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Longitud de una curva.
Sabemos lo que significa la longitud de un segmento recto. En particular, si
tenemos dos puntos del
plano A = (a1, a2 ) y ( ) 1 2 B = b ,b , la longitud del segmento AB es, según el
teorema de Pitágoras,
( )2 ( )2
1 1 2 2 . b − a + b − a Análogamente, si ( ) 1 2 3 A = a , a , a y ( ) 1 2 3 B = b ,b ,b
son puntos del espacio
tridimensional, la longitud del segmento AB es, ahora, ( )2 ( )2 ( )2
1 1 2 2 3 3 . b − a + b − a + b − a Sin embargo,
no tenemos una noción precisa de la longitud de segmentos curvilíneos. Este es el
objetivo de
esta sección: medir la longitud de un trozo de curva.
Comenzaremos con el caso más simple, la gráfica de una función y : x∈ a,b ⎡⎣ ⎤⎦
⊆ � → y = y(x) ∈�
que es derivable y tiene derivada continua. Para calcular la longitud de la curva,
aproximamos ésta
mediante la longitud de una línea poligonal cuyos vértices son puntos de la curva
C.
Veamos esto con un poco más de detalle. Tomemos una partición x0 = a < x1 < x2
<� < xn = b del
intervalo [a,b]. En la figura hemos representado la curva y = y(x) y el segmento k L
de la poligonal
correspondiente a los puntos ( ) 1 1 1 : ,( ) k k k P x yx − − − = y : ( , ( )). k k k P = x
y x Una aproximación de la
longitud total L de la curva y = y(x) en el intervalo [a,b] es
1
.
n
k
k
L L
=
≈ Σ Es más, cuando el diámetro
de la partición disminuye a cero (y los puntos de la partición aumentan), la suma
de las longitudes
estos segmentos se aproxima a la longitud total L. Por otra parte, aplicando el
teorema del valor
medio de Lagrange a la función y = y(x) en cada intervalo 1 [ , ], k k x x − existirá (
) 1, k k k t x x − ∈ tal
que 1 1 ( ) ( ) ( )( ). k k k k k y x y x y t x x − − − = ′ − Con esto obtenemos que
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2
1 1
( ) ( ) ( )
1 ( ) 1 ( ) .
k k k k k k k k k k
k k k k k k
L x x yx yx x x yt x x
y t x x y t x x
− − − −
− −
= − + − = − + ′ −
= + ′ − = + ′ −
2
Entonces
Lk
k=1
nΣ
= 1+ y′(tk )2 xk − xk−1 ( )
k=1
nΣ
Suma de Riemann de la función 1+ y′( x)2
�����������
1 ( )2 .
b
a
→∫ + y′ x dx Este argumento justifica la fórmula
para el cálculo de la longitud de una curva de la siguiente definición.
DEFINICIÓN. Si C es la curva dada por la gráfica de una función y : x∈ a,b ⎡⎣ ⎤⎦
⊆ � → y = y(x) ∈�,
que es derivable y tiene derivada continua, entonces la longitud de C está dada
por la integral
longitud( ) 1 ( )2 .
b
a
C = ∫ + y′ x dx
En general, no es fácil calcular una longitud de arco, como veremos en el siguiente
ejemplo.
EJEMPLO. Vamos a calcular ahora la longitud del trozo de la parábola y = x2
correspondiente al intervalo
0 ≤ x ≤1. Aplicando la fórmula de la longitud de una curva a la función y(x) = x2 en
el intervalo
[0,1] obtenemos que dicha longitud viene dada por la integral
1
2
0
L = ∫ 1+ 4x dx. Esta integral
se puede calcular, con el cambio de variables 1 tan
2
x = u pero el proceso que sigue es largo y
complicado1. Nosotros no seguiremos este camino que hemos esquematizado a
pie de página sino
que emplearemos otro cambio de variables en el que intervienen las funciones
hiperbólicas.
( )
0 0
0 0
1
2 2
0 0 0
0
0 0
0 0
2 senh , 1 cosh 1 4 cosh 1 cosh 1 cosh 2
0, 0; 1,2 senh 2 2
1 1 1 cosh (2 ) 1 1 senh(2 ) 1 1 senh(2 ) .
2 2 4 2 4 2
t t
t t
x t dx tdt
L x dx t t dt t dt
x t x t
t dt t t t t
⎡ = = ⎤ = + = ⎢ ⎥ = =
⎢ ⎥
⎢⎣ = = = = ⎥⎦
= + = ⎛ + ⎤ = ⎛ + ⎞ ⎜ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎦ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫
Vamos a calcular ahora los valores 0 t y 0 senh(2t ). Comenzaremos por el
segundo. Sabemos que
1 NOTA. Para el cálculo de la integral
1
2
0
∫ 1+ 4x se puede proceder de la siguiente forma.
( )
0 0
0
1
2 2
3 2 2 0 0 0 0 0 0
0
2 2
0
2 tan , 1 sen , cos 1 1 4 2cos
0, 0; 1, tan 2 2 cos 0, 0; , sen 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 log 1 1 1
2 4 1 4 ( 1) 4 1 4 ( 1) 8 1 1 1
u t
t
x u dx du t u dt u du x du dt u
x u x u u u t u u t u t
dt t
t t t t t t t
⎡ = = ⎤ ⎡ = = ⎤ + = ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ = = = = ⎦ − ⎢⎣ = = = = ⎥⎦
⎛ ⎞ +
= ⎜ − + + + ⎟ = − − ⎝ − − + + ⎠ − − +
∫ ∫ ∫
∫ 0
0
1 4 5 log 5 2 5 1.47894.
8 5 2 5
t ⎛ ⎤
⎜ ⎥ ⎝ ⎦
⎛ + ⎞
= ⎜⎜ + ⎟⎟ ≈ ⎝ − ⎠
Para el cálculo de 0 t observemos que 0 0 t = sen u y como 0 tan u = 2, tenemos
que 0 0
cos 1 sen .
2
u = u De la fórmula
2 2
0 0 cos u + sen u =1 deducimos que 0 0
sen 2 .
5
t = u =
3
2 2
cosh t0 =1+ senh t0 = 5, luego 0 cosh t = 5. Por otra parte, sabemos que se
verifica
0 0 0 senh(2t ) = 2senh t cosh t = 4 5.
Finalizamos calculando el valor 0t . Para ello, como 0 2 = senh t , obtenemos 0 0
1( ) 2.
2
et − e−t = Llamemos
z = et0 . Entonces z 1 4,
z
− = luego z2 − 4z −1= 0. Por tanto, z = 2 ± 5. Puesto que 0 t > 0 y
0 t = log z, tenemos que 0 t = log(2 + 5). Con todo esto concluimos que la longitud
del arco de la
parábola vale 1 (log(2 5) 2 5 ) 1.47894.
4
L= + + ≈
Un argumento similar al descrito anteriormente permite definir la longitud de una
curva parametrizada
plana regular. Consideremos una curva plana regular C parametrizada por
C:t ∈[a,b]→C(t) = (x(t), y(t)) ∈�2
y una partición 0 1 2 n t = a < t < t <�< t = b del intervalo [a,b]. Denotemos por k L
al segmento de la
poligonal correspondiente a los puntos ( ) 1 1 1 : ( ), ( ) k k k P xt yt − − − = y : ( ( ),
( )). k k k P = x t y t Ahora, como
antes, aproximamos la longitud total L de la curva C por la suma
1
.
n
k
k
L L
=
≈ Σ Es más, cuando el
diámetro de la partición disminuye a cero (y los puntos de la partición aumentan),
la suma de las
longitudes de estos segmentos se aproxima a la longitud total L. Por otra parte,
aplicando el teorema
del valor medio de Lagrange a las funciones x = x(t) e y = y(t) en cada intervalo 1 [
, ], k k x x −
existirán puntos k u y k v en el intervalo ( ) 1, k k t t − tales que
1 1 ( ) ( ) ( )( ) k k k k k xt xt x v t t − − − = ′ − e 1 1 ( ) ( ) ( )( ). k k k k k yt yt y v t t −
− − = ′ −
Con esto obtenemos que
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) .
k k k k k k k k k k k
k k k k k k k k
L xt xt yt yt xu t t yv t t
x u y v t t x u y v t t
− − − −
− −
= − + − = ′ − + ′ −
= ′ + ′ − = ′ + ′ −
Entonces ( 2 2 ) ( )
1
1 1
( ) ( ) .
n n
k k k k k
k k
L xu yv t t−
= =
Σ =Σ ′ + ′ − Aunque esta suma no es una suma de Riemann,
puesto que en general , k k u ≠ v se puede probar que, cuando la norma de la
partición tiende a cero,
la suma converge a la integral ( )2 ( )2 .
b
a
∫ x′ t + y′ t dt Este argumento justifica la fórmula para el
cálculo de la longitud de una curva plana de la siguiente definición.
DEFINICIÓN. Si C es una curva plana regular parametrizada por
C:t ∈ a,b ⎡⎣
⎤⎦
⊆ �→C(t) = (x(t), y(t)) ∈�2 ,
4
entonces la longitud de C está dada por la integral
longitud( ) ( )2 ( )2 .
b
a
C = ∫ x′ t + y′ t dt
OBSERVACIÓN. Observa que C′(t) = ( x′(t), y′(t)) y, por tanto, C′(t) = x′(t)2 + y′(t)2
es la norma
(o longitud del vector tangente). Con esta notación, tenemos que longitud( ) ( ) .
b
a
C = ∫ C′ t dt
EJEMPLO. Vamos a calcular la longitud de arco de la astroide, que es la curva de
ecuación cartesiana
2 2
x3 + y3 =1. La astroide se puede parametrizar por las funciones
x = x(t) = cos3 t, y = y(t) = sen3 t, donde t∈[0,2π ].
En la siguiente figura se muestra una representación de esta curva, que se obtiene
estudiando la función
3
2 2
y 1 x3 ,
⎛ ⎞
= ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
teniendo en consideración que esta curva es simétrica respecto del eje OY y
respecto del eje OX.
