Solucion examen 13 junio 2016 latex

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
CURSO DE NIVELACIÓN DE INGENIERÍA Y CIENCIAS
EXAMEN DEL PRIMER BIMESTRE DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FECHA: 13 DE JUNIO DE 2016
Nombres: Firma: Paralelo:
Solución escrita por: Mat. Andrés Merino y Mat. Jonathan Ortiz; revisada por: Ing. Iván Sandoval.
PREGUNTAS:
1. La expresión p ⊻ (q ∧ ¬p) es lógicamente equivalente a:
a) p ∧ q
b) p ∨ q
c) ¬p ∨ q
d) ¬p ∨ ¬q
Solución. La opción correcta es b). Se tiene que
p ⊻ (q ∧ ¬p) ≡ p ∨ (q ∧ ¬p) ∧ ¬ p ∧ (q ∧ ¬p) Eq. de la disyunción exclusiva.
≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬p) ∧ ¬ q ∧ (p ∧ ¬p) Distributiva, conmutativa y asociativa.
≡ (p ∨ q) ∧ V ∧ ¬ q ∧ F Complemento.
≡ (p ∨ q) ∧ ¬F Identidad.
≡ (p ∨ q) ∧ V Complemento.
≡ p ∨ q Identidad.
2. La expresión (A ∩ D) ∪ (A D) ∩ (A ∪ C) ∪ B ∩ (B ∩ C)c es igual a:
a) A ∪ (B C)
b) A ∩ B
c) A ∪ B ∪ Cc
d) A ∪ B
Solución. La opción correcta es a). Se tiene que
(A ∩ D) ∪ (A D) ∩ (A ∪ C) ∪ B ∩ (B ∩ C)c
= (A ∩ D) ∪ (A ∩ Dc
) ∩ (A ∪ C) ∪ B ∩ (Bc
∪ Cc
) Id. de la diferencia.
= A ∩ (D ∪ Dc
) ∩ (A ∪ C) ∪ (B ∩ Bc
) ∪ (B ∩ Cc
) Distributiva.
= (A ∩ U) ∩ (A ∪ C) ∪ ∅ ∪ (B ∩ Cc
) Complemento.
= A ∩ (A ∪ C) ∪ (B ∩ Cc
) Identidad.
= A ∪ (B ∩ Cc
) Absorción.
= A ∪ (B C) Id. de la diferencia.
3. Dados los conjuntos A = {x ∈ Z : −2 < x < 4}, B = {x ∈ N : 2x2 + 2x = 12} y C = {x ∈ R :
2x2 − x − 1 = 0}, el conjunto A (B ∪ C) es:
a) {2, 3}
1

2. b) {1, 2}
c) {3}
d) {−1, 0, 3}
Solución. La opción correcta es d). Se tiene que
A = {x ∈ Z : −2 < x < 4}
= {−1, 0, 1, 2, 3}.
B = {x ∈ N : 2x2
+ 2x = 12}
= {x ∈ N : x2
+ x − 6 = 0}
= {x ∈ N : (x + 3)(x − 2) = 0}
= {x ∈ N : x = −3 ∨ x = 2}
= {2}.
C = {x ∈ R : 2x2
− x − 1 = 0}
= {x ∈ R : (2x + 1)(x − 1) = 0}
= {x ∈ R : 2x + 1 = 0 ∨ x − 1 = 0}
= −
1
2
, 1 .
Por lo tanto,
A (B ∪ C) = {−1, 0, 1, 2, 3} {2} ∪ −
1
2
, 1
= {−1, 0, 1, 2, 3} −
1
2
, 1, 2
= {−1, 0, 3}.
4. Una progresión aritmética tiene como octavo término al número 18 y como decimoquinto término al número
28. El término que ocupa la posición número 36 de la progresión es:
a) 42
b) 416
7
c) 58
d) 426
7
Solución. La opción correcta es c). Sea d la diferencia de la progresión aritmética, por lo tanto, para n ∈
N {0}, se tiene que xn = x1 + (n − 1)d. Por otro lado, se tiene que
x8 = 18 y x15 = 28.
Por lo tanto,
18 = x1 + 7d y 28 = x1 + 14d.
Así,
28 = x1 + 14d
= (x1 + 7d) + 7d
= 18 + 7d.
Por lo tanto, d = 10
7 . Ahora vamos a determinar x1:
18 = x8 = x1 + 7d = x1 + 10,
por esta ecuación se deduce que x1 = 8. Finalmente,
x36 = x1 + 35d = 8 + 35 ·
10
7
= 58.
2

