Guia-de-Matemática-Partes-I-y-II (3).pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
UNIDAD DE ADMISIÓN
CURSO PROPEDÉUTICO
M
M A
A T
T E
E M
M Á
Á T
T I
I C
C A
A
San Cristóbal, Abril de 2011
Autor: Prof. Luis A. Delgado R.
Revisada por: Lcda. Gladys Z. Colmenares G.
Transcrita por: T.S.U. Nancy Yaneth Sayago.




 
4
– 8
1
3

2
7 – 5i
e
π
1,22… 1,2175…
0,75
– 100
1


2
1
i  

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA
PARAMILLO SAN CRISTÓBAL – TÁCHIRA
Dr. JOSÉ VICENTE SÁNCHEZ FRANK
RECTOR
Ing. CARLOS CHACÓN LABRADOR
VICERRECTOR ACADÉMICO
Dra. DORIS AVENDAÑO
VICERRECTORA ADMINISTRATIVA
Dr. ÓSCAR A. MEDINA
SECRETARIO
Lcdo. JOSÉ A. CONTRERAS
DECANO DE DOCENCIA
Dr. JOSÉ L. RODRÍGUEZ
DECANO DE INVESTIGACIÓN
Dr. EDGAR PERNIA
DECANO DE POSTGRADO
MSc. BENITO MARCANO
DECANO DE EXTENSIÓN
Ing. LUIS VERGARA P.
DECANO DE ESTUDIOS
Lcdo. CELIS LUNA
JEFE DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
Lcda. NORMA OSORIO M.
JEFE DE LA UNIDAD DE ADMISIÓN
Lcdo. FREDY O. DELGADO R.
COORDINADOR CURSO PROPEDÉUTICO

Curso Propedéutico UNET
3
CONJUNTOS NUMÉRICOS – OPERACIONES
1. Inserte  o  en el espacio vacío para que la expresión sea correcta:
a) 12_____  f) 0 _____  k) – 300____ 
+
o) e ______ 
b) –3_____  g)
7
4
____  l) – 8 _____  –
p) 1
 ____ 
c)  _____  h) –6 ____ m)  _____  q) 0 ______
d) 2 ____ i)
5
3
_____  n) – 15_____  r)
5
4
____ 
e) 1,4142___ j) 5____  ñ) – 3____ s) 0 ______ 
*
2. Exprese un enunciado correcto entre los dos conjuntos utilizando el símbolo de subconjunto
“”:
a)  y  e)  y  i)  y  m) y 
b)  y  f)  y  j)  y  n)  y 
+
c) y  g)  y  k)  y  ñ) y 
d) 
–
y  h)  
0 y  l) y  o)  y 
3. Inserte los símbolos  ó  para que el enunciado sea correcto:
a)  ____  e)  ____  i) –10 ____  m)   ____ 
b) _____ 
+
f)  ____ 
*
j)  
3 ___  n)
1
0; ; 1,72
3
 
 
 
___ 
c)  ____  g)  *
___  
0

 k)  
2 ___ ñ)  
0 _____ 
d) 
+
____ 
–
h) 5___ l)  
2 0 2
, ,
 __ o)  
4,  ____ 
4. Determine cuál de los conjuntos ,  ,  ,  , ,  ,  es igual a la operación indicada
entre los conjuntos dados:
a)  e)    i)   m)  
 
b)   f) 
 j)  
 n)  

  
c)   g)  k)  
  ñ)  

 
d)  h)   l)      o)  
 

4
5. Dado el conjunto
5 1
A = 14; ; 7; 0; 38; 2; 580; ; ; 16,36; 0,333
3 10

 
  
 
 
 . Determine:
a) A   b) A   c) A   d) A  e) A  
A   A   A   A  A  
6. Ordene los elementos de los conjuntos A y B en el mismo orden de sus correspondientes
puntos a la izquierda o la derecha de la recta de números reales:
2 7 3 5
A = 2, 3, 21, 5, 7, , 3 , , 5 , 10 0, , , 1; 2,5
3 4 4 3
,
 
      
 
 

11 21 3 π
B = , , 8, 2 , 3, 3 , 4, ; 1,26; 3,2
3 4 2 2
, ,

 
    
 
 

7. ¿A qué conjuntos numéricos corresponde la solución de cada una de las siguientes
ecuaciones?
a) x + b = a con a < b para todo a, b   b) 5x + 1 = 6 c) x2
– 4 = 0
d) x + b = a con a > b para todo a, b   e) x2
+ 3 = 0
8. Complete la siguiente tabla utilizando  o 
     
5
– 3

4
3
i
2
6

5
3

0
7
i
8

 
– 1000
e
e
 
1,245…
3 2
,

1010
21,424242…
10 – 1

5
9. Complete la siguiente tabla utilizando  o 
     
 
8 10
,
 
0
 
1 1
2 3
, , 
 

 
 
 
6 4 5
i , i
 
 
4 3 9
, ,
 
 
1 5
,
 
36 49
,
3 6 3
4 7 8
, ,
 
 
 
 
 
45; 2,222...; 1,2135...

 
2 ,
, e

 
0, 2 ,
, e

MÁXIMO COMÚN DIVISOR, MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO,
FRACCIONES, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN.
1. Calcular el MCD y mcm de los siguientes números:
a) 15, 30, 45, 60 b) 25, 50, 75, 100 c) 720, 504, 180 d) 50, 80, 120, 300
e) 3, 5, 15, 21, 42 f) 120, 192, 1764 g) 14, 28, 30, 120 h) 50, 64, 48, 200
i) 540, 310, 650, j) 10, 60, 80, 600 k) 12021, 147, 189 l) 140, 420, 630
2. Efectuar las siguientes operaciones:
a)
14
1
12
1
3
1

 d) 







5
9
8
1
5
2
g) 
















30
4
3
1
15
1
5
3
2
15
9
2
b) 








15
1
30
1
6
4
e)
9
1
3
1
3
2
9
2
2
1















 h) 















9
2
18
3
9
4
3
2
4
9
2
5
c)
40
3
5
2
20
3

 f) 















9
4
4
3
8
1
2
1
3
2
i) 















5
2
3
1
6
4
9
2
5
18
10
1

6
POTENCIACIÓN
1)
n-veces
n
a a.a.a a




 2) 0
1 0
a con a
  3) 1
a a
 4)
n
n m
m
a
a
a


5)  
m
n n.m
a a
 6)
n n
n
a a
b b
 

 
 
7)
1 n
n
a
a

 8)
1 n
n
a
a

9) n m n m
a .a a 
 con n,m 10)   con
n n n n
a.b.c a .b .c n
 
1. Efectuar las siguientes operaciones:
a)
1
5
6
3
2







 d)
3
4
8
5
.
5
8












g) 2
2
3
8
4
4
6
2
3
7
1
.
9
1
.
9
1
.
4
1
4
1
.
9
1
.
4
1
.
7
1



























































b)
3
6
5
9
1
3
2







 e)
3
2 4
1 2
4 3
.

 
   
 
   
   
 
 
h)
3
0
5
4
2
4
3
2
5
2
1
.
3
1
.
4
1
.
2
1
2
1
.
3
1
.
2
1





























































c)
2
4
5
5
2
1








 f)
4
3 3
2 1
7 2

 
   

 
   
   
 
 
i) 2
2
4
2
2
2
5
3
3
5
1
.
4
1
.
5
1
.
2
1
8
1
.
2
1
.
4
5
.
4
1



















































2. Efectuar las siguientes potencias:
a)  4
3
2 b)
3
3
2
4
2
5
2
4
.
3
.
2
3
.
4
.
3
.
2









c)
2
2
2
4
3
1
.
2
2
3
.
3
2































d)
3
2
3
2















e)
3
4
2
5
.














b
a
c
c
ab
f)
3
10
1
.
6
.
6
5
6
1
.
4
.
4
3












g)
   
   4
3
3
2
2
3
3
2
2
.
3
3
.
2
h)  0
3x
a
i) 2
3
3
3
3
3
1
.
2
1
.
2
3
1
.
3


















j)
2
5
6
5
3




















PROPIEDADES

7
RADICACIÓN
1) n
m
n m
a
a  2) n
n
n
b
.
a
ab  3) n
n
n
b
a
b
a

4) n
.
m
m n
a
a  5)
n q
n
.
m mq
a
a  Siendo m, n 
+
y n > 1
1. Obtenga la raíz, el producto o el cociente en los siguientes ejercicios:
a) 81 e) 5
243

 i) 6
.
24 m)
4
4
4
324
b) 3
001
,
0
 f) 36
.
16 j) 3
3
25
.
5 
 n) 3
3
24
3
c) 4
625
16
g) 3
3
2
4 
 . k) 4
4
9000
.
90 o) 3
3
9
72
d) 3
64
 h) 4
4
12
.
108 l)
5
45
2. Simplifique el radical:
a) 2
48x d) 3 3
81y
 g) 5 10
24
96 y
x

b) 3 6
54x e) 6
16x h) 3 8
9
135 b
a
c) 3 8
8c f) 3 12
27x
 i) 4 9
4
16
16 Z
y
x
3. Efectuar la operaciones indicadas:
a) 5
2
5
6
5
3
5 

 b)
729
900
81
400
36
25
16
9 x
x
x
x



c) b
a
a
b
a
2
3
8
5
4
3
6
8 


 d) 3
3
3
3
1038
16
250
54 


f) b
a
b
a
b
a
b
a 






 5
3
5 g) b
a
b
b
a
a 2
4
3
2
2
1





h) 3
3
3
3
3
5
3
2 a
a
a
a
a 


 i) 3
3
3
3
5
2
5
3
4
1
2
4
1
5
2



j) 3
3
3
3
5
375
320
24 


4. Efectuar las operaciones indicadas:
a) 3
3
3
5
.
4
.
3 b) 4
3
6
3  c)
2
3
3
2
4
3
.
3
2




















d)
4 3 8
4
6
c
b
a
e) 4
3
2
.
5
.
3 f) 5
2
5 3 1
x
y
x  g)  
2
6
5
3
2
2
3
.














xy
y
x h)
a b c ab
x
PROPIEDADES

8
i) 3
5 1
.
.
ab
ab
ab j) 3 2
3
n
mn  k) 4 3
4
2
5
3
6
3 z
y
x
z
xy  l) 3
625
m) 3
4
2
3
.
3
4
.
2
3
n)
2
5
3
2
















z
xy
o) 3
4
4
2
5
. 



















a
b
b
a
b
a
5. Racionalizar las fracciones:
a)
5
2
5
b)
 
6 2
b
a
b
a


c)
3
2
4

d)
x

5
3
e)
3 xy
xy
f) 3
2
2
ab
b
a
g)
b
a
b
a


h)
5
3
2
2


i)
4 3
2
2
z
y
x
xyz
j)
5
2
3

k)
n
m
n
m
2
2


l) 3
3
3
6
4

m) 3
3
2
5
6

EXPRESIONES ALGEBRAICAS – POLINOMIOS
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas son o no polinomios, e indique por qué?
a) 15
8
6 2

 x
x f) 2
2
8
3 y
x  k) 10
7
8 

 y
x
xy
b) 3
2
4 y
x g) x
x
3
1
 l) 5
6
3 2

 x
x
c) 200
 h) p
mx
bx
ax 

 2
3
m) 4
5
6 2
1
3
1

 x
x
d)
y
x
5
 i)
x
4
 n) 4
3
5
10 1
2
3


 


y
y
y
e) x
16 j)
4
2
3
2


x
x
o)
4
3
5
2
3
4
2
5 3
2
2



y
x
y
x
2. Dados los polinomios, indique si es un monomio, binomio, trinomio; determine el grado del
polinomio y ordénelo en forma decreciente:
a) 5
3
6 2

 x
x b) 2
2
3
2
3 y
x
xy  c) 5
2
6
8
3
4 x
x
x
x 




d) x
y 4
3  e) xyz
z
x 
 2
2
5
3 f) 3
2
4
7
4
2 x
x
x 


g) 3
2
4
10
6
3 x
x
x 

 h) 4
2
8
12
6 x
x 
 i) 5
3
4
6
5
2 x
x
x 



9
j) 28
 k) 2
3
7
5
4
6 x
x
x 


 l) 3
3
2
2
2
3 y
x
xy
y
x 


m) x
4 n) 3
7xyz
 o) 4
2
3
10
7
4
3
5
2
x
x
x



3. Hallar el valor numérico de los polinomios para cada valor de x indicado:
a)   8
5
10
6 2
3



 x
x
x
x
P 2


x ;
3
1

x
b)   5
2 2
4




 x
x
x
x
Q 1


x ; 0

x
c)  
2
1
2
3
3
10
4
3 2
3




x
x
x
x
R
2
1

x ;
3
1


x
d)   3
2
3
4
8
5 x
x
x
x
T 


 3

x ; 3


x
e)  
2
1
4
3
2
2
3
5




 x
x
x
x
x
A
2
1


x ;
2
3

x
f)   4
6
8
3 2
3




 x
x
x
x
B
3
2


x ; 2

x
g)   9
5
8
4
3 2



x
x
x
C
2
3


x ;
3
2

x
h)  
4
1
5
2
3
2
3





x
x
x
x
M
3
4

x ; 1


x
4. En los siguientes ejercicios:
a) 3
8
4
2 2
3


 x
x
x ; 10
7
6
5 2
3


 x
x
x
b) 3
2
5
8
3
6 x
x
x 

 ; 8
4
4
6 2
3
4




 x
x
x
x
c) 4
3
6
8 2
4


 y
y
y ; 16
2
5
3 2
3
4


 y
y
y
d) 2
4
5
3 2
4
5



 x
x
x
x ; 8
3
3
4 2
3
5




 x
x
x
x
e) 7
5
2 2
3


 x
x
x ; 7
3
5
4 2
3


 x
x
x
1) sume los dos polinomios
2) reste el segundo polinomio del primero
3) multiplique por 3 el segundo polinomio y réstele 2 veces el primer polinomio.
5. Dados los polinomios
  5
11
2
7 2
3



 x
x
x
x
P   1
7
4
4 2
3



 x
x
x
x
Q y   3
5
2
3 2
3




 x
x
x
x
R . Determinar:
a)      
x
R
x
Q
x
P 
 b)
     
