Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Practica MN S05 G2 Método de Resolucion de Eliminacion de Gauss hacia atras 2022-2.docx
1. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
Facultad de Ingeniería y Gestión-UNTELS Método de Eliminación de Gauss
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UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DE LIMA SUR
FACULTAD DE INGENIERÍA Y GESTIÓN
CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
SEMANA 05:
TEMA: Método de Resolución de Eliminación de Gauss hacia atrás.
CICLO: V
SEMESTRE: 2022-2
Trabajo presentado para la asignatura de Métodos Numéricos,
dirigido por
DOCENTE: Caballero Cantú, José Jeremías
N° Código Apellidos Nombres TRABAJO/
NO TRABAJO
Responsable Exposición
111 20A3010118 Anaya Castro Jefersson Rodrigo SI
2 1921110656 Ccuno Callañaupa Abel SI
3 1913050729 Gayoso Florentini Luis Santiago SI
4 2017230169 Jimenez Quispe Hubert Jared SI
5 1913010585 Pineda Urquiza Carlos Antonio SI responsable *
6 1913110180 Rojas Tumayquispe Steven Jean Paul SI
2. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
Facultad de Ingeniería y Gestión-UNTELS Método de Eliminación de Gauss
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I. Reconoce la cantidad de cantidad de ecuaciones y incógnitas a usar en el problema.
Para aplicar este método se debe tener un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.
1. En este caso vamos a aplicar el método para un sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incógnitas
11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2
31 1 32 2 33 3 34 4 3
41 1 42 2 43 3 44 4 4
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
2. Tenemos el siguiente ejemplo de un sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incógnitas
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 6 2 9 6
5 4 5 6 5
3 8 2 3 3
4 10 3 9 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
II. Verifica si el sistema de ecuaciones lineales es completo o no.
Antes de aplicar el método, debemos verificar que el sistema este completo, y si no está
completo completarlo, luego aplicar
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 6 2 9 6
5 4 5 6 5
3 8 2 3 3
4 10 3 9 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
(Podemos observar que si está completo)
III. Convierte el sistema a ecuación matricial.
3. El sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incógnitas se debe convertir a una ecuación matricial
11 12 13 14 1 1
21 22 23 24 2 2
31 32 33 34 3 3
41 42 43 44 4 4
X b
A
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
4. Aplicando el paso 4) a nuestro ejemplo, tenemos la ecuación matricial
1
2
3
4
3 6 2 9 6
5 4 5 6 5
3 8 2 3 3
4 10 3 9 9
b
X
A
x
x
x
x
3. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
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IV. Extrae la matriz aumentada
5. Del paso 4) extraemos la matriz aumentada, la cual viene a ser la concatenación de la matriz de
coeficiente A y el vector columna de termino independiente b, es decir
C A b
C= [A B]
11 12 13 14 1 11 12 13 14 15
21 22 23 24 2 21 22 23 24 25
31 32 33 34 3 31 32 33 34 35
