Un repaso por la historia de los números hasta sus propiedades

1. Números Enteros
Un Poco de Historia

2. Índice general
1 Cuenta (matemáticas) 1
1.1 Etimología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Herramientas de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3.1 Instrumentos antiguos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3.2 Calculadoras mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Calculadoras electrónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Contar 5
2.1 Principios del conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Principio de correspondencia uno a uno o correspondencia biunívoca . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Principio de orden estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Principio de cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.4 Principio de abstracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.5 Principio de irrelevancia en el orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Número entero 8
3.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.1 Números con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.2 La recta numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Operaciones con números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.1 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.2 Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.3 Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.6.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
i

3. ii ÍNDICE GENERAL
3.6.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Signo (matemáticas) 13
4.1 Signo de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.1 Signo de cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.2 Regla de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Función signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Existencia de signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.5 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.5.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.5.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.5.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Capítulo 1
Cuenta (matemáticas)
En matemática, una cuenta o cálculo es una operación o un conjunto de operaciones aritméticas, como por ejemplo
una multiplicación o una sucesión de sumas. Aunque generalmente se efectúa con números, una cuenta matemática
es también un cómputo: un proceso deliberado de transformar una o más variables por medio de algún algoritmo; en
este sentido se utiliza también dentro de la informática, la estadística matemática y la teoría de la computabilidad.[1][2]
1.1 Etimología
Cuenta deriva de «contar», a su vez del lat. «computāre», computar o numerar. También puede referirse a la acción de
«narrar», pero ese no es el contexto desarrollado en el presente artículo.[3]
Expresiones derivadas como por ejemplo
«Echar cuentas», «Hacer las cuentas», «Llevar la cuenta», ..., se utilizan coloquialmente para denotar la puntuación
de una partida o competición, es decir el cómputo efectuado; «Pedir la cuenta» se utiliza frecuentemente en el idioma
español para requerir una factura o recibo (o para pagar una consumición).
Si bien el origen de las matemáticas se relaciona con el conteo, no es razonable reducir las matemáticas a una forma
básica de contar o enumerar. Es necesario que exista algún tipo de registro numérico y, para ello, alguna representación
de los números, es decir, algún tipo de sistema de numeración, para establecer «el comienzo» de las matemáticas más
precisamente.[4]
La elaboración de conceptos matemáticos más avanzados que el simple proceso de conteo, conlleva
además, la implementación de utensilios o herramientas; las primeras «cuentas» se realizaron sobre huesos, piedras
o palos tallados, para representar números enteros o períodos de tiempo.
1.2 Historia
Históricamente, el arte del cómputo (o de hacer cuentas matemáticas) se desarrolla antes incluso que la escritura.[5]
Los registros más antiguos de cálculos matemáticos conciernen papiros egipcios datados de aproximadamente 2,000
años a.C. que hacen referencias claras a aproximaciones para π y raíces cuadradas. La numeración con varillas ,
desarrollada antiguamente en China, también permite resolver problemas de este tipo, así como raíces cúbicas o n-
ésimas, y resolver sistemas de ecuaciones, que llevan al cálculo de números negativos o complejos. d'Alembert en su
encyclopédie (editada entre los años 1751 y 1772), los califica de raíces falsas e imaginarias, y no las acepta como
resultado de un cálculo final.[6][7]
El desarrollo de las nociones elementales de aritmética y las cuatro operaciones básicas, de los sistemas de numeración,
las fracciones o las proporciones, así como los problemas de álgebra elemental y las operaciones más complejas como
la extracción de raíces, la potenciación, y profundizan y diversifican los instrumentos y las herramientas matemáticas:
desde los ábacos y máquinas de sumar mecánicas, hasta las calculadoras analógicas.
1.3 Herramientas de cálculo
1.3.1 Instrumentos antiguos
1