2
3
3
2
5
4 x
R
x
P
x
Q

 c)      
x
P
x
Q
x
R 



10
d)      
x
R
x
Q
x
P 3
2 
 e)      
3 4
P x Q x R x
 
 
  f)
     
3
2
3
3
2 x
P
x
Q
x
R


g)      
3
2
3
2
x
R
x
Q
x
P 

 h)
     
4
3
2
x
R
x
Q
x
P

 i)      
P x Q x R x
 
6. Dados los polinomios  
3
2
5
3
4
3
,
3
2
2
3
y
x
xy
y
x
y
x
P 

  
3
4
5
2
,
3
2
3
2
y
x
xy
y
x
y
x
Q 



Determinar: a)    
y
x
Q
y
x
P ,
,  b)    
y
,
x
Q
y
,
x
P 5
4  c)
   
4
,
3
,
2 y
x
Q
y
x
P

7. a) ¿Cuál polinomio hay que restar de 8
5
4
6 2
3


 x
x
x para que de como resultado dos
veces el polinomio 3
2
5
8
3
6 x
x
x 

 ?
b) ¿Cuál polinomio hay que sumar a y
y
y
y 5
3
10
2
5 4
2
3



 para que de como resultado
tres veces el polinomio 3
4
2
2
8
4
3
5 y
y
y
y 

 ?
8. Efectuar el producto en los siguientes ejercicios:
a)   
4
2
3
5 x
x
 g)  
1
2
1
2
1
2
5
4
3 





 n
n
n
n
x
x
x
x
x
b)  
2
3
2
6
3
.
5 y
y
y 
 h)  
4
2
2
4
3
7
3
4 n
n
m
m
n
m 


c)  
2
2
2
3
5
2
2
y
xy
x
y
x

 i)  
3
2
2
2
3
3
2
4
7
5
3
.
5 xy
xy
a
y
ax
x
xy
a 



d) 










2
3
2
4
.
6
2
2
4 b
ab
a
ab j)  
4
2
2
1
3
.
.
3
.
4 




 n
m
n
m
n
m
m
b
a
b
a
b
a
b
a
e)  
1
5
7
. 3
2


 x
x
x k) 











10
5
3
3
5
14
.
7
5 4
2
2
4
6
3
4
3
axy
y
x
y
ax
y
x
y
x
a
f)  
1
1
2
5
4
3 



 n
n
n
n
x
x
x
x l)  
1
2
1
2
2
2
2
1
3
5
3 





 x
x
x
x
x
a
a
a
a
a
9. En los siguientes ejercicios, multiplicar el primer polinomio por el segundo polinomio:
a) x
x
x
x 4
5
8
7
6 3
4
2



 ; 8
5
4 2

 x
x b) 2
2
4
3 y
xy
x 
 ; y
x 5
3 
c) 2
3
12
6
9
8 x
x
x 

 ; 3
2 
x d) 3
2
6
3
4
2 x
x
x 

 ; 5
6
2

 x
x
e) x
x
x 7
3
2 3
4


 ; 2
4 
 x f) 4
5
2

 x
x ; 1
3
2 3

 x
x
g) 3
15
10
5 2
3
4



 x
x
x
x ; 4
3
5 2

 x
x h) y
x
xy
y
x 2
2
3
3
6
2
5
4 

 ; y
x 2
3 
i) 4
3
2
1
2 





 a
a
a
a
m
m
m
m ; 2
1
3 



 a
a
a
m
m
m j)
3
5
3
5
4
2
3
2
3
ab
b
b
a
a


 ;
3
2
2
b
a


11
k) 1
2
1
2
2
2
2
5
3 




 x
x
x
x
a
a
a
a ; 1
3
3
1
3
6
5
3 


 x
x
x
a
a
a
l) 5
4
3
2
4
2
3
5
3
3
5
9
15 n
mn
n
m
n
m
n
m
m 



 ; n
m 2
3 
m) n
n
n
n
a
a
a
a 2
1
2
2
2
3
2
2
4 

 


; 1
2 
 n
n
a
a
n) 3
1
1
2
25
20
5
3 






 m
m
m
m
m
a
a
a
a
a ; a
a 5
3 2

10. En los siguientes ejercicios, efectuar la división del primer polinomio entre el segundo
polinomio:
a) 20 12 16
3x y z ; 9 3 6
x y z l) 5
6
3

 y
y ; 2
3
2

 y
y
b) 5
4
2
.
.
3 y
x

; 12
8
4
.
.
3 


y
x m) 2
2
3
2
4 y
xy
x 
 ; y
x 3
2 
c) 3
4
2
16
28
8 x
x
x 
 ; 2
4x n) 6
7
3

 x
x ; 2

x
d) 3 2
48 30 18
y y y
   ; y
6 o) 32
46
3
11 2
5
3


 x
x
x ; x
x 6
3
8 2


e) 4
13
3 2

 y
y ; 4

y p) 1
1
2
6
5 




 m
m
m
m
x
x
x
x ; 2

m
x
f) 2
5
12 2

 x
x ; 2
3 
x q) 5
4
3
2
3 





 n
n
n
n
x
x
x
x ; x
x 
2
g) 3
3 2
3


 a
a
a ; 2

a r) 2
1
2
3
8
2 




 x
x
x
x
a
a
a
a ; x
x
x
a
a
a 
 
 1
2
2
3
h) 5
4
2 2
3

 x
x ; 3
2

x s)
3
5
8
5
6
2
3
2
3
ab
b
b
a
a


 ;
2
3
4
b
a

i) 2
4
2
4
3
3
32
24 c
b
a
c
b
a 
 ; 3
2
8 c
ab t)
6
36
5
6
2
2
b
ab
a

 ;
2
3
b
a

j) 8
7
2 3

 x
x ; 4
3 
x k) 3
3
3
5
2
4
6
3
21
49
28 z
xy
z
y
x
z
y
x 
 ; 2
3
7 z
xy

11. En las siguientes expresiones, eliminar los signos de agrupación y reducir los términos
semejantes:
a)    
c
b
a
c
b
a 4
3
2
2
5
3 




b)  
8 6 3 2 4
x y x y y
    
 
 
c)  
 
10 5 4 12 3 2 6 8
x y x x y y x y
        
 
 
d)    
 
7 2 3 9 3 4 5 6 3 4
x y x x y x y x y x
           
 
 
e)    
 
2 9 2 4 8 6 4
x y x y x y x y
       
f)    
   
10 5 7 11 3 4 2 6 5 7 2
a c b a b c c a b b a a b c
             
 
 
g)    
   
6 9 30 4 2 7 9 17 2
m m n m n ñ ñ n m n ñ m n ñ
             
 
 

12
h)
3 5 3 3 5 5 7
1
4 8 8 16 8 8 2 24
x x x x x
 
 
   
           
 
   
 
   
 
 
i)
1 3 5 7 9 1
2 2 2 2 2 2
a b a b c c a b c
 
 
 
        
 
 
 
 
 
 
PRODUCTOS NOTABLES – COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACIÓN
1)   2
2
2
2 b
ab
a
b
a 


 7)   3
2
2
3
3
3
3 b
ab
b
a
a
b
a 




2)   2
2
2
2 b
ab
a
b
a 


 8)   3
2
2
3
3
3
3 b
ab
b
a
a
b
a 




3)    2
2
b
a
b
a
b
a 


 9) b
a
b
a
b
a



 2
2
4)      ab
x
b
a
x
b
x
a
x 




 2
10) b
a
b
a
b
a



 2
2
5)      cd
x
bc
ad
abx
d
bx
c
ax 




 2
11) 2
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a





6)   bc
ac
ab
c
b
a
c
b
a 2
2
2
2
2
2
2







 12) 2
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a





1. Efectuar los siguientes productos y cocientes notables:
1)  2
7

x 2)   
y
3
y
y
3
y 2
2


 3)    
2
2
b
a
b
a
a
b 


4)  2
6 b
a  5)   
12
8 
 x
x 6)   
2
9
2 2
4
2


 x
x
x
7) 2
2
5
3 x
ab  8)  
6
7 3
3

 a
a 9)   
x
m
x
x
m
x 2
2
2
2
6
6 

10)  2
8
10
y
x  11)   
10
6 4
4

 x
x 12)  2
2
1
2 
 x
x
13)  2
2
4
3 x
a
 14)   
8
11 
 a
a 15)  2
2
4
5
3
4 
 x
x
16)  2
1

 X
X
a
a 17)   
10
1 2
2

 n
n 18)  2
4
2
3
2 z
z
y
y 

19)
2
4
3







y
x
20)   
3
7 
 ab
ab 21)  2
6
3
3 x
x 

F
Ó
R
M
U
L
A
S

13
22)
2
3







x
ax 23)   
5
8 
 xy
xy 24)
2
3
1








a
x
x
a
25)
2
3
2
5
3







ab
ab
26)   
xy
xy 

 10
6 27)  3
5
4 
x
28)
2
4
3
2
3
4 







 x
x 29)   
3
2
3
2
5
9 n
m
n
m 
 30)  3
1
2 
x
31)  2
2
10
4 x
x  32)   
3
4
8
3 
 x
x 33)  3
3
x
x 
34)  2
8

x 35)

















 6
15 4
3
4
3
x
x
x
x
36)
3
3
4
3







y
x
37)  2
10
10xy
x  38)   
8
2
10 
 x
x 39)  3
3
2 y
x 
40)
2
2
2









a
x
x
a
41)   
7
4
6
3 2
2

 y
y 42)
3
2
2









x
y
y
x
43)  2
3
2 

 x
x
a
a 44)   
6
5
7
2 2
2

 m
m 45)
3
2
2
2
2 








a
b
a
46)
2
2
2
5









x
y
y
x
47)   
12
8
4
7 2
2

 x
x 48)  3
3
2
2
5 y
x 
49)  2
3
x
x  50)   
9
6
8 2
2

 a
a 51)
3
3
1
3
2








 x
x
52)
2
3









a
b
b
a
53)   
10
6
4
3 
 y
y 54)
3
2
5
5
2









y
x
xy
55)  2
2
5
3 x
a
x  56)   
5
3
8
4 2
2

 x
x 57)
10
100
2


a
a
58)
2
2
1










a
a
x
y
y
x
59)   
8
4
10
3 2
2

 n
m
n
m 60)
8
83
3


x
x
61)   
4
4 
 m
m 62) 












 4
2
5
6
5
2 x
x
63)
1
2
1
8 3


x
x
64)   
1
2
1
2 
 a
a 65)   
2
2
m
m
n
n
m
m 


 66) n
n
n
n
y
x
y
x

 2
2
67)   
9
3
9
3 
 m
m 68)   
7
7 


 b
a
b
a 69) 4
8
1
1
x
x



14
70)   
a
a 
 1
1 71)   
4
4 


 x
y
y
x 72)
y
x
y
x
3
2
27
8 3
3


73)   
5
5 2
2

 x
x 74)   
6
5
6
5 2
2



 x
x
x
x 75)
y
x
y
x
3
27
2
3
6


76)   
8
8 3
3

 y
x
y
x 77)   
ab
b
a
b
ab
a 


 2
2
2
2
78)
y
y
5
6
125
216 3


79)   
x
xy
x
xy 
 80)    
5
1
1 2


 x
x
x 81) 2
4
3
9
x
x


82)   
1
1
1
1
2
2 




 x
x
x
x
a
b
b
a 83)     
4
4
3
3 


 a
a
a
a 84) 4
3
8
6
10
9
100
81


a
b
a
85)     
3
2
3
2 


 y
y
y
y 86)    
4 2
3 3 3 9
x x x x
   
87)     
2
5 2 2
x . x x
   88) 14 14
2 2
x x
  
 
  