Derivando en las ecuaciones paramétricas de la curva tenemos que
2
2
( ) 3cos sen ,
( ) 3sen cos ,
xt t t
yt t t
′ ⎧ = − ⎪⎨
⎩⎪ ′ =
luego
x′(t)2 + y′(t)2 = 9cos2 t sen2 t (cos2 t + sen2 t ) = 9cos2 t sen2 t = 3 cos t sen t .
Usando la simetría de la curva, podemos calcular sólo la longitud del primer
cuadrante (y multiplicar
por cuatro) con lo que 0
2
t
π
≤ ≤ y cos t sen t ≥ 0. Teniendo esto en cuenta obtenemos que la
longitud total de la astroide es
2 2 2
0 0
4 3cos sen 12 sen 6.
2
L t tdt t
π π ⎛ ⎤
= = ⎜ ⎥ =
⎝ ⎦ ∫
5
EJEMPLO. Para calcular la longitud de un arco de cicloide x(t) = at − asen t e y(t)
= a − a cost, obtenemos
que x′(t)2 + y′(t)2 = a2 + a2 cos2 t − 2a2 cos t + a2 sen2 t = 2a2 (1− cos t). Por
tanto, tenemos
que x′(t)2 + y′(t)2 = 2a 1− cos t y
2 2 2 2
2
0 0 0 0
2
0
2 1 cos 2 2sen 2 sen 2 sen
2 2 2
2 2cos 8.
2
L a tdt a t dt a t dt a t dt
a t a
π π π π
π
= − = = =
= ⎛− ⎤ = ⎜ ⎥ ⎝ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
OBSERVACIÓN. Como decíamos antes, no siempre es fácil calcular la longitud de
una curva. Por
ejemplo, intentemos calcular la longitud de un arco de elipse de semiejes a,b > 0 ,
parametrizada
por C(t) = (a cos t,bsen t), con t∈[0,2π ]. El vector tangente es C′(t) = (−asen t,bcos
t), luego
C′(t) = a2 sen2 t + b2 cos2 t. Entonces tenemos que
2
2 2 2 2
0
longitud( ) ( ) sen cos ,
b
a
C Ct dt a t b tdt
π
= ∫ ′ = ∫ +
pero es conocido que esta integral no se puede calcular usando la regla de
Barrow. Se trata de una
integral elíptica y no es posible encontrar una primitiva de la función del
integrando.
OBSERVACIÓN. Para una curva en polares, dada por la ecuación polar r = r(θ ),
con α ≤θ ≤ β , y
siendo r = r(θ ) una función derivable con derivada continua, tenemos una
parametrización dada
por C:θ ∈ α ,β ⎡⎣
⎤⎦
→C(θ ) = (r (θ )cosθ ,r (θ )senθ ) ∈�2 y, por tanto, C′(θ ) = r(θ )2 + r′(θ )2 , con
lo cual tenemos que longitud(C) C ( ) d r( )2 r ( )2 d .
β β
α α
= ∫ ′ θ θ = ∫ θ + ′ θ θ
EJEMPLO. Calculemos la longitud de arco de la cardioide de ecuación r =1− cosθ
. Según acabamos
que comprobar, la longitud está dada por la fórmula
( )
2 2
2 2 2 2
0 0
2 2
2 2
2
0 2 0
2 2 2
0 0 0
longitud( ) ( ) ( ) (1 cos ) sen 2(1 cos )
cos(2 ) cos sen
2 1 cos 1 2 2sen sen 1 cos(2 ) 2
2
2 sen 2 sen 2 2cos 8.
2 2 2
C r r d d d
x x x
d d
x x
d d
β π π
α
π π
π π π
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ
= + ′ = − + = −
⎡ = − ⎤
= − = ⎢ ⎥ = ⎢ = − ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
= = = ⎛− ⎤ = ⎜ ⎥ ⎝ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
EJEMPLO. Ahora calcularemos la longitud de la lemniscata r = cos(2θ ). Usando la
simetría de la
curva y la fórmula de la longitud en coordenadas polares tenemos que L r( )2 r ( )2
d
β
α
= ∫ θ + ′ θ θ y,
6
teniendo en cuenta que ( )2 ( )2 1 ,
cos(2 )
r θ r θ
θ
+ ′ = obtenemos que 4
0
4 .
cos(2 )
L d
π θ
θ
= ∫ Esta integral
impropia es convergente, pero no se puede calcular con la regla de Barrow. Sin
embargo,
sabemos que
L = 4 dθ
0 cos(2θ )
π
4 ∫ = [u = 2θ ] = 2 du
0 cosu
π
2 ∫ = B 1
2
, 1
4
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
=
Γ 1
2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⋅ Γ 1
4
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Γ 3
4
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
=
π ⋅ Γ 1
4
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Γ 3
4
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
=
π ⋅ Γ 1
4
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Γ 3
4
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
.
Sabiendo que 1
2
Γ⎛⎜ ⎞⎟ = π
⎝ ⎠
y usando las aproximaciones 1 3.62561
4
Γ⎛ ⎞ ≈ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
y 3 1.22542
4
Γ⎛ ⎞ ≈ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
obtenemos
el valor aproximado de la longitud de arco de la lemniscata 4
0
4 5.24412.
cos(2 )
L d
π θ
θ
= ∫ ≈
En general, para una curva regular en �3, siguiendo un procedimiento similar al
caso de curvas
planas se define su longitud de la siguiente forma.
DEFINICIÓN. Si C es una curva regular en �3, parametrizada por
C:t ∈ a,b ⎡⎣
⎤⎦
⊆ �→C(t) = (x(t), y(t),z(t)) ∈�3,
entonces la longitud de C está dada por la integral
longitud( ) ( ) ( )2 ( )2 ( )2 .
b b
a a
C = ∫ C′ t dt = ∫ x′ t + y′ t + z′ t dt
EJEMPLO. Vamos a calcular la longitud de una espira de la hélice circular C(t) =
(a cost,asen t,bt),
con t∈[0,2π ] y a > 0, b ≠ 0. En este caso C′(t) = (−asen t,a cost,b) y C′(t) = a2 + b2
. Entonces,
la longitud de una espira es
2 2
2 2 2 2
0 0
longitud(C) C (t) dt a b dt 2 a b .
π π
= ∫ ′ = ∫ + = π +
EJEMPLO. Vamos a calcular la longitud de arco de la curva dada por la
intersección del cilindro
x2 − x + y2 = 0 con la esfera unidad x2 + y2 + z2 =1. En primer lugar vamos a
tratar de visualizar la
curva intersección del cilindro con la esfera. Comencemos con la esfera. Los
puntos de la esfera son
todos aquellos P= (x, y,z) ∈�3 que verifican x2 + y2 + z2 =1. Como la expresión x2
+ y2 + z2 describe
analíticamente el cuadrado de la distancia (en �3) del punto P = (x, y, z) al origen
de coordenadas,
los puntos de la esfera x2 + y2 + z2 =1 son todos los puntos de �3 cuya distancia
al origen es
constante e igual a 1. Vamos a trabajar ahora con el cilindro x2 − x + y2 = 0. Esta
superficie está
formada por los puntos P = (x, y,z) ∈�3 que verifican esta ecuación. Observemos
que si un punto
0 0 0 (x , y , z ) pertenece al cilindro y, por tanto, verifica 2 2
0 0 0 x − x + y = 0, al variar la coordenada z y
7
Eje OX Eje OY
Eje OZ
x2+y2+z2=1
x2 - x+y2=0
considerar cualquier punto de la forma (x0 , y0 , z), estos puntos también verifican
la ecuación y, por
tanto, también pertenecen al cilindro. En definitiva, esto nos dice que si el punto 0
0 0 (x , y , z ) pertenece
al cilindro, entonces todos los puntos de la recta que pasa por este punto y es
paralela al eje
OZ también pertenecen al cilindro. Entonces, para visualizar esta superficie, basta
describir con
detalle, por ejemplo, los puntos del cilindro que están en el plano OXY, que son
todos aquellos
puntos (x, y,0) que verifican la ecuación x2 − x + y2 = 0. Esta ecuación se puede
reescribir de la
forma
2
1 2 1 ,
2 4
⎛⎜ x − ⎞⎟ + y =
⎝ ⎠
vemos así que representa, en el plano z = 0, una circunferencia centrada
en el punto 1 ,0
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
y radio 1 .
2
Estas consideraciones nos permiten visualizar la esfera y el cilindro
de la forma tal como se muestra en la siguiente figura, donde hemos representado
también la curva
intersección de estas dos superficies.
Debido a la simetría de la curva, para calcular su longitud basta trabajar en el
semiespacio superior.
Veamos cómo es, con más detalle, la curva en este semiespacio y cómo podemos
parametrizarla.
Para parametrizar esta curva, recorrida por el punto P = (x, y, z), basta
parametrizar su proyección
sobre el plano OXY, recorrida por el correspondiente punto Q = (x, y,0). La
proyección de la curva
sobre el plano OXY coincide con la del cilindro que, como sabemos, es la
circunferencia de ecuación
x2 − x + y2 = 0. Es fácil comprobar que su ecuación polar es r(θ ) = cosθ , donde .
2 2
π π
− ≤θ ≤
Entonces obtenemos la parametrización
( ) ( ) cos cos2 ,
( ) ( )sen 1 sen(2 ),
2
x r
y r
θ θ θ θ
θ θ θ θ
⎧ = =
⎪⎨
= = ⎪⎩
con .
2 2
π π
− ≤θ ≤
Observemos que las coordenadas x e y del punto P son las mismas que las del
punto Q. Y, puesto
que el punto P está en la esfera, su coordenada z se puede obtener por la
igualdad
8
z = 1− x2 − y2 = 1− r2 = 1− cos2θ = sen2θ = senθ .
De nuevo (y con objeto de evitar el valor absoluto) usamos la simetría y nos
limitaremos a calcular
la longitud de un cuarto de la curva, el que se obtiene cuando 0 .
2
π
≤θ ≤ En este intervalo el seno es
positivo y ( ) cos2 , 1 sen(2 ),sen ,
2
C θ = ⎛⎜ θ θ θ ⎞⎟
⎝ ⎠
con 0 ,
2
π
≤θ ≤ es una parametrización de un cuarto de
la curva, concretamente el que se encuentra en el octante positivo. Como la
derivada es
C′(θ ) = (−2cosθ senθ ,cos 2θ ,cosθ ) = (−sen 2θ ,cos 2θ ,cosθ ),
tenemos C′(θ ) = sen2 2θ + cos2 2θ + cos2θ = 1+ cos2θ . Por tanto, la longitud de
la curva está
dada por 2 2
0
L 4 1 cos d .
π
= ∫ + θ θ Esta integral es una integral elíptica y no puede ser calculada mediante
la regla de Barrow. Sin embargo, con algún método numérico (que estudiarás en
otro curso)
se puede obtener una aproximación como la que mostramos a continuación
2 2
0
L 4 1 cos d 7.6404.
π
= ∫ + θ θ ≈
Es posible obtener otras parametrizaciones de esta curva. Por ejemplo, si usamos
para la curva proyección
la parametrización habitual de una circunferencia, centrada en 1 ,0
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
y radio 1 ,
2
es decir,
( ) 1 1 cos ,
2 2
( ) 1 sen
2
xt t
y t t
⎧ = + ⎪⎪⎨⎪
=
⎪⎩
con 0 ≤ t ≤ 2π ,
obtenemos, sabiendo que z = 1− x2 − y2 , la siguiente parametrización de la curva
( ) 1 1 cos , 1 sen , 1 1 cos ,
2 2 2 2
C t t t t = ⎛ + − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
con 0 ≤ t ≤ 2π .
Por otra parte, si usamos como parámetro la variable x, entonces podemos
parametrizar la semicircunferencia
superior de la proyección como (x, x − x2 ), con 0 ≤ x ≤1, y usando de nuevo que
z = 1− x2 − y2 obtenemos la siguiente parametrización de un cuarto de la curva
original
C(x) = (x, x − x2 , 1− x ), con 0 ≤ x ≤1.
No obstante, estas dos últimas parametrizaciones también conducen a integrales
para las que no es
posible obtener una primitiva y, por tanto, tampoco se pueden calcular mediante la
regla de Barrow.
EJERCICIO 1. Calcula la longitud de las siguientes curvas dadas por sus
ecuaciones polares:
9
a) r =θ , 0 ≤θ ≤ 2π b) r =θ 2 , 0 ≤θ ≤ 5 c) , 0
2
r e
θ
= ≤θ ≤π d) sen2 , 0
2
r θ
= ≤θ ≤π
e) 6 , 0
1 cos 2
r π
θ
θ
= ≤ ≤
+
f) cos3 , 0
3 4
r θ π
= ≤θ ≤ g) r = 1+ sen(2θ ), 0 ≤θ ≤ 2π
Nota. Para calcular la integral del apartado e) puedes realizar el siguiente cambio
de variables
tan ,
2
u
θ
= con lo que
2
2
cos 1
1
u
u
θ
−
=
+
y 2
2 .
1
d du
u
θ =
+
EJERCICIO 2. Calcula la longitud de los arcos de curva que se indican a
continuación:
a) C(t) = (2cos t,2sen t, 5t ), 0 ≤ t ≤π . b) C(t) = (2 + t,−(t +1),t ), 0 ≤ t ≤ 3.
c) ( ) (0,cos3 ,sen3 ), 0 .
2
C t t t t π
= ≤ ≤ d) C(t) = (6t3 ,−2t3 ,−3t3 ), 0 ≤ t ≤ 2.
e)
3
2 ( ) cos , sen , 2 2 , 0 .
3
C t t t t t t t π
⎛ ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ ≤
⎝ ⎠
f)
3
2 ( ) ,0, 2 , 0 8.
3
C t t t t
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ≤ ≤
⎝ ⎠
g) C(t) = (t sen t + cos t,t cos t − sen t,0), 2 ≤ t ≤ 2.
EJERCICIO 3. Determina el punto de la curva C(t) = (5cos t,5sen t,12t ) que se
encuentra a 26π
unidades del origen de coordenadas medidas a lo largo de la curva en el sentido
de aumento de la
longitud de arco.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 : Determine la longitud de la gr_a_ca de la ecuaci_on y = x2 en el
intervalo
_
0;
1
2
_
.
Soluci_on : Tenemos que la longitud de una curva de la forma y = f (x) en un
intervalo [a; b], viene dada por
s =
Z b
a
q
1 + [f0 (x)]2 dx
as__, puesto que f0 (x) = 2x tenemos
s =
Z 1=2
0
q
1 + [2x]2 dx =
Z 1=2
0
p
1 + 4x2 dx
hacemos el cambio trigonom_etrico
2x = tan t; 2dx = sec2 t dt =) dx =
1
2
sec2 t dt
de aqu__,
si x = 0; entonces tan t = 0 =) t = 0
si x =
1
2
; entonces tan t = 1 =) t =
_
4
la integral nos queda
Z 1=2
0
p
1 + 4x2 dx =
1
2
Z _4
0
p
1 + tan2 t sec2 t dt =
1
2
Z _4
0
p
sec2 t sec2 t dt =
1
2
Z _4
0
jsec tj sec2 t dt;
como sec t > 0 en el intervalo
h
0;
_
4
i
, entonces la integral queda
Z _4
0
sec t sec2 t dt, para calcular esta integral, integramos por partes
u = sec t Al derivar �����������! dt = sec t tan t dt
dv = sec2 t dt Al integrar
������������!
v = tan t
y se tiene
Z _4
0
sec t sec2 t dt =
sec t tan t
_____
_4 0
�
Z _4
0
sec t tan2 t dt =
sec t tan t
_____
_4
0
�
Z _4
0
sec t
�
sec2 t � 1
_
dt
=
sec t tan t
_____
_4
0
�
Z _4
0
sec3 t dt +
Z _4
0
sec t dt
as__
2
Z _4
0
sec t sec2 t dt =
sec t tan t
_____
_4
0
+
ln jsec t + tan tj
_____
_4
0
con lo que,
Z _4
0
sec t sec2 t dt =
1
2
sec t tan t
_____
_4
0
+
1
2
ln jsec t + tan tj
_____
_4
0
;
entonces,
Z _4
0
sec t sec2 t dt =
1
2
sec
__
4
_
tan
__
4
_
� sec (0) tan (0)
!
+
1
2
ln
__ _sec
__
4
_
+ tan
__
4
____
� ln jsec (0) + tan (0)j
!
y obtenemos Z _4
0
sec t sec2 t dt =
1
2
2
p
2
+
1
2
ln
____
2
p
2
+ 1
____
�
1
2
ln (1) =
p
2
2
+
1
2
ln
_p
2 + 1
_
1
luego Z 1=2
0
p
1 + 4x2 dx =
1
2
Z _4
0
sec t sec2 t dt =
1
2
p
2
2
+
1
2
ln
_p
2 + 1
_!
Finalmente, la longitud de la curva f (x) = x2 en el intervalo
_
0;
1
2
_
es
s =
p
2
4
+
1
4
ln
_p
2 + 1
_
F
Ejemplo 2 : Determine la longitud de la gr_a_ca de la ecuaci_on f (x) =
Z x
0
p
t + 3 dt en [0; 1].
Soluci_on :Tenemos que la longitud de una curva de la forma y = f (x) en un
intervalo [a; b] viene dada por
s =
Z b
a
q
1 + [f0 (x)]2 dx
as__, puesto que f0 (x) =
_Z x
0
p
t + 3 dt
_0
=
p
x + 3 tenemos
s =
Z 1
0
q
1 +
_p
x + 3
_2
dx =
Z 1
0
p
4 + x dx:
Hacemos el cambio de variable
u2 = 4 + x; 2u du = dx
de aqu__,
si x = 0; entonces u2 = 4 + (0) =) u = 2
si x = 1; entonces u2 = 4 + (1) =) u =
p
5
entonces,
Z 1
0
p
4 + x dx =
Z p
5
2
2u2 du =
_
2u3
3
____
p
5
2
=
2
_p
5
_3
3
�
2 (2)3
3
=
10
3
p
5 �
16
3
Luego, la longitud de la curva dada por f (x) =
Z x
0
p
t + 3 dt en [0; 1] es
s =
10
3
p
5 �
16
3
:
F
Ejemplo 3 : Determine la longitud de la gr_a_ca de la curva r dada en forma
param_etrica por las ecuaciones
r (t) =
8><
>:
x (t) = 4 sen t
y (t) = 4 cos t � 5
en el intervalo [0; _].
Soluci_on : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r (t) = (x (t) ; y (t)) en
un intervalo [a; b] viene dada por
s =
Z b
a
q
[x0 (t)]2 + [y0 (t)]2 dt;
como
x0 (t) = 4 cos t y y0 (t) = �4 sen t;
entonces
s =
Z _
0
q
[4 cos t]2 + [�4 sen t]2 dt =
Z _
0
q
16 (cos2 t + sen2 t) dt =
Z _
0
p
16 dt = 4_:
Luego, la longitud de la curva dada en forma param_etrica por r (t) = (4 sen t; 4
cos t � 5) en [0; _] es
s = 4_
F
2
Ejemplo 4 : Determine la longitud de la gr_a_ca de la curva r dada en forma
param_etrica por las ecuaciones
r (t) =
8><
>:
x (t) = a (t � sen t)
y (t) = a (1 � cos t)
en [0; 2_].
Soluci_on : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r (t) = (x (t) ; y (t)) en
un intervalo [a; b] viene dada por
s =
Z b
a
q
[x0 (t)]2 + [y0 (t)]2 dt;
como
x0 (t) = a (1 � cos t) y y0 (t) = a sen t;
entonces
s =
Z 2_
0
q
(a (1 � cos t))2 + (a sen t)2 dt
Desarrollando el argumento de la ra__z cuadrada
[x0 (t)]2 + [y0 (t)]2 = [a (1 � cos t)]2 + [a sen t]2 = a2
�
1 � 2 cos t + cos2 t
_
+ a2 sen2 t
= a2
�
1 � 2 cos t + cos2 t + sen2 t
_
= a2 (2 � 2 cos t) = 2a2 (1 � cos t)
es conocido que
sen2 (_) =
1 � cos 2 (_)
2
=) 2 sen2 (_) = 1 � cos 2 (_)
de aqu__,
1 � cos t = 1 � cos 2
_
t
2
_
= 2 sen2
_
t
2
_
por lo tanto,
_
x0 (t)
_2 +
_
y0 (t)
_2 = 4a2 sen2
_
t
2
_
;
entonces,
s =
Z 2_
0
s
4a2 sen2
_
t
2
_
dt =
Z 2_
0
2a
____
sen
_
t
2
_____
dt = 2a
Z 2_
0
____
sen
_
t
2
_____
dt
hacemos el cambio de variable
u =
t
2
; du =
1
2
dt =) 2 du = dt
de aqu__,
si t = 0; entonces u =
0
2
=) u = 0
si t = 2_; entonces u =
2_
2
=) u = _
con lo que,
s = 2a
Z _
0
jsen uj du = 2a
Z _
0
sen u du = 2a
�cos u
_____
_
0
= �2a
cos (_) � cos (0)
!
= 4a
Luego, la longitud de la curva dada en forma param_etrica por r (t) = (a (t � sen t) ;
a (1 � cos t)) en [0; 2_] es
s = 4a
F
Ejemplo 5 : Encuentre el _area de la super_cie de revoluci_on generada al girar la
curva dada por y =
p
x + 2
en el intervalo [�1; 3] alrededor del eje x
Soluci_on : Tenemos que el _area de la super_cie de una curva de la forma y = f
(x) con a _ x _ b cuando se hace girar alrededor del
eje x, viene dada por
S = 2_
Z b
a
f (x)
q
1 + [f0 (x)]2 dx;
3
como f0 (x) =
1
2
p
x + 2
, se tiene
S = 2_
Z 3
�1
p
x + 2
s
1 +
_
1
2
p
x + 2
_2
dx = 2_
Z 3
�1
p
x + 2
s
1 +
1
4 (x + 2)
dx = 2_
Z 3
�1
p
x + 2
s
4 (x + 2) + 1
4 (x + 2)
dx
= 2_
Z 3
�1
p
x + 2
p
4 (x + 2) + 1
2
p
x + 2
dx = _
Z 3
�1
p
4x + 9 dx
hacemos el cambio de variable
u = 4x + 9; du = 4 dx =)
du
4
= dx
de aqu__,
si x = �1; entonces u = 4 (�1) + 9 =) u = 5
si x = 3; entonces u = 4 (3) + 9 =) u = 21
con lo que,
S = _
Z 21
5
p
u
du
4
=
_
4
_
2
3
u3=2
____
21
5
=
_
6
(21)3=2 � (5)3=2
!
=
7_
2
p
21 �
5_
6
p
5
Luego
S =
7_
2
p
21 �
5_
6
p
5
F
Ejemplo 6 : Encuentre el _area de la super_cie de revoluci_on generada al girar la
curva dada por y = ln x en
el intervalo [1; 2] alrededor del eje y
Soluci_on : Tenemos que el _area de la super_cie de una curva de la forma y = f
(x) con a _ x _ b cuando se hace girar alrededor del
eje y, viene dada por
S = 2_
Z b
a
x
q
1 + [f0 (x)]2 dx;
como f0 (x) =
1
x
, se tiene
S = 2_
Z 2
1
x
s
1 +
_
1
x
_2
dx = 2_
Z 2
1
x
r
1 +
1
x2
dx = 2_
Z 2
1
p
x2 + 1 dx
Si hacemos el cambio trigonom_etrico
x = tan t; dx = sec2 t dt
obtenemos Z p
x2 + 1 dx =
Z
sec3 t dt =
1
2
sec t tan t +
1
2
ln jsec t + tan tj + C =
1
2
x
p
x2 + 1 +
1
2
ln
___
p
x2 + 1 + x
___
+ C:
Por lo tanto,
Z 2
1
p
x2 + 1 dx =
_
1
2
x
p
x2 + 1 +
1
2
ln
___
p
x2 + 1 + x
___
____
2
1
=
_
1
2
(2)
q
(2)2 + 1 +
1
2
ln
____
q
(2)2 + 1 + (2)
____
_
�
_
1
2
(1)
q
(1)2 + 1 +
1
2
ln
____
q
(1)2 + 1 + (1)
____
_
=
p
5 +
1
2
ln
___p
5 + 2
___
�
1
2
p
2 �
1
2
ln
___
p
2 + 1
___
=
p
5 +
1
2
ln
_____
p
5 + 2
p
2 + 1
_____
�
p
2
2
Luego
S = 2_
p
5 +
1
2
ln
_____
p
5 + 2
p
2 + 1
_____
�
p
2
2
!
F
Ejemplo 7 : Encuentre el _area de la super_cie de revoluci_on generada al girar la
curva param_etrica dada por
r (t) =
�
t2; t2
_
en [�1; 2] alrededor del eje x.
Soluci_on : Tenemos que el _area de la super_cie de una curva dada en forma
param_etrica r (t) = (x (t) ; y (t)) con a _ t _ b cuando se
hace girar alrededor del eje x, viene dada por
S = 2_
Z b
a
y (t)
q
[x0 (t)]2 + [y0 (t)]2 dt;
4
como
x0 (t) = 2t y y0 (t) = 2t;
entonces
S = 2_
Z 2
�1
t2
q
[2t]2 + [2t]2 dt = 2_
Z 2
�1
t2
p
4t2 + 4t2 dt = 2_
Z 2
�1
t2
p
8t2 dt = 4
p
2_
Z 2
�1
t2 jtj dt
= 4
p
2_
_
�
Z 0
�1
t3 dt +
Z 2
0
t3 dt
_
= 4
p
2_
"
�
(0)4
4
+
(�1)4
4
!
+
(2)4
4
�
(0)4
4
!#
= 4
p
2_
_
1
4
+ 4
_
= 17
p
2_
Luego
S = 17
p
2_
F
Ejercicios
1. Determine la longitud de la gr_a_ca de la ecuaci_on y = ex en el intervalo [0; 1].
2. Determine la longitud de la gr_a_ca de la ecuaci_on dada en el intervalo
indicado
1: y = x; [�1; 1] 2: y = x3=2 + 4; desde (0; 4) hasta (1; 5) 3: y = 2x + 1; [0; 3]
4: y = 3x2=3; [1; 8] 5: y =
Z x
1
p
u2 � 1 du; 1 _ x _ 2 6: y = 2
p
x + 1; [0; 3]
7: y =
Z x
_=6
p
64 sen2 u cos2 u � 1 du;
_
6 _ x _
_
3
8: 5x = y5=2 + 5y�1=2; [4; 9]
9: x = 4 � y2=3; [1; 8]
3. Determine la longitud de la gr_a_ca de la curva r dada en forma param_etrica
por las ecuaciones
r (t) =
8><
>:
x (t) = a cos t
y (t) = a sen t
en el intervalo [0; 2_].
4. Determine la longitud de la gr_a_ca de la curva r dada en forma param_etrica
por las ecuaciones
r (t) = (x (t) ; y (t)) =
�
3t2 + 2; 2t3 � 1
_
en el intervalo [1; 2].
5. Determine la longitud de la gr_a_ca de la curva r dada en forma param_etrica
por las ecuaciones
r (t) =
8><
>:
x (t) = t
y (t) = t2 + 1
en el intervalo [0; 1].
6. Considere la regi_on limitada por y = x y y = x2. Determine la longitud del borde
de la regi_on.
7. Considere la regi_on limitada por y =
p
x y y = x2. Determine la longitud del borde de la regi_on.
8. Considere la regi_on limitada por y = jxj y y = 2 � x2. Determine la longitud del
borde de la regi_on.
5
9. Encuentre el _area de la super_cie de revoluci_on generada al girar la curva
dada alrededor del eje x
1: y = 6x; 0 _ x _ 1 2: y =
p
25 � x2; �2 _ x _ 3
3: y = x3
3 ; 1 _ x _
p
7 4: x = t; y = t3; 0 _ t _ 1
10. Calcule el _area de la super_cie de revoluci_on generada al girar la curva
dada alrededor del eje y
1: y = 3
p
x + 2; 1 _ x _ 8 2: y = 4 � x2; 0 _ x _ 2
11. Se genera una esfera de radio r al girar la gr_a_ca de y =
p
r2 � x2 alrededor del eje x. Comprobar que
el _area de la super_cie de la esfera es 4_r.
12. Se obtiene la forma de una bombilla ornamental al girar la gr_a_ca de
y =
1
3 x1=2 � x3=2; 0 _ x _
1
3
alrededor del eje x, donde x e y se miden en pies. Calcular el _area de la
super_cie de la bombilla.