5. 2 CAPÍTULO 1. CUENTA (MATEMÁTICAS)
Palos de conteo
• En la Prehistoria, entendida como el período de tiempo anterior a la invención de la escritura, las muescas
encontradas en huesos datadas de aproximadamente 20,000 años, pueden interpretarse como un rudimental
intento de conteo, representando valores numéricos.
Varilla de cálculo
• En algunas regiones de Asia, el cálculo con varillas ( ) fue el método desarrollado para realizar cálculos
matemáticos, probablemente durante el siglo IV a. C. Este sistema permitía representar números y fracciones;
su uso decayó tras la aparición del ábaco.
•
Quipu
• Instrumento nemotécnico inca de uso contable, hecho de cuerdas de colores y nudos, para el registro de censos
y cosechas, utilizado por las civilizaciones andinas, alrededor de 1500. Al no poseer un sistema de escritura
propiamente, el quipu cumplía una función más amplia que la de mera calculadora, complementándose posi-
blemente con el Yupana, para tareas de cálculo.[8]
Ábaco
• El ábaco es considerado como el más antiguo instrumento de conteo o de cálculo. Utilizado principalmente para
hacer operaciones aritméticas y adaptado por numerosas civilizaciones. En china es conocido como suanpan
( ); en Japón como sorobán ( ); son muy similares a las versiones utilizadas por los griegos y romanos.
Muy populares hasta bien entrado el siglo XVIII. Algunos modelos de ábaco (como el suanpan o el soroban)
permiten efectuar, además de las cuatro operacionoes básicas de la aritmética, operaciones más complejas
como la extracción de raíces.
•

6. 1.3. HERRAMIENTAS DE CÁLCULO 3
1.3.2 Calculadoras mecánicas
• Como apoyo al trabajo numérico, comptómetros, ábacos neperianos, reglas de cálculo y máquinas de sumar.
Las calculadoras modernas realizan, además de cálculos aritméticos, cálculos complejos (gráfico de funciones,
números complejos, etc.).

7. 4 CAPÍTULO 1. CUENTA (MATEMÁTICAS)
Regla de cálculo
• Instrumento de cálculo para la realización de operaciones aritméticas complejas. Sustituida paulatinamente por
las calculadoras y los ordenadores electrónicos hacia finales del siglo XX.
•
1.3.3 Calculadoras electrónicas
1.4 Véase también
• Historia de la matemática
• Cálculo mental
• Calculadora humana
• Contar con los dedos
• Palo de conteo
• Aritmética
• Cálculo
• Cuenta
1.5 Referencias
[1] «cálculo», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/srv/
search?key=c%C3%A1lculo..
[2] http://science.jrank.org/pages/7536/Calculation-Computation.html Calculation and Computation - Premodern, Early Mo-
dern, Non-western, Late Modern Period, Contemporary Period, Bibliography.
[3] La palabra cuenta tiene múltiples acepciones, ver «cuenta», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia
Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/srv/search?key=cuenta.; «cuenta» Diccionario María Moliner.
[4] Astroseti, Historia de las Matemáticas.
[5] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Arithmetic» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
[6] Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, art. EQUATION.
[7] Georges Ifrah, introduction à l’Histoire universelle des chiffres.
[8] J J O'Connor and E F Robertson. «Mathematics of the Incas». Mathematics of the Incas (en inglés). Consultado el 3 de
septiembre de 2011.
1.6 Enlaces externos
• “El levantamiento del velo en las operaciones de cálculo” es un manuscrito, de los del siglo 18, disponible en
árabe, de Al-Marrakushi ibn Al-Banna, acerca de los procesos de cálculo