  
2. Factorizar los siguientes polinomios:
1) 2
2
2
3
n
m
n
m  2) 168
26 2
2
4

 y
x
y
x
3) 4
2
3
12
6
3 x
x
x 
 4) 90
2
4

 x
x
5) 2
2
ab
b
a  6) 105
8
2

 a
a
7) b
a
a 3
4
16
8  8) 250
35
2

 m
m
9) 3
4
5
3
2
3
12
4
8 c
b
a
c
b
a
b
a 
 10) 56
2

 x
x
11) 6
3
2
5
5
3
4
4
3
10
8
4 z
y
x
z
y
x
z
y
x 
 12) 192
16 2
4

 y
y
13) 4
3
2
2
3
10
5
15
25 y
xy
y
x
y
x 

 14) 80
2
2

 m
m
15) 3
4
4
2
5
3
3
2
27
18
9 z
y
x
z
y
x
z
y
x 
 16) 20
22
6 2

 x
x
17) 2
3
2
2
2
3
9
3
3
6 n
m
n
m
n
m
n
m 

 18) 8
26
15 2

 x
x
19) 3
2
2
4
2
2
3
40
24
8
16 y
x
y
x
y
x
y
x 

 20) 6
14
12 2

 x
x
21) bc
bm
ac
am 2
3
4
6 

 22) 30
8
6 2

 x
x
23) z
y
xz
xy 

 24) 24
23
5 2

 x
x
25) bc
bd
ad
ac 

 26) 32
60
7 2

 x
x
27) b
a
x
a
bc
cx 2
2
2
2
3
2
3
2 

 28) 20
49
11 2

 x
x
29) bd
bc
ad
ac 2
2 

 30) 36
36
8 2

 x
x

15
31) an
am
n
m 

 32) 9
15
4 2

 x
x
33) z
x
z
y
x
y 2
2
3
3
2
2 

 34) 2
3
2 2

 x
x
35) 1
2
1
2 



 n
n
n
a
a
a 36) 1
2 2
2


 b
ab
a
37) vz
wz
wy
xz
vy
xy 



 38) 2
2
6
9
1 n
mn
m 


39) acy
bcx
aby
bcy
acx
abx 



 40) 4
2
2
2
16
8 y
x
n
mn
m 


41) 6
2
2
16
9 z
y
m  42) bc
c
b
xy
y
x 12
9
4
4
4 2
2
2
2





43) 6
2
4
6
81
49 n
m
y
x  44) 2
2
2
2
9
6
1
4
12
9 y
x
xy
n
mn
m 




45)   1
2

 b
a 46) 125
75
15 2
3


 x
x
x
47)  2
4
2
n
m
b
a 
 48) 3
4
5
6
27
54
36
8 x
x
x
x 


49)    2
2
y
x
n
m 

 50)
8
4
6
27
3
9
2
6
2
3
4
6
c
b
c
b
a
c
b
a
a



51) 36
16
9 8
4

b
a
52) 3
2
2
4
6
6
12
8 y
y
x
y
x
x 


53) 4
2
8
25
4
b
a
x
 54) 9
6
6
4
3
2
216
108
18
1 b
a
b
a
b
a 


55)
4
25
6
4
4
2 b
a
y
x  56) 6
4
2
343
882
756
216 a
a
a 


57) x
x
b
a 6
6
64  58) 3
3
2
2
2
3
3
3 n
a
mn
a
n
am
m 


59) 4
4
49
81 y
x  60) 3
3
2
2
8
6
12
1 b
a
ab
b
a 


61) 6
3
2
2 y
xy
x 
 62) 3
2
64
48
12
1 a
a
a 


63) 2 2
4 4
x xy y
  64) 9 6 5 3 10 15
18 108 216
a a b a b b
  
65) 2
25
20
4 y
y 
 66) 3
64 m

67) n
m
n
m 2
2
4
6
1
9 
 68)    3
3
3
4 y
mn 
69) 2
2
4
9
2
9
y
y
x
x

 70) 125
6

x
71) ab
b
a
2
4
4
2
2

 72) 9
6
216
8 n
m 
73) z
xy
z
y
x 2
2
4
2
4
1

 74) 6
3
27 b
a 
75) 4
2
2
16
8
1 y
x
xy 
 76)    3
3
b
a
b
a 



16
77) 2
4
2
2
25
1
25 ab
b
a 
 78) 1
1000 3

x
79)    2
1
1
4
4 a
a 


 80) 729
8 6

x
81) 20
9
2

 x
x 82)    3
3
2
1 

 x
x
83) x
x 15
250
2

 84)    3
3
3
2 

 m
m
85) 20
2
4
2

 xy
y
x 86)    
3 3
2 2
x x
  
87) t2
– 5t + 4 88) m4
– 13m2
+ 36
89) u2
– 7 90) 18 – 2x2
3. Hallar el MCD y el mcm de:
1) 3
2
16 y
x ; y
x3
8 ; 4
24xy 2) 2
3
9 b
a ; 5
2
27 b
a ; 3
4
36 b
a
3) 6
2
2

 x
x ; 2
3
2

 x
x ; 4
2

x 4) bc
a2
5 ; c
b
a 3
2
15 ; 5
3
30 b
a
5)  
2
2
y
x  ;  
4
4
y
x  6) 2
3
2
2 ab
a  ; 4
4
6
6 ab
b
a 
7) z
y
x 2
3
12 ; 4
5
48 y
x ; 3
3
24 y
x
 8)  
2
15
5 x
xy  ;  
2 2
2 6 5 15
y xy xy x
 
9) x
x 2
2
 ; 2
3
2x
x  ; 4
2

x 10) 3
3
y
x  ;  3
y
x 
11) 2
4
4 y
x  ;  2
2
2 y
x  12)  2
2
1

x ; 5
4
2

 x
x ; 1
4

x
13)
2
1 a
 ;  2
1 a
 ; 3
1 a
 14) x
x 25
3
 ; 15
2
2

 x
x
15) 6
13
6 2

 a
a ; 8
14
3 2

 a
a ; 2
9
12
4 a
a 

OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES
1. Dadas las siguientes expresiones racionales, reducirlas a su mínima expresión:
1) 6
2
3
12
a
a
2) 3
5
5
2
21
7
y
x
y
x
3) 6
7
7
6
30
36
t
s
r
t
s
r

4) 2
5
36
9
x
x
5) 2
4
2
2
10
9
b
a
b
a
6)
z
y
x
z
y
x
6
6
4
2
3
15
20
7)
4
4
2
2


x
x
8)
xy
x
y
x


2
2
2
9)
4
4
4
2
2



y
y
y
10)
cd
c
d
c


2
5
5
11)
21
4
28
3
2
2




t
t
t
t
12) 2
2
2
2
4
9
2
6
y
xy
x
y
xy
x





17
13)
12
15
8
2
2




a
a
a
a
14)
35
13
12
7
11
6
2
2




x
x
x
x
15)
x
x


4
16
2
16)
3
27
3


x
x
17)
25
5
2


a
a
18) 3
3
8
2
y
x
y
x


2. Obtenga los siguientes productos y reducirlos a su mínima expresión:
1) 2
2
4
3
10
21
7
5
x
y
y
x
 2)
d
c
b
a
c
b
d
a
27
32
56
45
 3) 4
3
2
3
8
16
15
a
b
b
a

4) 2
2
2
10
63
42
5
z
y
x
y
x
z
 5)
w
s
r
w
uv
w
uv
t
s
r
2
3
4
2
2
3
3
3
15
11
33
20 
 6)
x
yz
z
xy
z
y
x
12
5
10
3
9
8
3
2
2


7) 2
2
2
3
2
27
20
25
36
w
y
z
x
wz
xy
 8)
c
ab
b
ac
b
a
c
15
7
63
100
16
27
3
2
2

 9)
9
3
3
5
5
12
2
2






x
x
x
x
x
10)
c
c
c
c
c
4
12
10
3
25
9
6 2
2






11)
t
t
t
t
t
t
4
12
9
6
9
15
2 2
2
2







12)
2 2
2 2
9
3
x y x y
x y x y
 

 
13)
a
b
ab
b
b
b
a
b
ab
a





 4
16
3
4 2
4
2
2
2
2
14) 2
2
2
2
2
2
2
2
12
6
2
4
3
y
xy
x
y
xy
x
y
xy
x
y
xy
x









15)
y
x
y
x
y
xy
x
xy
y
xy
x
y
x









2
3
4
3
2
12
5
3
16
9
2
2
2
2
2
2
16)
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 3 4 15 4
6 13 5 2 7 3 2 4
ab a a ab b b a
a ab b a ab b a ab
   
 
    
3. Obtenga la división indicada de expresiones racionales y dar los resultados en su mínima
expresión:
1)
xy
z
x
y
xz
12
27
36
81 2
2
3
 2)
w
uv
t
rs
uvw
t
s
r
3
2
3
4
4
3
25
18
15
24
 3) 2
2
2
3
3
3
2
3
6
5
2
15
bc
a
z
y
x
abc
z
y
x

4) 4
6
3
3
6
5
2
25
18
55
21
u
t
s
r
tu
s
r
 5)
35
2
10
3
21
4
14
9
2
2
2
2









x
x
x
x
x
x
x
x
6)
y
x
y
xy
x
x
y
y
x
9
6
6
2
2
4
4 2
2
2
2






7)
xy
x
y
xy
x
y
xy
y
x
4
2
2
2 2
2
2
2
2
2






8)
2 2
2 2
10 29 10 10 19 6
6 23 20 25 10 15
a a a a
a a a a
   

   
9)  
y
y
y
y
y
y
12
8
4
4
3
8
4
18
9
2
2
3







10)  
8
4
2
8
4
4
8
7 2
2
3
6







x
x
x
x
x
x
11) 2
2
2
2
2
2
2 b
ab
a
b
a
b
a
b
a
a
b
a








12)
4 3 3 3 3
2 2 2 2
27
9 36 2
c a b ac bc
a b ac bc a ab b
 
 
   

18
4. Efectué la suma o resta indicada en cada una de los siguientes ejercicios y exprese el
resultado en términos mínimos:
1)
a
a
a
a
a
a 3
2
1
2
3





2)
yz
y
z
xz
z
x
xy
y
x 




3)
4
5
6
3
3
1
2
2






t
t
t
t
t
4)
y
x
y
x
y
x
y
x





2
2
2
2
5)
y
x
y
x
y
x
y
x





6)
s
t
t
s
t
t
t
s
t






 5
5
4
2
2
2
7) 2
2
3
9
2
18
2
1
a
a
a
a
a





8)
10
3
3
6
5
15
8
4
2
2
2
2











x
x
x
x
x
x
x
x
x
9)
x
x
x
x
x
x
x
4
2
2
3
16
8
5
2
2
2







10)
2
2
4
8
2
2
2
2







b
a
b
b
a
ab
b
a
b
a
5. En cada una de los siguientes ejercicios obtenga una expresión racional simple reducida a
su mínima expresión, equivalente a la dada:
1)
y
x
y
x
1
1
1
1


2)
a
b
b
a
a
b
b
a


3)
1
2
1
2
2
2
2



y
x
y
x
y
x
4)
1
1
1



t
t
t
5)
x
x
x
x
x
x








1
1
1
1
1
1
1
1
6)














a
b
b
a
.
b
b
a
b
b
a
b
a
3
2
1
7)
h
x
h
x
1
1

 8)
 
h
x
h
3
3
1
1
1


9)
h
x
h
x 2
3
1
2
3
3
1



 10)
h
x
h
x 5
2
1
5
2
2
1



 11)
1
1
1
1
1
x


12)
1
1
1
1
1
z


6. Escriba la expresión dada como una expresión racional simple con exponentes positivos
únicamente:
1) 2
2
1
1
y
x
y
x

 

2) 2
2
1
1






b
a
b
a
3) 1
1
2
2
2
2






ab
ba
b
a
a
b
4) 4
2
2
2
1
9
4
3
2






y
x
x
xy
x
5)
1
1
1
1
1 












y
x
y
x
7. En los siguientes ejercicios, efectuar y reducir a su mínima expresión algebraica el
resultado:

19
1) 2
2
2
2
2
3
4
4
y
xy
x
z
y
xyz
x
z




2)
27
9
3
27
2
3



x
x
x
3)
x
x
x
x
x 3
1
1
2
1
9
2
6
2
2






4)
x
x
x
x 3
1
3
2
3
2



 5)
2
3
4
5
2


 x
x
x
6)
x
y
y
x
y
x
x





1
1
2
2
2
7)
x
x
x
x
x
x
x
25
5
7
10
2
125
2
3
2
3
3





8)
30
24
2
16
5
2
2
2
2







x
x
x
x
x
x
x
9) 















x
x
x
x
1
1
1
2
10)
8
2
8
2
4
2
2
2
2
2







y
y
y
y
y
y
y
11)
x
x
x
x
x 4
3
2 2
2




12)
2
3
4
3
2
1
2










 x
x
x
13)
12
7
3
6
5 2
2




 x
x
x
x
x
14) 
















a
b
b
a
a
b
b
a
2
2
2
2
15)
b
a
ab
b
a
b
a
b
a
b
a






16)
a
a
a
a
a
a
a
a







2
2
1
1
2
2
3
4
17)
3
5
1
5
3
4
2
3 2







x
x
x
x
x
x
18)
4 3
3 2
3 8 24
2 9 18
x x x
x x x
  
  
19)
bd
bc
ad
ac
bd
ad
bc
ac






3
2
6
3
6
2
20) 



















y
x
x
y
x
y
y
x 1
1
2
2
2
21)
x
x
x
2
1
4
1
1
4
2
1
2
3



22) 
















1
2
8
5
1
2
6
3
x
x
x
x
23)   











 1
2
4
9 2
2
x
y
y
x
y
x 24)
 
4
4
4
4
2
2
2
y
x
y
x
xy
y
x




25) 






















 4
3
1
4
4
5
2
4 2
y
y
y
y
y
y
26)
20
9
5
30
11 2
2




 x
x
x
x
x
27)
     
h
x
x
h
x
h
x 5
5 3
3





28)
3
7
9
5
9
6
6
2
2
2







x
x
x
x
x
x
29) 









 y
x
y
x
xy
y
x
x
3
2
2
2
3
3
2
1
1
1
5
30)   












ab
b
ab
a
ab
b
ab
a
b
a 2
2
2
2
2
2

20
POLINOMIOS
TEOREMA DEL RESTO O RESIDUO
Teorema del Resto: si se divide un polinomio ( )
P x entre X C
 el residuo es igual a ( )
P C
 si
( ) 0
P C
  entonces X C
 es un factor.
1. Determinar el resto o residuo sin efectuar la división en los siguientes ejercicios:
a)    
1
:
3
3 2
3
5



 x
x
x
x R. 0 b)    
2
:
3
14
5 3


 x
x
x R. 15
c)    
1
:
3
3 2
3
5



 x
x
x
x R. 4 d)    
2
:
5
3 2
3



 x
x
x
x R. 3
e)    
1
:
6
5 2
4


 x
x
x R. 2 f)    
3
:
8
2
5
2 3
4



 x
x
x
x R. 25
g)    
2
:
1
3
3


 x
x
x R. 15 h)    
2
:
4
5
3 2
3



 x
x
x
x R. 26
i)    
1
:
3
2
3


 x
x
x R. 2 j)    
3
:
8
4
6 2
4



 x
x
x
x R. 7
k)    
3
:
3 2
4


 x
x
x
x R. 51 l)    
3
2
:
1
2
5
2 2
3



 x
x
x
x R. -22
m)  
1
2
:
3
1
2
2
3










 x
x
x
R.
48
31
n)    
4
2
:
8
6
4
2 2
3



 x
x
x
x R. -4
o)   










2
1
:
4
7
4
2 2
3
4
x
x
x
x
x R.
2
3
p)   