Respuestas: Ejercicios
1:
p
e2 + 1 �
p
2 + 1 + ln
____
p
p 2+1
e2+1+1
____
; 2:1: 2
p
2; 2:2: 13
p
13�8
27 ; 2:3: 3
p
5; 2:4: 16
p
2 � 5
p
5; 2:5: 8
p
2�2
5 ;
2:6: 2
_p
5 � 1
_
+ ln
_p
p5+2
2+1
_
; 2:7: 2; 2:8: 42:367; 2:9: 7:6337; 3: 2_a; 4: 10
p
5 � 4
p
2;
5:
p
5
2 + 1
4 ln
_p
5 + 2
_
; 6:
p
2 +
p
5
2 + 1
4 ln
_p
5 + 2
_
; 7:
p
5 + 1
2 ln
_p
5 + 2
_
; 8:
p
5 + 1
2 ln
_p
5 + 2
_
+ 2
p
2;
9:1: 6_
p
37; 9:2: 50_; 9:3: 248
9 _
p
2; 9:4: 2_
_
5
27
p
10 � 1
54
_
; 10:1: 2
3_
_
145
18
p
145 � 5
9
p
10
_
;
10:2: 2_
_
17
12
p
17 � 1
12
_
; 11: 4_r; 12: 1
3_
_
28
135
p
3 � 64
15
_
;

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Longitud de una curva

  • 1. Longitud de una curva. Sabemos lo que significa la longitud de un segmento recto. En particular, si tenemos dos puntos del plano A = (a1, a2 ) y ( ) 1 2 B = b ,b , la longitud del segmento AB es, según el teorema de Pitágoras, ( )2 ( )2 1 1 2 2 . b − a + b − a Análogamente, si ( ) 1 2 3 A = a , a , a y ( ) 1 2 3 B = b ,b ,b son puntos del espacio tridimensional, la longitud del segmento AB es, ahora, ( )2 ( )2 ( )2 1 1 2 2 3 3 . b − a + b − a + b − a Sin embargo, no tenemos una noción precisa de la longitud de segmentos curvilíneos. Este es el objetivo de esta sección: medir la longitud de un trozo de curva. Comenzaremos con el caso más simple, la gráfica de una función y : x∈ a,b ⎡⎣ ⎤⎦ ⊆ � → y = y(x) ∈� que es derivable y tiene derivada continua. Para calcular la longitud de la curva, aproximamos ésta mediante la longitud de una línea poligonal cuyos vértices son puntos de la curva C. Veamos esto con un poco más de detalle. Tomemos una partición x0 = a < x1 < x2 <� < xn = b del intervalo [a,b]. En la figura hemos representado la curva y = y(x) y el segmento k L de la poligonal correspondiente a los puntos ( ) 1 1 1 : ,( ) k k k P x yx − − − = y : ( , ( )). k k k P = x y x Una aproximación de la longitud total L de la curva y = y(x) en el intervalo [a,b] es 1 . n k k L L = ≈ Σ Es más, cuando el diámetro de la partición disminuye a cero (y los puntos de la partición aumentan), la suma de las longitudes estos segmentos se aproxima a la longitud total L. Por otra parte, aplicando el teorema del valor medio de Lagrange a la función y = y(x) en cada intervalo 1 [ , ], k k x x − existirá ( ) 1, k k k t x x − ∈ tal que 1 1 ( ) ( ) ( )( ). k k k k k y x y x y t x x − − − = ′ − Con esto obtenemos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1
  • 2. ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) . k k k k k k k k k k k k k k k k L x x yx yx x x yt x x y t x x y t x x − − − − − − = − + − = − + ′ − = + ′ − = + ′ − 2 Entonces Lk k=1 nΣ = 1+ y′(tk )2 xk − xk−1 ( ) k=1 nΣ Suma de Riemann de la función 1+ y′( x)2 ����������� 1 ( )2 . b a →∫ + y′ x dx Este argumento justifica la fórmula para el cálculo de la longitud de una curva de la siguiente definición. DEFINICIÓN. Si C es la curva dada por la gráfica de una función y : x∈ a,b ⎡⎣ ⎤⎦ ⊆ � → y = y(x) ∈�, que es derivable y tiene derivada continua, entonces la longitud de C está dada por la integral longitud( ) 1 ( )2 . b a C = ∫ + y′ x dx En general, no es fácil calcular una longitud de arco, como veremos en el siguiente ejemplo. EJEMPLO. Vamos a calcular ahora la longitud del trozo de la parábola y = x2 correspondiente al intervalo 0 ≤ x ≤1. Aplicando la fórmula de la longitud de una curva a la función y(x) = x2 en el intervalo [0,1] obtenemos que dicha longitud viene dada por la integral 1 2 0 L = ∫ 1+ 4x dx. Esta integral
  • 3. se puede calcular, con el cambio de variables 1 tan 2 x = u pero el proceso que sigue es largo y complicado1. Nosotros no seguiremos este camino que hemos esquematizado a pie de página sino que emplearemos otro cambio de variables en el que intervienen las funciones hiperbólicas. ( ) 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 senh , 1 cosh 1 4 cosh 1 cosh 1 cosh 2 0, 0; 1,2 senh 2 2 1 1 1 cosh (2 ) 1 1 senh(2 ) 1 1 senh(2 ) . 2 2 4 2 4 2 t t t t x t dx tdt L x dx t t dt t dt x t x t t dt t t t t ⎡ = = ⎤ = + = ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢⎣ = = = = ⎥⎦ = + = ⎛ + ⎤ = ⎛ + ⎞ ⎜ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎦ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ Vamos a calcular ahora los valores 0 t y 0 senh(2t ). Comenzaremos por el segundo. Sabemos que 1 NOTA. Para el cálculo de la integral 1 2 0 ∫ 1+ 4x se puede proceder de la siguiente forma. ( ) 0 0 0 1 2 2 3 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2
  • 4. 0 2 tan , 1 sen , cos 1 1 4 2cos 0, 0; 1, tan 2 2 cos 0, 0; , sen 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 log 1 1 1 2 4 1 4 ( 1) 4 1 4 ( 1) 8 1 1 1 u t t x u dx du t u dt u du x du dt u x u x u u u t u u t u t dt t t t t t t t t ⎡ = = ⎤ ⎡ = = ⎤ + = ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ = = = = ⎦ − ⎢⎣ = = = = ⎥⎦ ⎛ ⎞ + = ⎜ − + + + ⎟ = − − ⎝ − − + + ⎠ − − + ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 4 5 log 5 2 5 1.47894. 8 5 2 5 t ⎛ ⎤ ⎜ ⎥ ⎝ ⎦ ⎛ + ⎞ = ⎜⎜ + ⎟⎟ ≈ ⎝ − ⎠ Para el cálculo de 0 t observemos que 0 0 t = sen u y como 0 tan u = 2, tenemos que 0 0 cos 1 sen . 2 u = u De la fórmula 2 2 0 0 cos u + sen u =1 deducimos que 0 0 sen 2 . 5 t = u = 3 2 2 cosh t0 =1+ senh t0 = 5, luego 0 cosh t = 5. Por otra parte, sabemos que se verifica 0 0 0 senh(2t ) = 2senh t cosh t = 4 5. Finalizamos calculando el valor 0t . Para ello, como 0 2 = senh t , obtenemos 0 0 1( ) 2. 2 et − e−t = Llamemos z = et0 . Entonces z 1 4,
  • 5. z − = luego z2 − 4z −1= 0. Por tanto, z = 2 ± 5. Puesto que 0 t > 0 y 0 t = log z, tenemos que 0 t = log(2 + 5). Con todo esto concluimos que la longitud del arco de la parábola vale 1 (log(2 5) 2 5 ) 1.47894. 4 L= + + ≈ Un argumento similar al descrito anteriormente permite definir la longitud de una curva parametrizada plana regular. Consideremos una curva plana regular C parametrizada por C:t ∈[a,b]→C(t) = (x(t), y(t)) ∈�2 y una partición 0 1 2 n t = a < t < t <�< t = b del intervalo [a,b]. Denotemos por k L al segmento de la poligonal correspondiente a los puntos ( ) 1 1 1 : ( ), ( ) k k k P xt yt − − − = y : ( ( ), ( )). k k k P = x t y t Ahora, como antes, aproximamos la longitud total L de la curva C por la suma 1 . n k k L L = ≈ Σ Es más, cuando el diámetro de la partición disminuye a cero (y los puntos de la partición aumentan), la suma de las longitudes de estos segmentos se aproxima a la longitud total L. Por otra parte, aplicando el teorema del valor medio de Lagrange a las funciones x = x(t) e y = y(t) en cada intervalo 1 [ , ], k k x x − existirán puntos k u y k v en el intervalo ( ) 1, k k t t − tales que 1 1 ( ) ( ) ( )( ) k k k k k xt xt x v t t − − − = ′ − e 1 1 ( ) ( ) ( )( ). k k k k k yt yt y v t t − − − = ′ − Con esto obtenemos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . k k k k k k k k k k k k k k k k k k k L xt xt yt yt xu t t yv t t x u y v t t x u y v t t − − − −
  • 6. − − = − + − = ′ − + ′ − = ′ + ′ − = ′ + ′ − Entonces ( 2 2 ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) . n n k k k k k k k L xu yv t t− = = Σ =Σ ′ + ′ − Aunque esta suma no es una suma de Riemann, puesto que en general , k k u ≠ v se puede probar que, cuando la norma de la partición tiende a cero, la suma converge a la integral ( )2 ( )2 . b a ∫ x′ t + y′ t dt Este argumento justifica la fórmula para el cálculo de la longitud de una curva plana de la siguiente definición. DEFINICIÓN. Si C es una curva plana regular parametrizada por C:t ∈ a,b ⎡⎣ ⎤⎦ ⊆ �→C(t) = (x(t), y(t)) ∈�2 , 4 entonces la longitud de C está dada por la integral longitud( ) ( )2 ( )2 . b a C = ∫ x′ t + y′ t dt OBSERVACIÓN. Observa que C′(t) = ( x′(t), y′(t)) y, por tanto, C′(t) = x′(t)2 + y′(t)2 es la norma (o longitud del vector tangente). Con esta notación, tenemos que longitud( ) ( ) . b a C = ∫ C′ t dt EJEMPLO. Vamos a calcular la longitud de arco de la astroide, que es la curva de ecuación cartesiana 2 2 x3 + y3 =1. La astroide se puede parametrizar por las funciones x = x(t) = cos3 t, y = y(t) = sen3 t, donde t∈[0,2π ]. En la siguiente figura se muestra una representación de esta curva, que se obtiene estudiando la función 3
  • 7. 2 2 y 1 x3 , ⎛ ⎞ = ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ teniendo en consideración que esta curva es simétrica respecto del eje OY y respecto del eje OX. Derivando en las ecuaciones paramétricas de la curva tenemos que 2 2 ( ) 3cos sen , ( ) 3sen cos , xt t t yt t t ′ ⎧ = − ⎪⎨ ⎩⎪ ′ = luego x′(t)2 + y′(t)2 = 9cos2 t sen2 t (cos2 t + sen2 t ) = 9cos2 t sen2 t = 3 cos t sen t . Usando la simetría de la curva, podemos calcular sólo la longitud del primer cuadrante (y multiplicar por cuatro) con lo que 0 2 t π ≤ ≤ y cos t sen t ≥ 0. Teniendo esto en cuenta obtenemos que la longitud total de la astroide es 2 2 2 0 0 4 3cos sen 12 sen 6. 2 L t tdt t π π ⎛ ⎤ = = ⎜ ⎥ = ⎝ ⎦ ∫ 5 EJEMPLO. Para calcular la longitud de un arco de cicloide x(t) = at − asen t e y(t) = a − a cost, obtenemos que x′(t)2 + y′(t)2 = a2 + a2 cos2 t − 2a2 cos t + a2 sen2 t = 2a2 (1− cos t). Por tanto, tenemos que x′(t)2 + y′(t)2 = 2a 1− cos t y 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2
