Proporción aurea

Proporción Aurea
Utilizacion en otras áreas

Índice general
1 Número áureo 1
1.1 Deﬁnición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Cálculo del valor del número áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Historia del número áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Antigüedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Edad Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 El número áureo en las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Propiedades y representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 El número áureo en la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Teoría de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 El número áureo en la Naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 El número áureo en el arte y en la cultura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Icosaedro 14
2.0.1 Cálculo de dimensiones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Coordenadas cartesianas y estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Proporciones áureas en el icosaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Relaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Aplicaciones, ejemplos y formas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Pintura 19
3.1 Deﬁnición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Historia de la pintura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Géneros pictóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Pintura histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
i

ii ÍNDICE GENERAL
3.3.2 Retrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.3 Pintura de género . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.4 Paisaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.5 Naturaleza muerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.6 Desnudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.1 Óleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.2 Cera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.3 Acuarela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.4 Témpera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.5 Acrílico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.6 Pastel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.7 Temple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.8 Tinta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.9 Fresco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.10 Grisalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.11 Puntillismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.12 Dripping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.13 Graﬁti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.14 Técnicas mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.1 Soportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5.2 Pinceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5.3 Fondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.4 Pigmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.7 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.8 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Música y matemáticas 34
4.1 Tiempo, ritmo y métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Forma musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 El sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 La armonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Congreso Internacional de Música y Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.7 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.8 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.8.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.8.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.8.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Capítulo 1
Número áureo
El número áureo (también llamado número de oro,
razón extrema y media,[1]
razón áurea, razón dora-
da, media áurea, proporción áurea y divina propor-
ción[2]
) es un número irracional,[3]
representado por la
letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayús-
cula) en honor al escultor griego Fidias.
La ecuación se expresa de la siguiente manera:
φ = 1+
√
5
2 ≈ 1, 61803398874989...
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guar-
dando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al
segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.
También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),[4]
por
ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa
acortar, aunque es más común encontrarlo representado
con la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con la
letra griega alpha minúscula.[5]
Se trata de un número algebraico irracional (su repre-
sentación decimal no tiene período) que posee muchas
propiedades interesantes y que fue descubierto en la an-
tigüedad, no como una expresión aritmética, sino como
relación o proporción entre dos segmentos de una rec-
ta, o sea, una construcción geométrica. Esta proporción
se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como
en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algu-
nos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de
un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de
sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cua-
drado (Φ2
= 2,61803398874989...) y su inverso (1/Φ =
0,61803398874989...) tienen las mismas infinitas cifras
decimales.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos
cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos in-
cluso creen que posee una importancia mística. A lo largo
de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de
diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algu-
nos de estos casos han sido cuestionados por los estudio-
sos de las matemáticas y el arte.
1.1 Definición
El número áureo es el valor numérico de la proporción
que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más
largo que b), que cumplen la siguiente relación:
• La longitud total, suma de los dos segmentos a y b,
es al segmento mayor a, lo que este segmento a es
al menor b. Escrito como ecuación algebraica:
a+b
a = a
b
Siendo el valor del número áureo φ el cociente: ϕ = a/b
Surge al plantear el problema geométrico siguiente: par-
tir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la
longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos
el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento
mayor entre la del menor.
1.1.1 Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
a+b
a = a
b
Si φ = a/b entonces la ecuación queda:
1+φ−1
= φ, ⇒ φ+1 = φ2
, ⇒
φ2
− φ − 1 = 0
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
1+
√
5
2 =
1.6180339887498948482045868343656381177203 . . .
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación
a/b .
1

2 CAPÍTULO 1. NÚMERO ÁUREO
1.2 Historia del número áureo
Algunos autores sugieren que el número áureo se en-
cuentra como proporción en varias estelas de Babilonia
y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no exis-
te documentación histórica que indique que el número
áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artis-
tas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una
estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos
si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para
que se pueda afirmar que el número áureo está presente,
las medidas deben tomarse desde puntos significativos del
objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que
defienden la presencia del número áureo. Por todas es-
tas razones Mario Livio concluye que es muy improbable
que los babilonios hayan descubierto el número áureo.[6]
1.2.1 Antigüedad
El primero en hacer un estudio formal del número áureo
fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quien lo definió de la si-
guiente manera:
“Se dice que una recta ha sido cortada en
extrema y media razón cuando la recta entera
es al segmento mayor como el segmento mayor
es al segmento menor”.
Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro
Sexto.
Euclides demostró también que este número no puede ser
descrito como la razón de dos números enteros; es decir,
es un número irracional.
Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estu-
diara el número áureo. Sin embargo, a veces se le atribuye
el desarrollo de teoremas relacionados con el número áu-
reo debido a que el historiador griego Proclo escribió:
"Eudoxo... multiplicó el número de teore-
mas relativos a la sección a los que Platón dio
origen”.
Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro
de los Elementos de Euclides.
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή)
como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX
esta interpretación ha sido motivo de gran controversia
y muchos investigadores han llegado a la conclusión de
que la palabra sección no tuvo nada que ver con el núme-
ro áureo. No obstante, Platón consideró que los números
irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de par-
ticular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta
opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y
matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.
A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el nú-
mero áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y la
estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco
sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto.
En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la
existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con
la teoría atómica de Demócrito. Para Platón, cada uno
de los sólidos correspondía a una de las partículas que
conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba
asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro,
el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un
todo, estaba asociado con el dodecaedro.
1.2.2 Edad Moderna
En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli
publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción),
donde plantea cinco razones por las que estima apropiado
considerar divino al número áureo:
1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del nú-
mero áureo con la unicidad de Dios.
2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de
recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmen-
surabilidad del número áureo y la inconmensurabi-
lidad de Dios son equivalentes.
4. La autosimilaridad asociada al número áureo; Pacio-
li la compara con la omnipresencia e invariabilidad
de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio
ser al Universo a través de la quinta esencia, repre-
sentada por el dodecaedro, el número áureo dio ser
al dodecaedro.
En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la me-
dida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde
describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea
basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral
de Durero”.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un
modelo platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos
platónicos, y se refirió al número áureo en términos gran-
diosos:
“La geometría tiene dos grandes tesoros:
uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la
división de una línea entre el extremo y su
proporcional. El primero lo podemos comparar
a una medida de oro; el segundo lo debemos
denominar una joya preciosa”.
Johannes Kepler en Mysterium Cosmographi-
cum (El misterio cósmico).

1.3. EL NÚMERO ÁUREO EN LAS MATEMÁTICAS 3
El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de
oro, para referirse a este número lo hace el matemático
alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg
Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro
Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras
elementales). Ohm escribe en una nota al pie:
“Uno también acostumbra llamar a esta
división de una línea arbitraria en dos partes
como éstas la sección dorada”.
Martin Ohm en Die Reine Elementar Matema-
tik (Las matemáticas puras elementales).
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término
ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo
incluyera en su primera edición sugiere que el término
pudo ganar popularidad alrededor de 1830.
En los textos de matemáticas que trataban el tema, el sím-
bolo habitual para representar el número áureo fue τ, del
griego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo,
la moderna denominación Φ o φ la efectuó en 1900 el
matemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que ésta era
la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας).
Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor
estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por
entonces se le atribuía también al número áureo. Mark
Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices
matemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodo-
re Cook.
1.3 El número áureo en las mate-
máticas
1.3.1 Propiedades y representaciones
Ángulo de oro
360◦
φ + 1
≈ 137,5◦
Propiedades aritméticas
• φ ≈ 1, 618033988749894848204586834365638117720309...
es el único número real positivo tal que:
φ2
= φ + 1
• φ posee además las siguientes propiedades:
φ − 1 =
1
φ
φ3
=
φ + 1
φ − 1
• Las potencias del número áureo pueden expresarse
en función de una suma de potencias de grados infe-
riores del mismo número, establecida una verdadera
sucesión recurrente de potencias.
El caso más simple es: Φn
= Φn−1
+ Φn−2
, cualquiera sea n un número entero. Este caso
es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues
se recurre a dos potencias anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la for-
ma:
a1un+k−1 + a2un+k−2 + ... + akun
donde ai es cualquier número real o complejo
y k es un número natural menor o igual a n y
mayor o igual a 1. En el caso anterior es k=2 ,
a1=1 y a2=1 .
Pero podemos «saltar» la potencia inmediata-
mente anterior y escribir:
Φn
= Φn−2
+ 2Φn−3
+ Φn−4
. Aquí k=4 ,
a1=0 , a2=1 , a3=2 y a4=1 .
Si anulamos las dos potencias inmediatamente
anteriores, también hay una fórmula recurrente
de orden 6:
Φn
= Φn−3
+ 3Φn−4
+ 3Φn−5
+ Φn−6
En general:
Φn
=
1
2 k
∑
i=0
(1
2 k
i
)
Φ
[
n −
(1
2 k + i
)]
; k = 2j ∈ N , n ∈ N , i ∈ N
En resumen: cualquier potencia del número áu-
reo puede ser considerada como el elemento de
una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,...,
2k; donde k es un número natural. En la fór-
mula recurrente es posible que aparezcan po-
tencias negativas de Φ , hecho totalmente co-
rrecto. Además, una potencia negativa de Φ
corresponde a una potencia positiva de su in-
verso, la sección áurea.
Este curioso conjunto de propiedades y el he-
cho de que los coeficientes significativos sean
los del binomio, parecieran indicar que entre
el número áureo y el número e hay un paren-
tesco.

• El número áureo
√
5+1
2 es la unidad fundamental
«ε» del cuerpo de números algebraicos Q
(√
5
)
y
la sección áurea
√
5−1
2 es su inversa, « ε−1
». En
esta extensión el «emblemático» número irracional√
2 cumple las siguientes igualdades:
√
2 =
√
5 + 1
2
√
3 −
√
5 =
√
5 − 1
2
√
3 +
√
5
Representación mediante fracciones continuas
La expresión mediante fracciones continuas es:
φ = 1 + 1
φ −→ φ = 1 +
1
1+ 1
1+ 1
1+ 1
1+...
Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y
restar es dividir. Es también la más simple de todas las
fracciones continuas y la que tiene la convergencia más
lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo
sea un número mal aproximable mediante racionales que
de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabili-
dad mediante racionales.[7]
Por ello se dice que φ es el número más alejado de lo
racional o el número más irracional. Este es el motivo
por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-
Moser.
Representación mediante ecuaciones algebraicas
φ(φ−1) = 1 −→ φ2
−φ−1 = 0 −→
φ = 1+
√
5
2 , que surge de la ecuación deﬁnito-
ria de un término cualquiera en la sucesión de
Fibonacci, a partir del tercero[8]
El número áureo
√
5+1
2 y la sección áurea
√
5−1
2 son so-
luciones de las siguientes ecuaciones:
x2
−
√
5 x + 1 = 0
x3
− y3
− 4 = 0
x4
− x3
− x − 1 = 0
8x3
− 4x + 1 = 0 que da el valor de sen 18º
e ímplícitamente al número aúreo[9]
Inecuación algebraica
φ/2 >(4 -φ2
)1/2
/φ[10]
Representación trigonométrica
φ = 1 + 2 sin(π/10) = 1 + 2 sin 18◦
φ =
1
2
csc(π/10) =
1
2
csc 18◦
φ = 2 cos(π/5) = 2 cos 36◦
φ =
1
2
sec
2
5
π =
1
2
sec 72◦
φ =
sin(2π/5)
sin(1π/5)
=
sin(72◦
)
sin(36◦)
Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un
pentágono regular (distancia entre dos vértices no con-
secutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras
relaciones similares en el pentagrama.
Representación mediante raíces anidadas
φ =
√
1 + φ −→ φ =
√
1 +
√
1 +
√
1 +
√
1 + · · ·
Esta fórmula como caso particular de una identidad gene-
ral publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Univer-
sidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical
Monthly, 1917.
El teorema general dice:
La expresión limn→∞ a1 +
√
a2 +
√
a3 +
√
a4 +
√
· · · +
√
an
(donde ai = a ), es igual a la mayor de las raíces de la
ecuación: x2
− x − a = 0; o sea, 1+
√
1+4a
2 .
Relación con la sucesión de Fibonacci
Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F ,
y al siguiente número de Fibonacci, como F ₊ ₁, des-
cubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón os-
cila, y es alternativamente menor y mayor que la razón
áurea. Podemos también notar que la fracción continua
que describe al número áureo produce siempre números
de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos
en la fracción. Por ejemplo: 3
2 = 1, 5 ; 8
5 = 1, 6 ; y
21
13 = 1, 61538461... , lo que se acerca considerablemen-
te al número áureo. Entonces se tiene que:
φ = 1 +
1
1 + 1
1+ 1
1+ 1
1+...
= lim
n→∞
Fn+1
Fn
= ϕ
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán
Johannes Kepler, pero pasaron más de cien años antes de

1.3. EL NÚMERO ÁUREO EN LAS MATEMÁTICAS 5
que fuera demostrada por el matemático inglés Robert
Simson.
Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión adi-
tiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por
ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios,
por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 -
10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocien-
tes de términos sucesivos producen aproximaciones ra-
cionales que se acercan asintóticamente por exceso y por
defecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 =
1,613636...; 301/186 = 1,6182795.[11]
A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques
Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que apa-
rentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por
otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fór-
mula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci
sin la necesidad de producir todos los números anteriores.
La fórmula de Binet depende exclusivamente del número
áureo:
Fn =
1
√
5
[(
1 +
√
5
2
)n
−
(
1 −
√
5
2
)n]
=
1
√
5
[
(ϕ)
n
−
(
−1
ϕ
)n]
1.3.2 El número áureo en la geometría
φ
φ2
1
El tríangulo de Kepler:
φ2
= φ + 1
El número áureo y la sección áurea están presentes en to-
dos los objetos geométricos regulares o semiregulares en
los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o
que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.
• Relaciones entre las partes del pentágono.
• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado,
pentáculo o pentagrama.
• Relaciones entre las partes del decágono.
• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del ico-
saedro.
El rectángulo áureo de Euclides
1
2
A B
CD
E
F
G
Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado
ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.
El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD
están en la proporción del número áureo. Euclides, en su
proposición 2.11 de Los elementos, obtiene su construc-
ción:
GC =
√
5
Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:
GE = GC =
√
5
con lo que resulta evidente que
AE = AG + GE = 1 +
√
5
de donde, ﬁnalmente,
AE
AD
=
1 +
√
5
2
= φ
Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son se-
mejantes, de modo que este último es asimismo un
rectángulo áureo.
En el pentagrama
El número áureo tiene un papel muy importante en los
pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada inter-
sección de partes de un segmento se interseca con otro
segmento en una razón áurea.

Generación de un rectángulo áureo a partir de otro.
Los segmentos coloreados del pentagrama poseen proporciones
áureas.
El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco
acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de
lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen
como los triángulos áureos.
Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, se
observa que dentro del pentágono interior es posible di-
bujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el
infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentá-
gono por el exterior, que sería a su vez el pentágono inte-
rior de una estrella más grande. Al medir la longitud total
de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta
igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estre-
lla mayor, o sea Φ. Por lo tanto, el número de veces en
que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito
al añadir infinitos pentagramas.
El teorema de Ptolomeo y el pentágono
Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como
el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pen-
A B
C
D
b
a
a
a
bb
Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Pto-
lomeo en un pentágono regular.
tágono regular mediante regla y compás. Aplicando es-
te teorema, se forma un cuadrilátero al quitar uno de los
vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor
miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que
b2
= a2
+ ab lo que implica:
b
a
=
(1 +
√
5)
2
.
Pentágono estrellado
Aparece el número de la justa razón entre los segmentos
parciales de los lados de un pentágono estrellado.[12]
Trigonometría
El seno de 18º es la mitad del inverso del número de la
justa razón.[13]
• cos 36º es la mitad del número aúreo.[14]
• De igual modo 2cos 36º - 2 sen 18º = phi - 1/phi.
Relación con los sólidos platónicos
El número áureo está relacionado con los sólidos platóni-
cos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas
dimensiones están dadas en términos del número áureo.
Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud
2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas por los
siguientes puntos:
(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

1.4. EL NÚMERO ÁUREO EN LA NATURALEZA 7
Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud
2/φ=√5−1 también se pueden dar en términos similares:
(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)
Los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden con los
centros de las caras de un dodecaedro.
Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen
y su área total se pueden expresar también en términos
del número áureo:
A = 3
√
15 + 20φ · a2
V =
4 + 7φ
2
· a3
Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en
sus centros, los 12 vértices de los tres rectángulos áureos
coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro,
y con los centros de las caras de un dodecaedro.
El punto que los rectángulos tienen en común es el centro
tanto del dodecaedro como del icosaedro.
1.3.3 Teoría de números
1.4 El número áureo en la Natura-
leza
En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con
la sección áurea y/o los números de Fibonacci:
• Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los
ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión
que lleva su nombre para calcular el número de pa-
res de conejos n meses después de que una primera
pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los
conejos están aislados por muros, se empiezan a re-
producir cuando tienen dos meses de edad, tardan
Concha de nautilus en espiral logarítmica.[15]
un mes desde la fecundación hasta la aparición y ca-
da camada es de dos conejos). Este es un problema
matemático puramente independiente de que sean
conejos los involucrados. En realidad, el conejo co-
mún europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y
varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que
la preñez dura 32 días. El problema se halla en las
páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue
el que llegó hasta nosotros, y parece que el plantea-
miento recurrió a conejos como pudiera haber sido
a otros seres; es un soporte para hacer comprensible
una incógnita, un acertijo matemático. El cociente
de dos términos consecutivos de la sucesión de Fi-
bonacci tiende a la sección áurea o al número áureo
si la fracción resultante es propia o impropia, res-
pectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión
recurrente de orden dos, según demostraron Barr y
Schooling en la revista The Field del 14 de diciem-
bre de 1912.[16]
• La disposición de los pétalos de las flores (el papel
del número áureo en la botánica recibe el nombre de
Ley de Ludwig).[17][18]
• La distribución de las hojas en un tallo. Ver:
Sucesión de Fibonacci.[17]
• La relación entre las nervaduras de las hojas de los
árboles.[19]
• La relación entre el grosor de las ramas principales
y el tronco, o entre las ramas principales y las secun-
darias (el grosor de una equivale a Φ tomando como
unidad la rama superior).[19]
• La cantidad de espirales de una piña (ocho y tre-
ce espirales), flores o inflorescencias. Estos núme-
ros son elementos de la sucesión de Fibonacci y el
cociente de dos elementos consecutivos tiende al nú-
mero áureo.[20][21]
• La distancia entre el ombligo y la planta de los pies
de una persona, respecto a su altura total.[22]

• La cantidad de pétalos en las flores. Existen flores
con 3, 5 y 8 pétalos y también con 13, 21, 34, 55, 89
y 144.[20]
• La distribución de las hojas de la yuca y la disposi-
ción de las hojas de las alcachofas.[20]
• La relación entre la distancia entre las espiras del
interior espiralado de cualquier caracol o de cefaló-
podos como el nautilus. Hay por lo menos tres es-
pirales logarítmicas más o menos asimilables a pro-
porciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza
por la relación constante igual al número áureo en-
tre los radiovectores de puntos situados en dos evo-
lutas consecutivas en una misma dirección y senti-
do. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de
Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium tro-
chleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de
crecimiento.[23][24]
Se debe entender que en toda
consideración natural, aunque involucre a las cien-
cias consideradas más matemáticamente desarrolla-
das, como la Física, ninguna relación o constante
que tenga un número infinito de decimales puede
llegar hasta el límite matemático, porque en esa es-
cala no existiría ningún objeto físico. La partícula
elemental más diminuta que se pueda imaginar es
infinitamente más grande que un punto en una recta.
Las leyes observadas y descriptas matemáticamen-
te en los organismos las cumplen transgrediéndolas
orgánicamente.[25]
• Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver
Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el
máximo de insolación con la mínima interferencia
entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice
ascendente según un ángulo constante y teóricamen-
te igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136
276 726 855 462 662 132 999...” En la naturaleza
se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º
30' 28” en el mejor de los casos.[17]
Para el cálculo
se considera iluminación vertical y el criterio mate-
mático es que las proyecciones horizontales de unas
sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la
iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía
con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máxi-
mo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue
descubierto empíricamente por Church[17]
y confir-
mado matemáticamente por Weisner en 1875. En
la práctica no puede medirse con tanta precisión el
ángulo y las plantas lo reproducen “orgánicamente";
o sea, con una pequeña desviación respecto al valor
teórico. No todas las plantas se benefician con un
máximo de exposición solar o a la lluvia, por lo que
se observan otros ángulos constantes diferentes del
ideal de 137.ª 30'. Puede encontrar una tabla en la
página 26 del documento completo accesible en el
enlace de la referencia.[21]
• En la cantidad de elementos constituyentes de las
espirales o dobles espirales de las inflorescencias,
como en el caso del girasol, y en otros objetos or-
gánicos como las piñas de los pinos se encuentran
números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.
El cociente de dos números sucesivos de esta suce-
sión tiende al número áureo.
• Existen cristales de pirita dodecaédricos pentagona-
les (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregu-
lares. Sin embargo, las proporciones de dicho po-
liedro irregular no involucran el número áureo. En
el mundo inorgánico no existe el pentágono regu-
lar. Éste aparece (haciendo la salvedad de que con
un error orgánico; no podemos pretender exactitud
matemática al límite[26]
) exclusivamente en los or-
ganismos vivos.[27]
1.5 El número áureo en el arte y en
la cultura
En la representación del Hombre de Vitruvio Leonardo da Vinci
no utiliza el número áureo, sino el sistema fraccionario
propuesto por Vitruvio
• Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de
Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cua-
drado de la altura es igual a la superficie de una cara
es posible únicamente si la semi-sección meridia-
na de la pirámide es proporcional al triángulo rec-
tángulo
(
1,
√√
5+1
2 ,
√
5+1
2
)
, donde 1 represen-
ta proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz

1.5. EL NÚMERO ÁUREO EN EL ARTE Y EN LA CULTURA 9
cuadrada del número áureo a la altura hasta el vér-
tice (inexistente en la actualidad) y el número áureo
o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran
Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los ma-
temáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price
(ver referencias), se apoya en la interpretación de un
pasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) y
resulta teóricamente con sentido, aunque una cons-
trucción de semejante tamaño deba contener errores
inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma
naturaleza de la tecnología humana, que en la prác-
tica puede manejar únicamente números racionales.
Otros investigadores famosos se inclinan por la hipóte-
sis de que los constructores intentaron una cuadratura del
círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxi-
ma mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción
tal, aunque se conociera π con una aproximación grande,
carecería completamente de interés geométrico.[28]
No obstante, con base en mediciones no es posible elegir
entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento
real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación que-
da enmascarada por las incertidumbres de las medidas,
los errores constructivos y, principalmente, porque la pi-
rámide perdió el revestimiento en manos de los primeros
constructores de El Cairo. Para que esto quede más cla-
ro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros
equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden
de la diferencia real que debería existir entre ambas po-
sibilidades.
• La relación entre las partes, el techo y las columnas
del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el pri-
mer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Uni-
versidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto
de Platón para estudiar las proporciones relativas de
las superficies, algo muy natural cuando se trata de
obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejan-
tes se distinguen entre sí por el cociente de su lado
mayor por el menor, número que basta para carac-
terizar a estas figuras y que denominó módulo del
rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble
cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos mó-
dulos son números enteros o racionales fueron deno-
minados “estáticos” y los que poseen módulos irra-
cionales euclidianos, o sea, expresables algebraica-
mente como raíces de ecuaciones cuadráticas o re-
ducibles a ellas, “dinámicos”. El doble cuadrado es a
la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada
de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental
es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada
de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo
la raíz cuadrada de 5.[29]
Posteriormente Hambidge
estudió a los monumentos y templos griegos y llegó
a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángu-
lo de módulo 4Φ−2
Φ+1 . Por medio de cuatro diagona-
les suministra las principales proporciones verticales
y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en
seis de módulo
√
5 y cuatro cuadrados.[30]
Como dato adicional para indicar la complejidad del tra-
tamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron des-
cubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo
tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran
efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas
y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exac-
tos, por las propiedades de la visión humana el conjunto
se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas
se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fun-
damenta el techo sobre las columnas se vería como una
especie de catenaria, con los extremos del edificio apa-
rentemente más altos que el centro. Los constructores hi-
cieron la construcción compensando estos efectos de ilu-
sión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los
elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en
ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en
un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que
están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos
de arco. La línea que formarían los dinteles entre colum-
nas y que constituye la base del triángulo que corona el
edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de
arco con el vértice más elevado que los extremos. De es-
ta forma, y con otras correcciones que no se mencionan
aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en
los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto
paralelo, uniforme y recto.[31]
• Estudios como los del dr. Fechner han demostrado
que la percepción de la belleza radica en la propor-
ción áurea. Por ende, aquello que matemáticamen-
te más se aproxime a fi, se percibirá como más be-
llo y perfecto. Ésta noción de belleza y perfección
es aplicable a estructuras arquitectónicas, pinturas,
partituras musicales, fractales y personas.[32]
• En el cuadro Leda atómica, de Salvador Dalí, hecho
en colaboración con el matemático rumano Matila
Ghyka.[33][34][35]
• En las estructuras y tiempos de las películas "El aco-
razado Potemkin" e “Iván el Terrible” de Serguéi Ei-
senstein.[36][35]
• En los violines, la ubicación de las efes o eses (los
“oídos” u orificios en la tapa) se relaciona con el nú-
mero áureo.[cita requerida]
• El número áureo aparece en las relaciones entre al-
tura y ancho de los objetos y personas que aparecen
en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo
Da Vinci, entre otros.
• Es necesario desmentir la expandida aseveración de
que el número áureo aparece en la conocida repre-
sentación del hombre de Vitruvio de Leonardo da
Vinci. En este dibujo Leonardo da Vinci sigue es-
trictamente las proporciones fraccionarias del cuer-
po humano que Vitruvio describe en su libro De ar-

chitectura; concretamente en el Capítulo I del Libro
Tercero, “El origen de las medidas del Templo”.
• En las estructuras formales de las sonatas de
Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfo-
nía de Ludwig van Beethoven[cita requerida]
, en obras
de Franz Schubert[cita requerida]
y Claude Debussy
[cita requerida]
(estos compositores probablemente com-
pusieron estas relaciones de manera inconsciente,
basándose en equilibrios de masas sonoras).[37]
• En la pág. 56 de la novela de Dan Brown El códi-
go Da Vinci aparece una versión desordenada de los
primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21,
1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por
el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière.
En las pp. 121 a 123 explica algunas de las aparicio-
nes del número phi (1,618) en la naturaleza y el ser
humano. Menciona que las distancias entre nuestro
cuerpo son proporcionales entre si, como las de la
pierna al muslo, el brazo al antebrazo, etc.
• En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión
NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de
la matemática Charlie Eppes menciona que el nú-
mero ﬁ se encuentra en la estructura de los cristales,
en la espiral de las galaxias y en la concha del Nau-
tilus.
• En el episodio de Mentes Criminales “Obra maes-
tra” (Cuarta temporada, episodio 8), los crímenes
del profesor Rothschild siguen una sucesión de Fi-
bonacci; en la primera zona, mató a una víctima; en
la segunda, a otra; en la tercera, a dos; en la cuarta,
a tres; y en la quinta, a cinco: doce en total. Las lo-
calizaciones también se disponen según una espiral
áurea, de fuera hacia dentro: el sitio donde estaban
secuestrados los niños estaba justo en el centro. Has-
ta eligió a sus doce primeras víctimas según cuánto
se acercaran las relaciones entre sus rasgos faciales
al número áureo: buscaba que fueran los “especíme-
nes más perfectos de ser humano”.
• El arte Póvera fue un movimiento artístico italiano
de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan
en esta sucesión.[cita requerida]
• En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos/Pi,
el orden del caos, el personaje central, el matemá-
tico Max Cohen, explica la relación que hay entre
los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque
denominándola incorrectamente Theta (θ) en vez de
Phi (Φ).
• El número phi aparece en la película de Disney “Do-
nald en el país de las matemáticas”.[38]
1.6 Véase también
• Triángulo de Kepler
• Número π
• Espiral logarítmica
• Estrella mágica
• Sucesión de Fibonacci
• Composición áurea
• Pitágoras
• Luca Pacioli
• Matila Ghyka
• Roger Penrose
• Decágono regular
• Rectángulo cordobés
1.7 Referencias
[1] Fernando Corbalán (2010). La proporción áurea. RBA
Coleccionables S. A. ISBN 978-84-473-6623-1.
[2] Luca Pacioli, De Divina Proportione (De la divina propor-
ción, escrito entre 1496 y 1498.
[3] Este número es irracional, aunque es algebraico de segun-
do grado por ser raíz de una ecuación cuadrática y también
constructible mediante regla y compás, y existen numero-
sas aproximaciones racionales con mayor o menor error.
En el año 2008 se obtuvieron cien mil millones de cifras
decimales correctas. (Ver: http://numbers.computation.
free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html) Al igual
que ocurre con la raíz cuadrada de dos, es posible cons-
truir un segmento idealmente exacto con regla no gradua-
da de un solo borde y longitud indeﬁnida y un compás de
abertura variable.
[4] Proporción Áurea en WolframMathWorld
[5] N.N. Vorobiov:Lecciones de matemáticas populares. Nú-
meros de Fibonnacci, Editorial Mir, Moscú (1974)
[6] Mario Livio (2002). The Golden Ratio. Broadway Books.
ISBN 0-7679-0816-3.Mario Livio (2009). La Proporción
Áurea. La historia de phi, el número más sorprendente del
mundo. Editorial Ariel S. A. ISBN 978-84-394-4495-X.
[7] Bad approximable numbers in WolframMathWorld
[8] Vorobiov: Op. cit.
[9] Vavilov: Problemas de matemática. editorial mir, moscú
[10] Adaptación de un problema inserto en “Problemas Ma-
temáticos” de Litvinenko y Mordkóvich.Editorial Mir,
Moscú ( 1984)
[11] Trabajo presentado por Mark Barr y Shooling en la revista
The Field del 14 de diciembre de 1912.
[12] Bruño: Geometría superior

