UFT Analisis Númerico Saia Soluciones de sistemas de Ecuaciones Lineales Resumen.

1. Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado Académico
Facultad de Ingeniería
Rebeca Oropeza C.I 26261017
Análisis Numérico SAIA.

2. 
Método de reducción
 Consiste en multiplicar
ecuaciones por números y
sumarlas para reducir el número
de incógnitas hasta llegar a
ecuaciones con solo una
incógnita.
 Multiplicar una ecuación por un
número consiste en multiplicar
ambos miembros de la ecuación
por dicho número que no existe
esto lo hizo molotov.
 Ejemplo
 Multiplicando la primera ecuación por 3 y la
segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
 15x - 9y = 1
 -15x + 20y = 5
 Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
 La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho
precisamente para que la desaparezca al sumar
ambas ecuaciones.
 Sustituyendo por uno en la primera ecuación
del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
 que es otra ecuación con una sola incógnita y
cuya solución es x=1

3. 
Método de igualación
 El método de igualación consiste en lo
siguiente:
 Supongamos que tenemos dos
ecuaciones:
 donde a, b , y c representan simplemente
los miembros de estas ecuaciones ( son
expresiones algebraicas ).
 De las dos igualdades anteriores se
deduce que
 Si resulta que una incognita del sistema de
ecuaciones no aparece ni en a ni en b ,
entonces la ecuación
 no contendría dicha incognita.
 El sistema de ecuaciones:
 (ejemplo)
 es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los
terminos en Y del miembro de la izquierda al
miembro de la derecha en cada una de las
ecuaciones del primer sistema.
 Del segundo sistema se deduce que
 que es una ecuación con una sola incognita cuya
solución es : .
 Sustituyendo Y por 1 en la primera ecuación
del sistema de partida se tiene que
 que es una ecuación con una sola incognita y
cuya solución es .

4. 
 El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss –
Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de
ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y
matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación
mencionada.
 Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se
debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables
del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:
 Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):
Método de Gauss – Jordan

5. 
 Una vez hecho esto, a continuación
se procede a convertir dicha matriz
en una matriz identidad, es decir
una matriz equivalente a la original,
la cual es de la forma:
Ejemplo: Sea el sistema de
ecuaciones:
1. Procedemos al primer paso para
encontrar su solución, anotarlo en su
forma matricial:
 Una vez hecho esto podemos empezar a
operar con las distintas filas y columnas
de la matriz para transformarla en su
matriz identidad, teniendo siempre en
cuenta la forma de la misma:
Lo primero que debemos hacer es transformar
el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de
la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto
debemos multiplicar toda la 1ª fila por el
inverso de 2, es decir ½.

6. 
Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para
lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la
primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.
 Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada
uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva
columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno
de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el numero que le corresponda
en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5)
por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le
corresponda en columna de la tercera fila.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de
igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que
deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

7. 
Factorización LU
 Suponga que la matriz A es una
matriz m × n se puede escribir
como el producto de dos matrices:
A = L U
 donde L es una matriz triangular
inferior m × m y U es una matriz
escalonada m × n.
 Entonces para resolver el sistema:
A x = b
 , escribimos
 A x = (L U) x = L (U x).
 Una posible estrategia de solucion
consiste en tomar y = U x y
resolver para y:
 L y = b.
 Como la matriz L es triangular
superior este sistema puede
resolverse mediante sustitución hacia
abajo, lo cual se hace fácilmente en
m2 FLOPS.
 Una vez con los valores encontrados
de Y, las incógnitas al sistema inicial
se resuelve despejando x
 de U x = y.
 Nuevamente, como U es escalonada,
este sistema puede resolverse en caso
de tener solución mediante
sustitución hacia atrás, lo cual es
sencillo. Estas observaciones nos dan
la pauta para ver la conveniencia de
una factorización como la anterior, es
decir factorizar A como el producto
de una matriz L triangular superior,
por otra U la cual es escalonada. Esta
factorización se llama usualmente
Descomposición LU.

8. 
 EJEMPLO 1 DE DESCOMPOSICIÓN LU
 PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente
sistema de ecuaciones:
 NOTA: Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2
iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y así sucesivamente.
Solución:
 ITERACIÓN 1
 factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25
 factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25
 Encontrando [U]
 fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)
 fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)
 a11 = a11
 a12 = a12
 a13 = a13
4 - 2 - 1 9
[A] = 5 1 - 1 [B] = 7
1 2 - 4 12

9. 
 a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0
 a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5
 a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25
 a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0
 a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5
 a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75
Encontrando [L]
 ITERACIÓN 2
 factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 =
0.7142857143
 Encontrando [U]
 fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)
 a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0
 a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0
 a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = -
0.9285714286
4 - 2 - 1
[U] = 0 3.5 0.25
0 2.5 - 0.75
1 0 0
[L] = 1.25 0 0
0.25 0 0
Encontramos [L]
 Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz
[L]. El siguiente paso es resolver
 Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas
palabras es como que se pidiera resolver el
siguiente sistema de ecuaciones,
encontrando los valores de y1, y2 y y3:
4 - 2 - 1
[U] = 0 3.5 0.25
0 0 - 0.9285714286
1 0 0
[L] = 1.25 1 0
0.25 0.7142857143 1

10. 
 Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:
 El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como
que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de
x1, x2 y x3:
 La solución del sistema es:

11.  El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser
bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que
se va a trabajar:
 De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la
ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:
 Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas
con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da
el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más
precisamente, se tiene que:
MÉTODO DE GAUSS-
SEIDEL

12. 
 Enseguida, se sustituye este valor de
x1 en la ecuación 2, y las variables
x3,…, xn siguen teniendo el valor de
cero. Esto da el siguiente valor para
x2:
Estos últimos valores de x1 y x2, se
sustituyen en la ecuación 3, mientras
que x4,…, xn siguen teniendo el valor
de cero; y así sucesivamente hasta
llegar a la última ecuación. Todo este
paso arrojará una lista de primeros
valores para las incógnitas, la cual
conforma el primer paso en el
proceso iterativo. Para una mejor
comprensión esto se simbolizará de
esta forma:
 Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora
sustituyendo estos últimos datos en vez de
ceros como al inicio. Se obtendrá una
segunda lista de valores para cada una de
las incógnitas, lo cual se simbolizará así:
 En este momento se pueden calcular los
errores aproximados relativos, respecto a
cada una de las incógnitas. La lista de
errores se presenta a continuación:
 El proceso se vuelve a repetir hasta
que: