaran
de longitud, siendo esta variación función del ángulo, par-
tiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.
Partiendo de esta representación geométrica de las fun-
ciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de
las funciones a medida que aumenta el ángulo α .

5.6. SENTIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 27
y
O
A
B
D
C E
x
y
O
A
B
C E
x
Para α = 0 , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por
tanto:
sin 0 = 0
cos 0 = 1
tan 0 = 0
Si aumentamos progresivamente el valor de α , las dis-
tancias CB y ED aumentarán progresivamente, mientras
que OC disminuirá.
Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando
el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.
El punto E es la intersección de la circunferencia con el
eje x y no varia de posición.
Los segmentos: OC y CB están limitados por la circun-
ferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero
ED no está limitado, dado que D es el punto de corte de
la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en
el momento en el que el ángulo α = 0, 5π rad, la recta
r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales
no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia ED será
inﬁnita.
El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto
B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia
y el seno toma su mayor valor: uno.
Para un ángulo recto las funciones toman los valores:
sin
π
2
= 1
cos
π
2
= 0
tan
π
2
= ±∞ → No definida
5.6.2 Segundo cuadrante
O
A
B
D
C E x
y
Cuando el ángulo α supera el ángulo recto, el valor del
seno empieza a disminuir según el segmento CB , el co-
seno aumenta según el segmento OC , pero en el sentido
negativo de las x, el valor del coseno toma sentido nega-
tivo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo
sigue creciendo.
La tangente para un ángulo α inferior a π/2 rad se hace
inﬁnita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto
la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por

O
A
B
D
C E x
y
O
A
B
D
C E x
y
E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún
valor real, cuando el ángulo supera los π/2 rad y pasa al
segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical
que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo
de las y, la tangente ED por tanto toma valor negativo
en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a
medida que el ángulo α aumenta progresivamente hasta
los π rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de α , CB
, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma
para α = π/2 rad, hasta que valga 0, para α = π rad, el
coseno, OC , toma valor negativo y su valor varia desde
0 para α = π/2 rad, hasta –1, para α = π rad.
La tangente conserva la relación:
tan α =
sin α
cos α
incluyendo el signo de estos valores.
Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E,
y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de
E, con lo que tenemos:
sin π = 0
cos π = −1
tan π = 0
5.6.3 Tercer cuadrante
O A
B
D
C E x
y
O
A
B
D
C E x
y
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del
ángulo α = π rad a α = 3π/2 rad, se produce un cam-
bio de los valores del seno, el coseno y la tangente, desde
los que toman para π rad:
sin
3π
2
= −1
cos
3π
2
= 0
tan
3π
2
= ∞ → deﬁnida No

5.6. SENTIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 29
O
A
B
C E x
y
Cuando el ángulo α aumenta progresivamente, el seno
aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y,
el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo
de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo
hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O,
y el segmento OC , el coseno, se hace más pequeño en el
lado negativo de las x.
El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical
que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido
negativo de las y, el seno, CB .
Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta
r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en
el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, ED ,
aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo α alcance 3π/2 rad, el punto C coin-
cide con O y el coseno valdrá cero, el segmento CB será
igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de
las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical
que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor
inﬁnito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la mis-
ma relación:
tan α = sin α
cos α
que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que
a medida que el coseno se acerca a valores cercanos a
cero, la tangente tiende a inﬁnito.
O
A
B
D
C E x
y
O
A
B D
C E
x
y
O
A B D
C E
x
y
5.6.4 Cuarto cuadrante
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del
ángulo α entre 3π/2 rad y 2π rad, las variables trigono-
métricas varían desde los valores que toman para 3π/2

rad:
sin(3π/2) = −1
cos(3π/2) = 0
tan(3π/2) = ∞ → definida No
hasta los que toman para 2π rad pasando al primer cua-
drante, completando una rotación:
sin(2 π) = sin 0 = 0
cos(2 π) = cos 0 = 1
tan(2 π) = tan 0 = 0
como puede verse a medida que el ángulo α aumenta,
aumenta el coseno OC en el lado positivo de las x, el seno
CB disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente
ED también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando α , vale 2π ó 0π al completar una rotación com-
pleta los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el
seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo
modo que al comenzarse el primer cuadrante.
Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométri-
cas, se puede afirmar en todos los casos:
sin α = sin(α + 2 π n)
cos α = cos(α + 2 π n)
tan α = tan(α + 2 π n)
Que cualquier función trigonométrica toma el mismo va-
lor si se incrementa el ángulo un número entero de rota-
ciones completas.
5.7 Cálculo de algunos casos
Partiendo de una circunferencia de radio uno, dividida en
cuatro cuadrantes, por dos rectas perpendiculares, que se
cortan en el centro de la circunferencia O, estas rectas
cortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D, la
recta horizonte AC también la podemos llamar eje x y la
recta vertical BD eje y. Dada una recta r, que pasa por
el centro de la circunferencia y forma un ángulo α con
OA, eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemos que
la vertical que pasa por F corta al eje x en E, la vertical
que pasa por A corta a la recta r en G. Con todo esto
definimos, como ya se vio anteriormente, las funciones
trigonométricas:
para el seno:
sen α =
EF
OF
= EF
AO
B
D
C E
F
G
r
dado que:
OF = 1
Para el coseno:
cos α =
OE
OF
= OE
dado que:
OF = 1
Para la tangente:
tan α =
EF
OE
=
AG
OA
= AG
dado que:
OA = 1
partiendo de estas definiciones, podemos ver algunos caso
importantes:
5.7.1 Para 90-α
Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a un
ángulo α en el sentido horario, la recta r forma con el eje x
un ángulo 90-α, el valor de las funciones trigonométricas
de este ángulo conocidas las de α serán:
El triángulo OEF rectángulo en E, siendo el ángulo en F
α, por lo tanto:

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