2
1
:
13
64 6
x
x R. 14
q)    
10
15 8 1
x x : x
   R. – 6 r)    
1
:
4
5
3 41
44


 x
x
x R. 2
s)    
2
:
512
9

 x
x R. 0 t)   
1
:
1991
1990
1989
1988 2
3



 x
x
x
x R. – 2
u)    
4
:
10
20
10
4
2 3
4
5




 x
x
x
x
x R. – 314 v)    
3
:
17
4
3
2 2
3



 x
x
x
x R. – 2
w)    
1
3
:
1
4
6 2
3



 x
x
x
x R. 0 x)    
2
:
2
7
4 2
3



 x
x
x
x R. 4
y)    
3
:
1
4
5
7
3 2
3
4
5




 x
x
x
x
x R. -8 z)    
3
2
:
3
2 2
3



 x
x
x
x R. 0
2. Determinar el resto o residuo sin efectuar la división en los siguientes ejercicios:
a)   
2
:
3
5
3
2 2
3
4



 x
x
x
x R. 3 b)   
2
7
2
7
4
7 3
5




 x
x
x
x R. 0
c)   
3
:
2
3 2
4


 x
x
x
x R. 3
2 d)   
2
2
:
2
2
2 3
5



 x
x
x
x R. 0
e)   
2
:
2
2
2 3
4



 x
x
x
x R. 2
6
14  f)   
2
2
:
2
2
2 3
5



 x
x
x
x R. 2
2

21
g)  
5 4
3
5 3 5 5 3
5
x x x : x
 
   
 
 
R. 5
6
 h)   
3
:
6
11
6 2
4
6



 x
x
x
x R. 0
3. Use el teorema del factor y responda cada una de las preguntas:
a) ¿Es  
4

x un factor de 12
5
6
2 2
3


 x
x
x ? R. Si
b) ¿Es  
1

x un factor de 10
6
4
5 2
3
4



 x
x
x
x ? R. No
c) ¿Es  
3

x un factor de 15
5
6
2 2
3


 x
x
x ? R. Si
d) ¿Es  
3

x un factor de 3
8
9
4 2
3


 x
x
x ? R. Si
e) ¿Es  
3

x un factor de 243
5

x ? R. Si
f) ¿Es  
a
x  un factor de 6
6
a
x  ? R. No
g) ¿Es  
1
2 
x un factor de 1
4
7
6 2
3


 x
x
x ? R. Si
h) ¿Es  
3

x un factor de 50
50
3

x ? R. Si
i) ¿Es  
3

x un factor de 49
49
3

x ? R. No
j) ¿Es 






3
1
x un factor de 2
7
6 2
3


 x
x
x ? R. No
k) ¿Es 






2
1
x un factor de 2
3
4 2
3


 x
x
x ? R. No
l) ¿Es  
2

x un factor de 4090
12

x ? R. No
m) ¿Es  
3
2 
x un factor de 10
8
3
5
2 2
3
4



 x
x
x
x ? R. No
DIVISIÓN SINTÉTICA O REGLA DE RUFFINI
1. Determine el cociente y el residuo en las siguientes divisiones aplicando la división sintética
o regla de Ruffini:
a)    
2
5
4
3
2 2
3




 x
x
x
x R.  
2
2 6; 7
C( x) x x R x
   
b)    
3
5
8
3



 x
x
x R.  
2
3 1; 8
C( x) x x R x
    
c)   








2
1
:
1
5
4 2
4
x
x
x R.  
3 2
4 2 4 2; 0
C( x) x x x R x
    
d)   










2
1
:
4
7
4
2 2
3
4
x
x
x
x
x R.  
3 3
2 4 5;
2
C( x ) x x R x
   

22
e)      
2
2 3 10 3 14 3
x x x
 
     
 
R.  
2 16; 14
C( x) x R x
   
f)    
1
3
:
4
5 2
3


 x
x
x R.  
2
5 8 8 100
;
3 9 27 27
C( x ) x x R x
    
g) 














 2
3
:
3
1
2
3
2 2
3
3 x
x
x
x
x R.  
2
3 24; 28
C( x) x x R x
    
h)   









5
1
3
2
:
2
4
5 2
3
2
x
x
x
x
x R.  
2 63 561 561
6 ;
10 100 500
C( x ) x x R x
     
i)    
1
3
:
8
10
4
4
3 2
3
4




 x
x
x
x
x R.  
3 2
3; 5
C( x) x x x R x
    
j)  
3
2
1
8
15 2
3
4
6











 x
x
x
x
x R.  
5 4 3
3 5 3
; 5
2 4 8 2 4
x x x x
C( x ) R x
     
k)    
3
3
3 2
3



 x
x
x R.  
2
; 3
C( x) x R x
 
l)    
3
2
1
3
2 2
3




 x
x
x
x R.  
2
9 19
;
2 4 8 8
x x
C( x ) R x
   
m)    
1
2
5
7
3
2 2
3




 x
x
x
x R.  
2
3; 2
C( x) x x R x
    
n)   










3
1
2
2
6 2
3
x
x
x
x R.  
2
6 3 3; 1
C( x) x x R x
   
o) 
















 1
3
:
3
2
2
3
2
3
4 x
x
x
x R.  
3 2 497
6 19 57 165;
3
C( x ) x x x R x
    
p)    
a
x
a
x
a
x
a
ax
x 




 4
3
2
2
3
4
2 R.  
3 2 2 3
2 2 ; 0
C( x) x ax a x a R x
    
q)    
1
2
3
2
4 3
3
6
9




 x
x
x
x R.  
6 3
4 6 9; 7
C( x) x x R x
   
r)    
3
:
17
11
7
3 2
2
4
6



 x
x
x
x R.  
4 2
3 16 37; 128
C( x) x x R x
   
s)    
4
2
1
2
3
2 3
3
6
9




 x
x
x
x R.  
3
6
; 1
2
x
C( x ) x R x
   
t) 













2
3
:
5
2
4 3
x
x R.  
2 131
4 6 9;
10
C( x ) x x R x
    
u)   










2
1
3
2
4
2
3 2 x
x
x
x R.  
9 9 55
;
2 8 16
x
C( x ) R x
    
v)    
2
2
:
10
8
2 2
3


 x
x
x R.  
2
3 3; 16
C( x) x x R x
   

23
w) 


















 2
3
5
2
2
3
2
2
2
3 x
x
x
x
x R.  
2 1858
6 32 186;
5
C( x ) x x R x
    
x) 

















2
1
3
1
2
2
3
x
x
x
R.  
2
5 5 31
;
2 4 8 48
x x
C( x ) R x
   
y)    
a
x
x
ax
x
ax
x 





 6
6
2
2
3
R.  
2
6; 0
C( x) x x R x
   
z)    
2
:
7
4
3 2
4
5



 x
x
x
x R.  
4 3 2
3 7 14 24 48; 103
C( x) x x x x R x
     
RAÍCES ENTERAS O FRACCIONARIAS DE UN POLINOMIO.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y FACTORIZACIÓN.
1. Hallar Las raíces enteras, fraccionarias o imaginarias en las siguientes ecuaciones, o
funciones polinómicas y además factorizarlas:
Ecuación Raíces Ecuación Factorizada
1) 0
6
11
3
2 2
3



 x
x
x R.







2
1
,
3
,
2     0
2
1
3
2
2 








 x
x
x
2) 0
30
49
19 2
3
4




 x
x
x
x R.  
5
,
3
,
2
,
1         0
5
3
2
1 



 x
x
x
x
3) 0
105
176
86
16 2
3
4




 x
x
x
x R.  
7
,
5
,
3
,
1        0
7
5
3
1 



 x
x
x
x
4) 0
120
154
71
14 2
3
4




 x
x
x
x R.  
5
,
4
,
3
,
2        0
5
4
3
2 



 x
x
x
x
5) 0
6
5
2 2
3



 x
x
x R.  
2
,
1
,
3        0
2
1
3 


 x
x
x
6) 0
2
2 2
3



 x
x
x R.  
i
i 
,
,
2       0
2 


 i
x
i
x
x
7) 0
30
11
4 2
3



 x
x
x R.  
5
,
2
,
3 
       0
3
5
2 


 x
x
x
8) 0
30
17
3
2 2
3



 x
x
x R.







2
5
,
2
,
3     0
2
5
2
3
2 








 x
x
x
9) 0
6
19
6 2
3
4
5



 x
x
x
x R.








2
1
,
3
2
,
3
,
0
,
0   0
2
1
3
2
3
6 2















 x
x
x
x
10) 0
56
6
30
3 2
3
4




 x
x
x
x R.  
2
,
4
,
7 
        0
2
2
4
7 



 x
x
x
x
11) 0
3
5
5
2 2
3
4




 x
x
x
x R.







 i
i,
,
2
1
,
3       0
2
1
3 









 i
x
i
x
x
x

24
12) 0
6
13
4
3 2
3



 x
x
x R.







3
2
,
1
,
3     0
3
2
1
3
3 








 x
x
x
13) 0
24
2
5 2
3



 x
x
x R.  
4
,
3
,
2 
       0
4
2
3 


 x
x
x
14) 0
8
10
2
3



 x
x
x R.  
4
,
1
,
2 
       0
4
1
2 


 x
x
x
15) 0
9
15
11
11
2 2
3
4




 x
x
x
x R.






1
,
2
1
,
3
,
3    
2 1
2 3 1 0
2
x x x
 
    
 
 
16) 0
2
7
2
3 2
3



 x
x
x R.








3
1
,
1
,
2      
3 2 1 3 1 0
x x x
    
17) 0
18
45
34
4
4 2
3
4
5





 x
x
x
x
x R.  
3
,
3
,
2
,
1
,
1 


        0
3
3
2
1
2




 x
x
x
x
18) 0
3
3 2
3



 x
x
x R.  
,
3
,
1
,
1
       0
3
1
1 


 x
x
x
19) 0
6
7
3


 x
x R.  
3
,
1
,
2 
       0
3
1
2 


 x
x
x
20) 0
15
13
12
3 2
3
4




 x
x
x
x R.





 




2
3
1
,
2
3
1
,
3
,
5
i
i
   0
2
3
1
2
3
1
3
5 







 









 




i
x
i
x
x
x
21) 0
6
5
53
45
9 2
3
4




 x
x
x
x R.









3
1
,
3
1
,
3
,
2     0
3
1
3
1
3
2
9 















 x
x
x
x
22) 0
1
3
4
12 2
3



 x
x
x R.







2
1
,
3
1
,
2
1
0
2
1
3
1
2
1
12 




















 x
x
x
23) 0
1
4
3
18 2
3



 x
x
x R.








2
1
,
3
1
,
3
1
0
2
1
3
1
18
2














 x
x
24) 0
2
12
17
6
9 2
3
4




 x
x
x
x R.








 2
,
2
,
3
1
,
3
1
   0
2
2
3
1
9
2









 x
x
x
25) 4 3 2
6 31 54 36 8 0
x x x x
     R.






2
1
,
3
2
,
2
,
2   0
2
1
3
2
.
2
6
2















 x
x
x
26) 0
2
5
22
15 2
3



 x
x
x R.
1 2
1
5 3
, ,
 
 
 
 
 
1 2
15 1 0
5 3
x x x
  
   
  
  
27) 0
4
12
49
27
90 2
3
4




 x
x
x
x R.








3
2
,
2
1
,
5
1
,
3
2
0
3
2
2
1
5
1
3
2
90 



























 x
x
x
x
28) 0
2
2
2



 x
a
ax
x R.  
a
,
2     0
2 

 a
x
x
29)     0
1 2
3







 ab
x
ab
a
b
x
a
b
x R.  
b
a 
 ,
,
1      0
1 


 b
x
a
x
x

25
30) 0
40
2
7 3
2
2
3



 a
x
a
ax
x R.  
a
a
a 5
,
4
,
2 
      0
5
4
2 


 a
x
a
x
a
x
31) 0
18
3
3 2


 ab
abx
abx R.  
3
,
2
     0
3
2
3 

 x
x
ab
32) 0
4
4
2
3



 a
x
ax
x R.  
a

 ,
2
,
2      0
2
2 


 a
x
x
x
33) 0
2
3



 a
x
ax
x R.  
a

 ,
1
,
1      0
1
1 


 a
x
x
x
34)   0
4
2
4
2 2



 a
x
a
x R.  
a
,
2
     0
2
2 

 a
x
x
35) 0
2
2 3
2
2
3



 a
x
a
ax
x R.  
a
     0
2
2



 a
ax
x
a
x
36) 0
15
9
5
2 2
3
4




 x
x
x
x R.








 i
i 2
1
,
2
1
,
2
3
,
1      0
2
1
2
1
2
3
1
2 











 i
x
i
x
x
x
37)     0
2
3
2
3 2
2
2
3





 ab
x
ab
b
x
a
b
x R.  
b
b
a 2
,
, 
      0
2 


 b
x
b
x
a
x
38)
3 2
1
0
3 2 6 6
x x x
    R.





 

2
5
1
,
2
5
1
,
2
1
0
2
5
1
2
5
1
2
1
2 







 








 







 x
x
x
39) 0
8
24
20
3 2
3
4




 x
x
x
x R.  
13
3
,
2
,
1 

      0
13
3
13
3
2
1 





 x
x
x
x
40) 0
10
39
56
34
6 2
3
4
5





 x
x
x
x
x R.  
10
,
1
,
1
,
1
,
1      0
10
1
4


 x
x
2. Resuelva los siguientes problemas de acuerdo a su enunciado:
a. Si 3
2 y
 son raíces o ceros del polinomio 24
22
7
4
)
( 2
3
4




 x
x
x
x
x
P obtenga las
otras dos raíces y factorice )
(x
P .
b. Si
1 2
y
2 3
 son raíces de la ecuación 4 3 2
6 25 8 7 2 0
x x x x
     halle las otras dos
raíces y factorice la ecuación.
c. Si 3 3
y  son raíces de la ecuación 4 3 2
3 5 9 6 0
x x x x
     halle las otras dos
raíces y factorice la ecuación.
d. Cuál es el polinomio P( x ) de cuarto grado con coeficientes reales si tiene como raíces
o ceros 1 1 2 2
i, i, i y i
  
e. Obtenga el conjunto solución de la ecuación 4 3 2
3 2 2 8 40 0
x x x x
     si 2 i es una
raíz.
f. Factorizar el polinomio 3 2
3 2 3 2
P( x ) x - x x -
  si x i
 es una raíz.
g. El polinomio 4 3 2
7
x x x ax b
    tiene como raíces 1 2
y  . Hallar a y b, y las otras
raíces. R. 1
a  6
b  3 1
x   4 3
x 
h. El polinomio 4 3 2
7 24
x ax x bx
    tiene como raíces 1 2
y
  . Hallar a, b y las otras
raíces. R. 4
a   22
b  3 3
x  4 4
x 

26
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar las siguientes fracciones:
a)
4
4
3
4
2
2
2
3
4
2
3







x
x
x
x
x
x
x
R.
2
1

x
b)
8
18
11
4
4
3
4
2
4
2
3
4







x
x
x
x
x
x
x
R.
4
3
2
2
2




x
x
x
x
c)
2
5
4
2
3
2
3
3





x
x
x
x
x
R.
2
2


x
x
d)
2
3
3
3
2
2
2
3
2
3






x
x
x
x
x
x
R.
2
3


x
x
e)
60
4
39
6
12
4
3
2
3
4
2
3







x
x
x
x
x
x
x
R.
15
6
3
2



x
x
x
f)
2
3
3
5
3
2
3





x
x
x
x
x
R.
2
3


x
x
g)
18
21
3
12
22
12
2
3
2
3





x
x
x
x
x
R.
 