41 42 43 44 4 41 42 43 44 45
a a a a b c c c c c
a a a a b c c c c c
a a a a b c c c c c
a a a a b c c c c c
Entonces
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
c c c c c
c c c c c
C
c c c c c
c c c c c
6. Aplicando el paso 6) a nuestro ejemplo y hallamos la matriz aumentada
C= [A B]=
3 6 2 9 6
5 4 5 6 5
3 8 2 3 3
4 10 3 9 9
7. Apliquemos el método de eliminación Gauss hacia atrás al paso 7)
V. Enuncia la Teoría y aplica correctamente la iteración 1
Iteración 1
12 13 14 15 12 13 14 15
1 1
22 23 24 25 22 23 24 25
2 2 1 2
32 33 34 35 32 33 34 35
3 3 1 3
42 43 44 45 42
1
4
4
11
3
1
11
11
11
3
21 2
3
4
4 1 4
1
4
1 1
1 1
' ' ' '
' ' ' '
( / )
' ' ' '
( / )
' ' '
( / ) 0
0
'
0
c c c c c c c c
F F
c c c c c c c c
F F F F
c c c c c c c c
F F F F
c
c
c
c F
c
c
c
c
c
c
c
c c c c
c
F F
c
c F
44 45
'
c
1 1
2 2 1 2
3 3 1 3
4 4 1 4
3 6 2 9 6
3 6 2 9 6 5
0 14 9 15
( 5 / 3)
5 4 5 6 5 3
( 3/ 3)
3 8 2 3 3 0 14 0 6 9
( 4 / 3)
4 10 3 9 9 1
0 18 21 17
3
F F
F F F F
F F F F
F F F F
4. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
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2
1
2 1 2
: -5 4 5 -6 5
( 5/ 3) -5 -10 10/3 -15 -10
( 5/ 3) : 0 14 5/3 9 15
F
F
F F F
3
1
3 1 3
: -3 8 2 -3 3
( 3/ 3) -3 -6 2 -9 -6
( 3/ 3) : 0 14 0 -6 9
F
F
F F F
4
1
4 1 4
: -4 10 3 9 9
( 4 / 3) -4 -8 8/3 -12 -8
( 4 / 3) : 0 18 1/3 21 17
F
F
F F F
VI. Enuncia la Teoría y aplica correctamente la iteración 2
Iteración 2
11 12 13 14 15 11 12 13 14 15
1 1
23 24 25 22 2
3
2 3 24 25
2 2
33 34 35 33 34 35
3 3 2 3
4 44 45
4 4 2
2
2 4
4
32 32
2
2
2
22
4
' ' ' ' ' '' '' '' '' ''
0 ' ' ' 0 '' ''
0
'
'' ''
' ' ' 0 0 '' '' ''
( / )
0 ' ' ' 0 0
( /
'
'
)
'
'
'
'
c
c c
c c c c c c c c c c
F F
c c c c c c c
F F
c c c c c c
F F F F
c c c
F F c F
c
c
c F
c
43 44 45
'' '' ''
c c
1 1
2 2
3 3 2 3
4 4 2 4
3 6 2 9 6
3 6 2 9 6
5
5 0 14 9 15
0 9 15 3
3
5
( / )
0 0 6 9 0 0 3 6
3
( / )
1
38 66 16
0 21 17
0
1
14
8
14
14
4
0
3
21 7 7
1
8
14
1
F F
F F
F F F F
F F F F
3
2
3 2 3
4
: 0 14 0 6 9
(14 /14) 0 14 -5/3 9 15
(14 /14) : 0 0 -5/3 -3 -6
:
F
F
F F F
F
2
4 2 4
0 18 1/ 3 2 19
(18/14)F 0 18 45/21 81/7 15
(18 /14) 0 0 38 / 21 66 / 7 16 / 7
F F F
VII. Enuncia la Teoría y aplica correctamente la iteración 3
Iteración 3
11 12 13 14 15 1 11 12 13 14 15
1
22 23 24 25 2 22 23 24 25
2
34 35 3 33 34 35
3
44 45 4 3 4 44 45
3
43 43
3
33
4
" " " " " ''' ''' ''' ''' '''
0 " " " " 0 ''' '' ''' '''
0 0 " " 0 0 ''' ''' '''
0 0 " " ( /
" ) 0 0 0 ''' '''
"
"
"
c c c c c F c c c c c
F
c c c c F c c c c
F
c c F c c c
F
c c F F F c
c
c c
F c
c
5. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
Facultad de Ingeniería y Gestión-UNTELS Método de Eliminación de Gauss
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1
1
2
2
3
3
4 4 3 4
3 6 2 9 6 3 6 2 9 6
5 5
0 14 9 15 0 14 9 15
3 3
5
0 0 3 6 0 0 3 6
3
( / )
66 16 444 148
0 0 0 0 0
7 7 35
5
38
38 21
21 5
5
3
3
3
F
F
F
F
C
F
F
F F F F
4
3
38 66 16
: 0 0
21 7 7
38 5 38 38 5
/ F 0 0 /
21 3 21 21 3
F
4 3 4
38 5 16
3 /
21 3 7
38 5 444 148
/ : 0 0 0
21 3 35 35
F F F
VIII. Muestra la ecuación matricial triangular superior
8. Al final tenemos la siguiente ecuación matricial con matriz aumentada en forma de
triangular superior.