8. Capítulo 2
Contar
Contar es un proceso de abstracción que nos lleva a otorgar un número cardinal como representativo de un conjunto.
Gelman y Gallistel fueron los primeros en enunciar en 1978 los cinco principios que, a modo de estadios, ha de ir
descubriendo y asimilando el niño hasta que aprende a contar correctamente:[cita requerida]
2.1 Principios del conteo
Contar es un proceso aritmético concreta ya sea una suma, una resta, etc repetidamente. El conteo es una de las
habilidades numéricas más tempranas en el desarrollo infantil.
Sin embargo, no es fácil determinar cómo lo adquiere el niño, en los inicios de estas habilidades se fundan en una
comprensión mecánica o en un aprendizaje memoristica carente de sentido.
2.1.1 Principio de correspondencia uno a uno o correspondencia biunívoca
• Trae consigo la coordinación de dos subprocesos: la partición y la etiquetación.
• La partición consiste en otorgar la categoría de contado o no contado formando dos grupos entre el conjunto
de objetos que se quieren contar. Esto se realiza generalmente señalando el objeto, agrupándolo a un lado o
bien a través de la memoria visual.
• La etiquetación es el proceso por el que el niño asigna un cardinal a cada elemento del conjunto, que se rige
además por el conjunto de orden estable.
Los niños asignan un número a cada objeto desde los dos años, sin embargo, cuando no dominan esta habilidad pueden
equivocarse, por ejemplo, dejando sin contar algún objeto o, por el contrario, contando otros varias veces.
2.1.2 Principio de orden estable
La secuencia de números a utilizar ha de ser estable y estar formada por etiquetas únicas, y poder repetirse en cualquier
momento para facilitar su aprendizaje a los niños. De este modo, niños de muy corta edad son capaces de detectar
muy fácilmente cuándo se produce una asignación completamente aleatoria en el conteo (i.e.: 2, 5, 3, 9, 24...), aunque
les cuesta mayor dificultad si esta secuencia respeta un orden de menor a mayor (1, 2, 5, 6, 9, 10...). De este modo
cuanto más se aleja la secuencia del orden convencional más fácil resulta detectar el error. Este principio se consigue
en torno a los tres ó cuatro años. En edades anteriores, cuando los niños cuentan, asignan los número arbitrariamente
o empiezan a contar por cualquier número (5, 8, 2...).
2.1.3 Principio de cardinalidad
Se refiere a la adquisición de la noción por la que el último númeral del conteo es representativo del conjunto, por ser
cardinal del mismo. Según Gelman y Gallistel podemos decir que este principio se ha adquirido cuando observamos:
5

9. 6 CAPÍTULO 2. CONTAR
1. que el niño repite el último elemento de la secuencia de conteo,
2. que pone un énfasis especial en el mismo o
3. que lo repite una vez ha finalizado la secuencia.
Según estos autores, el niño logra la cardinalidad en torno a los dos años y siete meses y también, según ellos, para
lograr la cardinalidad es necesario haber adquirido previamente los principios de correspondencia uno a uno y orden
estable. Sin embargo, otros autores como Fuson ven la adquisición de la cardinalidad como un proceso más gradual,
en el que existe un estadio intermedio denominado cuotidad, en el que el niño es capaz de responder a la pregunta de
¿cuántos elementos hay en...? pero no formulada de otra manera, como sería plantearle equivalencias entre conjuntos,
por lo que para ellos este principio estaría completamente logrado en torno a los cinco años de edad.
2.1.4 Principio de abstracción
Este principio determina que los principios de orden estable, correspondencia uno-a-uno y cardinalidad puedan ser
aplicados a cualquier conjunto de unidades, sea cual fuere el grado de heterogeneidad de sus elementos. Según este
principio, el conteo puede ser aplicado a cualquier clase de objetos reales e imaginarios. De este modo, los cambios
de color u otros atributos físicos de los objetos no deben redundar en los juicios cuantitativos de las personas en este
caso niños que, habiendo logrado esta noción, los contarán como cosas. Este principio lo adquirirá el niño en torno a
los tres años.
2.1.5 Principio de irrelevancia en el orden
Se refiere a que el niño advierta que el orden del conteo es irrelevante para el resultado final. El niño que ha adquirido
este principio sabe que:
1. el elemento contado es un objeto de la realidad, y no un 1 o un 2;
2. que las etiquetas son asignadas al contar de un modo arbitrario y temporal a los elementos contados;
3. que se consigue el mismo cardinal con independencia del orden de conteo de los elementos seguido.
Investigaciones posteriores al enunciado de este último principio han demostrado que, para que el niño haya adquirido
este concepto, debe ser capaz de contar elementos aleatoriamente, realizando saltos sobre el conjunto a contar, lo que
sucedería en torno a los cuatro años.
Estos principios deberían fomentarse en la etapa infantil, puesto que son la base imprescindible para entender las
operaciones matemáticas y el valor posicional de las cifras. La mayoría de los niños los adquiere, de manera no
formal, en los medios en los que se desenvuelve. Si el niño no los ha adquirido antes de los seis años necesitará ayuda
especializada.
En una etapa posterior, si en el sujeto se presentasen dificultades en la adquisición del conteo o la numeración.
Principio de unicidad. Como una función de contar es asignar valores cardinales a conjuntos para diferenciarlos o
compararlos, es importante que los niños no sólo generen una secuencia estable y asignen una etiqueta, y sólo una, a
cada elemento de un conjunto, sino también que empleen una secuencia de etiquetas distintas o únicas. Por ejemplo,
un niño puede usar la secuencia “1, 2, 3, 3” de manera sistemática y emplear estas etiquetas en una correspondencia
biunívoca, pero como no todos sus elementos están diferenciados, etiquetará de la misma manera conjuntos de tres
y cuatro elementos (con la designación cardinal “3”) (Baroody y Price, 1983). Incluso cuando un niño tiene que
recurrir al empleo de términos no convencionales, la apreciación del principio de unicidad (comprender la función
diferenciadora de contar) le impediría escoger términos empleados previamente. Por ejemplo, el empleo sistemático
de la secuencia no convencional “1, 2, 3, diecionce” etiquetaría erróneamente conjuntos de cuatro elementos pero al
menos los diferenciaría de conjuntos con menos elementos. Por tanto, además de los principios de orden estable y de
correspondencia, es importante que los niños sigan el principio de unicidad. ((Baroody, Arthur J. (1997)))
2.2 Véase también
• Discalculia