 
3
3
3
2


x
x
h)
3 2 2 2 4
3 2 2 2 4
x a x a x a
x a x a x a
  
  
R. 2
2
a
x
a
x


i) 3
2
2
3
3
2
2
3
3
3 a
xa
a
x
x
a
a
x
xa
x






R.
a
x
a
x


j) 3
3
3
2
2
3
2
2
b
x
b
x
b
bx
x




R. 2
2
2
2
b
bx
x
b
bx
x




k) 3
2
2
3
3
2
2
3
3
3
2
2
a
x
a
ax
x
a
x
a
ax
x






R.
a
x
a
x
3
2


l)
4
5
36
13
2
4
2
4




x
x
x
x
R.
1
9
2
2


x
x
m)
3 2
3 2
3 12 4
2 8 4
x x x
x x x
  
  
R.
1
2
1
3


x
x
n) 3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
a
x
a
ax
x
ax
x
a
x
a
x






R.
 
a
x
a
x
x


2
o) 2
2
3
3
a
x
a
x


R.
a
x
a
ax
x


 2
2
p)
3
8
3
2
18
21
3
2
3
3





x
x
x
x
x
R.
 








2
1
2
2
3
x
x
VERDADERO VALOR DE UNA FRACCIÓN
Hallar el verdadero valor de las siguientes fracciones para el valor de x indicado:
a)
6
2
3
2
2




x
x
x
x
para 2

x R.
5
1
b)
12
8
12
16
7
2
3
2
3






x
x
x
x
x
x
para 2


x R.
5
1

c)
26
11
8
2
3



x
x
x
para 2

x R.
5
4
d)
15
2
6
2
2




x
x
x
x
para 3

x R.
8
5
e)
4 2
3 2
3 2 3 4
2 5 6 1
x x x
x x x
  
  
para 1

x R.
10
11
f)
16
8
8
12
6
2
4
2
3





x
x
x
x
x
para 2


x R. 0

27
g)
1
2
6
7
2
2




x
x
x
x
para 1

x R.  h)
2
6
6
2
2
3
2
3
3





x
x
x
x
x
para 1

x R. 
i)
ax
x
a
ax
x



2
2
2
2
para a
x  R. 0 j) 3
3
3
2
2
3
2
2
a
x
a
x
a
ax
x




para a
x 
 R.
3
1
k) 3
3
3
2
2
3
2
2
a
x
x
x
a
ax
x




para a
x  R. 3 l) 3
2
2
3
3
2
2
3
3
3
a
x
a
ax
x
a
x
a
ax
x






para a
x  R. 0
m)
3
5
5
13
11
3
2
3
2
3






x
x
x
x
x
x
para 1

x R.
2
1
 n)
2
9
15
11
3
3
7
3
3
2
2
3
4
2
3
4








x
x
x
x
x
x
x
x
para 1


x R. 5
o)
3
2
4
4
2
2
3





x
x
x
x
x
para 1

x R. 2 p)
3
2
27
18
3
4
4
2
3
2
3





x
x
x
x
x
x
para
2
3


x R.
77
24
ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y CON VALOR ABSOLUTO,
APLICACIONES, ECUACIONES CUADRÁTICAS, BICUADRADA,
BINOMIA, TRINOMIA, APLICACIONES
1. Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado:
1) 10
2
4 

x 2)    
3
2
6
10
15 





 x
x
x
x
3) 0
3
5
5 

 x
x 4)      
24
5
3
7
1
2
3 






 x
x
x
x
x
5) 12
2
8
4 

 x
x 6)        
x
x
x
x
x
x 2
3
23
7
3
2
5
6
15 












7) 5
2
7
6 

 x
x 8)    
3 5 3 8 5 9
x x x x x
       
 
 
9) 6
5
3
4 


 x
x 10)  
 
5 3 5 6 3
x x x x
 
      
 
11) 1
4
3 


 x 12)        
5
3
3
5
4
3
3
2 





 x
x
x
x
x
x
13) 9
2
2 


x 14)   

























2
1
4
2
1
2
2
1
1
3
2
2
2
x
x
x
x
x
15) 3
4
6
5 

 x
x 16)          0
1
2
5
3
2
2
5
1
3
2
2








 x
x
x
x
x
17) 4
2
4
5 

 x
x 18)      
3
6
1
1
3
3




 x
x
x
x
19)    
3
3
8
1
2 



 x
x
x 20)         3
1
1
3
5
2
3
2
2





 x
x
x
x
21) x
x



3
1
5
6
22)
24
6
7
6
2
1
12
7
1
3
2







x
x
x
x
x

28
23) 0
5
1
3
2
5
3



x
x
24) 1
7
3
8
3
5
2
3
4






x
x
x
x
25)
20
3
4
5
2
5
1
4
3 x
x
x



 26) 6
1
3
5
27
5 2





x
x
x
x
x
27)
4
5
6
12
2
2




x
x
x
28)
1
3
2
1
9
6
3
2
2
2




x
x
x
29)
2
5
12
2 x
x
x 

 30)
2
3
1
2
3
2
4
3











x
x
x
x
x
x
x
x
31)
5
4
4
3
3
2 



 x
x
x
32) b
bx
b
a
ax 


2
33)   x
x
x
x 5
5
3
1
4
6
5
2 




 34)    
  1
1 





 x
b
a
x
a
x
x
35)
b
x
a
x 1
1 

 36)
10
1
5
3
2
8
2
3
4
5
2
1
3







 x
x
x
x
37) 




 






 
3
6
4
3
5
1
3
2 x
x
38) 























2
7
3
1
2
3
x
x
x
x
39)      
x
a
a
a
x
a
x 7
2
2




 40)     
a
x
b
x
b
a
x
bx
ax 2
2
2







41) 0
1
2
3
5
3



x
42)
 
a
x
a
x
a
x
x
a





4
6
2
3
2
43)
1
1
1
5
2


 x
x
44)
x
m
x
n
n
x
m
x





45)
4
3
2
5
4
3
8
5





x
x
x
x
46)
 
a
x
b
ab
a
x
b
x
a
x
3
9
3
3
3
3
2
2







47)
12
12
1
4
4
1
3
3
1




 x
x
x
48)
a
a
x
ax
a
x
a
x




 2
2
1
49)
  
 
0
1
1
5
7
3
7
2
5





x
x
x
x
50)
 
2
2
2
a
x
ab
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x








Expresiones usuales para el planteamiento de problemas literales:
1) Suma de dos números y
x 
2) El doble de un número o duplo de un número x
2
3) Triple de un número x
3

29
4) El doble de un número más el triple de otro y
x 3
2 
5) Dos números consecutivos 1
; 
x
x
6) Un número par x
2
7) Dos números pares consecutivos 2
2
;
2 
x
x
8) Tres números pares consecutivos 4
2
;
2
2
;
2 
 x
x
x
9) El opuesto de un número x x

10) El exceso de dos números y
x
11) Un número excede a otro en 6 unidades 6

 y
x
12) Un número excede a su opuesto en 2 unidades   2


 x
x
13) Un número impar 1
2 
x
14) Dos números impares consecutivos 3
2
;
1
2 
 x
x
15) La semi-suma de dos números
2
y
x 
16) El exceso de un número y su cuadrado 2
x
x 
17) El doble producto de la suma de dos números  
y
x 
2
18) El producto de dos números menos su diferencia  
y
x
y
x 

.
19) El producto de dos números y
x.
20) La mitad de un número 2
/
x
21) El semi-producto de dos números   2
/
.y
x
22) El doble producto de dos números  
y
x.
.
2
23) El consecutivo de un número entero 1

x
24) El número entero que precede a otro 1

x
25) La diferencia de cuadrados de dos números 2
2
y
x 
26) El cuadrado de la suma de dos números  2
y
x 
27) Los cinco cuartos de un número 4
/
5x
28) El cuadrado de la diferencia de dos números  2
y
x 
29) El cubo de la suma de dos números  3
y
x 
30) El cubo de la diferencia de dos números  3
y
x 
31) El producto de la suma por la diferencia de dos números    
y
x
y
x 
 .

30
2. Aplicaciones: problemas teóricos que se resuelven mediante ecuaciones de primer grado
1) La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los números.
R. 57 y 49.
2) La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Hallar los números.
R. 286 y 254
3) Entre dos personas A y B tienen 1154 Bs. y B tiene 506 Bs. menos que A ¿Cuánto tiene
cada uno? R. A 830 Bs. y B 324 Bs.
4) Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24.
R. 65 y 41
5) A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56 años ¿Qué edad tiene cada
uno? R. A 21 años y B 35 años.
6) Repartir 1080 Bs. entre A y B de modo que A reciba 1014 Bs. más que B.
R. A 1047 Bs. y B 33 Bs.
7) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.
R. 51 y 52
8) Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.
R. 67, 68 y 69
9) Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74.
R. 17, 18, 19 y 20
10) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
R. 96 y 98
11) La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas suman 40 años. Hallar dichas
edades. R. Pedro 30 y Juan 10 años
12) Se ha comprado un caballo y sus arreos por 600 $. Sí el caballo costo 4 veces que los
arreos. ¿Cuánto costo el caballo y cuanto los arreos?
R. Caballo 480$, arreos 120$
13) En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la
mitad de las del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?
R. Primer piso 32 hab., Segundo piso 16 hab.
14) Repartir 300 Bs. Entre A, B y C de modo que la parte de B sea el doble de la de A y la
de C el triple de la de A. R. A 50, B 100 y C 150.

31
15) Repartir 133 Bs. Entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B, y la
de C el doble de la de B. R. A 19 Bs., B 38 Bs. y C 76 Bs.
16) El exceso de 8 veces un número respecto a 60 equivale al exceso de 60 respecto a 7
veces el número. Hallar el número. R. 8
17) La suma de la tercera parte y la cuarta parte de un número equivale al duplo del número
disminuido en 17. Hallar el número. R. 12
18) Hallar el número que disminuido en sus 3/8 partes equivale al duplo disminuido en 11.
R. 8
19) Hallar el número que aumentado en sus 5/6 partes equivale al triple disminuido en 14.
R. 12
20) ¿Qué número hay que restar de 22 para que la diferencia equivalga a la mitad de 22
aumentada en los 6/5 del número que se resta? R. 5
Valor Absoluto:
1) ab a b
 2) a b ab
 3)
a
a
b b

4) a b a b a b
     5)
a b a b ó a b
b a ó b a
    
  
3. Resuelva las ecuaciones de primer grado con valor absoluto:
1) 7 2 6
x-  2) 3 3 10 81
x    3) 5 4 10
x 
4) 2 7 1
. x
  5) 2 5 1
. x  6) 5 9 17
x 
7) 2 8
x
   8)
2 6
4
4
x
x



9)
3 2
5
4
x 

10) 22 5 10
x    11)
2 6
3 4
2
x
x

  12)
5 4
7 3
2
x
x

 
13)
6
7 4
2
x
x .

  14)
3
7 11
2
. x x
   15)
3 1
1
2
x
x

 
16) 4 7 4 3
x x
   17) 3 6
x  18)
5 1
1
7 3
x x
 
 
19) 3 25 13
x  20)
10 6
2
3
x
x

  21)
6 2
5 3
x

PROPIEDADES

32
22)
6 2
5 3
x
 23)
1 3
0
2 2
x x
 
  
 
 
4. Ecuaciones de primer grado con radicales. Resolver:
1) 1
2
15
4 2



 x
x R. 4 6) 9
14
3
5
3 


 x
x R. 10
2) 0
2
2
1
7 




 x
x
x R. 2 7) 29
2
7
11
4 

 x
x R. 15
3) 0
1
3
5 

 x R. 8 8) 1
2
4
4 



 x
x
x R. 5
4) 1
3
5
9 2



 x
x R. 1 9) 2
3
2
10
9 



 x
x
x R. 6
5) 12
1
7
15 3


 x R. 4 10)
1
2
1
4





x
x
x R. 5
5. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado o cuadráticas aplicando la fórmula
de la resolvente:
a
ac
b
b
x
2
4
2



 para 0
2


 c
bx
ax
1) 0
6
5
2


 x
x 5) 0
8
9 2


 x
x 9) 0
8
1
4
3
2 2



x
x
2) 0
5
3
5 2


 x
x 6) 0
2
3
5 2


 x
x 10) 0
4
1
2
2


 x
x
3) 0
1
6
4 2


 x
x 7) 0
24
26
5 2


 x
x 11) 0
1
6
2


 x
x
4) 0
4
8
3 2


 y
y 8) 0
6
8
2 2


 x
x 12) x
x 11
10
6 2


6. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado por factorización:
1) 0
24
5
2


 x
x 5)   3
5
3 

 x
x
x 9) 0
9
4
12 2


 x
x
2) 0
15
8
2


 x
x 6) 56
15
2


 x
x 10) 2
2
105 x
x 

3) 0
30
11
2


 x
x 7) 0
3
5
3 2


 x
x 11) 0
28
11
2


 x
x
4) 0
2
5
3 2


 x
x 8) 0
1
5
3 2


 x
x 12) 0
3
10
8 2


 x
x
7. Exprese utilizando el método de completar cuadrados las siguientes ecuaciones:
1) 0
7
6
2


 x
x 2) 0
3
4
5 2


 x
x 3) 0
1
16
8 2


 x
x
4) 0
40
6
2


 x
x 5) 2
9
3 2

 x
x 6) 12
6
2 2

 x
x
7) 0
4
3
5
3 2


 x
x 8) 0
9
8
2


 x
x 9) 0
1
5
2


 x
x

33
10) 0
16
9
2


 x
x 11) 0
8
6
2


 x
x 12) 0
1
2


 x
x
8. Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado por el método que más se te facilite:
1)     23
5
3
2
2
2




 x
x 6) 0
3
2 2
2
2


 b
a
abx
x
2)      
2
5
1
5
3
7 2
2





 x
x
x
x 7) 0
2 2
2
2


 b
abx
x
a
3)
10
3
2
5
2


x
x
8)
3
9
2
1
1
1
1








x
x
x
x
x
x
4)
 
