Analisis Numerico SAIA A

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Decanato de Ingeniería
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Alumno:
Fernando Juhasz C.I: 24.712.623
Cabudare, Julio del 2017

2. Sistemas de Ecuaciones Lineales
Es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde
cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Tipos de sistemas lineales
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden
presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
 Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
 Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
 Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de
soluciones.
 Sistema incompatible si no tiene solución
Método de Gauss – Jordan
Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve
por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del
sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la
anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular
superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener
una matriz diagonal.
Pasos
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo
tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos
adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.

3. 4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante.
Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma
escalonada).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón
obtener 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos
correspondientes a los renglones correspondientes.
Método de Eliminación Gaussiana
Consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de
filas, intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes,
operaciones con filas o columnas, . . . ), destinadas a transformarlo en un sistema
triangular superior, que resolveremos por remonte. Además, la matriz de partida tiene
el mismo determinante que la matriz de llegada, cuyo determinante es el producto de
los coeficientes diagonales de la matriz.
Uno de los principales problemas de la eliminación Gaussiana es que se debe dividir
entre el pivote; si este es un número muy pequeño, entonces un error de redondeo
puede arrojar serias dudas sobre la respuesta final. En forma general este método
propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener
sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución
regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

4. Factorización de Cholesky
Una matriz A simétrica y positiva definida puede ser factorizada de manera eficiente por
medio de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior.
Para una matriz no singular la descomposición LU nos lleva a considerar una
descomposición de tal tipo A = LU; dadas las condiciones de A, simétrica y definida
positiva, no es necesario hacer pivoteo, por lo que ésta factorización se hace eficientemente
y en un número de operaciones la mitad de LU tomando la forma , donde L (la
cual podemos "verla" como la raíz cuadrada de A) es una matriz triangular inferior donde
los elementos de la diagonal son positivos.
Para resolver un sistema lineal Ax = b con A simétrica definida positiva y dada su
factorización de Cholesky , primero debemos resolver Ly = b y entonces
resolver para lograr x.
Una variante de la factorización de Cholesky es de la forma , donde R es una
matriz triangular superior, en algunas aplicaciones se desea ver la matriz en esa forma y no
de otra.
Método de Gauss – Seidel
Consiste en hacer iteraciones, a partir de un vector inicial, para encontrar los valores de las
incógnitas hasta llegar a una tolerancia deseada, la diferencia radica en que cada vez que se
desee encontrar un nuevo valor de una xi, además de usar los valores anteriores de las x,
también utiliza valores actuales de las x encontradas antes (desde x0 hasta xi-1).
La ecuación es la siguiente:

5. Método de Jacobi
Supóngase que se tiene un sistema 3 x 3. Si los elementos de la diagonal no son todos cero,
la primera ecuación se puede resolver para x1, la segunda para x2 y la tercera para x3, para
obtener:
En general, para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas,
el Método de Jacobi para encontrar un valor k de una variable x es el siguiente:
El procedimiento consiste en asignar unos valores iniciales a las variables, usualmente se
escoge "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente iteración se sustituyen
los valores obtenidos en la ecuación siguiente, con lo que se obtiene:
En la siguiente sección se ilustra cómo la convergencia de éste método está dada por: