CALCULO DIFERENCIAL

1. LÍMITE TRIGONOMETRICO

2. Supongamos que 0 <x< pi/2 y la
circunferencia centrada en el origen de
radio 1

3. El punto T, pasa por el origen (0,0) y por el
punto
P( cos x, sen x)
Obtenemos la recta conociendo los dos
senx
puntos
y=
t
cos x
Cuando t=1, obtenemos el punto T (1, senx/
cosx)

4. De la figura se observa que
BOP(TRIANGULO) ≤ BOP( SECTORCIRC ) ≤ BOT (TRIANGULO)
1
1
1
AP OB ≤ r 2θ ≤ BT OB
2
2
2
1
( sen x ) (1) ≤ 1 (1) 2 ( x) ≤ 1 sen x (1)
2
2
2 cos x
Multiplica cada miembro por 2/senx ,
entre 0<x<pi/2 x
1
1≤
senx
≤
cos x

5. Se toma el reciproco de cada miembro
de esta desigualdad (invertimos los
signos de la desigualdad)
senx
cos x ≤
≤1
x
La expresión senx/x es positiva para –pi/
2<x<pi/2
lim cos x = 1
x→ 0
y
lim 1 = 1
x→ 0

6. sen x
lim x = 1
x→ 0

7. Demostración 2
1 − cos x
lim x = 0
x→ 0
Multiplico y divido por un factor
1 − cos x 1 + cos x
lim x . 1 + cos x
x→ 0
1 − cos 2 x
lim x(1 + cos x)
x→ 0
Aplico identidad trigonométrica
lim
x→ 0
sen 2 x
x (1 + cos x )

8. senx
senx
lim x lim 1 + cos x
x→ 0
x→ 0
1.
0
2
=
0

9. RESUMEN
sen x
=1
lim x
x→ 0
1 − cos x
lim x = 0
x→ 0

10. EJEMPLOS
1 − cos x
lim sen x
x→ 0
1.−
tg x
lim x
x→ 0
4.−
2.−
x
lim sen x
x→ 0
5.− lim sen 4 x
3.−
sen 4 x
lim x
x→ 0
sen 5 x
x→ 0
6.−
2 tan 2 x
lim x 2
x→ 0

11. EJEMPLOS
1 − cos x
lim sen x
x→ 0
1.−
tg x
lim x
x→ 0
4.−
2.−
x
lim sen x
x→ 0
5.− lim sen 4 x
3.−
sen 4 x
lim x
x→ 0
sen 5 x
x→ 0
6.−
2 tan 2 x
lim x 2
x→ 0