2
3
5
10
5
13
x
x
x
x 



9) 0
2
2
4
3 2



a
x
a
x
5)
2
4
7
1
8
5





x
x
x
x
10)   0
2
4
2
3 2



 mn
nx
mx
x
9. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
1) 0
6
3 2

 x
x 6)  
2
2
4
5 2


 x
x 11) 0
36
2


x
2) x
x 12
2
 7) 0
15
5 2

 x
x 12) 0
64
25 2


x
3) 7
2
1
3
2
2






x
x
x 8)
1
2
3
3
2





x
x
x
x
13) 0
4
2

 x
x
4) 0
12
4 2


x 9) 49
7 2

x 14) 0
12
3 2


x
5) 0
9 2
2

 a
x 10) x
x 45
5 2
 15) 0
1
16 2


x
10. Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales:
1) 3
9 

 x
x 6) 2
15
3 



 x
x
2) 0
4
4 


 x
x 7) 0
1
2
3
6
6
4 




 x
x
x
3) 0
1
1
5
6 



 x
x 8) 0
3
4
4
3
4 




 x
x
x
4) 0
2
1
8
7
3 




 x
x
x 9) 3
3
4
2 

 x
x
5) 2
3
3
5 



 x
x 10)
7
8
7
2




x
x
x
11. Resuelva las siguientes ecuaciones binomias, bicuadradas y trinomias:
1) 8
3

x 6) 0
256
4


x 11) 0
4
3 2
4


 x
x

34
2) 0
15
2 2
4


 x
x 7) 0
9
10 2
4


 x
x 12) 0
36
13 2
4


 

x
x
3) 0
3
5
2 3
1
3
2


 x
x 8) 0
729
6


x 13) 0
2
5
2 4
1
2
1


 x
x
4) 0
81
4


x 9) 0
27
3


x 14) 0
8
9 2
3
3


 x
x
5) 0
64
3


x 10) 0
216
19 3
6


 x
x 15) 6
2
1

 x
x
12. Problemas teóricos sobre ecuaciones de segundo grado:
1) El producto de dos números es 270 y el número menor es los
5
6
del número mayor.
¿Cuáles son los números? R. 15 y 18
2) En un triángulo rectángulo cada lado excede al otro en 1 metro. ¿Cuáles son las
medidas de cada uno de los lados? R. 3 m, 4 m y 5 m
3) El perímetro de un rectángulo es de 22 metros y el área es de 30 metros cuadrados.
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? R. 5 m y 6 m
4) La suma de dos números es 7,2 y el cociente entre ellos es 8. ¿Cuáles son los
números? R. 6,4 y 0,8
5) El área de un rectángulo es de 21,08 m2
. Si el largo se aumenta en 2 m, el ancho se
disminuye en 1 m, el área queda disminuida en 1,4 m2
. ¿Cuáles son las dimensiones
del rectángulo? R. 6,2 m y 3,4 m
6) La diferencia de dos números es 11; la suma de los dos números multiplicados por el
número menor excede en 1 a veinte veces el número mayor. ¿Cuáles son los
números? R. 24 y 13
7) La suma de los recíprocos de dos números enteros pares consecutivos es
9
40
. ¿Cuáles
son los números? R. 8 y 10
8) Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los
números. R. 45 y 15
9) El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a 8 veces el exceso del número
respecto a 2. R. 7

35
10) La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumenta en 4
m el área será doble. Hallar las dimensiones de la sala. R. 12 m y 8 m
11) La edad de A hace 6 años era la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años.
Hallar la edad actual. R. 10 años
12) Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye partiendo de una lámina cuadrada
de zinc, cortando un cuadrado de 3 cm. por lado en cada esquina, y doblando hacia
arriba los lados. Si la caja debe contener 48 cm3
, ¿Qué dimensiones debe tener la
lamina de zinc? R. 10 cm.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN: SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN Y REDUCCIÓN O
ELIMINACIÓN
Resolver por el método de sustitución, igualación y reducción, los siguientes sistemas de dos
ecuaciones lineales en dos incógnitas (resuelva por cualquier método):
a)
2 7
4
x y
x y
 


 

R.  
3
,
1 b)
3 2 5
5 2 3
x y
x y
 


 

R.  
1
,
1
c)
4 2 5
5 3 2
x y
x y
 


  

R.
1 3
2 2
,
 
 
 
d)
2 1
3 2 5
x y
x y
  


  

R.  
1
,
1

e)
2 5
2 7 4
x y
y x
 


 

R.
le
Incompatib
Sistema
f)
7 9 42
12 10 4
x y
x y
 


  

R.  
14
,
12

g)
7 8 9
4 3 10
x y
x y
 


  

R.  
2
,
1 
 h)
2 6 3
8 3 6
x y
x y
 


  

R.
1 2
2 3
,
 

 
 
i)
 
   
3 4 2 2 7 0
5 1 2 1 0
x y x
x y
   



   


R.  
3
,
2 j)
   
 
3 9 5 2 9
4 3 7 5 47
x x y y x y
x y y
    



   


R.  
8
,
6
k)
2
7
4 2
3 3
13
8 6
x y x
x
x y y x
y
 

  



 
   


R.  
10
,
6 l)
7
6 3 24
5
2 6 12
x y y x
x x y
 

 




  


R.
3 1
4 2
,
 
 
 
m)
4 3
4
2 6
3
x y
x y

 



   


R.
3
2
2
,
 
 
 
n)
6 3
2
4 7
2
x y
x y

  



   


R.
15 15
4 2
,
 
 
 
 

36
o)
3 2
14
6 3
7
x y
x y

 



   


R.
3 1
4 5
,
 

 
 
p)
1 3 3
2 4
1 5 4
2 3
x y
x y

 



   


R.  
3
,
2 

q)
x y b
a b a
x y a

 


  

R.  
b
b
a ,
 r) 2 2
x y m n
mx ny m n
  


  

R.  
n
m,
s)
   
   
2
2
3
a b x a b y b ab
a b x a b y ab b
     


    


R.  
a
b
a ,
 t)
x b y b a b
a b b
x a y a a b
b a a
  

 



  
   


R.  
b
a
b
a 
 ,
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES EN TRES VARIABLES
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en tres variables por los métodos de
sustitución, igualación y reducción o eliminación. Puedes utilizar el método que más prefiera:
a)
2 4 5 0
2 2 3
6
x y z
x y z
x y z
  


   

   

R.  
2
,
1
,
3 b)
2 2 5 3
3
2 4
x y z
x y z
x y z
  


  

    

R.  
1
,
3
,
1 
c)
2 8
2 3 15
3 3 11
x y z
x y z
x y z
  


  

     

R.  
4
,
1
,
2 d)
2 3 0
2 3 4 0
4 0
x y z
x y z
x y z
  


  

   

R.  
0
,
0
,
0
e)
2 3 4
2 4 3
3 4 2
x y z
x y z
x y z
  


  

    

R.  
2
,
3
,
4 f)
2 3 1
2 6
3 2 13
x y z
x y z
x y z
   


  

   

R.  
1
,
3
,
2 
g)
5 2 7
2 2 0
3 17
x y z
x y z
y z
   


  

  

R.  
5
,
4
,
2
 h)
2 3 2 3
3 2 1
4 3 4
x y z
x y z
x y z
   


   

   

R.
2 31 1
3 21 21
, ,
 
 
 
i)
2
4
5
4
6
2
7
5
3
y
x z
z
y x
x
z y


  




  




  


R.  
4
,
8
,
10 j)
21
3 4 3
0
5 6 3
3
10 3 6
x y z
x y z
x y z

  



  



  


R.  
24
,
12
,
30

37
k)
1 4 2
6
3 2 4
3
6 5 6
31
x y z
x y z
x y z

   



  



  


R.
1 1
2
3 2
, ,
 
 
 
 
l)
4 1 2
4
2 3 1
1
1 1 1
4
x y z
x y z
x y z

  



  



  


R.
1 1
1
2 3
, ,
 

 
 
m)
3 2
2
2 2 3
2
1 4 4
3
x y
y z
x z

 



 



 


R.  
4
,
2
,
3 n)
3
2
0
2 4
5
2
y z
x y
x y x z
y z
x


  


 

 




  


R.  
2
,
4
,
6
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR DETERMINANTES.
REGLA DE CRAMER
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por determinantes, aplicando la regla
de Cramer:
a)
3 5 7
2 4
x y
x y
 


  

R.  
2
,
1
 b)
4 5 5
10 4 7
x y
y x
 


   

R.
3 2
4 5
,
 
 
 
c)
6 5 9
4 3 13
x y
x y
  


 

R.  
3
,
1 d)
     
   
6 8 10 5 3
9 11 2 2
x y x y x y
x y y x y x
      



    


R.  
7
,
5
e)
2 2
2
ax by a b
bx ay ab
   

 

R.  
b
a, f) 2 2
0
0 y 0
ax by
a b
a b
bx ay
ab
 


 
 
 


R.
1 1
,
a b
 
 
 
g)
2
7
8 1
2
2
x y
x y
x y
x y


 
 


 
 
  

R.  
9
,
5
 h)
3 2 2 3
2 2 3 2
x y
x y
  


 


R.
8 3 6
7 7
,
 

 
 
 
i)
2 3
2
4 5
1
x y
x y

  



  


R.
22 11
7 5
,
 
 
 
 
j)
5
3 2
2
1
3
x y
x y

 



   


R.
51 96
13 13
,
 
 
 

38
k)
5 3 11
10 10
15 2 7
x y z
x y z
x y z
   


  

    

R.
1
2 6
5
, ,
 
 
 
 
l)
4 3 15
2 2
2 2 4
x y z
x y z
x y z
  


  

   

R.  
0
,
1
,
3
m)
3 2
2 2 5
5 2 7
x y z
x y z
x z
  


  

  

R.  
1
,
2
,
1 n)
1
3
2
1
2
2
2
4
y z
x
z x
y
x y
z


  




 




  


R.  
4
,
2
,
3 

o)
1 1 1
5
3 1 2
12
1 2 1
9
x y z
x y z
x y z

  



  



  


R.
1 1
1
4 2
, ,
 
 
 
p)















7
1
1
6
1
1
5
1
1
z
y
z
x
y
x
R.
1 1 1
2 3 4
, ,
 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CON DOS Y TRES VARIABLES
MÉTODO DE RESOLUCIÓN: GRÁFICO
Resolver por el método gráfico los siguientes sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas:
a)
2 4
5 3 1
x y
x y
  


 

R.  
3
,
2  b)
2 4
3 4 1
x y
x y
 


 

R.  
2
,
3 
c)
2 5
3 6 12
x y
x y
 


 

R. Sistema Incompatible d)
2
6
x y
x y
 


 

R.  
2
,
4
e)
1
3
x y
x y
 


 

R.  
1
,
2 f)
2 3 0
2 0
x y
x y
 


 

R.  
0
,
0
g)
2 5
3 6 15
x y
x y
 


   

R. Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)
SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones cuadráticas:

39
a)
2
2 3
y x
y x
 

 

R.    
11 y 3 9
, ,
 b)
2
4
2 1
y x
y x
  

 

R.    
3 5 y 1 3
, ,
 
c)
2
1 0
2 1 0
y x
x y
   

  

R.    
1 0 y 3 2
, ,
 d) 2 2
3 5
25
x y
x y
 


 

R.    
4 3 y 5 0
, ,

e)
2 2
8
4
x y
y x
  

 

R.  
2
,
2
 f)
2 2
16
2 4
x y
y x
  

 

R.  
12 16
4 0 y
5 5
, ,
 
  
 
g)
   
2 2
1 2 10
1
x y
x y
    


 


R.    
0 1 y 4 3
, , h) 2
2
20
9
y
x
y x




  

R.    
2 5 y 5 4
, ,
 
i)
2 2
2 2
4 4
9 16 140
y x
y x
  


 


R.
 
 
2 2 3 y
2 2 3
,
,

 
j)
2 2
2
4
x y
x y
  

 

R.
 
 
i
i
i
i
3
2
,
3
2
3
2
,
3
2






k)
2 2
15
4
x y
x.y
  



R.
   
   
1
,
4
,
1
,
4
4
,
,
4
,



 i
i
i
i
l)
2 2
5
2 1
1
x z
x y
y z
  

 

  

R.
 