10. 2.2. VÉASE TAMBIÉN 7
• Cuenta (matemáticas)
• Cálculo

11. Capítulo 3
Número entero
La resta de dos números naturales no es un número natural cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es
negativo: en la imagen, solo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en rojo).
Los números enteros son elementos de un conjunto de números que reúne a los positivos (1, 2, 3, ...), a los negativos
opuestos de los anteriores: (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno»,
«menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia
entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando
no se le escribe signo al número se asume que es positivo. Si se considera ℕ = { 1,2,3,...} [1]
, entonces un entero
natural es un entero positivo y el conjunto ℕ es parte propia de conjunto ℤ. El conjunto de todos los números enteros
se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números»,
pronunciado [ˈtsaːlən]).
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma
similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para conta-
bilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de
último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede
decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del
Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por
debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
8

12. 3.1. HISTORIA 9
3.1 Historia
Los números enteros negativos son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con
diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números positivos y negativos, siempre representaban una cantidad de
unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos
del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones
de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India. [2]
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad
poseída o activo, se decía que el banquero estaba en «números rojos». Esta expresión venía del hecho que lo que hoy
llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de
30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.
3.2 Introducción
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
3 − 5 = ?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con números naturales. Sin
embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias
y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde
1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde
2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o
perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades
se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000
− 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una
ganancia negativa.
3.2.1 Números con signo
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos
(«−») delante se obtienen los números negativos:
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama
números positivos.
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar
o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».
3.2.2 La recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están
ordenados se utiliza la recta numérica:

13. 10 CAPÍTULO 3. NÚMERO ENTERO
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto
mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:
Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
3.3 Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números
naturales.
3.3.1 Suma
En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color.
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
2. Propiedad conmutativa:
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
3.3.2 Resta
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.
Ejemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13

14. 3.4. PROPIEDADES ALGEBRAICAS 11
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
3.3.3 Multiplicación
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto
del resultado.
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
1. [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
2. Propiedad conmutativa:
(−6) × (+9) = −54
(+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad
distributiva:
Ejemplo.
• (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
• [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21
3.4 Propiedades algebraicas
• El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición y multiplicación, tiene
una estructura que en matemáticas se denomina anillo; y posee una relación de orden. Los números enteros
pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.
• El conjunto ℤ de los números enteros es coordinable con el conjunto ℕ de los números naturales. O sea que se
puede establecer un correspondencia biunívoca entre los dos conjuntos. [3]
3.5 Véase también
• Parte entera
• Entero (tipo de dato)
3.6 Referencias
[1] Una de las versiones constructivas de los números naturales de Peano
[2] Raúl Rodríguez y otros.« Cálculo diferencial e integral. » Primera parte. Editorial Pueblo y Educación. La Habana (1988)
pág. 2
[3] Lía Oubiña. «Introducción a la teoría de conjuntos». Publicación de Eudeba. Buenos Aires

15. 12 CAPÍTULO 3. NÚMERO ENTERO
3.6.1 Bibliografía
• Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens, D.; McClain, K. (2006). Mathematics. Applications and
Concepts. Course 2 (en inglés). McGraw-Hill. ISBN 0-07-865263-4.
• Héfez. Introducción al álgebra
• A. G. Tsipkin. Manual de matemáticas.
• Birkhoff y Mac Lane. Álgebra Moderna
• A. Adrian Albert. Álgebra superior
• Frank Ayres. Álgebra Moderna
• César A. Trejo. Concepto de número
3.6.2 Enlaces externos
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre número entero.Wikcionario

16. Capítulo 4
Signo (matemáticas)
Los signos más y menos se utilizan para mostrar el signo de un número entero, racional o real.
En matemáticas, la palabra signo se refiere a la propiedad de ser positivo o negativo. Todos los números enteros
distintos de cero son positivos o negativos, y tienen por tanto un signo. Lo mismo ocurre para los números racionales
o reales no nulos (para los números complejos, en cambio, no puede definirse un signo global, sólo signos para las
partes real e imaginaria, ya que no son un conjunto que admita un orden compatible con la multiplicación).
El signo de un número se representa con los signos más y menos, «+» y «−». La palabra «signo» también se utiliza
para referirse estos símbolos matemáticos, entre otros (como el signo de multiplicación).
4.1 Signo de un número
En matemáticas es necesario a veces representar cantidades más pequeñas que cero. Existen diversos ejemplos:
13

17. 14 CAPÍTULO 4. SIGNO (MATEMÁTICAS)
• Temperatura: a cero grados Celsius, 0°C, el agua se congela; sin embargo, es posible enfriar aún más el hielo
u otras sustancias, y dichas temperaturas son por tanto más pequeñas que 0°C.
• Altitud: en geografía, la altitud de un punto se mide con respecto al nivel del mar. Algunas zonas deprimidas
pueden estar por debajo del nivel del mar, y por tanto su altura es menor que cero metros, 0 m.
Los números más pequeños que cero son números negativos y para representarlos se les añade un signo menos, «−».
Todos los números negativos son pues menores que cero: −2 < 0 , −7/2 < 0, etc. Los números mayores que cero,
como 1, 7, 13/5, ..., son números positivos, y para distinguirlos mejor de los negativos, se les añade un signo más «+»
delante:
Así que 5 y +5 representan el mismo número. Como los números positivos son mayores que cero se tiene que : 5 > 0
, 9,4 > 0 , etc.
El signo de un número es por tanto una manera de hablar tanto del símbolo que lo precede, como de la propiedad
que tenga ese número de ser mayor o menor que cero.
Es habitual también distinguir entre la propiedad de ser positivo y la propiedad de ser no negativo, y viceversa. Como
su propio nombre indica, un número que es no negativo no es negativo, por lo que o es positivo o es el cero:
Una manera de representar esto es mediante los símbolos «mayor o igual» y «menor o igual», ≥ y ≤. Los números
no negativos son mayores o iguales a cero, ≥ 0; y los números no positivos son menores o iguales a cero, ≤ 0.
4.1.1 Signo de cero
El cero, 0, no es un número positivo ni negativo, ya que no es mayor ni menor que sí mismo. Sin embargo, se puede
representar con signo más o menos, +0 ó −0, indistintamente, ya que no causa ninguna ambigüedad en las operaciones
aritméticas.
(En algunos contextos, el signo de cero puede ser relevante, de forma que +0 y −0 representen cosas distintas. Véase
cero con signo.)
4.1.2 Regla de signos
La regla de signos resume el comportamiento del producto de números positivos y negativos. El producto de dos nú-
meros positivos es evidentemente un número positivo, igualmente puede argumentarse intutivamente que el producto
de un número negativo por un positivo es negativo. Menos intuitivo es el hecho de que el producto de dos números
negativos es un número positivo. La regla de signos se expresa mediante cuatro partes:
(+) · (+) = (+)
(−) · (−) = (+)
(+) · (−) = (−)
(−) · (+) = (−)
4.2 Función signo
La función signo, sgn(x) es una función que sólo depende del signo del número sobre el que actúa. Esto significa que
sgn(x) tiene un cierto valor para todos los números positivos, otro cierto valor para todos los números negativos, y
otro para cero. Más concretamente, la función signo es:
4.3 Existencia de signo
El hecho de que pueda definirse el signo sobre un conjunto de números que forma un anillo requiere que pueda
definirse una relación de orden total y conjunto de números positivos (o noción de positividad)