1.7. REFERENCIAS 11
[13] Se calcula partiendo de seno y coseno de 36º
[14] Se halla usando los respectivos valores de los dos datos
[15] Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life.
Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo IV: “Flat
Spirals in Shells”.
[16] N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega (1974). Núme-
ros de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 pági-
nas.
[17] Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life.
Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo V: “Bo-
tany: The Meaning of Spiral Leaf Arrangements”, página
81 en adelante.
[18] http://www.archive.org/stream/cu31924028937179#
page/n10/mode/1up (Libro on line, Biblioteca del
Congreso de Estados Unidos de América)
[19] Artículo publicado por Astroseti: “Las espirales de Fi-
bonacci podrían estar relacionadas con la tensión “
26/04/2007 (Probablemente, también con el principio de
mínima acción): “Zexian Cao y sus colegas de la Acade-
mia de Ciencias China usaron la ingeniería de tensión pa-
ra crear microestructuras de distintas formas de sólo 12
μm de longitud con un núcleo de plata y una cáscara de
SiO2. Descubrieron que si se establecían las cáscaras en
formas esféricas durante el enfriamiento, se formaban en
ellas patrones de tensión triangulares. Por otra parte, si se
establecían en formas cónicas, aparecían patrones de ten-
sión en espiral. Estos patrones espirales eran “espirales de
Fibonacci” – esto es, espirales que tienen sus dimensio-
nes gobernadas por las series de Fibonacci.” “El equipo
de Cao no cree que las espirales de Fibonacci se formen
por accidente, sin embargo – creen que su causa puede
estar relacionada con un delicado problema planteado por
el físico J. J. Thomson en 1904. Thomson preguntó cómo
un conjunto de cargas se organizaría a sí mismo en una
esfera conductora para minimizar su energía. Los físicos
han calculado ya que las cargas tomarían patrones triangu-
lares – similares a las microestructuras esféricas de Cao.
Debido a esto, el equipo de Cao piensa que las espirales
de Fibonacci en las microestructuras cónicas debe ser la
configuración equivalente de energía mínima (y por tan-
to tensión mínima) para un cono, aunque no han llevado
a cabo cálculos por sí mismos.” “Los biólogos han sos-
pechado desde hace tiempo que las ramas de los árboles
y otras ocurrencias de la serie de Fibonacci en la natu-
raleza son simples reacciones para la minimización de la
tensión, pero hasta ahora no se había encontrado ninguna
prueba concreta. «Nuestro experimento usando materia-
les puramente inorgánicos proporciona la prueba para este
principio», comenta Cao a Physics Web.”
[20] "[...] la flor de un girasol está formada por pequeñas es-
tructuras que se encuentran alineadas de tal forma que
producen hileras dispuestas en espiral, algunas de ellas
abren sus brazos en el sentido de las agujas del reloj y
las restantes en la dirección contraria. Si las contamos ve-
remos que siempre habrá 13 espirales que se abren ha-
cia la derecha por 21 que se abren a la izquierda (13/21).
Este hecho puede parecer banal, pero adquiere relevan-
cia cuando se repite esta cuenta con girasoles de diferen-
tes tamaños y con otras flores como las margaritas y los
mirasoles; pues encontramos que algunas tienen 21/34,
otras 34/55 y que incluso las hay de 55/89. [...]" Mira-
montes, Pedro (abril-junio 1996). «"La geometría de las
formas vivas"». E Journal, Universidad Autónoma de Mé-
xico (42).
[21] “Los números de Fibonacci en Botánica ocurren con gran
regularidad. En 1968, Brousseau usó 4290 piñas de diez
especies de pinos encontrados en California, de las cuales
solo 74 piñas (1.7 por ciento) se desvió de los números de
Fibonacci. En 1992, Jean R.V. en su artículo “Model tex-
ting in phyllotaxis” publicó que de 12.750 observaciones
en 650 especies encontradas en la literatura de Botánica
de los últimos 150 años, la sucesión de Fibonaci apare-
cía en más del 92 por ciento de todos los posibles casos
de plantas con disposición espiral de sus elementos. Entre
los 12.750 casos, la sucesión de Lucas (Edouard A. Lucas,
1842- 1891) se encontró en un dos por ciento. Coxeter lla-
ma a la apariencia de los números de Fibonacci: “Fasci-
nante tendencia”. Otros se refieren a la prevalencia de Fi-
bonacci como: “El misterio de la Filotaxis” o “La obsesión
o pesadilla de los botánicos.” La disposición de las esca-
mas de las piñas, frutos de diferentes especies de pinos, se
organiza en torno a dos espirales de escamas: una dextró-
gira y otra levógira. Se ha constatado empíricamente que
en un número muy elevado de estas especies, son números
consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Otros ejemplos
son las tortas de girasol, las cabezuelas de las margaritas,
etc. Las hojas de la mayor parte de plantas de tallo alto,
están colocadas alrededor del mismo pudiendo ser recorri-
das siguiendo una espiral (figura 13). Mas concretamente,
en Filotaxis se verifica la llamada ley de divergencia: “pa-
ra cada especie de plantas el ángulo que forman dos hojas
consecutivas, llamado ángulo de divergencia, es constan-
te”.” (Página 23 en adelante) Reyes Iglesias, Encarnación
(2009). «"Arte y Naturaleza en clave geométrica"». Uni-
versidad de Valladolid.
[22] LA RAZÓN AUREA - Ministerio de Educación de Es-
paña
[23] Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la
Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Ai-
res, Capítulo V: “Del Crecimiento Armonioso”, páginas
118 a 144.
[24] D'Arcy Wentworth Thompson (1917). “On Growth and
Form”. Cambridge University Press. D'Arcy Wentworth
Thompson (1992). “On Growth and Form”. Dover edi-
tion, 1116 páginas. D'Arcy Thompson (1980). “Sobre el
Crecimiento y la Forma. Editorial Hermann Blume, Ma-
drid.Existen ediciones de unas 300 páginas, una reciente
de Cambridge.
[25] Es una paráfrasis de un pensamiento de Ruskin mencio-
nado en la página 139 del libro citado de Matila Ghyka.
[26] En cualquier ser orgánico o inorgánico sus partes consti-
tuyentes (moléculas, átomos, células) son objetos que tie-
nen dimensiones; el punto geométrico no. Por esa razón,
cuando se sostiene que se verifica una proporción esta no
será jamás un número iracional con infinitos decimales,
pues ello implicaría que las partes que forman al obje-
to en cuestión no tuvieran dimensiones como los puntos
geométricos. Tendremos forzosamente un intervalo de in-
certidumbre, del que podremos indicar por lo menos dos

racionales que lo limitan. Explicado de otra forma: si una
célula está en el borde de un ser y decimos que otra par-
te está situada en proporción áurea con ese borde, ¿Desde
dónde tenemos que medir para que haya infinitos decima-
les exactos? Esa célula no es un cuerpo rígido, se deforma,
los bordes no son líneas perfectas. En la práctica la mayo-
ría de los decimales infinitos del número áureo no tendrán
razón de aparecer debido a la incertidumbre de la medida.
[27] Ghyka, Matila. “Estética de las Proporciones en la Natu-
raleza y en las Artes”, Capítulo V: “Del Crecimiento Ar-
monioso"; obra citada.
[28] “Lógicamente, la tesis de la sección áurea parecería más
probable, porque de ella emana una construcción riguro-
sa, elegante y sencilla del triángulo meridiano, mientras
que en la otra hipótesis, aún suponiendo conocido con una
aproximación muy grande el valor de π, la construcción
sería puramente empírica y desprovista de verdadero in-
terés geométrico” [Es notable, además, que aunque los an-
tiguos no sabían de la trascendencia de π, estaban comple-
tamente conscientes de la carencia de exactitud de algunos
intentos de cuadratura del círculo] Matila Ghyka (1953).
Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Ar-
tes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo VIII: “La
Pirámide de Keops”, página 222.
[29] Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). “Dynamic Symmetry
The Greek Vase”. Yale University Press, New Haven.Jay
Hambidge (22 de agosto de 2007). Dynamic Symmetry
The greek vase. Rough Draf Printing. ISBN 978-1-60386-
037-6.
[30] Jay Hambidge (1924). “The Parthenon and Other Greek
temples, their Dynamic Symmetry”. Yale University Press,
New haven. Hay todavía disponibles ejemplares de esa
edición, tanto nuevos como usados y a la venta a apro-
ximadamente $ (USA) 250.
[31] Banister; Fletcher. “A History of Architecture”. B. T. Bas-
ford, Londres.
[32] The golden ratio and aesthetics, by Mario Livio.
[33] http://www.educacion.gob.es/exterior/ad/es/
publicaciones/Aula_Abierta2_Belleza.pdf, página
86.
[34] J. L. Ferrier, Dalí, Leda atómica, París: Denöel, Gonthier,
1980.
[35] Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Filoso-
fía. “Aspectos Estéticos de la Divina proporción. Memo-
ria para optar al grado de Doctor”, Araceli Casans Artea-
ga, Madrid, 2001, ISBN: 84-669-1867-1. http://eprints.
ucm.es/tesis/fsl/ucm-t25388.pdf
[36] S. M. Eisenstein, La nueva etapa del contrapunto del mon-
taje, en contracampo, nro. 29, año IV, abril-junio 1982,
página 42.
[37] Por ejemplo, la sonata Nº 1 de Mozart para piano subdi-
vide su primer movimiento en 38 y 62 compases. El co-
ciente, 62/38 = 1,6315, difiere en menos de un 1% de la
proporción áurea. Lo mismo puede decirse de su segundo
movimiento, que con 28 y 46 compases en sus dos seccio-
nes principales arrojan una proporción 46/28 = 1,6428,
también muy cercana a φ. La sonata Nº 2 subdivide el
primer movimiento en 56 y 88 compases, cuyo cociente
es 88/56 = 1,5714, también bastante próximo a la relación
áurea. Aunque desde luego no toda la música se secciona
de esta manera, es uno de los posibles principios para la
organización del tiempo en la música. Otro es la simetría,
según el cual las secciones tienen igual duración. Curio-
samente, la simetría funciona mejor en el corto plazo (a
nivel de frases o motivos), mientras que la relación áu-
rea domina las grandes extensiones. Se ha argumentado
que en tiempos considerables el ser humano es incapaz de
percibir objetivamente la duración, pero es posible que sí
exista una percepción inconsciente de la estructura gene-
ral. "La música de las esferas: de Pitágoras a Xena-
kis... y más acá", Apuntes para el coloquio del Depar-
tamento de Matemática, Federico Miyara, páginas 14 y
15. http://www.sectormatematica.cl/musica/esferas.pdf
[38] http://www.youtube.com/watch?v=jZjYLbZh_mo&
feature=related
1.8 Bibliografía
En orden cronológico:
• Jarolimek (Viena, 1890). Der Mathematischen
Schlüssel zu der Pyramide des Cheops.
• Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: Ein
Denkmal Mathematischer Erkenntnis. Múnich: Ol-
denburg.
• Cook, Theodore Andrea (1979; obra original:
1914). The Curves of Live. Nueva York: Dover.
ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5.
• Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporción. Tres
Cantos: Ediciones Akal, S. A. ISBN 978-84-7600-
787-7.
• Ghyka, Matila (1992). El Número de Oro. Barcelo-
na: Poseidón, S.L. ISBN 978-84-85083-11-4.
• Ghyka, Matila (2006). El Número de Oro. I Los rit-
mos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apóstrofe, S.
L. ISBN 978-84-455-0275-4.
• Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea.
RBA Coleccionables S. A. ISBN 978-84-473-6623-1.
1.9 Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multi-
media sobre Número áureo. Commons
• Weisstein, Eric W. «GoldenRatio». En Weisstein,
Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

1.9. ENLACES EXTERNOS 13
• Matematicasvisuales.com. «La proporción áurea»
(en español). Consultado el 16 de abril de 2015.
• Langarita Felipe, Ignacio A. «El número de oro» (en
español). Consultado el 16 de abril de 2015.
• Paniagua Sánchez, Juan Ángel. «El número áureo
o Phi» (en español). Castor.es. Consultado el 16 de
abril de 2015.
• De Castro P., Carlos Armando. «Sucesiones áureas:
Parte I.» (en español). Consultado el 16 de abril de
2015.
• De Castro P., Carlos Armando. «Sucesiones áureas:
Parte II.» (en español). Consultado el 16 de abril de
2015.
• Tomasini, María Cecilia. «El número y lo sagrado
en el arte» (en español). Consultado el 16 de abril
de 2015.
• Knott, Ron (9 de diciembre de 2011). «The Golden
section ratio: Phi» (en inglés). Consultado el 16 de
abril de 2015.

