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Tutor:
Prof. Ramón Aray
Alumna:
Yoselyn Caripa
27301077
 fue un matemático, astrónomo y
físico alemán que influyó en
multitud de ramas de las
matemáticas.
 Fue un niño prodigio del que se
cuentan muchas anécdotas
infantiles.
 Es considerado como “el príncipe
de las matemáticas” y muchos lo
consideran el matemático más
grande de todos los tiempos.
 Vamos a desarrollar un método para resolver sistemas de
ecuaciones que se llama método matricial. No penséis que es
algo exótico: no es más que taquigrafía y sentido común. Una
matriz es simplemente una «caja de números». ´ Así, por
ejemplo, podemos hacer la siguiente conversión:
 ¿Ves? No hemos hecho más que meter los coeficientes del
sistema en una caja. Seguramente sólo en la tercera ecuación
habrá duda de cómo han aparecido los números: ´ «1» por x,
«−3» por −3y, «0» por que no hay z. ¿Se ve?
 Traduce a una matriz el sistema de ecuaciones, y a un
sistema en x, y y z la matriz.
 La idea básica de la solución es que hay un tipo de
sistemas que son especialmente fáciles. Son los
sistemas «escalonados». Un ejemplo (en notación
normal y matricial):
 Este sistema se resuelve de «abajo hacia arriba». La
ultima ecuación es la más sencilla: −2z = −6, por tanto z
= 3. Ahora podemos resolver la ecuación superior: −y +
2z = 5, porque sabemos el valor de z. Así, −y + 6 = 5 y,
por tanto, y = 1. Por ultimo, nos vamos a la ecuación
superior: 3x + 2y + z = 11, de la que conocemos el valor
de y y el de z: 3x + 2 + 3 = 11, por tanto x = 2.
 La mayoría más absoluta de los sistemas no son
escalonados. Por tanto, tenemos que aprender a
transformarlos. Usaremos las siguientes reglas
básicas de resolución:
 Una fila de una matriz se puede multiplicar por
cualquier numero. Es decir, que si tenemos x + y
= 2, entonces 2x + 2y = 4.
 Se puede sumar o restar una fila a cualquier
otra. En otras palabras, si 2x + y =3 y 2x -3y=-1,
entonces 3x + 4y = 6.
Sistema compatible determinado
Sistema Compatible.
 Wilhelm Jordan, en su trabajo sobre topografía, usó el método de
mínimos cuadrados de forma habitual. Este método es especialmente
útil en disciplinas como la topografía, la geodesia o la astronomía,
caracterizadas porque cuando se realizan observaciones existe una
redundancia en medidas de ángulos y longitudes. No obstante, existen
relaciones que conectan las medidas, y se pueden escribir como un
sistema lineal sobre-determinado (más ecuaciones que incógnitas) al
cual se le aplica el método. El propio Jordan participó en trabajos de
geodesia a gran escala en Alemania, así como en la primera topografía
del desierto de Libia. En 1873 fundó la revista alemana Journal of
Geodesy y ese mismo año publicó la primera edición de su
famoso Handbuch.
 Formando parte de la discusión, dio una detallada presentación del
método de eliminación de Gauss para convertir el sistema dado en
triangular. Entonces mostró cómo la técnica de sustitución hacia atrás
permitía encontrar la solución cuando se conocían los coeficientes. Sin
embargo, anota que si se realiza esta sustitución, no numérica sino
algebraicamente, se pueden obtener las soluciones de las incógnitas
con fórmulas que involucran los coeficientes del sistema. En la primera
y segunda edición (1879) de su libro simplemente dio estas fórmulas
pero en la cuarta edición (1895) dio un algoritmo explícito para resolver
un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes simétrica, que son
las que aparecen en los problemas de mínimos cuadrados. Este
algoritmo es, en efecto, el método de "Gauss-Jordán".
Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra
que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando
múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con
la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto
la matriz se encuentra en forma escalonada).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para
cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste
sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos
eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm
Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al
cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la
matriz en forma escalonada reducida.
Supongamos que es necesario encontrar los números "x",
"y", "z", que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:
Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El
objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga
las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas
elementales) son estas:
 Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
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 Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales
que se usan también en otros procedimientos como la factorización
LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando
3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la
primera ecuación a la tercera. El resultado es:
 Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la
segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda
ecuación a la tercera para eliminar y.
 Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces
la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera
ecuación a la segunda para eliminar z.
Despejando, podemos ver las soluciones:
Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz
aumentada.
Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:
Si el sistema fuera incompatible, entonces nos
encontraríamos con una fila como esta:
Que representa la ecuación: 0x+0y+0z=a, donde a ≠
0. Es decir, 0=a, lo que supone una contradicción y,
por tanto, no tiene solución.
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Metodo de Gauss y de Gauss-Jordan

  • 2.  fue un matemático, astrónomo y físico alemán que influyó en multitud de ramas de las matemáticas.  Fue un niño prodigio del que se cuentan muchas anécdotas infantiles.  Es considerado como “el príncipe de las matemáticas” y muchos lo consideran el matemático más grande de todos los tiempos.
  • 3.  Vamos a desarrollar un método para resolver sistemas de ecuaciones que se llama método matricial. No penséis que es algo exótico: no es más que taquigrafía y sentido común. Una matriz es simplemente una «caja de números». ´ Así, por ejemplo, podemos hacer la siguiente conversión:  ¿Ves? No hemos hecho más que meter los coeficientes del sistema en una caja. Seguramente sólo en la tercera ecuación habrá duda de cómo han aparecido los números: ´ «1» por x, «−3» por −3y, «0» por que no hay z. ¿Se ve?
  • 4.  Traduce a una matriz el sistema de ecuaciones, y a un sistema en x, y y z la matriz.  La idea básica de la solución es que hay un tipo de sistemas que son especialmente fáciles. Son los sistemas «escalonados». Un ejemplo (en notación normal y matricial):  Este sistema se resuelve de «abajo hacia arriba». La ultima ecuación es la más sencilla: −2z = −6, por tanto z = 3. Ahora podemos resolver la ecuación superior: −y + 2z = 5, porque sabemos el valor de z. Así, −y + 6 = 5 y, por tanto, y = 1. Por ultimo, nos vamos a la ecuación superior: 3x + 2y + z = 11, de la que conocemos el valor de y y el de z: 3x + 2 + 3 = 11, por tanto x = 2.
  • 5.  La mayoría más absoluta de los sistemas no son escalonados. Por tanto, tenemos que aprender a transformarlos. Usaremos las siguientes reglas básicas de resolución:  Una fila de una matriz se puede multiplicar por cualquier numero. Es decir, que si tenemos x + y = 2, entonces 2x + 2y = 4.  Se puede sumar o restar una fila a cualquier otra. En otras palabras, si 2x + y =3 y 2x -3y=-1, entonces 3x + 4y = 6.
  • 8.  Wilhelm Jordan, en su trabajo sobre topografía, usó el método de mínimos cuadrados de forma habitual. Este método es especialmente útil en disciplinas como la topografía, la geodesia o la astronomía, caracterizadas porque cuando se realizan observaciones existe una redundancia en medidas de ángulos y longitudes. No obstante, existen relaciones que conectan las medidas, y se pueden escribir como un sistema lineal sobre-determinado (más ecuaciones que incógnitas) al cual se le aplica el método. El propio Jordan participó en trabajos de geodesia a gran escala en Alemania, así como en la primera topografía del desierto de Libia. En 1873 fundó la revista alemana Journal of Geodesy y ese mismo año publicó la primera edición de su famoso Handbuch.  Formando parte de la discusión, dio una detallada presentación del método de eliminación de Gauss para convertir el sistema dado en triangular. Entonces mostró cómo la técnica de sustitución hacia atrás permitía encontrar la solución cuando se conocían los coeficientes. Sin embargo, anota que si se realiza esta sustitución, no numérica sino algebraicamente, se pueden obtener las soluciones de las incógnitas con fórmulas que involucran los coeficientes del sistema. En la primera y segunda edición (1879) de su libro simplemente dio estas fórmulas pero en la cuarta edición (1895) dio un algoritmo explícito para resolver un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes simétrica, que son las que aparecen en los problemas de mínimos cuadrados. Este algoritmo es, en efecto, el método de "Gauss-Jordán".
  • 9. Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan 1. Ir a la columna no cero extrema izquierda 2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga. 3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él. 4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada). 5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes. Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida.
  • 10. Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones: Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:  Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.  Intercambiar de posición dos ecuaciones  Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
  • 11. Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica. En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:  Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.  Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.
  • 12. Despejando, podemos ver las soluciones: Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial: Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta: Que representa la ecuación: 0x+0y+0z=a, donde a ≠ 0. Es decir, 0=a, lo que supone una contradicción y, por tanto, no tiene solución.
  • 13. Multiplicamos la segunda fila por 1/2 Sumamos la primera fila a la segunda Multiplicamos la primera fila por 1/3 Calculamos los rangos La matriz obtenida representa el sistema Las soluciones del sistema son