 
1 1 2 y
1 3 2
, ,
, ,

 
m)
2 2
2 2
25
4 64
x y
x y
  


 


R.        
2 3 13 ; 2 3 13 ; 2 3 13 ; 2 3 13
, , , ,
   
APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. La suma de dos números es 14, y
4
1 de su diferencia es 13. Hallar los números.
R. –19 y 33
2. La suma de dos números es 190, y
9
1 de su diferencia es 2. Hallar los números.
R. 104 y 86
3. Un cuarto de la suma de dos números es 45 y un tercio de su diferencia es 4. Hallar los
números. R. 96 y 84
4. Dividir 80 en dos partes tales que los
8
3 de la parte mayor equivalgan a los
2
3 de la menor
R. 64 y 16

40
5. Hallar dos números tales que 5 veces el mayor exceda a
5
1 del menor en 222 y 5 veces el
menor exceda a
5
1 del mayor en 66. R. 45 y 15
6. En un triangulo rectángulo, un ángulo agudo excede al doble del otro en 9 grados.
Determinar los dos ángulos. R. 63º y 27º
7. El doble de la edad de A excede en 50 años a la edad de B, y 1
4
de la edad de B es 35
años menos que la edad de A. Hallar ambas edades. R. A = 45 años B = 40 años
8. Dos números están en la relación de 5 a 6. Si el menor se aumenta en 2 y el mayor se
disminuye en 6, la relación es de 9 a 8. Hallar los números. R. 25 y 30
9. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 4, y si 5
veces el menor se divide por el mayor, el cociente es 2 y el residuo 17. Hallar los números.
R. 54 y 25
10. La suma de tres números es 160. Un cuarto de la suma del mayor y el mediano equivale al
menor disminuido en 20, y si a 1
2
de la diferencia entre el mayor y el menor se suma el
número del medio, el resultado es 57. Hallar los números. R. 62, 50 y 48
11. Si a 5 veces el mayor de dos números se agrega 7 veces el menor la suma es 316, y si a 9
veces el menor se resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83. Hallar los números.
R. 31 y 23
12. Si a los dos términos de una fracción se resta 3, el valor de la fracción es
3
1 , y si los dos
términos se aumentan en 5, el valor de la fracción es
5
3 . Hallar la fracción. R.
15
7
13. La suma de las cifras de las decenas y la cifra de las unidades de un número es 13, y si al
número se le resta 45, las cifras se invierten. Hallar el número. R. 94
14. Con 174.000 Bs. Compré 34 libros de a 3.000 Bs. y de a 7.000 Bs. ¿Cuántos libros compré
de cada precio? R. 16 libros de 3.000 Bs. y 18 libros de 7.000 Bs.
15. Hace 10 años la edad de A era el doble que la de B, dentro de 10 años la edad de B será
los
4
3 de la de A. Hallar las edades actuales. R. A = 30 años B = 20 años.
Para pensar o razonar:
16. En un triángulo, el ángulo mayor excede al menor en 35º y el menor excede en 20º a la
diferencia entre el mayor y el mediano. Hallar los ángulos. R. 80º, 55º, 45º
17. Un rectángulo tiene un área de 120 m2
. Al incrementar el ancho en 4 m y disminuir el largo
en 3 m, aumenta el área en 24 m2
. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo original?
R. 15 m y 8 m
18. Un número de tres cifras es igual a 19 veces la suma de sus cifras. Si se invierte el orden
de las cifras el número resultante es mayor que el número dado en 297. La cifra de las
decenas excede a las cifras de las unidades en 3. ¿Cuál es el número?. R. 285

41
19. Un creyón de 8 cm. de longitud y 1 cm. de diámetro se fabricará con 5 cm3
de cera de
color. El creyón debe tener la forma de un cilindro rematado en una punta cónica pequeña.
Calcule la longitud “x” del cilindro y la altura “y” del cono. x = 5,55 cm. y = 2,45 cm.
20. Se desea fabricar una mesa de conferencias que tenga forma rectangular con dos
semicírculos en los extremos. La mesa debe tener un perímetro de 20m, y el área de la
parte rectangular debe ser el doble de la suma de las áreas de ambos extremos. Calcule la
longitud x y el ancho y de la parte rectangular. R. x = 5 m y = m

10
RELACIÓN DE ORDEN EN , DESIGUALDADES, INTERVALOS,
INECUACIONES DE PRIMER GRADO Y CON VALOR ABSOLUTO,
INECUACIONES CUADRÁTICAS, RACIONALES,
SISTEMAS DE INECUACIONES.
x a a x a
     con a > 0 [ /////////////////////////// ]
a
x
a 


x a x a x a
    
o con a > 0 //////////////////////] [//////////////////////
x a a x
  
1. Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado e indicar en la recta de números
reales el conjunto solución y en forma de intervalo:
1) x
x 3
9
5
5 


 2) x
x 6
1
2
5 

 3)
4
2
5
3



x
x
4) x
x 8
21
6 

 5) 0
5
8
2


x
6) x
x


4
7
7)    
4
2
1
2
2
3




 x
x 8)
2
1
5
3
3
2 

 x
x
9)
4
2
5
3



x
x
x
8cm
y
x
y

42
10)
3
1
2
5
4
4
1
2 



 x
x
x
11)    2
2
2
7
1 


 x
x 12)     
5
4
26
1
2 




 x
x
x
x
13)
3
5
4
3
10




x
x 14) x
x
2
4
5
8
3




15)   2
2
2 x
x 

16) 5
1
2
7 


 x 17) 12
4
2
4 

 x 18) 6
3
3
2
2 




x
19) 20
4
8 

 x 20) 21
5
1
16 

 x 21) 2
3
5
2




x
x
22) 4
2
3
6 

 x
x
23) 10 4 8
x
      24) 2
6
2
1
4
3



x
x
25) 5
2
3
2
4 




x
26) 5
5
2
7
1 



x
27) 7
3
3
2 



 x
28)    
3 3
2 2 0
x x
    29)    
3 3
2 2 0
x x
    30)     
2
2 2 2 0
x x x
    
2. Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado con valor absoluto, indicando la
solución en la recta real y en forma de intervalo:
1) 9
x  2) 3 21
x  3) 2 4 16
x 
4) 5 10 15
x  5) 2 6 4
x   6) 2 11 9
x 
7) 4 5 2
x
    8) 3 3 0
x  9) 5 2
3
x
 
10) 6 3 9
x
  11)
1
7 3
x
  12)
5 3
3
2 2
x
 
13) 5 3 4 5
x
     14)
2 3
4
3 2
x
  15)  
1
3 2 6
4
x   
16)
2 5
4
3
x
x



17)
4 1
3
2
x
x



18) 3 6 4
x  
3. Resuelva las siguientes inecuaciones de segundo grado dando la solución gráfica en la
recta real y en forma de intervalo:

43
1) 0
5
4
2


 x
x R.  
5
1.
 2) 0
4
9 2

 x R.
3 3
2 2
,
 

 
 
3) 0
8
2
2



 x
x R.    


 ,
, 2
4  4) 2
8
2
0 x
x 

 R.  
4
2,

5) 0
2
6 2


 x
x R.
3
2
2
,
 

 
 
6)    0
3
1
2 

 x
x R.  
3
,


1
2
,
 

 
 
7) 0
4
4
2


 x
x R.  8) 0
4
4
2


 x
x R. 
9) 0
3
2


 x
x R.  10) 4
2

x R.    



 ,
, 2
2 
11) 16
2

x R.  
4
4.
 12) x
x
x
x 2
1
2
5 2
2



 R. 
13) 0
3
2


 x
x R.  14) 0
1
2


 x
x R.
1 5 1 5
2 2
,
 
 
 
 
 
15)   
2 1 3 0
x x
   16) x
x 9
9
4 2


17) x
x 8
1
16 2

 18) 0
4
2


 x
x
19) 0
1
6
9 2



 x
x 20) 9
9
4 2

 x
x
21) 3
2 2

 x
x 22)   5
3
2 

x
x
23) 0
9
25 2


x 24) 0
9
25 2

 x
x
4. Resuelva las siguientes inecuaciones cuadráticas con valor absoluto. De la solución gráfica
en la recta real y en forma de intervalo:
1) 2
3 7 3
x x
   R.    
5
4
1
2 ,
, 

 2) 2
2 4 4
x x
   R.     



 ,
,
, 4
2
0
2 

3) 2
14 44 4
x x
   R.    
4 6 8 10
, ,
 4) 2
26 10
y   R.      
6 4 4 6
, , ,
   
 
5. Resuelva las siguientes inecuaciones racionales y de la solución gráfica en la recta real y
en forma de intervalo:
1) 0
6
2
3


x
R.  

,
3 2) 1
1
2



x
x
R.
1
1
2
,
 

 
 
3)
x
x
2
2
3


R.    

 ,
, 2
0
4  4)
2
4
3
5


 x
x
R.    

 ,
, 3
2
2 

44
5) 0
5
2
1



x
x
R.
5
1
2
,
 

 
 
6) 6
4
5


x
x
R.  
24
4,
7) 1
1
3
2


x
R.  
2
2 ,
 8)
 
0
1
2
2

 x
R.  – {–1}
9) 1
6
1
3
2




x
x
x
R.      




 ,
,
, 5
3
1
2 
 10)
2
3
5
2
1
3
1
2





x
x
x
x
R.
7
6
,
 
 
 
 
11)
3
2
4
3
3 x
x
x




R.  

,
2 12) 3
8
2
5
2


 x
x
x
R.  
3
4 
 ,
8
2
3
,
 
 
 
13)
  
  
0
1
8
2
5
2





x
x
x
x
14) 0
3
4
3
4
2
2





x
x
x
x
15)
6
2
3
4
2
2
2





 x
x
x
x
x
16)
2
10
4
2
2





x
x
x
x
x
17)
 
  
0
3
1
1
2




x
x
x
18) 1
8
6
7
2
2




x
x
x
6. Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones. De el resultado en forma gráfica y de
intervalo:
1)
8 14
2 5 3
x
x
 


 

2)
4 0
5 0
x
x
 


 

3)
3 0
1 3 2
3 0
x
x
x
 


  

  

4)
8 2
2 19 21
x
x
  


 

5)
4 2
3 8 10
x
x
  


 


6)
4 3 2
3 4 7
x
x
  


 


7)
2 3 2
2 1 1
x
x
  


  


8)
2
2
4 0
9
x
x
  






45
9)
2
2
4 9 9
8 2
x x
x x
  


 


10)
6 2
5
4
2 3
3 2
x
x
x x




 

 
  

11)
9 9
2 8
2x 4 > 0
x
x x
 


 

 

12)
6 2
3 5
4
2 3
3 2
x
x
x x


 

 

 
  

13)
2
2
2
18 27
8 24
18 19
x
x
x
  

   

  

14)
1
0
7
2
0
11
x
x



 

 
 

MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
   
     
   
1
2 1
) Grado C( x ) Grado D( x ) Grado d( x )
D x d x .C( x ) R( x )
) Grado R( x ) Grado d ( x )
 


   
  


Determine el cociente y el resto en las siguientes divisiones utilizando el método de los
coeficientes indeterminados:
a)    
3
2
:
4
5
2 2
2
3




 x
x
x
x
x R. 4
)
( 
 x
x
C 8
)
( 

x
R
b)    
5
3
:
5
19
9
2 2
2
3




 x
x
x
x
x R. 3
2
)
( 
 x
x
C 10
)
( 
x
R
c)    
1
:
1 3
5

 x
x R. 2
)
( x
x
C  2
1
)
( x
x
R 

d)    
4
:
1
2 2
3
4



 x
x
x
x R. 4
2
)
( 2


 x
x
x
C 17
7
)
( 
 x
x
R
e)    
9
4
:
2
5
3 2
2
4



 x
x
x
x R.
16
3
4
)
(
2


x
x
C
16
59
5
)
( 
 x
x
R
f)    
3
2
4
:
9
12
3
2
12 2
2
3
4





 x
x
x
x
x
x R. 2
3
)
( 2


 x
x
x
C 3
5
)
( 
 x
x
R
g) 


















3
1
:
6
1
3
2
2
15
34
5
4 2
2
3
5
x
x
x
x
x
R.
2
1
2
5
4
)
(
3


 x
x
x
C 0
)
( 
x
R

46
h)    
1
3
:
1
7
6
2
3 3
2
4
5





 x
x
x
x
x
x R. 9
2
3
)
( 2


 x
x
x
C 8
22
3
)
( 2



 x
x
x
R
DESCOMPOSICIÓN DE FRACCIONES RACIONALES
EN FRACCIONES SIMPLES
CASO 1: Los factores de )
(x
Q son lineales y ninguno se repite:
1 2
1 1 2 2
n
n n
A
A A
P( x )
Q( x ) a x b a x b a x b
   
  

Descomponer las siguientes fracciones en fracciones parciales o simples:
1)
3
2
6
1
7
2







x
B
x
A
x
x
x
R. 4
,
2 
 B
A 2)
4
12
2

x
R.
2
3
2
3


 x
x
3)
x
x
x
x
2
1
2
3



R.
   
1
3
2
2
6
1
2
1




x
x
x
4)
3
4
5
2



x
x
x
R.
1
3
3
4


 x
x
5)
x
x
x
x
x
6
5
6
12
3
3
2
3
2




R.
3
2
1
2
3
3
2




x
x
x
6)
  
2
4
16
7



x
x
x
R.
2
5
4
2


 x
x
7)
  
4
6
23
4
2




x
x
x
x
R.
   
4
2
1
2
2
3
3
1




 x
x
x
8)
2
3
2

 x
x
x
R.
2
2
1
1




x
x
(x
Q son todos lineales y alguno se repite:
       
1 2
2
n
n n
A
A A
P( x ) P( x )
Q( x ) ax b
ax b ax b ax b
    

  

1)
 3
2
2
4
6



x
x
x
R.
   3
2
2
12
2
10
2
1




 x
x
x
2)
  
4
4
2
6
11
2
2





x
x
x
x
x
R.
 2
2
3
2
1
2
2




 x
x
x

47
3)
 2
2
2
4
6
2



x
x
x
x
R.
 2
2
4
2
3
1





x
x
x
4)
 2
2
1
3
4



x
x
x
x
R.
 2
1
8
1
2
3




x
x
x
5)
 2
3
2
4
2
12
16




x
x
x
x
x
R.
 2
3
2
2
5
2
1
3
1
2






x
x
x
x
x
(x
Q son de segundo grado irreducibles y no repetidos. Por cada
factor cuadrático irreducible c
bx
ax 

2
escríbase una fracción parcial de la forma:
c
bx
ax
B
Ax
c
bx
ax
x
P





 2
2
)
(
1)
x
x
x
x
x




2
3
2
4
3
R.
1
5
4
2




x
x
x
x
2)
8
4
2
3
3
2



x
x
x
R.
4
2
4
2
2
1
2




 x
x
x
x
3)
2
3 2
5
2
x x
x x x
 
 
R.
 