Capítulo 2
Icosaedro
Figura en vértice 3.3.3.3.3
Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o
cóncavo. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos
equiláteros y congruentes, iguales entre sí, el icosaedro
es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno
de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado
del icosaedro es el dodecaedro.
Etimología: del griego eikosaedron, de εἴκοσι éikosi
“veinte” y ἕδρα hedra “asiento, cara”. Adjetivo: icosaé-
drico.
2.0.1 Cálculo de dimensiones fundamenta-
les
Radio externo
ru = a
4
√
10 + 2
√
5 ≈ 0.9510565163 · a
Radio interno
ri = a
12
√
3
(
3 +
√
5
)
≈ 0.7557613141 · a
Ángulo
El ángulo que forman los vectores que van del centro a
dos vértices adyacentes es constante y vale: angulo =
2 · arcsin
( 1
2·0.9510565163
)
≈ 1.10714872 rad
Volumen, área y desarrollo
Animación de uno de los desarrollos del Icosaedro.
Dado un Icosaedro regular de arista a, se puede calcular
su volumen V mediante la siguiente fórmula:
Y el área total de sus caras A (que es 20 veces el área de
una de ellas, Ac), mediante:
Desarrollo del icosaedro:
14

2.2. PROPORCIONES ÁUREAS EN EL ICOSAEDRO 15
2.1 Coordenadas cartesianas y es-
tructura
Las siguientes coordenadas cartesianas deﬁnen los vérti-
ces de un icosaedro centrado en el origen:
(0, ±1, ±φ)
(±1, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1)
Donde φ = (1+√5)/2 es la razón áurea (también escrito
como τ). Nótese que los vértices de un icosaedro forman
grupos de tres rectángulos áureos ortogonales entre sí. El
icosaedro contiene en su interior 15 rectángulos áureos:
cada rectángulo contiene a dos aristas opuestas. Esto se
debe a que dos lados del rectángulo es la arista del icosae-
dro y los otros dos son las diagonales de dos pentágonos
regulares paralelos girados 180 grados. La diagonal del
pentágono regular está en proporción áurea con el lado
del pentágono, que en este caso es la arista del icosaedro.
El icosaedro, a pesar de estar formados por 20 triángu-
los equiláteros, puede considerarse como la unión de 12
Los 12 pentágonos internos que constituyen el icosaedro determi-
nan las caras del gran dodecaedro.
pentágonos regulares internos. La intersección de los pen-
tágonos entre sí origina las 30 aristas que conforman el
icosaedro. Los 12 pentágonos regulares mencionados de-
terminan las caras del gran dodecaedro, uno de los sólidos
de Kepler-Poinsot.
2.2 Proporciones áureas en el ico-
saedro
En el icosaedro podemos encontrar varias veces el
número áureo. En la imagen de la izquierda se pueden
apreciar algunas proporciones áureas presentes en el ico-
saedro:
CD/AB = φ; EG/FG = φ

16 CAPÍTULO 2. ICOSAEDRO
AD/GD = φ; KH/IK = φ
GD/AG = φ; BN/MN = φ
CL/CI = φ; AH/GN = φ
MN/BM = φ; BM/BF = φ
FG/EF = φ; BF/FM = φ
IK/HI = φ; GD/MD = φ
CI/LI = φ; MD/GM = φ
BC/CG = φ; CG/GB = φ
2.3 Relaciones geométricas
El icosaedro como tetraedro romo.
Hay distorsiones del icosaedro que, aunque no son regu-
lares, son, sin embargo, de vértices uniformes. Éstas son
invariantes en las mismas rotaciones que el tetraedro, y
son un tanto análogas al cubo romo y al icosidodecaedro
romo, incluyendo algunas formas que son quirales y otras
con simetría piritoédrica, y que tienen diferentes pla-
nos de simetría que el tetraedro. El icosaedro tiene 58
estrellaciones (59, si se incluye al icosaedro), incluyendo
uno de los sólidos de Kepler-Poinsot (el gran icosaedro)
y algunas estrellaciones compuestas regulares.
Las 12 aristas de un octaedro pueden ser divididas en la
razón áurea por lo que los vértices resultantes definen un
icosaedro. Si el icosaedro está inscrito en un cubo, las
aristas del icosaedro inscrito están en proporción áurea
con las aristas del cubo.
El icosaedro es único entre los sólidos platónicos en po-
seer un ángulo diedro mayor que 120°. En consecuencia,
lo mismo que los hexágonos tienen ángulos iguales a 120°
y no se pueden usar como caras para un poliedro regular
convexo porque tal construcción no cumpliría el requisi-
to de que por lo menos tres caras se reúnen en un vérti-
ce y dejan un defecto positivo para plegarse en tres di-
mensiones, el icosaedro no puede usarse como celda para
un polícoro convexo regular porque, por la misma razón,
por lo menos tres celdas deben encontrarse en una aris-
ta y dejar un defecto positivo para el plegado en cuatro
dimensiones (en general para un politopo convexo en n
dimensiones, por lo menos tres caras deben encontrarse
en una arista y dejar un defecto positivo para el plega-
do en un espacio de n dimensiones). Sin embargo, cuan-
do se combina con celdas apropiadas que tienen ángulos
diedros menores, el icosaedro se puede usar como celda
en polícoros semirregulares (por ejemplo 24-cell redon-
deado), lo mismo que se pueden usar hexágonos como ca-
ras de poliedros semirregulares (por ejemplo el icosaedro
truncado). Por último, los politopos no convexos (cónca-
vos) no necesitan los mismos requisitos estrictos como
los politopos convexos, y los icosaedros son, en efecto,
las celdas del 120-cell icosaédrico, uno de los diez polí-
coros regulares no convexos.
Un icosaedro puede ser considerado como una
bipirámide pentagonal giroelongada. Se puede des-
componer en una pirámide pentagonal giroelongada y
una pirámide pentagonal o en un antiprisma pentagonal
y dos pirámides pentagonales iguales.
El icosaedro puede ser llamado también tetraedro romo,
el redondeo de un tetraedro regular produce un icosae-
dro regular. Alternativamente, usando la nomenclatura
para poliedros redondeados refiriéndose al cubo romo co-
mo cuboctaedro romo (cuboctaedro = cubo rectificado)
y al dodecaedro romo como icosidodecaedro romo (ico-
sidodecaedro = dodecaedro rectificado), puede llamarse
al icosaedro octaedro romo (octaedro = tetraedro rectifi-
cado).
Icosaedro frente a dodecaedro
A pesar de las apariencias, cuando un icosaedro es ins-
crito en una esfera ocupa menos volumen de la esfera
(60.54%) que un dodecaedro inscrito en la misma esfera
(66.49%).
2.4 Simetría
Un icosaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden
cinco, las rectas que unen los vértices opuestos; quince
ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los cen-
tros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que
contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y
un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un
orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).
Los elementos de simetría anteriores definen uno de los
grupos de simetría icosaédricos, el denominado I según
la notación de Schöenflies.
El icosaedro tiene también diez ejes de simetría de orden
tres: las rectas que unen los baricentros de cada par de

2.6. VÉASE TAMBIÉN 17
caras opuestas.
Subdividiendo cada cara del icosaedro en triángulos se
pueden construir domos geodésicos.
2.5 Aplicaciones, ejemplos y for-
mas naturales
Los sólidos platónicos son conocidos desde la antigüe-
dad y se sabe que al menos las sectas pitagóricas de
los siglos V y IV antes de Cristo les atribuían propieda-
des metafísicas, numerológicas o simplemente religiosas.
En lo que se reﬁere al icosaedro regular había sido uti-
lizado durante la Antigua Roma para la fabricación de
dados, como lo demuestran dos dados de veinte caras de
la Antigua Roma conservados en el Museo Británico.[1]
No se sabe sin embargo para qué actividad fueron fabri-
cados estos dados, si para un juego o para toda otra acti-
vidad.
El dado de veinte caras (cuya notación escrita abreviada
es «D20») se hizo popular en los años 60 y 70 al ser usa-
do con cada vez más frecuencia por los llamados juegos
de guerra, que en esos años empezaban a conocer un gran
éxito. Pocos años más tarde, en 1974, el primer juego de
rol en ser comercializado, Dungeons & Dragons, basó su
sistema de juego en el uso de un dado de veinte caras.
Desde entonces el dado de veinte ha tenido y sigue te-
niendo un papel importante en numerosos juegos de rol.
Los dados de veinte pueden ser numerados de «0» a «9»
dos veces (con el ﬁn de ser usados como dado de cien)
pero en 1980 se inventaron los dados de diez caras[2]
pa-
ra ser usados de este modo así que hoy en día la mayoría
de las versiones de dado de veinte se numeran de «1» a
«20».
Muchos virus, por ejemplo el virus del herpes, tienen la
forma de un icosaedro. Las estructuras virales se constru-
yen sobre la base de unidades proteicas idénticas repeti-
Circogonia icosahedra, una especie perteneciente al taxón
radiolaria.
vas varias veces y el icosaedro es la forma más sencilla
para ensamblar usando estas subunidades. Se usa un po-
liedro regular porque puede ser construido por una uni-
dad proteica única usándola una y otra vez; esto ahorra
espacio para el genoma vírico. También algunos protistas,
en especial algunos radiolarios, tienen forma icosaédrica,
como Circogonia icosahedra.
El dado interno de una bola del 8 mágica que tiene 20
respuestas impresas para preguntas de tipo sí/no es un
icosaedro regular.
Si cada arista de un icosaedro se reemplaza por una resis-
tencia de un ohmio, la resistencia entre vértices opuestos
es de 0.5 ohmios, y entre vértices adyacentes es de 11/30
ohmios.
La proyección de Fuller (o mapa Dymaxion, creado por
Richard Buckminster Fuller) es una proyección gnomó-
nica basada en el icosaedro.
El icosaedro es la forma que tiene el Dogic, un juguete
parecido al cubo de Rubik.
Un icosaedro aparece como enemigo en el videojuego
Kirby 64, se le conoce como Miracle Matter. También
en el videojuego Pokemon Platinum hay un objeto con
forma de icosaedro llamado Griseous Orb.
2.6 Véase también
• Icosaedro rotando
• Icosaedro truncado
• Triaquisicosaedro

18 CAPÍTULO 2. ICOSAEDRO
2.7 Referencias
[1] Artículo Dice de answers.com, sección Non-cubical dice
(en inglés)
[2] Declaraciones de Greg Peterson acerca de las Gen Con
de 1980 (en inglés): The big news of the year was that
someone had 'invented' the ten-sided die.
2.8 Enlaces externos
• Wikcionario tiene deﬁniciones y otra informa-
ción sobre icosaedro.Wikcionario
• Wikimedia Commons alberga contenido multi-
media sobre IcosaedroCommons.
• Los poliedros uniformes
• Poliedros en realidad virtual La enciclopedia de los
poliedros
• A discussion of viral structure and the icosahedron
• Paper Models of Polyhedra Varios enlaces
• El icosaedro y los mapas de Fuller
• Los hexaicosaedros