3. 5. Al racionalizar la expresión
1
1 +
√
2 −
√
3
, se obtiene:
a) 2+
√
2+
√
6
4
b) 2+
√
2−
√
6
4
c) 4+
√
2−
√
6
4
d) 2−
√
2+
√
6
2
Solución. La opción correcta es a). Se tiene que
1
1 +
√
2 −
√
3
=
1
1 +
√
2 −
√
3
·
(1 +
√
2) +
√
3
(1 +
√
2) +
√
3
=
1 +
√
2 +
√
3
(1 +
√
2)2 − 3
=
1 +
√
2 +
√
3
2
√
2
=
1 +
√
2 +
√
3
2
√
2
·
√
2
√
2
=
2 +
√
2 +
√
6
4
.
6. El coeficiente de x−15 en el desarrollo de x3/2 − 1
x
20
es:
a) 150
b) 153
c) 190
d) 383
Solución. La opción correcta es c). Por la fórmula del binomio de Newton para cada natural k ≤ 20, se tiene
que el término número k − 1 es:
20
k
x
3
2
k
−x−1
20−k
=
20
k
x
3k
2 (−1)20−k
xk−20
=
20
k
x
3k
2 +k−20
(−1)20−k
.
Para que este término contenga al factor x−15 se debe cumplir que
3k
2
+ k − 20 = −15,
por lo tanto k = 2. Así, para k = 2 se tiene que
20
k
x
3
2
k
−x−1
20−k
=
20
2
x−15
(−1)18
=
20!
2! · 18!
x−15
=
20 · 19
2
x−15
= 190x−15
.
De donde, se tiene que el coeficiente de x−15 es 190.
3

4. 7. El conjunto solución de la ecuación 3x + |1 − x| = −3 es:
a) {−2}
b) {−1
2 , −2}
c) ∅
d) {2}
Solución. La opción correcta es a). Para eliminar el valor absoluto, se tienen los siguientes casos:
x (−∞, 1] (1, +∞)
1 − x + −
Casos i) ii)
i) Suponemos que x ∈ (−∞, 1]. Así, |1 − x| = 1 − x, pues 1 − x ≥ 0. Por lo tanto
3x + |1 − x| = −3 ⇐⇒ 3x + (1 − x) = −3
⇐⇒ 2x = −4
⇐⇒ x = −2.
Entonces, el conjunto de x ∈ (−∞, 1] que cumplen la ecuación es {−2} ∩ (−∞, 1] = {−2}.
ii) Suponemos que x ∈ (1, +∞). Así, |1 − x| = −(1 − x), pues 1 − x < 0. Por lo tanto,
3x + |1 − x| = −3 ⇐⇒ 3x − (1 − x) = −3
⇐⇒ 4x = −2
⇐⇒ x = −
1
2
.
Entonces, el conjunto de x ∈ (1, +∞) que cumplen la ecuación es −1
2 ∩ (1, +∞) = ∅.
Por lo tanto, por Tricotomía, se tiene que se da el caso i) o el caso ii), es decir, el conjunto solución de la
ecuación es {−2} ∪ ∅ = {−2}.
8. El conjunto solución de la ecuación x +
√
x + 8 = 2
√
x es:
a) {−8
9 , 1}
b) {−8
9 }
c) {1}
d) {9
8 }
Solución. La opción correcta es c). Se tiene que las restricciones para la ecuación son
x ≥ 0, x + 8 ≥ 0 y x +
√
x + 8 ≥ 0.
Por lo tanto, el conjunto de valores admisibles de la ecuación es [0, +∞). Por otro lado, se tiene que
x +
√
x + 8 = 2
√
x =⇒ x +
√
x + 8 = 4x
⇐⇒
√
x + 8 = 3x
=⇒ x + 8 = 9x2
⇐⇒ 9x2
− x − 8 = 0
⇐⇒ (9x + 8) (x − 1) = 0
⇐⇒ x = −
8
9
∨ x = 1.
4

5. Por lo tanto, el conjunto de todas las posibles soluciones de la ecuación es −8
9 , 1 ∩ [0, +∞) = {1}.
Ahora, tomando x = 1 en la ecuación, se tiene que
1 +
√
1 + 8 = 2
√
1 ⇐⇒
√
4 = 2,
de donde, se tiene que x = 1 sí es solución de la ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación
es {1}.
9. Sean los conjuntos A = {x ∈ R : ||x − 3| − 2| ≤ 7} y B = {x ∈ R : x + 4 ≤ 1}, entonces A ∩ B es:
a) [−6, 12]
b) [−6, −3]
c) [−3, 12]
d) (3, 6)
Solución. La opción correcta es b). Se tiene que
x ∈ A ⇐⇒ ||x − 3| − 2| ≤ 7
⇐⇒ −7 ≤ |x − 3| − 2 ∧ |x − 3| − 2 ≤ 7
⇐⇒ −5 ≤ |x − 3| ∧ |x − 3| ≤ 9
⇐⇒ |x − 3| ≤ 9
⇐⇒ −9 ≤ x − 3 ∧ x − 3 ≤ 9
⇐⇒ −6 ≤ x ∧ x ≤ 12
⇐⇒ x ∈ [−6, 12].
Por lo tanto A = [−6, 12]. Por otro lado,
x ∈ B ⇐⇒ x + 4 ≤ 1
⇐⇒ x ≤ −3
⇐⇒ x ∈ (−∞, −3].
De donde B = (−∞, −3]. Así, A ∩ B = [−6, 12] ∩ (−∞, −3] = [−6, −3].
10. El conjunto solución de la inecuación
√
25 − x2 < 4 es:
a) [−5, −3) ∪ (3, 5]
b) (−5, −3] ∪ [3, 5)
c) [−5, 5]
d) (−3, 3)
Solución. La opción correcta es a). Se tiene que la restricción para la ecuación es
25 − x2
≥ 0.
Además,
25 − x2
≥ 0 ⇐⇒ x2
≤ 25 ⇐⇒
√
x2 ≤
√
25 ⇐⇒ |x| ≤ 5 ⇐⇒ −5 ≤ x ∧ x ≤ 5.
Por lo tanto, el conjunto de valores admisibles de la ecuación es [−5, 5]. Por otro lado, se tiene que
25 − x2 < 4 =⇒ 25 − x2
< 16
⇐⇒ x2
> 9
5

6. ⇐⇒
√
x2 >
√
9
⇐⇒ |x| > 3
⇐⇒ x < −3 ∨ x > 3.
Por lo tanto, el conjuntos de todas las posibles soluciones de la inecuación es (−∞, −3) ∪ (3, ∞). Ahora,
tomando en cuenta las restricciones, se tiene que el conjunto solución es
(−∞, −3) ∪ (3, ∞) ∩ [−5, 5] = [−5, −3) ∪ (3, 5].
EJERCICIOS:
1. Demostrar que la proposición x < y ∧ y = 6 se deduce a partir de las siguientes premisas:
• x < y ⇔ y > 4
• y = 6 ⇔ x + y = 10
• y > 4 ∧ ¬(x + y = 10)
Demostración. Tomemos las proposiciones:
• p: x < y;
• q: y > 4;
• r: y = 6; y
• s: x + y = 10.
Se sigue el siguiente razonamiento
1) p ⇔ q Hipótesis.
2) r ⇔ s Hipótesis.
3) q ∧ ¬(¬s) Hipótesis.
4) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) Equivalencia de ⇔ en 1).
5) (r ⇒ s) ∧ (s ⇒ r) Equivalencia de ⇔ en 2).
6) q ⇒ p Eliminación de la conjunción en 4).
7) s ⇒ r Eliminación de la conjunción en 5).
8) q Eliminación de la conjunción en 3).
9) ¬(¬s) Eliminación de la conjunción en 3).
10) s Doble negación en 3).
11) p Modus Ponens entre 6) y 8).
12) r Modus Ponens entre 7) y 10).
13) p ∧ r Introducción de la conjunción entre 11) y 12).
Por lo tanto, a partir de las premisas se deduce p ∧ r, es de decir, se deduce la proposición x < y ∧ y = 6.
2. El Departamento de Formación Básica cuenta con 800 estudiantes. Las materias que se dictan en él son:
Física, Matemática y Química. A través de una encuesta, se obtuvieron los siguientes datos: El número de
estudiantes que toman Física es 490; Matemática, 160; y Química, 320. Los estudiantes que toman Física y
Matemática son 90; Física y Química, 20; Matemática y Química, 70. Determinar la cantidad de estudiantes
que
a) toman las 3 asignaturas simultáneamente; y
6