18. 4.3. EXISTENCIA DE SIGNO 15
La función signo.
El signo puede definirse siempre que pueda definirse la noción de positividad o conjunto de números positivos P que
satisface las siguientes condiciones:
1. Dados dos números a y b que pertenecen a P, entonces a + b pertenecen a P.
2. Dados dos números a y b que pertenecen a P, entonces a · b pertenecen a P.
3. Si c∈P sólo una de las siguientes proposiciones es válida:
c ∈ P, c = 0, −c ∈ P
donde −c designa el elemento opuesto respecto a la suma.
El hecho de que los números complejos no admitan un signo compatible con el definido para los números reales se
refleja en que tanto la suposición de que i > 0 y i < 0 conducen a contradicción:
Si 0 < i eso implicaría que 0 < i·i = −1
Si 0 > i entonces −i > 0 y eso implicaría que 0 < (−i)·(−i) = −1
En los dos casos se obtiene una contradicción.
Para los cuerpos finitos tampoco se puede definir la noción de signo ya que al ser cíclicos respecto a la multiplicación
existe un n tal que:

19. 16 CAPÍTULO 4. SIGNO (MATEMÁTICAS)
n
a + · · · + a = −a
Por la primera condición que define el conjunto de los positivos, si a>0 entonces el primer término debe ser positivo,
pero por la tercera condición −a<0 , lo cual es una contradicción.
4.4 Enlaces externos
• Esta obra deriva de la traducción de Sign (mathematics) de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo
la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0
Unported.