Capítulo 3
Pintura
La creación de Adán, por Miguel Ángel. Detalle de uno de los
frescos de la Capilla Sixtina en el Vaticano.
La pintura es el arte de la representación gráfica utilizan-
do pigmentos mezclados con otras sustancias aglutinantes
orgánicas o sintéticas. En este arte se emplean técnicas
de pintura, conocimientos de teoría del color y de com-
posición pictórica, y el dibujo. La práctica del arte de
pintar, consiste en aplicar, en una superficie determinada
—una hoja de papel, un lienzo, un muro, una madera, un
fragmento de tejido, etc.— una técnica determinada, pa-
ra obtener una composición de formas, colores, texturas,
dibujos, etc. dando lugar a una obra de arte según algunos
principios estéticos.
El arquitecto y teórico del clasicismo André Félibien, en
el siglo XVII, en un prólogo de las Conferencias de la
Academia francesa hizo una jerarquía de géneros de la
pintura clásica: «la historia, el retrato, el paisaje, los ma-
res, las flores y los frutos».
La pintura es una de las expresiones artísticas más anti-
guas y una de las siete Bellas Artes. En estética o teoría
del arte modernos la pintura está considerada como una
categoría universal que comprende todas las creaciones
artísticas hechas sobre superficies. Una categoría aplica-
ble a cualquier técnica o tipo de soporte físico o material,
incluyendo los soportes o las técnicas efímeras así como
los soportes o las técnicas digitales.
El arte de la pintura por Johannes Vermeer (1665)
Kunsthistorisches Museum de Viena.
3.1 Definición
Una pintura es el soporte pintado sobre un muro, un
lienzo, o una lámina. La palabra pintura se aplica tam-
bién al color preparado para pintar, asociado o no a una
técnica de pintura; en este sentido es empleado en la clasi-
ficación de la pintura atendiendo a las técnicas de pintar,
por ejemplo: «pintura al fresco» o «pintura al óleo».
La clasificación de la pintura puede atender a criterios
temáticos (como la «pintura histórica» o la «pintura de
género») o a criterios históricos basados en los periodos
de la Historia del Arte (como la «pintura prehistórica»,
la «pintura gótica») y en general de cualquier período de
la historia de la pintura.
Las pinturas son obras de arte, atendiendo a su sentido
estético Ernst Gombrich dice que:[1]
No hay nada de malo en que nos deleite-
mos con la pintura de un paisaje porque nos
19

20 CAPÍTULO 3. PINTURA
recuerda nuestra casa o en un retrato porque
nos recuerda un amigo, ya que como hombres
que somos, cuando miramos una obra de arte
estamos sometidos al recuerdo de una multitud
de cosas que para bien o para mal influyen
sobre nuestros gustos.
Gombrich, Historia del arte (2002)
Y parafraseando a Arnold Hauser:
Las interpretamos (las pinturas) de acuerdo
con nuestras propias finalidades y aspiraciones,
les trasladamos un sentido, cuyo origen está en
nuestras formas de vida y hábitos mentales.
Ernst Bloch en El espíritu de la utopía (1918), defiende
el arte no figurativo, relacionándolo con una concepción
utópica del hombre, como un destino no revelado pero
presente de forma inconsciente en lo más profundo del
ser humano.[2]
Si la tarea de la pintura fuera ponernos
ante los ojos del aire y la preciosa vastedad
del espacio y de todo lo demás, más valdría
ir a disfrutar directa y gratuitamente de todo
aquello.
Ernst Bloch, El espíritu de la utopía (1918)
Erwin Panofsky y otros historiadores del arte, analizan
el contenido de las pinturas mediante la iconografía (for-
ma) y la iconología (su contenido), primero se trata de
comprender lo que representa, luego su significado para
el espectador y, a continuación, analizan su significado
cultural, religioso y social más ampliamente.
3.2 Historia de la pintura
La historia de la pintura comprende desde la prehistoria
hasta la Edad Contemporánea, e incluye todas las repre-
sentaciones realizadas con las diferentes técnicas y cam-
bios, que coincide con la historia del arte en su contexto
histórico y cultural.
El llamado arte parietal de pintura mural en cuevas, se
concentra fundamentalmente en algunas regiones pire-
naicas pertenecientes a Francia y España y en la costa
mediterránea en el arte levantino, y en otras muestras in-
feriores que se encuentran en Portugal, Norte de África,
Italia y Europa oriental. Las pinturas rupestres más an-
tiguas conocidas se encuentran en la Cueva de Chauvet,
en Francia, fechadas por algunos historiadores en unos
32.000 años, de los períodos entre el Auriñaciense y el
Gravetiense. Fueron realizadas con ocre de arcilla, rojo
de óxido de hierro y negro de dióxido de manganeso.
Réplica de unas pinturas de la cueva de Chauvet del período
Auriñaciense.
También destacan las cuevas de Lascaux y Altamira. Se
encuentran dibujados rinocerontes, leones, búfalos, ma-
muts, caballos o seres humanos a menudo en actitud de
caza.[3]
Las imágenes que se observan en papiros o las paredes
de las tumbas egipcias, desde hace unos 5.000 años, son
escenas de la vida cotidiana y mitológicas, simbolizadas
con los rasgos característicos de perfil y utilizando el ta-
maño de las figuras como rango social. En la Antigua Ro-
ma era normal decorar los muros de las casas y palacios
principales y entre las mejor conservadas se encuentran
las de Pompeya y Herculano. En la época paleocristiana
se decoraron las catacumbas con escenas del Nuevo Tes-
tamento y con la representación de Jesús como el «Buen
Pastor». Eran figuras estáticas con grandes ojos que pa-
recían mirar al espectador. Este estilo continuó en la es-
cuela bizantina de Constantinopla. La pintura románica
se desarrolla entre los siglos XII y XIII, siendo las zonas
más interesantes las del Sur de Francia y las de Cataluña,
la mayoría de las veces eran temas religiosos realizados
para los ábsides y muros de las iglesias con representacio-
nes del Pantocrátor, la Virgen María y la vida de santos.
En pintura gótica además de los temas religiosos se re-
presentan temas laicos principalmente en Francia e Italia,
donde destacó la figura el pintor Giotto.[4]
En el renacimiento tuvo la pintura una gran influencia clá-
sica, se desarrolló la perspectiva lineal y el conocimiento
de la anatomía humana para su aplicación en la pintu-
ra, también en esta época apareció la técnica del óleo.
Fue una época de grandes pintores entre los que des-
tacaron Leonardo da Vinci, Miguel Ángel, Rafael San-
zio y Tiziano. En la obra de La Gioconda descollan las
nuevas técnicas empleadas por Leonardo, el sfumato y el
claroscuro. Miguel Ángel realizó una de las más grandes
obras pictóricas: los frescos de la Capilla Sixtina. Los ar-

3.3. GÉNEROS PICTÓRICOS 21
La Gioconda pintura del renacimiento por Leonardo da Vinci.
tistas que más emplearon temas simbólicos fueron los del
Norte de Europa encabezados por los hermanos Jan van
Eyck y Hubert van Eyck. En Alemania sobresalió el pin-
tor y humanista Durero.[4]
Hipnotizador (1912), de Bohumil Kubišta (Ostrava). Pintura del
expresionismo con mezcla del cubismo.
La Iglesia de la Contrarreforma busca el arte religioso
auténtico con el que quiere contrarrestar la amenaza del
protestantismo, y para esta empresa las convenciones ar-
tificiales de los manieristas, que habían dominado el ar-
te durante casi un siglo, ya no parecían adecuadas. Las
dos características más importantes del manierismo eran
el rechazo de las normas y la libertad en la composi-
ción, en los colores y en las formas, la novedad de los
caravaggistas era un naturalismo radical que combinaba
la observación física detallada con una aproximación, in-
cluso teatral y dramática mediante el claroscuro, el uso
de luz y sombra. Caravaggio y Annibale Carracci son dos
pintores coetáneos, considerados decisivos en la confor-
mación pictórica del barroco. La pintura barroca se ca-
racteriza por el dinamismo de sus composiciones; se dis-
tinguieron entre otros Velázquez, Rubens y Rembrandt.
En la primera mitad del siglo XVIII se impuso el rococó,
más alegre y festivo que el barroco. Tuvo especial impor-
tancia en Francia y Alemania.
El romanticismo de principios del siglo XIX expresaba
estados de ánimos y sentimientos intensos. En Francia el
pintor más importante fue Delacroix; en el Reino Unido,
Constable y Turner; en los Estados Unidos, Thomas Cole;
y en España, Francisco de Goya. Con la invención de la
fotografía a mediados del siglo XIX, la pintura empezó a
perder su objetivo histórico de proporcionar una imagen
realista; el impresionismo, con Manet como precursor, es
un estilo de pinceladas sueltas y yuxtaposición de colores
que busca reconstruir un instante percibido, una impre-
sión, sin interesarse por los detalles concretos.[5]
El inicio del siglo XX se caracteriza por la diversidad
de corrientes pictóricas: el Fovismo, que rechaza los co-
lores tradicionales y se acerca a colores violentos; el
Expresionismo, que mostraba más los sentimientos que la
reproducción fiel de la realidad; el Cubismo con Georges
Braque y Picasso, con la descomposición de las imágenes
tridimensionales a puntos de vista bidimensionales; y la
pintura abstracta, heredera del cubismo. El expresionis-
mo abstracto se desarrolló en Nueva York entre los años
1940-1950, el Pop art llegó un poco después, con un co-
nocido exponente en Andy Warhol. El minimalismo se
caracteriza por la búsqueda de la máxima expresión con
los mínimos recursos estéticos. El siglo XXI demuestra
una idea de pluralismo y las obras se siguen realizando
en una amplia variedad de estilos y gran estética.[4]
3.3 Géneros pictóricos
Los géneros artísticos, además de clasificar las obras por
temas, han sido la presentación artística a través de la
historia de la pintura, que ha afectado también la técnica,
las dimensiones, al estilo y a la expresión de las obras de
arte. Los autores como Platón (427-347 a. C.), Aristóteles
(384-322 aC) y Horacio (65-8 aC) afirmaron que el arte
es siempre una mímesis y que su mérito está en el va-
lor didáctico de lo que representa y su buena representa-
ción, sin establecer diferencias entre el retrato imaginado
o real. Vitruvio en la segunda parte del siglo I, descri-

Entierro del Conde de Orgaz (1586-1588), de El Greco.Se pue-
de considerar dentro del género de pintura histórica: describe una
leyenda local según la cual elconde fue enterrado por sant Este-
ban y san Agustín. En la parte inferior, se describe un enterra-
miento con la pompa del siglo XVI; en la parte superior, está
representada la Gloria y la llegada del alma del conde.
Retrato de El doctor Paul Gachet (1890) por Van Gogh.
bió la decoración de comedores donde se veían imáge-
nes con comida y de otras salas con paisajes o escenas
mitológicas.[6]
En el renacimiento, Leon Battista Alberti quiso elevar el
Pintura de género: Boda campesina (1568) por Pieter Brueghel
el Viejo.
Paisaje tipo vedutismo de la Iglesia de Santa Lucía des del Gran
Canal (siglo XVIII) por Francesco Guardi.
Canasta de fruta (c. 1599) naturaleza muerta por Caravaggio.
grado de «artesano de la pintura» al de «artista liberal»
afirmando: «El trabajo más importante del pintor es la
historia», con la palabra historia se refería a la pintura
narrativa, con escenas religiosas o épicas « ... la que re-
trata los grandes hechos de los grandes hombres dignos
de recordarse difiere de la que describe las costumbres de
los ciudadanos particulares, de la que pinta la vida de los
campesinos. La primera tiene carácter majestuoso, de-
be reservarse para edificios públicos y residencias de los

3.3. GÉNEROS PICTÓRICOS 23
grandes, mientras que la otra será adecuada para jardines
...»[7]
La aparición de la pintura al óleo en el siglo XVI y el
coleccionismo, hizo que, aunque no se perdiera la monu-
mentalidad para murales narrativos, surgieran las pintu-
ras más comerciales y en otros formatos más manejables,
así comenzaron a clasificarse los géneros pictóricos y su
especialización por parte de los artistas. En la Italia cen-
tral se continuó haciendo pintura histórica, los pintores de
la parte norte de la península itálica realizaban retratos y
los de los Países Bajos realizaron la pintura de género a
pequeña escala presentando la vida campesina, el paisaje
y la naturaleza muerta. En 1667, André Félibien histo-
riógrafo, arquitecto y teórico del clasicismo francés, en
un prólogo de las Conferencias de la Academia hace una
jerarquía de géneros de la pintura clásica: «la historia, el
retrato, el paisaje, los mares, las flores y los frutos».[8]
3.3.1 Pintura histórica
La pintura histórica era considerada grande genre e in-
cluía las pinturas con temas religiosos, mitológicos, his-
tóricos, literarios o alegóricos, era prácticamente una in-
terpretación de la vida y mostraba un mensaje intelectual
o moral. Sir Joshua Reynolds, en sus Discursos sobre arte
expuestos en la Royal Academy of Arts entre 1769 y 1790
comentaba: «El gran fin del arte es despertar la imagina-
ción ... De acuerdo en correspondencia con la costumbre,
yo llamo esta parte del arte Pintura Histórica, pero de-
bería decirse Poética .(...) Debe algunas veces desviarse
de lo vulgar y de la estricta verdad histórica a la búsque-
da de grandeza para su obra ». Aunque Nicolás Poussin
fue el primer pintor que realizó este género en forma-
to más reducido, esta innovación tuvo poco éxito, Diego
Velázquez en 1656 realizó Las Meninas con un tamaño
que demuestra simbólicamente que este retrato de la fa-
milia real entra dentro del género de la pintura histórica,
mucho más tarde Pablo Picasso en su obra Guernica de
1937, también emplea una gran dimensión para esta pin-
tura histórica.[9]
3.3.2 Retrato
Dentro de la jerarquía de géneros, el retrato tiene una ubi-
cación ambigua e intermedia, por un lado, representa a
una persona hecha a semejanza de Dios, pero por otro la-
do, al fin y al cabo, se trata de glorificar la vanidad de una
persona. Históricamente, se ha representado los ricos y
poderosos. Pero con el tiempo, se difundió, entre la clase
media, el encargo de retratos de sus familias. Aún hoy,
persiste la pintura de retrato como encargo de gobier-
nos, corporaciones, asociaciones o particulares. Cuando
el artista se retrata a sí mismo se trata de un autorretrato.
Rembrant exploró en este sentido con sus más de sesen-
ta autorretratos. El artista en general intenta un retrato
representativo, como afirmó Edward Burne-Jones: «La
única expresión que se puede permitir en la gran retra-
tística es la expresión del carácter y la calidad moral, na-
da temporal, efímero o accidental.»[10]
En la técnica del
óleo fue Jan van Eyck uno de los primeros que lo impu-
so en los retratos, su Matrimonio Arnolfini fue un ejem-
plo de retrato de pareja en cuerpo completo. Durante el
renacimiento, representaron el estatus y éxito personal
del retratado, sobresalieron Leonardo da Vinci, Rafael
Sanzio y Durero.[11]
En España descollaron Zurbarán,
Velázquez y Francisco de Goya. Los impresionistas fran-
ceses también practicaron este género, Degas, Monet,
Renoir, Vincent van Gogh, Cézanne etc. En el siglo XX,
Matisse, Gustav Klimt, Picasso, Modigliani, Max Beck-
mann, Umberto Boccioni, Lucian Freud, Francis Bacon
o Andy Warhol.[12]
3.3.3 Pintura de género
La pintura de género o «escena de género» es el retrato
de los hábitos de las personas privadas en escenas coti-
dianas y contemporáneas del pintor, también se suele lla-
mar «pintura costumbrista». Los primeros cuadros más
populares se dieron en los Países Bajos durante el siglo
XVI y entre los artistas más destacados se encuentran
Pieter Brueghel el Viejo y Vermeer. No se sabe con se-
guridad si se trata de simple representación de la realidad
con un propósito de mera distracción, a veces cómico, o
bien se buscaba una finalidad moralizante a través de los
ejemplos cercanos al espectador. No hay duda de que,
en el cuadro de género del siglo XVIII, sí estaba presen-
te la intención satírica o moralizante en obras como las
de William Hogarth o Jean-Baptiste Greuze. En España,
Diego Velázquez lo cultivó con su Vieja friendo huevos
o El aguador de Sevilla, Francisco de Goya reflejó, en
varias obras de cartones para tapices, las fiestas popula-
res, Bartolomé Esteban Murillo hizo escenas de género de
mendigos y jóvenes picarescos. En Francia, Jean-Honoré
Fragonard y Antoine Watteau hicieron un tipo de pinturas
idealizadas de la vida diaria.[13]
3.3.4 Paisaje
En China y Japón son los países donde, desde el siglo V,
se encuentran pinturas con el tema del paisaje. En Europa,
aunque aparecen elementos de paisaje como fondo de es-
cenas narrativas, o tratados de botánica y farmacia, se ini-
cia verdaderamente en el siglo XVI, cuando con la apari-
ción del coleccionismo se empezó a pedir temas de cua-
dros campestres y a designar como especialistas a los pin-
tores del norte de Europa. Así de una manera específica
se impuso el tema del «paisaje holandés», que se caracte-
riza por su horizonte bajo y los cielos cargados de nubes
y con motivos típicos holandeses como los molinos de
viento, ganados y barcas de pesca. Los paisajes venecia-
nos de Giorgione y sus discípulos son con una apariencia
lírica y un bello tratamiento cromático, este tipo de pin-
tura se desarrolló sobre todo a lo largo de todo el siglo

XVIII, en un estilo llamado vedutismo, que son vistas ge-
neralmente urbanas, en perspectiva, llegando a veces a un
estilo cartográfico, donde se reproducen imágenes pano-
rámicas de la ciudad, describiendo con minuciosidad los
canales, monumentos y lugares más típicos de Venecia,
solos o con la presencia de la figura humana, generalmen-
te de pequeño tamaño y en grandes grupos de gente. Sus
mayores exponentes fueron Canaletto, Bernardo Bellot-
to, Luca Carlevarijs y Francesco Guardi. En la escuela
de Barbizon fueron los primeros en pintar al aire libre y
hacer un estudio sobre el paisaje a base de la luz y sus
variantes que influyeron especialmente en la pintura im-
presionista.[14]
3.3.5 Naturaleza muerta
Es el género más representativo de la imitación de la
naturaleza de objetos inanimados, en general de la vida
cotidiana, como frutas, flores, comida, utensilios de co-
cina, de mesa, libros, joyas etc. y se puede decir, que es
el menos literario de todos los temas. Su origen está en
la antigüedad donde se utilizaba para la decoración de
grandes salones, como los frescos romanos en Pompeya.
Plinio el Viejo relata que los artistas griegos de siglos an-
tes, eran muy diestros en el retrato y la naturaleza muer-
ta. Fue muy popular en el arte occidental desde el siglo
XVI, un ejemplo es La carnicería de Joachim Beuckelaer.
En el mismo siglo Annibale Carracci y Caravaggio repre-
sentaron magníficas naturalezas muertas. Durante el siglo
XVII evolucionó en los Países Bajos un tipo de bodegón,
llamado «vanitas», donde se exponían instrumentos mu-
sicales, vidrio, plata y vajilla, así como joyas y símbolos
como libros, cráneos o relojes de arena, que servían de
mensaje moralizante de lo efímero de los placeres de los
sentidos. La Academia francesa lo catalogó en el último
lugar de la jerarquía pictórica. Con la llegada del impre-
sionismo y junto con la técnica del color, la naturaleza
muerta volvió a ser un tema normal entre los pintores, las
pinturas de los Girasoles de Van Gogh son de los más co-
nocidos. Los artistas durante el cubismo pintaron también
composiciones de bodegones, entre ellos Pablo Picasso,
Georges Braque y Juan Gris.[15]
3.3.6 Desnudo
El desnudo es un género artístico que consiste en la re-
presentación del cuerpo humano desnudo. Es conside-
rado una de las clasificaciones académicas de las obras
de arte. Aunque se suele asociar al erotismo, el desnudo
puede tener diversas interpretaciones y significados, des-
de la mitología hasta la religión, pasando por el estudio
anatómico, o bien como representación de la belleza e
ideal estético de perfección, como en la Antigua Grecia.
El estudio y representación artística del cuerpo humano
ha sido una constante en toda la historia del arte, desde
la prehistoria (Venus de Willendorf) hasta nuestros días.
Una de las culturas donde más proliferó la representación
El Juicio de Paris (1904) de Enrique Simonet.
artística del desnudo fue la Antigua Grecia, donde era
concebido como un ideal de perfección y belleza absolu-
ta, concepto que ha perdurado en el arte clasicista llegan-
do hasta nuestros días, y condicionando en buena medida
la percepción de la sociedad occidental hacia el desnudo y
el arte en general. En la Edad Media su representación se
circunscribió a temas religiosos, siempre basados en pa-
sajes bíblicos que así lo justificasen. En el Renacimiento,
la nueva cultura humanista, de signo más antropocéntrico,
propició el retorno del desnudo al arte, generalmente ba-
sado en temas mitológicos o históricos, perdurando igual-
mente los religiosos. Fue en el siglo XIX, especialmente
con el impresionismo, cuando el desnudo empezó a per-
der su carácter iconográfico y a ser representado simple-
mente por sus cualidades estéticas, el desnudo como ima-
gen sensual y plenamente autorreferencial.[16]
3.4 Técnicas
Las técnicas de pintura se dividen de acuerdo a cómo se
diluyen y fijan los pigmentos en el soporte a pintar. En
general, y en las técnicas a continuación expuestas, si los
pigmentos no son solubles al aglutinante permanecen dis-
persos en él.[17]
3.4.1 Óleo
Paleta de pintor, pinceles y tubos de pintura al óleo.