7. b) toman solo Química.
Solución. Tomemos los siguientes conjuntos:
• M: el conjuntos de los estudiantes que toman Matemática;
• F: el conjuntos de los estudiantes que toman Física; y
• Q: el conjuntos de los estudiantes que toman Química.
El enunciado da los siguientes datos:
• |M ∪ F ∪ Q| = 800
• |F| = 490
• |M| = 160
• |Q| = 320
• |F ∩ M| = 90
• |F ∩ Q| = 20
• |M ∩ Q| = 70
Se desea conocer |M ∩ F ∩ Q| y |Q (M ∪ F)|. Si nombramos x = |M ∩ F ∩ Q|, gráficamente se tiene
que
x
90 − x
70 − x20 − x
F M
Q
490−
110+
x
160−
160+
x
320 − 90 + x
Con esto, se tiene que
800 = (490 − 110 + x) + (160 − 160 + x) + (320 − 90 + x) + (90 − x) + (70 − x) + (20 − x) + x = 790 + x,
por lo tanto, x = 10. Así, |M ∩ F ∩ Q| = x = 10 y |Q (M ∪ F)| = 320 − 90 − x = 240, es decir, la cantidad
de estudiantes que toman las 3 asignaturas simultáneamente es igual a 10 y la cantidad de estudiantes que
toman solo Química es igual a 240.
3. Demostrar que para todo n ∈ N {0}, se cumple que
n
∑
k=1
k(k!) = (n + 1)! − 1.
Demostración. Para n ∈ N, consideremos la proposición
P(n) :
n
∑
k=1
k(k!) = (n + 1)! − 1.
Procedamos por inducción sobre n.
i) Verifiquemos que P(1) es verdadera, se tiene que
1
∑
k=1
k(k!) = 1(1!) = 1,
7

8. y por otro lado,
(1 + 1)! − 1 = 2! − 1 = 1,
por lo tanto,
1
∑
k=1
k(k!) = (1 + 1)! − 1,
es decir, P(1) es verdadera.
ii) Supongamos que se cumple P(n), es decir, suponemos que
n
∑
k=1
k(k!) = (n + 1)! − 1.
Se procederá a demostrar que P(n + 1) también es verdadera, es decir, se procederá a demostrar que
n+1
∑
k=1
k(k!) = (n + 2)! − 1.
Así, se tiene que
n+1
∑
k=1
k(k!) =
n
∑
k=1
k(k!) + (n + 1) ((n + 1)!)
= (n + 1)! − 1 + (n + 1) ((n + 1)!)
= (1 + n + 1) ((n + 1)!) − 1
= (n + 2) ((n + 1)!) − 1
= (n + 2)! − 1.
Con esto, se tiene que P(n) es verdadera para todo n ∈ N con n ≥ 1, es decir, para todo n ∈ N {0}.
4. Hallar el conjunto solución de la inecuación
|2x + 5| (x − 4)2
x − 4
≤ (x + 1)2
.
Solución. La inecuación es equivalente a
|2x + 5||x − 4|
x − 4
≤ (x + 1)2
.
Así, la restricción para la ecuación es x − 4 = 0, es decir x = 4. Para eliminar los valores absolutos, se
pueden considerar los siguientes casos:
x (−∞, −5/2] (−5/2, 4) (4, +∞)
2x + 5 − + +
x − 4 − − +
Casos i) ii) iii)
i) Suponemos que x ∈ (−∞, −5/2]. Así,
|2x + 5| = −(2x + 5) y |x − 4| = −(x − 4).
Por lo tanto
|2x + 5||x − 4|
x − 4
≤ (x + 1)2
⇐⇒
−(2x + 5)(−(x − 4))
x − 4
≤ (x + 1)2
⇐⇒
(2x + 5)(x − 4)
x − 4
≤ (x + 1)2
⇐⇒ 2x + 5 ≤ x2
+ 2x + 1
8