15
11 12 13 14 1
25
22 23 24 2
35
33 34 3
45
44 4
'"
'" '" '" '"
'"
0 '" '" '"
'"
0 0 '" '"
'"
0 0 0 '"
X
A b
c
c c c c x
c
c c c x
c
c c x
c
c x
9. Aplicando el paso 8) al ejemplo:
1
2
3
4
3 6 2 9
6
5
0 14 9
15
3
5 6
0 0 3
3 148
444 35
0 0 0
35
X
B
A
x
x
x
x
6. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
Facultad de Ingeniería y Gestión-UNTELS Método de Eliminación de Gauss
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IX Muestra el sistema de ecuaciones triangular superior
10. Pasando a un sistema de 4 ecuaciones lineales triangular superior con 4 incógnitas
''' ''' ''' ''' '''
11 1 12 2 13 3 14 4 15
c x c x c x c x c
''' ''' ''' '''
22 2 23 3 24 4 25
c x c x c x c
''' ''' '''
33 3 34 4 35
c x c x c
''' '''
44 4 45
c x c
11.Aplicando el paso 10) a nuestro ejemplo:
1 2 3 4
3 6 2 9 6
x x x x
2 3 4
14 1.6667 9 15
x x x
3 4
-1.6667 3 6
x x
4
12.6857 4.22857
x
X. Hallar los valores de las incógnitas
12.Hallamos las incógnitas desde el paso 11)
45
44 4 45 4
44
'''
''' '''
'''
c
c x c x
c
4
3(4 1) 3
4
35 34 4
33 3 34 4 35 3
33 33
''' '''
''' '''
''' ''' '''
''' '''
i j
j
c c x
c c x
c x c x c x
c c
4
2
3
2(4 1) '''
25 23 3 24 4
22 2 23 3 24 4 25 2
22 22
'''
''' ( ''' ''' )
''' ''' ''' '''
''' '''
i j
j
c x
c
c c x c x
c x c x c x c x
c c
4
1
2
1(4 1) '''
15 12 2 13 3 14 4
11 1 12 2 13 3 14 4 15 1
11 11
'''
''' ( ''' ''' ''' )
''' ''' ''' ''' '''
''' '''
i j
j
c x
c
c c x c x c x
c x c x c x c x c x
c c
7. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
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Para esimo
i incógnita se halla de la forma.
( 1)
1
''' '''
1, 2,......3,2,1
'''
n
i n ij j
j i
i
ii
c c x
x i n n
c
13.Aplicando el paso 12) a nuestro ejemplo:
'''
45
4 '''
44
4.22857 1
12.6857 3
c
x
c
''' '''
35 34 4
3 '''
33
1
6 ( 3)( )
3 3
5
3
c c x
x
c
''' ''' '''
25 23 3 24 4
2 '''
22
5 1
15 ( 3 9 )
( ) 1
3 3
14 2
c c x c x
x
c
''' ''' ''' '''
15 12 2 13 3 14 4
1 '''
11
1 1
6 (6 2(3) 9 )
( ) 2 3 2
3
c c x c x c x
x
c
XI.Interpreta la respuesta del problema
14.Por lo tanto, la solución del sistema dado es: 1 2 3 4
1 1
2, , 3,
2 3
x x x x
8. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
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pág. 8
CÓDIGO EN LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN MATLAB
function x = EliminacionGauss(A,B)
%~~~~~~~~~~~~~~~Protección contra errores en las entradas~~~~~~~~~~~~~~~~~%
if nargin ~= 2
error('Se debe ingresar una matriz cuadrada A y un vector columna B');
%Si se ingresan todos los datos de entrada, elegir un método de solución
else
if size(A,1) ~= size(A,2)
error('Se necesita que la matriz A sea cuadrada')
elseif size(B,2) ~= 1
error('B debe ser un vector columna');
elseif size(A,1) ~= size(B,1)
error('El número de filas de A no coincide con el de B. Sistema inconsistente');
end
end
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Setup~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%
n = size(A,1); t = ' | '; T = repmat(t,n,1);
a = num2str(A); b = num2str(B); c = [a T b]; %%unión de los datos en una solo matriz
disp('Sistema original'); disp(c); disp(newline);
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Eliminación hacia adelante~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%
j = 1;
for k = 1:n - 1
for i = k + 1:n
if A(i,k) ~= 0 %Si no hay un cero en este elemento, hacer eliminación