3.4. TÉCNICAS 25
El dos de mayo de Francisco de Goya.
El vehículo empleado para fijar el pigmento son tipos
de aceites y el disolvente es la trementina. La pintura al
óleo se hace básicamente con pigmento pulverizado seco,
mezclado en la viscosidad adecuada con algún aceite ve-
getal. Estos aceites se secan más lentamente que otros, no
por evaporación sino por oxidación. Se forman capas de
pigmento que se incrustan en la base y que, si se controla
cuidadosamente los tiempos de secado, se fijarán correc-
tamente en las siguientes capas de pigmento. Este proceso
de oxidación confiere riqueza y profundidad a los colores
del pigmento seco, y el artista puede variar las proporcio-
nes de aceite y disolventes, como la trementina, para que
la superficie pintada muestre toda una gama de calidades,
opaca o transparente, mate o brillante. Por esta y por otras
razones, el aceite puede considerarse como el medio más
flexible. Usado de una manera conveniente, la pintura al
óleo cambia muy poco de color durante el secado aunque,
a largo plazo, tiende a amarillear ligeramente. Su capaci-
dad de soportar capas sucesivas, permite al artista desa-
rrollar un concepto pictórico por etapas - Degas llamaba
este proceso bien amenée(bien llevado)- y la lentitud de
secado le permite retirar pintura y repasar zonas enteras.
Las fotografías con rayos X demuestran que incluso los
grandes maestros introducían a menudo cambios durante
el proceso de realización de un cuadro.[18]
3.4.2 Cera
El vehículo son ceras que normalmente se usan calientes.
La encáustica, que deriva del griego enkaustikos ('grabar
a fuego'), es una técnica de pintura que se caracteriza por
el uso de la cera como aglutinante de los pigmentos. La
mezcla tiene efectos muy cubrientes y es densa y cremo-
sa. La pintura se aplica con un pincel o con una espátula
caliente. La terminación es un pulido que se hace con tra-
pos de lino sobre una capa de cera caliente previamente
extendida (que en este caso ya no actúa como aglutinante
sino como protección). Esta operación se llama «encaus-
tización» y está perfectamente descrita por Vitruvio (c.
70-25 aC), que dice así: «Hay que extender una capa de
cera caliente sobre la pintura y a continuación hay que
pulir con unos trapos de lino bien secos.»[19]
Caja de acuarelas.
El Temerario remolcado a dique seco, J.M.W. Turner,
acuarela.
3.4.3 Acuarela
La acuarela es una pintura sobre papel o cartulina con co-
lores diluidos en agua. Los colores utilizados son transpa-
rentes (según la cantidad de agua en la mezcla) y a veces
dejan ver el fondo del papel (blanco), que actúa como
otro verdadero tono. Se compone de pigmentos aglutina-
dos con goma arábiga o miel. En sus procedimientos se
emplea la pintura por capas transparentes, a fin de lograr
mayor brillantez y soltura en la composición que se está
realizando. Requiere del artista la seguridad en los trazos
y espontaneidad en la ejecución, ya que su mayor mérito
consiste en el frescor y la transparencia de los colores. Sin
embargo existe la acuarela hiper realista que va en contra
de este postulado y que utiliza barnices para no remover
las primeras capas y dar sucesivas veladuras con lo que
se consigue un claroscuro muy detallado pero carente de
la translucidez de la acuarela clásica.[20]
3.4.4 Témpera
La témpera o gouache es un medio similar a la acuare-
la, pero tiene una «carga» de talco industrial o blanco de
zinc. Este añadido adicional al pigmento le aporta a la
témpera el carácter opaco y no translúcido que lo dife-
rencia de la acuarela, permitiéndole aplicar tonalidades
claras sobre una oscura, procedimiento que en la acuare-
la «clásica» se considera incorrecto. Es a su vez un medio
muy eficaz para complementar dibujos y hacer efectos de
trazo seco o de empaste. Igual que la acuarela su agluti-
nante es la goma arábiga, aunque muchas témperas mo-
dernas contienen plástico. Con esta técnica François Bou-

cher logró grandes obras maestras, los artistas del siglo
XVIII emplearon la acuarela y el gouache juntos para
dar distinción a una zona concreta de la pintura hecha
con acuarela . Según el pintor Paul Signac: «... determina-
dos rosas violáceos de los cielos de Turner, ciertos verdes
de las acuarelas de Johan Jongkind no se habrían podido
conseguir sin un poco de gouache.»[21]
3.4.5 Acrílico
La pintura acrílica es una clase de pintura de secado rá-
pido, en la que los pigmentos están contenidos en una
emulsión de un polímero acrílico (cola vinílica, general-
mente). Aunque son solubles en agua, una vez secas son
resistentes a la misma. Se destaca especialmente por la
rapidez del secado. Asimismo, al secar se modifica lige-
ramente el tono, más que en el óleo. La pintura acrílica
data de la primera mitad del siglo XX, y fue desarrollada
paralelamente en Alemania y Estados Unidos. El pintor
Jackson Pollock utilizó las pinturas acrílicas tal como sa-
len de los tubos para conseguir texturas nuevas y espesas
mientras que Morris Louis las diluía con gran cantidad
de agua para pintar grandes telas que quedaban con un
efecto de teñido más que de pintura.[22]
3.4.6 Pastel
Caja de barritas de pastel.
El barreño, Degas, pintura al pastel.
La técnica de la pintura al pastel consiste en la utilización
de unas barras de colores cuyos pigmentos en polvo están
mezclados con la suficiente goma o resina para que que-
den aglutinados y formen una pasta seca y compacta. La
palabra pastel deriva de la pasta que así se forma; es pasta
modela en la forma de una barrita del grueso aproxima-
do de un dedo que se usa directamente (sin necesidad de
pinceles ni espátulas, ni de disolvente alguno) sobre la
superficie a trabajar, como soporte es común utilizar pa-
pel de buena calidad de buen gramaje de color neutro no
blanco y de ligera rugosidad, aunque la técnica es lo su-
ficientemente versátil para que se pueda usar sobre otras
superficies como madera. Son colores fuertes y opacos, la
mayor dificultad es la adhesión del pigmento a la superfi-
cie a pintar, por lo que se suele usar alfinalizar el dibujo
fijadores atomizados (spray) especiales. El pastel gene-
ralmente se usa como el «crayón» o el lápiz, su recurso
expresivo más afín es la línea con la cual se puede formar
tramas, también suele usarse el polvo, que tiende a soltar
la barra del pastel, para aplicar el color. Muchos artistas
han empleado esta técnica desde el siglo XVI, Leonardo
da Vinci, fue uno de los primeros en utilizarlo en Italia
en el dibujo de Isabel de Este. Otros artistas son Hans
Holbein el Joven, Correggio, Fragonard o Degas.[23]
3.4.7 Temple
La pintura al temple tiene como aglutinante una emulsión
de agua, clara y yema de huevo y aceite. Conviene pri-
mero hacer la mezcla del huevo con el aceite hasta lograr
una mezcla homogénea, después gradualmente agregar el
agua hasta crear la emulsión o médium de la técnica al
temple. La proporción es de un huevo entero, más una
parte igual de aceite, más una, dos o tres partes de agua,
dependiendo de la fluidez que se quiera alcanzar. Tam-
bién se puede agregar un poco de barniz «dammar» que
reemplaza la parte de aceite de linaza, con este procedi-
miento se logra mayor firmeza o agarre y un secado más
rápido, sin embargo el acabado es más impermeable a las
nuevas veladuras. En lugar del agua se puede emplear le-
che desnatada, látex de higuera o cera siempre con agua.
Giorgio Vasari también empleó en su descripción la pa-
labra temple para la composición de aceite con barniz.
Grandes obras maestras como por ejemplo El nacimien-
to de Venus de Sandro Botticelli están realizadas con esta
técnica.[24]
Según explica D.V. Thompson:
Una pintura al huevo bien hecha está entre
las formas de pintura más duraderas que ha
inventado el hombre. Bajo la suciedad y los
barnices, muchas obras medievales al temple
de huevo están tan frescas y brillantes como
cuando se pintaron. Normalmente las pinturas
al temple han cambiado menos en quinientos
años que cuadros al óleo en treinta.
D.V. Thompson, The Materials and Tecniques
of Medieval Painting (1956) Nova York.

3.4. TÉCNICAS 27
3.4.8 Tinta
Pincel, barra de tinta y tintero.
Tinta sobre papel, siglo XIV, Japón.
La presentación de la tinta, también llamada tinta china,
es generalmente líquida aunque también puede ser una
barra muy sólida que se debe moler y diluir para su uso.
Se usa sobre papel y los colores de tinta más utilizados son
el negro y el sepia, aunque actualmente se usan muchos
otros. La tinta se aplica de varias maneras, por ejemplo
con pluma o plumín, que son más adecuados para dibujo o
caligrafía y no para pinturas, las diferentes puntas de plu-
milla se utilizan cargadas de tinta para hacer líneas y con
ellas dibujar o escribir. Otro recurso para aplicar la tinta
es el pincel, que se utiliza básicamente como la acuarela
y que se llama aguada, pero la técnica milenaria llama-
da caligrafía o escritura japonesa también está hecha con
tinta y pincel sobre papel. Otras formas más utilitarias de
usar la tinta es el tiralíneas (cargador de tinta) o rapido-
graph. La tinta junto con el graﬁto son más bien técnicas
de dibujo.
3.4.9 Fresco
A menudo el término fresco se usa incorrectamente para
describir muchas formas de pintura mural. El verdadero
fresco es a las técnicas pictóricas modernas lo que el latín
es a los idiomas modernos. La técnica del fresco se basa
en un cambio químico. Los pigmentos de tierra molidos y
mezclados con agua pura, se aplican sobre una argamasa
reciente de cal y arena, mientras la cal está aún en forma
de hidróxido de calcio. Debido al dióxido de carbono de
la atmósfera, la cal se transforma en carbonato de calcio,
de manera que el pigmento cristaliza en el seno de la pa-
red. Los procedentes para pintar al fresco son sencillos
pero laboriosos y consumen mucho tiempo. Esta técnica
de pintura suele ser estable y de larga duración, aunque
se puede dañar por causas físicas, químicas o bacterio-
lógicas, la más frecuente es la humedad que consigue la
alteración de los colores ante la disolución del carbonato
de calcio y el desarrollo del moho.[25]
3.4.10 Grisalla
Pigmento de óxido de hierro.
Mural en la catedral de Vich de Josep Maria Sert.
Es una técnica pictórica basada en una pintura monocro-
ma en claroscuro: «luz y sombra» como la llamó Giorgio
Vasari, el color está hecho de una mezcla de óxidos de
hierro y de cobre y de un fundente, que produce la sensa-
ción de ser un relieve escultórico. En el siglo XIV se uti-
lizó para esbozos prepatorios de los escultores para con-
seguir el efecto de relieve mediante diversas gradaciones
de un solo color. Bajo el reinado de Carlos V de Fran-
cia, el uso de la grisalla fue sobre todo en la miniatura, en
los vitrales y en la pintura. Su utilización será una de las
características de la pintura ﬂamenca: en el dorso de los
retablos se solía representar una Anunciación en grisalla
(Políptico de Gante, Jan Van Eyck, para la catedral de San
Bavón en Gante). Josep Maria Sert enfatiza aún más por
su evolución cromática, que termina apoyándose en un
predominio de la monocromía dorada. Empleaba una ga-
ma cromática limitada: oros, ocres, tierras tostadas, con
toques de carmín, utilizando como fondo una rica prepa-
ración en metal, plata y pan de oro.[26]
3.4.11 Puntillismo
El puntillismo es la técnica que surgió en el
neoimpresionismo por el estudio practicado princi-
palmente por el pintor Georges Seurat, que consiste
en colocar puntos pequeños esféricos de colores puros,
en lugar de la técnica de pinceladas sobre el soporte
para pintar. Al haber relaciones físicas entre los colores,
la interacción entre los primarios y complementarios,

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