9. ⇐⇒ x2
≥ 4
⇐⇒ |x| ≥ 2
⇐⇒ x ≤ −2 ∨ x ≥ 2
Entonces, el conjunto de x ∈ (−∞, −5/2] que cumplen la ecuación es (−∞, −2] ∪ [2, +∞) ∩ (−∞, −5/2] =
(−∞, −5/2].
ii) Suponemos que x ∈ (−5/2, 4). Así,
|2x + 5| = 2x + 5 y |x − 4| = −(x − 4).
Por lo tanto,
|2x + 5||x − 4|
x − 4
≤ (x + 1)2
⇐⇒
(2x + 5)(−(x − 4))
x − 4
≤ (x + 1)2
⇐⇒
−(2x + 5)(x − 4)
x − 4
≤ (x + 1)2
⇐⇒ −2x − 5 ≤ x2
+ 2x + 1
⇐⇒ x2
+ 4x + 6 ≥ 0
⇐⇒ (x + 2)2
+ 2 ≥ 0
Dado que la última proposición es siempre verdadera, el conjunto de x ∈ (−5/2, 4) que cumplen la
ecuación es R ∩ (−5/2, 4) = (−5/2, 4).
iii) Suponemos que x ∈ (4, +∞). Así,
|2x + 5| = 2x + 5 y |x − 4| = x − 4.
Por lo tanto,
|2x + 5||x − 4|
x − 4
≤ (x + 1)2
⇐⇒
(2x + 5)(x − 4)
x − 4
≤ (x + 1)2
⇐⇒ 2x + 5 ≤ x2
+ 2x + 1
⇐⇒ x2
≥ 4
⇐⇒ |x| ≥ 2
⇐⇒ x ≤ −2 ∨ x ≥ 2
Entonces, el conjunto de x ∈ (4, +∞) que cumplen la ecuación es (−∞, −2] ∪ [2, +∞) ∩ (4, +∞) =
(4, +∞).
Por lo tanto, ya que se debe dar alguno de los casos, se tiene que el conjunto solución de la inecuación es
(−∞, −5/2] ∪ (−5/2, 4) ∪ (4, +∞) = (−∞, 4) ∪ (4, +∞) = R {4}.
5. Hallar el conjunto solución de la inecuación
√
x − 1 +
√
x + 1 < 2
√
x.
Solución. Se tiene que las restricciones de la inecuación son
x ≥ 0,
√
x + 1 ≥ 0 y
√
x − 1 ≥ 0;
que equivalen a
x ≥ 0,
√
x ≥ −1 y
√
x ≥ 1.
Por lo tanto, el conjunto de valores admisibles de la inecuación es [1, +∞). Por otro lado, dado que ambos
términos de la inecuación son positivos, se tiene que
√
x − 1 +
√
x + 1 < 2
√
x ⇐⇒
√
x − 1 +
√
x + 1
2
< 2
√
x
2
9

10. ⇐⇒
√
x − 1 + 2 (
√
x − 1)(
√
x + 1) +
√
x + 1 < 2
√
x
⇐⇒ 2 (
√
x − 1)(
√
x + 1) < 0
⇐⇒
√
x − 1 < 0.
Dado que la raíz cuadrada de un número es siempre mayor o igual a 0, se tiene que la última proposición
es siempre falsa, por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es ∅ ∩ [1, +∞) = ∅.
10