factor = A(i,k)/A(k,k);
A(i,:) = A(i,:) - factor*A(k,:);
B(i) = B(i) - factor*B(k);
c = [num2str(A), T, num2str(B)]; %%unión de los datos en una solo matriz
disp(['Paso ',num2str(j)]); disp(c); disp(newline);
j = j+1;
else
continue %Si hay un cero, saltarse al siguiente elemento
end
end
end
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Sustitución hacia atrás~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%
x(n) = B(n)/A(n,n);
for i = n - 1:-1:1
sum = B(i);
for j = i + 1:n
sum = sum - A(i,j)*x(j);
end
x(i) = sum/A(i,i);
end
x = x';
%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Impresión de resultados~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%
disp('Resultados');
for i = 1:n
fprintf('x%d = %f',i,x(i));
fprintf('n');
end
9. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
Facultad de Ingeniería y Gestión-UNTELS Método de Eliminación de Gauss
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Explicación del código:
Inicializamos el código con una variable “x” con el nombre de EliminacionGauss (A,B). Posteriormente si se
ingresan valores errores el programa lo detectara y para ello utilizamos la condicional If-else.
Explicación del código:
En esta sección “Setup” , se encarga de mostrar en pantalla la matriz original ,es decir, une cada valor
numérico ingresado anteriormente.
10. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
Facultad de Ingeniería y Gestión-UNTELS Método de Eliminación de Gauss
pág. 10
Explicación del código:
Para realizar el método de Gauss hacia atrás es de vital importancia realizar primero la eliminación hacia
adelante.
Explicación del código:
Después de ello, se realiza la sustitución hacia atrás y para ello se implementó esta variable x(n)= B(n)/A(n,n)
para guardar los valores. Posteriormente, se tiene que hallar los otros 3 valores restantes y en ese caso se
codifica el bucle for, para ello se opera la Sumatoria B(i), es decir, se va a repetir dependiendo la cantidad d
variables que hay en nuestra matriz. No obstante, nuestros resultados ya han sido divididos y redondeados
respectivamente.
11. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
Facultad de Ingeniería y Gestión-UNTELS Método de Eliminación de Gauss
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Explicación del código:
Se realiza esta sección para mostrar los resultados en pantalla.
RESOLUCION DEL PROBLEMA PROPUESTO
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13. Grupo N°2 Métodos Numéricos 2022-2
Facultad de Ingeniería y Gestión-UNTELS Método de Eliminación de Gauss
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ALGORITMO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA CON SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS, SIN
INTERCAMBIO DE FILAS
Para resolver el sistema lineal de 4 4:
1 2 3 4
3 6 2 9 6
x x x x
2 3 4
14 1.6667 9 15
x x x
3 4
1.6667 3 6
x x
4
12.6857 4.22857
x
ENTRADA. La matriz aumentada C (ci, j )nn donde 1 i n y 1 j n 1.
Entrada: la matriz aumentada C
Salida: La solución x1, x2 ,..., xn
Paso 1. Leer la matriz aumentada C
Paso 2. Sea (4, 4) dimension(C) ,
Paso 3. Para i 1,2,...,n 1 (Avance por columna)
Paso 4. Para j i 1,i 2,..., n (avance por filas)
Paso 5. F
cji
F F
cii
Paso 6.Fin Para
Paso 7. Fin Para
Paso 8. Xn
cn,n1/ cnn
Paso 9. Para i n 1,...,1
Paso 11. Fin Para