  • 8. 0 2 1 cos 2 2sen 2 sen 2 sen 2 2 2 2 2cos 8. 2 L a tdt a t dt a t dt a t dt a t a π π π π π = − = = = = ⎛− ⎤ = ⎜ ⎥ ⎝ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ OBSERVACIÓN. Como decíamos antes, no siempre es fácil calcular la longitud de una curva. Por ejemplo, intentemos calcular la longitud de un arco de elipse de semiejes a,b > 0 , parametrizada por C(t) = (a cos t,bsen t), con t∈[0,2π ]. El vector tangente es C′(t) = (−asen t,bcos t), luego C′(t) = a2 sen2 t + b2 cos2 t. Entonces tenemos que 2 2 2 2 2 0 longitud( ) ( ) sen cos , b a C Ct dt a t b tdt π = ∫ ′ = ∫ + pero es conocido que esta integral no se puede calcular usando la regla de Barrow. Se trata de una integral elíptica y no es posible encontrar una primitiva de la función del integrando. OBSERVACIÓN. Para una curva en polares, dada por la ecuación polar r = r(θ ), con α ≤θ ≤ β , y siendo r = r(θ ) una función derivable con derivada continua, tenemos una parametrización dada por C:θ ∈ α ,β ⎡⎣ ⎤⎦ →C(θ ) = (r (θ )cosθ ,r (θ )senθ ) ∈�2 y, por tanto, C′(θ ) = r(θ )2 + r′(θ )2 , con lo cual tenemos que longitud(C) C ( ) d r( )2 r ( )2 d . β β α α = ∫ ′ θ θ = ∫ θ + ′ θ θ EJEMPLO. Calculemos la longitud de arco de la cardioide de ecuación r =1− cosθ . Según acabamos que comprobar, la longitud está dada por la fórmula ( )
  • 9. 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 0 0 longitud( ) ( ) ( ) (1 cos ) sen 2(1 cos ) cos(2 ) cos sen 2 1 cos 1 2 2sen sen 1 cos(2 ) 2 2 2 sen 2 sen 2 2cos 8. 2 2 2 C r r d d d x x x d d x x d d β π π α π π π π π θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = + ′ = − + = − ⎡ = − ⎤ = − = ⎢ ⎥ = ⎢ = − ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ = = = ⎛− ⎤ = ⎜ ⎥ ⎝ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ EJEMPLO. Ahora calcularemos la longitud de la lemniscata r = cos(2θ ). Usando la simetría de la curva y la fórmula de la longitud en coordenadas polares tenemos que L r( )2 r ( )2 d β α = ∫ θ + ′ θ θ y,
  • 10. 6 teniendo en cuenta que ( )2 ( )2 1 , cos(2 ) r θ r θ θ + ′ = obtenemos que 4 0 4 . cos(2 ) L d π θ θ = ∫ Esta integral impropia es convergente, pero no se puede calcular con la regla de Barrow. Sin embargo, sabemos que L = 4 dθ 0 cos(2θ ) π 4 ∫ = [u = 2θ ] = 2 du 0 cosu π 2 ∫ = B 1 2 , 1 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = Γ 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ Γ 1 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Γ 3 4 ⎛
  • 11. ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = π ⋅ Γ 1 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Γ 3 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = π ⋅ Γ 1 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Γ 3 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ . Sabiendo que 1 2 Γ⎛⎜ ⎞⎟ = π ⎝ ⎠ y usando las aproximaciones 1 3.62561 4 Γ⎛ ⎞ ≈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y 3 1.22542 4 Γ⎛ ⎞ ≈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ obtenemos el valor aproximado de la longitud de arco de la lemniscata 4 0 4 5.24412.
  • 12. cos(2 ) L d π θ θ = ∫ ≈ En general, para una curva regular en �3, siguiendo un procedimiento similar al caso de curvas planas se define su longitud de la siguiente forma. DEFINICIÓN. Si C es una curva regular en �3, parametrizada por C:t ∈ a,b ⎡⎣ ⎤⎦ ⊆ �→C(t) = (x(t), y(t),z(t)) ∈�3, entonces la longitud de C está dada por la integral longitud( ) ( ) ( )2 ( )2 ( )2 . b b a a C = ∫ C′ t dt = ∫ x′ t + y′ t + z′ t dt EJEMPLO. Vamos a calcular la longitud de una espira de la hélice circular C(t) = (a cost,asen t,bt), con t∈[0,2π ] y a > 0, b ≠ 0. En este caso C′(t) = (−asen t,a cost,b) y C′(t) = a2 + b2 . Entonces, la longitud de una espira es 2 2 2 2 2 2 0 0 longitud(C) C (t) dt a b dt 2 a b . π π = ∫ ′ = ∫ + = π + EJEMPLO. Vamos a calcular la longitud de arco de la curva dada por la intersección del cilindro x2 − x + y2 = 0 con la esfera unidad x2 + y2 + z2 =1. En primer lugar vamos a tratar de visualizar la curva intersección del cilindro con la esfera. Comencemos con la esfera. Los puntos de la esfera son todos aquellos P= (x, y,z) ∈�3 que verifican x2 + y2 + z2 =1. Como la expresión x2 + y2 + z2 describe analíticamente el cuadrado de la distancia (en �3) del punto P = (x, y, z) al origen de coordenadas, los puntos de la esfera x2 + y2 + z2 =1 son todos los puntos de �3 cuya distancia al origen es constante e igual a 1. Vamos a trabajar ahora con el cilindro x2 − x + y2 = 0. Esta superficie está formada por los puntos P = (x, y,z) ∈�3 que verifican esta ecuación. Observemos que si un punto 0 0 0 (x , y , z ) pertenece al cilindro y, por tanto, verifica 2 2 0 0 0 x − x + y = 0, al variar la coordenada z y
  • 13. 7 Eje OX Eje OY Eje OZ x2+y2+z2=1 x2 - x+y2=0 considerar cualquier punto de la forma (x0 , y0 , z), estos puntos también verifican la ecuación y, por tanto, también pertenecen al cilindro. En definitiva, esto nos dice que si el punto 0 0 0 (x , y , z ) pertenece al cilindro, entonces todos los puntos de la recta que pasa por este punto y es paralela al eje OZ también pertenecen al cilindro. Entonces, para visualizar esta superficie, basta describir con detalle, por ejemplo, los puntos del cilindro que están en el plano OXY, que son todos aquellos puntos (x, y,0) que verifican la ecuación x2 − x + y2 = 0. Esta ecuación se puede reescribir de la forma 2 1 2 1 , 2 4 ⎛⎜ x − ⎞⎟ + y = ⎝ ⎠ vemos así que representa, en el plano z = 0, una circunferencia centrada en el punto 1 ,0 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y radio 1 . 2 Estas consideraciones nos permiten visualizar la esfera y el cilindro de la forma tal como se muestra en la siguiente figura, donde hemos representado también la curva intersección de estas dos superficies. Debido a la simetría de la curva, para calcular su longitud basta trabajar en el semiespacio superior. Veamos cómo es, con más detalle, la curva en este semiespacio y cómo podemos parametrizarla. Para parametrizar esta curva, recorrida por el punto P = (x, y, z), basta parametrizar su proyección sobre el plano OXY, recorrida por el correspondiente punto Q = (x, y,0). La proyección de la curva sobre el plano OXY coincide con la del cilindro que, como sabemos, es la circunferencia de ecuación
  • 14. x2 − x + y2 = 0. Es fácil comprobar que su ecuación polar es r(θ ) = cosθ , donde . 2 2 π π − ≤θ ≤ Entonces obtenemos la parametrización ( ) ( ) cos cos2 , ( ) ( )sen 1 sen(2 ), 2 x r y r θ θ θ θ θ θ θ θ ⎧ = = ⎪⎨ = = ⎪⎩ con . 2 2 π π − ≤θ ≤ Observemos que las coordenadas x e y del punto P son las mismas que las del punto Q. Y, puesto que el punto P está en la esfera, su coordenada z se puede obtener por la igualdad 8 z = 1− x2 − y2 = 1− r2 = 1− cos2θ = sen2θ = senθ . De nuevo (y con objeto de evitar el valor absoluto) usamos la simetría y nos limitaremos a calcular la longitud de un cuarto de la curva, el que se obtiene cuando 0 . 2 π ≤θ ≤ En este intervalo el seno es positivo y ( ) cos2 , 1 sen(2 ),sen , 2 C θ = ⎛⎜ θ θ θ ⎞⎟ ⎝ ⎠ con 0 , 2 π ≤θ ≤ es una parametrización de un cuarto de la curva, concretamente el que se encuentra en el octante positivo. Como la derivada es C′(θ ) = (−2cosθ senθ ,cos 2θ ,cosθ ) = (−sen 2θ ,cos 2θ ,cosθ ), tenemos C′(θ ) = sen2 2θ + cos2 2θ + cos2θ = 1+ cos2θ . Por tanto, la longitud de la curva está
  • 15. dada por 2 2 0 L 4 1 cos d . π = ∫ + θ θ Esta integral es una integral elíptica y no puede ser calculada mediante la regla de Barrow. Sin embargo, con algún método numérico (que estudiarás en otro curso) se puede obtener una aproximación como la que mostramos a continuación 2 2 0 L 4 1 cos d 7.6404. π = ∫ + θ θ ≈ Es posible obtener otras parametrizaciones de esta curva. Por ejemplo, si usamos para la curva proyección la parametrización habitual de una circunferencia, centrada en 1 ,0 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y radio 1 , 2 es decir, ( ) 1 1 cos , 2 2 ( ) 1 sen 2 xt t y t t ⎧ = + ⎪⎪⎨⎪ = ⎪⎩ con 0 ≤ t ≤ 2π , obtenemos, sabiendo que z = 1− x2 − y2 , la siguiente parametrización de la curva ( ) 1 1 cos , 1 sen , 1 1 cos , 2 2 2 2 C t t t t = ⎛ + − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ con 0 ≤ t ≤ 2π . Por otra parte, si usamos como parámetro la variable x, entonces podemos parametrizar la semicircunferencia superior de la proyección como (x, x − x2 ), con 0 ≤ x ≤1, y usando de nuevo que z = 1− x2 − y2 obtenemos la siguiente parametrización de un cuarto de la curva original C(x) = (x, x − x2 , 1− x ), con 0 ≤ x ≤1.
