Análisis Numérico SAIA - B Prof. Domingo Méndez

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Vice-Rectorado Académico
Facultad de Ingeniería
Alumno:
Gustavo Garcia
C.I.: 19.884.839

2. Métodos De Eliminación Gaussiana
El proceso de eliminación Gaussiana, consiste en realizar
transformaciones elementales en el sistema inicial,
destinadas a transformarlo en un sistema triangular
superior, que resolveremos por remonte.
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero,
intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero
sumando múltiplos adecuados a los renglones
debajo de ´el.
4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y repita el
proceso comenzando en el paso 1. Al término del
ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han
barrido todos los renglones), la matriz debería tener
forma de escalón.
5. Comenzando con el ´ultimo renglón no cero avance
hacia arriba para que en cada renglón tenga un 1
delantero y arriba de ´el queden sólo ceros. Para ello
debería sumar múltiplos adecuados del renglón a los
renglones correspondientes.
Ejemplo:
3𝑋 + 4𝑌 = −1
6𝑋 + 9𝑌 = 7
3 4
6 9
−1
7
𝑓2 → 𝑓2 − 2𝑓1 3 4
0 1
−1
10
𝑓1 → 𝑓1 − 4𝑓2
3 0
0 1
−41
10
𝑓1 →
1
3
𝑓1
1 0
0 1
−
41
3
10

3. 3𝑋 + 4𝑌 = −1
6𝑋 + 9𝑌 = 7
3 4
6 9
−1
7
𝑓1 →
1
3
𝑓1 1
4
3
6 9
−
1
3
7
𝑓2 → 𝑓2 − 6𝑓1 1
4
3
0 1
−
1
3
9
𝑓1 → 𝑓1 −
4
3
𝑓2
1 0
0 1
−
37
3
9
Método de Gauss- Jordan
El proceso consiste en realizar transformaciones
elementales en el sistema inicial, destinadas a
transformarlo en un sistema diagonal. El número de
operaciones elementales de este método, es superior
al del método de Gauss (alrededor de un 50% más).
Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan:
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna,
intercambiarlo con otra que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento
delantero, sumando múltiplos adecuados del
renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso
anterior con la submatriz restante. Repetir con el
resto de los renglones (en este punto la matriz se
encuentra en forma escalonada).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar
hacia arriba: para cada renglón obtener 1 delantero
e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos
correspondientes a los renglones correspondientes.
Ejemplo:

4. Descomposición LU
El método de Descomposición
LU se basa en demostrar que
una matriz A se puede factorizar
como el producto de una matriz
triangular inferior L con una
matriz triangular superior U,
donde en el paso de eliminación
sólo se involucran operaciones
sobre los coeficientes de la
matriz, permitiendo así evaluar
los términos independientes bi
de manera eficiente.
Ejemplo:

5. Factorización de Cholesky
Es una manera de resolver sistemas
de ecuaciones matriciales, tenemos la
matriz de coeficientes de un sistema
de ecuaciones, llamada A. Una
condición necesaria y suficiente para
que una matriz A admita factorización
de Cholesky es que sea simétrica y
definida positiva. Si cumple podemos
tratar de factorizarla la forma A =
L*LT, cuando la tenemos factorizada
ya podemos resolver el sistema de
ecuaciones.
Ejemplo:

6. Método de Gauss-Seidel
Consiste en hacer iteraciones, a partir
de un vector inicial, para encontrar los
valores de las incógnitas hasta llegar a
una tolerancia deseada, la diferencia
radica en que cada vez que se desee
encontrar un nuevo valor de una xi,
además de usar los valores anteriores
de las x, también utiliza valores
actuales de las x encontradas antes
(desde x0 hasta xi-1).
La ecuación es la siguiente:
Ejemplo:
Dado el sistema
si aplicamos el método de Gauss-Seidel las fórmulas de
recurrencia serán:
tomando una tolerancia de 10-3 y comenzando por = (1,1)t
si utilizamos los tres criterios de parada descritos, con la ¥
_norma obtenemos:
Iteración x(i) Error Abs. Err. Rel. ||Residual||
1 (1.2000, 0.9143)t 0.2000 0.1667 0.2571
2 (1.2514, 0.9290)t 0.0514 0.0411 0.0441
3 (1.2426, 0.9265)t 0.0088 0.0071 0.0076
4 (1.2441, 0.9269)t 0.0015 0.0012 0.0013
5 (1.2439, 0.9268)t 0.0003 0.0002 0.0002