20. 4.5. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 17
4.5 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
4.5.1 Texto
• Cuenta (matemáticas) Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Cuenta_(matem%C3%A1ticas)?oldid=84774670 Colaboradores: BOT-Superzerocool,
CEM-bot, JAnDbot, Dnu72, Kikobot, Raulshc, Xqbot, Jkbw, RedBot, Jerowiki, ZéroBot, HRoestBot, ChuispastonBot, MerlIwBot, Sa-
rahStierch, Acratta, Addbot y Anónimos: 7
• Contar Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Contar?oldid=83515691 Colaboradores: Vivero, Netzahualcoyotl, Yrbot, The Photograp-
her, CEM-bot, JMCC1, Retama, Ingenioso Hidalgo, Egaida, OceanO, VolkovBot, Technopat, DJ Nietzsche, Muro Bot, Feministo, Racso,
BOTarate, HUB, Leonpolanco, Raulshc, AVBOT, Angel GN, Diegusjaimes, Kender00, Jkbw, Jerowiki, PatruBOT, JA Galán Baho, Ser-
gio Andres Segovia, Grillitus, MercurioMT, Whatsupchap, AleMaster23, Acratta, Minsbot, Addbot y Anónimos: 39
• Número entero Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero?oldid=85981602 Colaboradores: AstroNomo, Maveric149,
Youssefsan, Macar~eswiki, Juancri, Joseaperez, Sabbut, Moriel, Abgenis, Rob Hooft, Pieter, Faco~eswiki, HooftBot~eswiki, Robbot,
Sanbec, Vivero, Zwobot, Comae, Dodo, Yearofthedragon, Ascánder, Sms, Renabot, FAR, Soulreaper, RobotJcb, Airunp, Taichi, Rembia-
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Kn, BOTpolicia, Hawking, CEM-bot, Jorgelrm, Laura Fiorucci, Rubenerm, JMCC1, Especiales, Marianov, Eli22, Baiji, Karshan, Davius,
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Focker, Doctor C, Botones, Isha, JAnDbot, Karlozshida, Kved, Charly Toluca, Muro de Aguas, Gsrdzl, TXiKiBoT, Alephcero~eswiki,
Gustronico, Humberto, Netito777, Xsm34, Fixertool, KanTagoff, Pólux, Jmvkrecords, Manuel Trujillo Berges, AlnoktaBOT, VolkovBot,
Technopat, C'est moi, Raystorm, Matdrodes, Synthebot, AlleborgoBot, Muro Bot, MiguelAngel fotografo, Gerakibot, SieBot, Mushii, Lo-
veless, MiguelAngelCaballero, Marcelo, Mel 23, Manwë, Greek, BuenaGente, Belb, PipepBot, Xqno, Tirithel, M S, Jarisleif, Javierito92,
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Petruss, Poco a poco, BodhisattvaBot, Raulshc, Açipni-Lovrij, Camilo, UA31, AVBOT, Msdus, David0811, Angel GN, Diegusjaimes,
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SuperBraulio13, Juamax, Almabot, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, Sofiaa B, Dreitmen, Ricardogpn, Kismalac, Igna, Botarel, Panderine!, BO-
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Humbefa, Foundling, Mathonius, Jonathan11117, Adriansm, Edslov, EmausBot, Bachi 2805, Savh, AVIADOR, ZéroBot, Allforrous,
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LlamaAl, DarafshBot, Helmy oved, 2rombos, ProfesorFavalli, Miniush, Zimplemente silvestrista, Legobot, Holaquetalcomoteva, Loli-
tololita, Seroto, Ivanretro, Addbot, VALERIAFORERODIAZ, Balles2601, DavosMat, Aydv 2013, Solanni1, Manuel Balarezo, Nicolas
pellizzari, MrCharro, Jarould, Matiia, Crystallizedcarbon, Luisangelventuravelez, BenjaBot, DixieGarzaAlvarez, Información Falsa Para
Todos, Renérafael, Devin Rivera, X2y3, Sfr570, Estibens sanchez, Jesus david rosado, Tarm92, Clawdeen22 y Anónimos: 803
• Signo (matemáticas) Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Signo_(matem%C3%A1ticas)?oldid=85051822 Colaboradores: BOT-Superzerocool,
Davius, Rwheimle, Dnu72, UA31, Arjuno3, SuperBraulio13, Jkbw, Kismalac, Jerowiki, Savh, AVIADOR, Grillitus, MerlIwBot, KLBot2,
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4.5.2 Imágenes
• Archivo:AdditionRules-2.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/AdditionRules-2.svg Licencia: CC BY-
SA 3.0 Colaboradores:
• AdditionRules.svg Artista original: AdditionRules.svg: Ezra Katz
• Archivo:Commons-emblem-question_book_orange.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Commons-emblem-question_
book_orange.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: <a href='//commons.wikimedia.org/wiki/File:Commons-emblem-issue.svg'
class='image'><img alt='Commons-emblem-issue.svg' src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Commons-emblem-issue.
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bc/Commons-emblem-issue.svg/38px-Commons-emblem-issue.svg.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/
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wikimedia.org/wiki/File:Question_book.svg' class='image'><img alt='Question book.svg' src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/
commons/thumb/9/97/Question_book.svg/25px-Question_book.svg.png' width='25' height='20' srcset='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/
commons/thumb/9/97/Question_book.svg/38px-Question_book.svg.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/
9/97/Question_book.svg/50px-Question_book.svg.png 2x' data-file-width='252' data-file-height='199' /></a> Artista original: GNOME
icon artists, Jorge 2701
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boradores: ? Artista original: ?
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dores: Trabajo propio Artista original: kismalac
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laboradores: File:Fruit.svg.
Artista original: File:Fruit.svg: Gage.
• Archivo:Victor-comptometer.JPG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dc/Victor-comptometer.JPG Licencia:
Public domain Colaboradores: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Victor-comptometer.JPG Artista original: Ian Ruotsala

21. 18 CAPÍTULO 4. SIGNO (MATEMÁTICAS)
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4.5.3 Licencia del contenido
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