  • 16. No obstante, estas dos últimas parametrizaciones también conducen a integrales para las que no es posible obtener una primitiva y, por tanto, tampoco se pueden calcular mediante la regla de Barrow. EJERCICIO 1. Calcula la longitud de las siguientes curvas dadas por sus ecuaciones polares: 9 a) r =θ , 0 ≤θ ≤ 2π b) r =θ 2 , 0 ≤θ ≤ 5 c) , 0 2 r e θ = ≤θ ≤π d) sen2 , 0 2 r θ = ≤θ ≤π e) 6 , 0 1 cos 2 r π θ θ = ≤ ≤ + f) cos3 , 0 3 4 r θ π = ≤θ ≤ g) r = 1+ sen(2θ ), 0 ≤θ ≤ 2π Nota. Para calcular la integral del apartado e) puedes realizar el siguiente cambio de variables tan , 2 u θ = con lo que 2 2 cos 1 1 u u θ − = + y 2 2 .
  • 17. 1 d du u θ = + EJERCICIO 2. Calcula la longitud de los arcos de curva que se indican a continuación: a) C(t) = (2cos t,2sen t, 5t ), 0 ≤ t ≤π . b) C(t) = (2 + t,−(t +1),t ), 0 ≤ t ≤ 3. c) ( ) (0,cos3 ,sen3 ), 0 . 2 C t t t t π = ≤ ≤ d) C(t) = (6t3 ,−2t3 ,−3t3 ), 0 ≤ t ≤ 2. e) 3 2 ( ) cos , sen , 2 2 , 0 . 3 C t t t t t t t π ⎛ ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ ≤ ⎝ ⎠ f) 3 2 ( ) ,0, 2 , 0 8. 3 C t t t t ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ≤ ≤ ⎝ ⎠ g) C(t) = (t sen t + cos t,t cos t − sen t,0), 2 ≤ t ≤ 2. EJERCICIO 3. Determina el punto de la curva C(t) = (5cos t,5sen t,12t ) que se encuentra a 26π unidades del origen de coordenadas medidas a lo largo de la curva en el sentido de aumento de la longitud de arco. Ejercicios resueltos Ejemplo 1 : Determine la longitud de la gr_a_ca de la ecuaci_on y = x2 en el intervalo _ 0; 1 2 _ .
  • 18. Soluci_on : Tenemos que la longitud de una curva de la forma y = f (x) en un intervalo [a; b], viene dada por s = Z b a q 1 + [f0 (x)]2 dx as__, puesto que f0 (x) = 2x tenemos s = Z 1=2 0 q 1 + [2x]2 dx = Z 1=2 0 p 1 + 4x2 dx hacemos el cambio trigonom_etrico 2x = tan t; 2dx = sec2 t dt =) dx = 1 2 sec2 t dt de aqu__, si x = 0; entonces tan t = 0 =) t = 0 si x = 1 2 ; entonces tan t = 1 =) t = _ 4 la integral nos queda Z 1=2 0 p 1 + 4x2 dx = 1 2 Z _4 0 p 1 + tan2 t sec2 t dt = 1 2 Z _4 0 p sec2 t sec2 t dt =
  • 19. 1 2 Z _4 0 jsec tj sec2 t dt; como sec t > 0 en el intervalo h 0; _ 4 i , entonces la integral queda Z _4 0 sec t sec2 t dt, para calcular esta integral, integramos por partes u = sec t Al derivar �����������! dt = sec t tan t dt dv = sec2 t dt Al integrar ������������! v = tan t y se tiene Z _4 0 sec t sec2 t dt = sec t tan t _____ _4 0 � Z _4 0 sec t tan2 t dt = sec t tan t _____ _4 0 � Z _4 0 sec t � sec2 t � 1 _ dt = sec t tan t
  • 20. _____ _4 0 � Z _4 0 sec3 t dt + Z _4 0 sec t dt as__ 2 Z _4 0 sec t sec2 t dt = sec t tan t _____ _4 0 + ln jsec t + tan tj _____ _4 0 con lo que, Z _4 0 sec t sec2 t dt = 1 2 sec t tan t _____ _4 0 + 1 2 ln jsec t + tan tj _____ _4 0 ; entonces,
  • 21. Z _4 0 sec t sec2 t dt = 1 2 sec __ 4 _ tan __ 4 _ � sec (0) tan (0) ! + 1 2 ln __ _sec __ 4 _ + tan __ 4 ____ � ln jsec (0) + tan (0)j ! y obtenemos Z _4 0 sec t sec2 t dt = 1 2 2 p 2 + 1 2 ln ____ 2 p 2
  • 22. + 1 ____ � 1 2 ln (1) = p 2 2 + 1 2 ln _p 2 + 1 _ 1 luego Z 1=2 0 p 1 + 4x2 dx = 1 2 Z _4 0 sec t sec2 t dt = 1 2 p 2 2 + 1 2 ln _p 2 + 1 _! Finalmente, la longitud de la curva f (x) = x2 en el intervalo _ 0; 1 2 _ es s = p
  • 23. 2 4 + 1 4 ln _p 2 + 1 _ F Ejemplo 2 : Determine la longitud de la gr_a_ca de la ecuaci_on f (x) = Z x 0 p t + 3 dt en [0; 1]. Soluci_on :Tenemos que la longitud de una curva de la forma y = f (x) en un intervalo [a; b] viene dada por s = Z b a q 1 + [f0 (x)]2 dx as__, puesto que f0 (x) = _Z x 0 p t + 3 dt _0 = p x + 3 tenemos s = Z 1 0 q 1 + _p x + 3 _2 dx = Z 1 0 p 4 + x dx: Hacemos el cambio de variable u2 = 4 + x; 2u du = dx de aqu__,
  • 24. si x = 0; entonces u2 = 4 + (0) =) u = 2 si x = 1; entonces u2 = 4 + (1) =) u = p 5 entonces, Z 1 0 p 4 + x dx = Z p 5 2 2u2 du = _ 2u3 3 ____ p 5 2 = 2 _p 5 _3 3 � 2 (2)3 3 = 10 3 p 5 � 16 3 Luego, la longitud de la curva dada por f (x) = Z x 0 p t + 3 dt en [0; 1] es s = 10 3 p 5 � 16
  • 25. 3 : F Ejemplo 3 : Determine la longitud de la gr_a_ca de la curva r dada en forma param_etrica por las ecuaciones r (t) = 8>< >: x (t) = 4 sen t y (t) = 4 cos t � 5 en el intervalo [0; _]. Soluci_on : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r (t) = (x (t) ; y (t)) en un intervalo [a; b] viene dada por s = Z b a q [x0 (t)]2 + [y0 (t)]2 dt; como x0 (t) = 4 cos t y y0 (t) = �4 sen t; entonces s = Z _ 0 q [4 cos t]2 + [�4 sen t]2 dt = Z _ 0 q 16 (cos2 t + sen2 t) dt = Z _ 0 p 16 dt = 4_: Luego, la longitud de la curva dada en forma param_etrica por r (t) = (4 sen t; 4 cos t � 5) en [0; _] es s = 4_ F 2 Ejemplo 4 : Determine la longitud de la gr_a_ca de la curva r dada en forma param_etrica por las ecuaciones r (t) = 8>< >: x (t) = a (t � sen t) y (t) = a (1 � cos t) en [0; 2_].