2
5 3 7
2 2 2
x
x x x


 
4)
  
2
2
1
3
2
2
2





x
x
x
x
x
R.
  2
2
6
7
5
9
1
5
4
2






x
x
x
x
5) 2
3
4
2
2
4
2
x
x
x
x
x




R.
2
1
2
2
2



x
x
x
6) 2
3
4
2
2
6
2
x
x
x
x
x




R.
 
2
2
3
3
2
1
2
2






x
x
x
x
x
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA
x
a
x
F 
)
( está definida de *


  y x
x
F a
log
)
(  está definida de *
 
 
X
Y y = ax
y = logax
o 1
1
a >1
X
Y
y = ax
y = logax
o 1
1
o < a < 1

48
x
a
y a log y x
   con a > o, a ≠ 1
x
e
y e ln y x
   e = 2,718281 (e es la base logaritmo neperiano)
10
10x
y log y x
   a = 10 (10 es la base del logaritmo decimal o vulgar)
Propiedades:
1) No existe el logaritmo de cero
2) Los números negativos no tienen logaritmo
3) Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo si a > 1 y positivo si 0 < a < 1
4) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo si a > 1 y negativo si 0 < a < 1
5) La función logarítmica es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1
6) 0
1 = 0 = 1
a
log a

7) 1
= 1 =
a
log a a a
 ( 10 10 = 1 y = 1
log lne )
8)   = +
a a a
log m.n log m log n
9) =
a a a
m
log log m - log n
n
 
 
 
10)   = .
n
a a
log m n log m
11) = a
n
a
log m
log m
n
12) = y 10 = en general a
log x
lnx log x
e x x, a x

13) = y 10 = en general
x x x
a
lne x log x, log a x

14) Cambio de base si x > 0, a > 0, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, y
b
a a
b
log x ln x
log x log x
log a lna
 
1. Escriba en forma logarítmica las expresiones siguientes:
a) 3
4 64
 b) 2 1
4
16

 c) m
tr
 d) 3 4
x
t
 
e) 5
3 243
 f) 4 1
3
81

 g) 2
10 x
 h) 3
10Y
Z


i) x
e 
2
j) 3
y
e Z

 k) 0
4 1
 l)
1
4
256 4

m) 3
2 8
 n) 4
5 625
 o) 3
10 0 001
,

 p) 5 5
x

q) 3
3 27
 r) 1000
103
 s)
4
3
8 16
 t)
3
4
81 27


49
u) 49
72
 v)
1
2
1 1
16 4
 

 
 
w)
2
3
1
64
16

 x) 2 1
5
25


2. Obtener los valores de los siguientes logaritmos:
a) 7 49
log b) 5 5
log c) 6
1
6
log d) 3 81
log
e) 10 0 0001
log , f) 8 2
log g) 1
3
9
log h) 32 2
log
i) 1
2
64
log j) 16
1
8
log k) 2
1024
log l) 3
1
243
log
m) 4
1
256
log n) 6
36
log o) 7
2 4
log p) 7 1
log
q) 3
1
9
log
 
 
 
r) 81 3
log s) 4
2 32
log t) 2 256
log
u) 4
2
1
8
log v) 2 8
log w)
2
3
1
3
log
 
 
 
x) 10 10
log
3. Hallar el valor de x en las siguientes expresiones logarítmicas:
a) 5 2
log x  b) 50
log x  c) 0 1
lnx ,
 d) 2
log x 
e) 8
log x   f) 1
3
4
log x   g)  
4 5 3
log x
  h)
1
2
ln x 
i) 4 3
log x  j) 2
3
2
log x  k) 1
9
5
2
log x  l) 1
2
6
log x  
m) 8
1
3
log x  n) 25
3
2
log x  o) 1
4
7
2
log x  p) 2 0
log x 
q) 4
5
2
log x  r) 0 125
lnx ,
  s) 3 41
ln x ,
 t) 2 12
lnx ,

u) 0 5
log x ,
  v) 9
1
2
log x   w) 0 85
log x ,
 x) 4 5
lnx ,

y) 3
6
log x  z) 2 3
2
log x 
4. Hallar el valor de la base “a” en las siguientes expresiones logarítmicas:
a) 8 2
a
log  b) 16 4
a
log  c)
5
32
7
a
log   d)
2 1
3 3
a
log  

50
e)
1
4
5
32
4
a
log  f)
1
3
4
a
log  g) 81 2
a
log   h)
1
4
3
a
log 
i) 1000 3
a
log  j) 0 01 2
a
log ,   k) 27 3
a
log   l)
3
0 001
2
a
log ,  
m)
4
256
3
a
log  n)
3
343
4
a
log  o)
3
512
2
a
log  p)
3
10 10
2
a
log 
q)
1 3
8 2
a
log   r) 49 2
a
log  s)
1 2
4 3
a
log   t)
3
64
2
a
log  
u)
125
3
8
a
log   v) 0 001 3
a
log ,   w) 50 2
a
log  x)
875 7
3
27
a
log 
5. Resuelva aplicando las propiedades de los logaritmos, en donde las variables (letras)
representan números positivos y simplifique el resultado:
a)  
3 3
a
log a . ab b)  
3
a
log a . b c
 c) a
m . n m
log
m n
d)
 
 
2
3 3
1 5
2
a x
x . b .
log
b


e)  
3
3
3
a
log b
 f)
3 4
2
a
b c
log
d
g)
3 2
4
5a b c
ln
d
h)
4
e
ln
x
i)
3
4
81
2
a
b a
log
ab
j)
 
4
3
3
a
bc
log
d
k)  
4
2
3
7
a
log b c l)
2
3 4
2 2
b
n
m
b
log
b .c
m)  
2 3
4
m
log m b mb
 n)
2 3
3
a
m b m b
log
c c
 o)
3 2 3
a
a b c
log
ab
6. Resuelva aplicando las propiedades de los logaritmos y despeje x
log en cada caso:
a) 4
3
2
3
x
b
a
c
x
b
a
 b)
2
3 4
3a
a x x
x
 c) x
b
a
b
a 
d)
3
3
2
3
b
x x
a b

 
 
 
 

 
e) 3 4
2
xb
x
a  f)
3
3 2 2
2
4 5
a x c
c
a .x



51
g) 3
2
2 y
x
xy  h) 3
4 3
5
3
xnt
t
n
x  i)
x
y
y
y
x 2
2
1
3
2












7. Determinar el valor de x en las siguientes expresiones logarítmicas aplicando antilogaritmos:
a) 3 4 5 3
log x log a logb logc log k
    b) 2 5 3 2
log x log k log a logb a
     
c) 5 2 3 5
log x log a log x logb
    d) 3
log x log a cologb
 
e)
2
3 2
3 2 3
2 3
x log colog x
log x colog

  f) 3
4
log c
log x logb log d
  
g)  
3 5
ln x lne ln ln a
    h)  
2 5
3
logc
log x logb log d
   
i)    
1
1 3
4
log x log b log c log d
    j)
1 1
2 2
3 2
log logb log c log x
 
   
 
 
k)
3 2 5 2
3
log m log n log
log x
 
 l) 3 6 2 3
log log x log log
  
m) 2 4 4 3 3 5
log x colog log
   n) 2 4 6 2 5
log x log log
  
o)      
2 2
2
log x log m n log m n log m n
      p)
1 1
5
2 3
log x log y log z
 
q) 2 3 5
ln lnx lnr ln
    r)
1 1
2 3
2 2
ln ln ln x ln y
   
s)  
2
1
1 4
3
log x log x log y log z
    t) 2
1
3 2
2
log x log y log z log x
   
8. Escriba las siguientes expresiones en forma de un sólo logaritmo y simplifique el resultado:
a)  
3 3 3
5 4
log x log y log z
  b)  
4 4 4
2
log z log x colog y
 
c)    
5 5 5
1
2 2 4 2 3
3
log x log x log x
    d)    
1
5 3 4 3 5 1
2
a a a
log x log x log x
   
e)  
3 2 3
2 3
x
ln x y ln x y ln
y
 
   
 
f)
3
4 2
8 8 8
1
2 3
2
y
log log y log x y
x
 
 
 
 
g)  
3 3 6
1
5
3
ln y ln x y ln y
  h)  
1
2 4 3
ln x ln ln xy
y
 
 
 
 
i)  
2 1 1
3 2 2 1
4 2
x
log x x log log x
x

 
    
 

 
j)    
2
5 4 2 3
3
log x log x log x
   

52
k)      
1
3 1 3 4
2
ln x ln x ln x
    l)    
1
2
2
ln x ln x
 
 
 
9. Utilizando la calculadora determinar el valor de x en las siguientes expresiones aplicando
logaritmos:
a)
2 5 92 6
4
, . ,
x  b)   
3 15 3 12 8
x , ,
  c)
   
   
18 2 25 4
0 08 326
, . ,
x
, .
 


d)
 
2
2
0 61 35 8
12 3
, . ,
x
,
 e)
3
4
3 2
4 8
1 37
,
x ,
,
 f) 2 3
38 4 829
x ,
 
g)
3 4
3 6
100
, e
x  h)
3
2
10 5
7
e
x  i)
15 5
10
7 123
11
.
x 
10. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 5 7
x
 R. 1,21 b) 2 16
x
 R. 4
c)
2
7 14
3 9
x x
 
 R. 3 y 4 d) 1 3 2
4 8
x x
 
 R.
7
8
e) 3 81
x
 R. 16 f) 3 1 1
7
49
x
x

 R.
7
1
g) 5
2 3
x x
 R. 13,546 h)
5 3 1 2
1 1
4 8
x x
 
   

   
   
R.
12
7
i) 3
2 1
x
 R. 3 j) 3 1
2
2
x
 R. 2
k) 1
2 3
x x
 R. 2,71 l)  
127 1
x
 R. 0
m)
2
1 1
x
x
e
e
  
  
 
R.
1
3
x   n)
3 1
2
3
x
x

  R. –1
o) 2
3 3 0
x x
  R. 0 p) 1 2 1
8 16
x x
 
 R.
5
7

q) 2 1
9
27
x
 R.
2
1
r) 1 3 1
3 3
9
x x
.
 
 R. –2
s)
1
3
4
5 25 5
x
x
.


 R. 3 t) 1 2
2 2 2 14
x x x
 
   R. 1
u) 2
7 3 7 28 0
x x
.
   R. 1 v) 2 2 6
x x

  R.  
2 54 y 2 54
, ,

w)
2
6 8
x x
e e
 
 R. 7 1
x y x
   x) 3
4 2 48 0
x x
   R. 2

53
y) 6
3 3 90
x x

  R. 2 y 4 z) 1
1
3 4
3
x
x
  R. 0 y 1
11. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a)  
2 12
log x log x log
   R.
11
2
b)  
3 2 1 2
log x  R. 4
c) 4 16 3
log x
  R. –5 y –1 d)  
2
5 0
log x x
   R. –2 y 3
e) 2 2 2
log x log
  R. 400 f)      
3 1 6 1 9 1
log x log x log x
     R.
3
1
g)  
2
6 9 0
log x log x
   R. 10-3
h)    
2
3 6 2
x
log x

   R. 2 y - 1
i)  
2
2
log x log x
  R. 10-2
y 10 j)  
1 1
log x log x
   R.
9
1
k) 2
2 0
log x  R. 1
 l)  
2 2 7 3
log x log x
   R. 8
m) 2
3
log x log x log
  R. 3
9 n)  
2 2 4 2
log x log
   R. 3
o)  
3 2
log x  R. 97 p)  
3 3 2 3 3
log x log x
   R.






2
9
q) 3 2 3
log x log
  R. 125 r)    
3 3
6 2 2
log x log x
    R. 3
s)  
2
6
log x log x
  R. –3 y 2 t)  
4 4
2 3 2 2
log x log x
   R.
2
1
u)  
5 5 5
2 3 11 3
log x log log
   R. 15 v)  
2 2
7 3
log x log x
   R. 1
w) 2
1
3
ln x x
e
 
 
 
 
R. 1 y 5
x)    
4 3 2
ln x ln ln x
     R. –7
y)    
6 10 1 2
ln x ln ln x ln
     R.
4
11
z)      
2 2 2
1 3 5 5 3 2
log x log x log x
      R. 7
12. A pensar o a razonar. ¿Cuál es el valor de x?
a) 0
x x
xe e
  R. –1 b)  
3 4 2 4
4 3 0
x x
x e x e
  R.
3
0
4
y

c) 2
2


x
ln R. 1

 e d) 9
2

x
ln
e R. 3
e) 6253
,
1
log 

x R. 0,0237 f) 6
1,
x
ln 
 R. 0,202

54
g)    
2
2
log x log x
 R. 1 y 100 h)   2
log
log 
x R. 10100
i) 8
10
log x
x  R. 104
j) Al simplificar la expresión
     
 
2
x x x x x x x x
x x
e e e e e e e e
e e
   

    

se obtiene
R.  
2
4 x x
e e



k) Dada la expresión
10 10
10 10
x x
x x
y





, por medio de logaritmos decimales exprese x en
términos de y R.
1 1
2 1
y
x log
y
 

  

 
l) Dada la expresión
2
x x
e e
y


 , por medio de logaritmos naturales exprese x en términos
de y R.  
2
1
x ln y y
  
m) Hallar los valores de x que satisfacen la ecuación: 3
4 4
log x log x
 R.
1
1 4
4
, ,
TRIGONOMETRÍA
ÁNGULOS
1. Dadas las siguientes longitudes de arco, dibuje una circunferencia unitaria (U) y muestre el
punto terminal del arco cuyo punto inicial es (1,0) e indique el cuadrante en el que está
situado el punto terminal del arco dado.
a)
12

b) 2 c)
8
5
 d) 3
 e)
3
11
f) 34
,
10

g)
7

h)
5
3
i)
5

j) 
8
9
k) 23
,
1 l) 5
m) 
6
17
n)
7
8
 o) 2
 p) 2
,
12 q) 6
,
10 r) 4


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