  • 26. Soluci_on : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r (t) = (x (t) ; y (t)) en un intervalo [a; b] viene dada por s = Z b a q [x0 (t)]2 + [y0 (t)]2 dt; como x0 (t) = a (1 � cos t) y y0 (t) = a sen t; entonces s = Z 2_ 0 q (a (1 � cos t))2 + (a sen t)2 dt Desarrollando el argumento de la ra__z cuadrada [x0 (t)]2 + [y0 (t)]2 = [a (1 � cos t)]2 + [a sen t]2 = a2 � 1 � 2 cos t + cos2 t _ + a2 sen2 t = a2 � 1 � 2 cos t + cos2 t + sen2 t _ = a2 (2 � 2 cos t) = 2a2 (1 � cos t) es conocido que sen2 (_) = 1 � cos 2 (_) 2 =) 2 sen2 (_) = 1 � cos 2 (_) de aqu__, 1 � cos t = 1 � cos 2 _ t 2 _ = 2 sen2 _ t 2 _ por lo tanto, _ x0 (t) _2 + _
  • 27. y0 (t) _2 = 4a2 sen2 _ t 2 _ ; entonces, s = Z 2_ 0 s 4a2 sen2 _ t 2 _ dt = Z 2_ 0 2a ____ sen _ t 2 _____ dt = 2a Z 2_ 0 ____ sen _ t 2 _____ dt hacemos el cambio de variable u = t 2 ; du = 1 2 dt =) 2 du = dt de aqu__, si t = 0; entonces u =
  • 28. 0 2 =) u = 0 si t = 2_; entonces u = 2_ 2 =) u = _ con lo que, s = 2a Z _ 0 jsen uj du = 2a Z _ 0 sen u du = 2a �cos u _____ _ 0 = �2a cos (_) � cos (0) ! = 4a Luego, la longitud de la curva dada en forma param_etrica por r (t) = (a (t � sen t) ; a (1 � cos t)) en [0; 2_] es s = 4a F Ejemplo 5 : Encuentre el _area de la super_cie de revoluci_on generada al girar la curva dada por y = p x + 2 en el intervalo [�1; 3] alrededor del eje x Soluci_on : Tenemos que el _area de la super_cie de una curva de la forma y = f (x) con a _ x _ b cuando se hace girar alrededor del eje x, viene dada por S = 2_ Z b a f (x) q 1 + [f0 (x)]2 dx; 3 como f0 (x) = 1 2
  • 29. p x + 2 , se tiene S = 2_ Z 3 �1 p x + 2 s 1 + _ 1 2 p x + 2 _2 dx = 2_ Z 3 �1 p x + 2 s 1 + 1 4 (x + 2) dx = 2_ Z 3 �1 p x + 2 s 4 (x + 2) + 1 4 (x + 2) dx = 2_ Z 3 �1 p x + 2 p 4 (x + 2) + 1 2 p x + 2 dx = _ Z 3 �1
  • 30. p 4x + 9 dx hacemos el cambio de variable u = 4x + 9; du = 4 dx =) du 4 = dx de aqu__, si x = �1; entonces u = 4 (�1) + 9 =) u = 5 si x = 3; entonces u = 4 (3) + 9 =) u = 21 con lo que, S = _ Z 21 5 p u du 4 = _ 4 _ 2 3 u3=2 ____ 21 5 = _ 6 (21)3=2 � (5)3=2 ! = 7_ 2 p 21 � 5_ 6 p 5 Luego S = 7_ 2
  • 31. p 21 � 5_ 6 p 5 F Ejemplo 6 : Encuentre el _area de la super_cie de revoluci_on generada al girar la curva dada por y = ln x en el intervalo [1; 2] alrededor del eje y Soluci_on : Tenemos que el _area de la super_cie de una curva de la forma y = f (x) con a _ x _ b cuando se hace girar alrededor del eje y, viene dada por S = 2_ Z b a x q 1 + [f0 (x)]2 dx; como f0 (x) = 1 x , se tiene S = 2_ Z 2 1 x s 1 + _ 1 x _2 dx = 2_ Z 2 1 x r 1 + 1 x2 dx = 2_ Z 2 1 p x2 + 1 dx Si hacemos el cambio trigonom_etrico
  • 32. x = tan t; dx = sec2 t dt obtenemos Z p x2 + 1 dx = Z sec3 t dt = 1 2 sec t tan t + 1 2 ln jsec t + tan tj + C = 1 2 x p x2 + 1 + 1 2 ln ___ p x2 + 1 + x ___ + C: Por lo tanto, Z 2 1 p x2 + 1 dx = _ 1 2 x p x2 + 1 + 1 2 ln ___ p x2 + 1 + x ___ ____ 2 1 = _
  • 33. 1 2 (2) q (2)2 + 1 + 1 2 ln ____ q (2)2 + 1 + (2) ____ _ � _ 1 2 (1) q (1)2 + 1 + 1 2 ln ____ q (1)2 + 1 + (1) ____ _ = p 5 + 1 2 ln ___p 5 + 2 ___ � 1 2 p 2 � 1 2 ln ___ p
  • 34. 2 + 1 ___ = p 5 + 1 2 ln _____ p 5 + 2 p 2 + 1 _____ � p 2 2 Luego S = 2_ p 5 + 1 2 ln _____ p 5 + 2 p 2 + 1 _____ � p 2 2 ! F Ejemplo 7 : Encuentre el _area de la super_cie de revoluci_on generada al girar la curva param_etrica dada por r (t) = � t2; t2 _ en [�1; 2] alrededor del eje x. Soluci_on : Tenemos que el _area de la super_cie de una curva dada en forma param_etrica r (t) = (x (t) ; y (t)) con a _ t _ b cuando se
  • 35. hace girar alrededor del eje x, viene dada por S = 2_ Z b a y (t) q [x0 (t)]2 + [y0 (t)]2 dt; 4 como x0 (t) = 2t y y0 (t) = 2t; entonces S = 2_ Z 2 �1 t2 q [2t]2 + [2t]2 dt = 2_ Z 2 �1 t2 p 4t2 + 4t2 dt = 2_ Z 2 �1 t2 p 8t2 dt = 4 p 2_ Z 2 �1 t2 jtj dt = 4 p 2_ _ � Z 0 �1 t3 dt + Z 2 0 t3 dt _ = 4 p 2_
  • 36. " � (0)4 4 + (�1)4 4 ! + (2)4 4 � (0)4 4 !# = 4 p 2_ _ 1 4 + 4 _ = 17 p 2_ Luego S = 17 p 2_ F Ejercicios 1. Determine la longitud de la gr_a_ca de la ecuaci_on y = ex en el intervalo [0; 1]. 2. Determine la longitud de la gr_a_ca de la ecuaci_on dada en el intervalo indicado 1: y = x; [�1; 1] 2: y = x3=2 + 4; desde (0; 4) hasta (1; 5) 3: y = 2x + 1; [0; 3] 4: y = 3x2=3; [1; 8] 5: y = Z x 1 p u2 � 1 du; 1 _ x _ 2 6: y = 2 p x + 1; [0; 3] 7: y = Z x _=6
  • 37. p 64 sen2 u cos2 u � 1 du; _ 6 _ x _ _ 3 8: 5x = y5=2 + 5y�1=2; [4; 9] 9: x = 4 � y2=3; [1; 8] 3. Determine la longitud de la gr_a_ca de la curva r dada en forma param_etrica por las ecuaciones r (t) = 8>< >: x (t) = a cos t y (t) = a sen t en el intervalo [0; 2_]. 4. Determine la longitud de la gr_a_ca de la curva r dada en forma param_etrica por las ecuaciones r (t) = (x (t) ; y (t)) = � 3t2 + 2; 2t3 � 1 _ en el intervalo [1; 2]. 5. Determine la longitud de la gr_a_ca de la curva r dada en forma param_etrica por las ecuaciones r (t) = 8>< >: x (t) = t y (t) = t2 + 1 en el intervalo [0; 1]. 6. Considere la regi_on limitada por y = x y y = x2. Determine la longitud del borde de la regi_on. 7. Considere la regi_on limitada por y = p x y y = x2. Determine la longitud del borde de la regi_on. 8. Considere la regi_on limitada por y = jxj y y = 2 � x2. Determine la longitud del borde de la regi_on. 5 9. Encuentre el _area de la super_cie de revoluci_on generada al girar la curva dada alrededor del eje x 1: y = 6x; 0 _ x _ 1 2: y = p 25 � x2; �2 _ x _ 3 3: y = x3 3 ; 1 _ x _ p
  • 38. 7 4: x = t; y = t3; 0 _ t _ 1 10. Calcule el _area de la super_cie de revoluci_on generada al girar la curva dada alrededor del eje y 1: y = 3 p x + 2; 1 _ x _ 8 2: y = 4 � x2; 0 _ x _ 2 11. Se genera una esfera de radio r al girar la gr_a_ca de y = p r2 � x2 alrededor del eje x. Comprobar que el _area de la super_cie de la esfera es 4_r. 12. Se obtiene la forma de una bombilla ornamental al girar la gr_a_ca de y = 1 3 x1=2 � x3=2; 0 _ x _ 1 3 alrededor del eje x, donde x e y se miden en pies. Calcular el _area de la super_cie de la bombilla. Respuestas: Ejercicios 1: p e2 + 1 � p 2 + 1 + ln ____ p p 2+1 e2+1+1 ____ ; 2:1: 2 p 2; 2:2: 13 p 13�8 27 ; 2:3: 3 p 5; 2:4: 16 p 2 � 5 p 5; 2:5: 8 p 2�2 5 ; 2:6: 2 _p 5 � 1
  • 39. _ + ln _p p5+2 2+1 _ ; 2:7: 2; 2:8: 42:367; 2:9: 7:6337; 3: 2_a; 4: 10 p 5 � 4 p 2; 5: p 5 2 + 1 4 ln _p 5 + 2 _ ; 6: p 2 + p 5 2 + 1 4 ln _p 5 + 2 _ ; 7: p 5 + 1 2 ln _p 5 + 2 _ ; 8: p 5 + 1 2 ln _p 5 + 2 _ + 2 p 2; 9:1: 6_
  • 40. p 37; 9:2: 50_; 9:3: 248 9 _ p 2; 9:4: 2_ _ 5 27 p 10 � 1 54 _ ; 10:1: 2 3_ _ 145 18 p 145 � 5 9 p 10 _ ; 10:2: 2_ _ 17 12 p 17 � 1 12 _ ; 11: 4_r; 12: 1 3_ _ 28 135 p 3 � 64 15 _ ;