1. MATEMÁTICA FINANCIERA II
Unidad I. Anualidades o Rentas, Gradientes
Tema: Anualidades Anticipadas
Alex Alvarado
Diego Álvarez
Ivonne Álvarez
Steven Rubio
Integrantes:
Curso: AP4-2
Semestre: Abril – Septiembre 2015

2. ANUALIDADES O RENTAS
1. Definición.
Según (Zambrano, 2010), dice que; una anualidad es una serie de pagos
periódicos iguales.
Puede consistir en el pago o depósito de una suma de dinero a la cual se le
conoce una tasa de interés por período.
Es decir, que la renta o anualidad aparece asociada con los pagos o depósitos
periódicos de suma dinero, como los dividendos de acciones, cupones de
bonos, cuotas, pensiones, cuotas de amortización, cuotas de depreciación etc.

3. 1.1 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES O RENTAS.
1.1.1Tipo de anualidades según el tiempo.
Anualidades eventuales o contingentes: Cuando se conoce al menos una fecha extrema del
plazo, ya sea el inicio o el final.
Anualidades ciertas: Cuando se conoce las fechas extremas del plazo. Inicio, final.
1.2 Tipos de anualidades según la forma de pago.
Anualidades ordinarias o vencidas: Cuando los pagos se realizan al fin de cada periodo.
Anualidades Anticipadas: es anticipada si los pagos se hacen al comenzar cada periodo.
Anualidades diferidas: Son aquellas que se cobran luego de un transcurrido un periodo (periodo
de gracia)
Anualidades simples: Cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se capitalizan los
intervalos de pago.
Anualidades generales: Una anualidad es general si los pagos se realizan en periodos distintos a
la frecuencia con que los intereses se capitalizan.

4. 1. Anualidades Anticipadas
Son aquellas que se efectúan o vencen al principio de cada periodo de pago.
Para la deducción de la fórmula del monto de una anualidad se toma como fecha
focal el término de la anualidad.
Dónde:
A= Es la renta o pago periódico
n= Número de períodos de capitalización
(i)= Tasa de interés por periodo de pago
M= Monto, y como fecha focal, la del
término de la anualidad. (VF )

5. CALCULO DEL MONTO DE UNA ANUALIDAD
ANTICIPADA
3.1.1 Ejemplo:
Si una persona deposita al principio de cada trimestre $
10.000 a una tasa de interés del 12% anual, capitalizable
trimestralmente, ¿Cuánto habrá acumulado en 6 años?
3.1.2 Datos:
A= 10.000
n= (6)(4) = 24
i= 12% i= 12% / 4 = 0.03
M= ?
M = $ 354 592,64
Planteamiento.
M = 𝑨 𝟏 + 𝒊
(𝟏+𝒊) 𝒏−𝟏
𝒊
M = 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑
(𝟏+𝟎,𝟎𝟑) 𝟐𝟒−𝟏
𝟎,𝟎𝟑

6. Despeje de A:
Dentro de 6 años la compañía S.A necesitara $70 000 para comprar
maquinaria nueva, cual será la anualidad que debe depositar a principio de
cada trimestre si la tasa de interés es de 17,3% convertible cada trimestre.
DATOS DESPEJE DE A:
A=?
M= 70 000
n= 6 (4) = 24 trimestres
i= 17,3%/4= 0,004325 trimestral
FORMULA:
M = 𝑨 𝟏 + 𝒊
(𝟏+𝒊) 𝒏−𝟏
𝒊
𝑨 =
𝟕𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟑𝟐𝟓
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟑𝟐𝟓) 𝟐𝟒−𝟏
𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟑𝟐𝟓
A= $ 2 762,26
M
𝟏 + 𝒊
(𝟏 + 𝒊) 𝒏−𝟏
𝒊
= 𝑨

7. CALCULO DEL TIEMPO DE UNA ANUALIDAD
ANTICIPADA
• Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga
el 8%, capitalizable mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000? Despeje
de n
• Datos despeje de n:
• A= 300 mensuales
• M= 30 000
• i= 8%/12= 0,006666666 mensual
Formula
M = 𝑨 𝟏 + 𝒊
(𝟏+𝒊) 𝒏−𝟏
𝒊
M = 𝑨 𝟏 + 𝒊
(𝟏+𝒊) 𝒏−𝟏
𝒊
𝑴𝒊
𝑨 𝟏+𝒊
+ 𝟏 = (𝟏 + 𝒊) 𝒏
𝑴𝒊
𝑨 𝟏+𝒊
+ 𝟏 = (𝟏 + 𝒊) 𝒏

8. Aplicamos logaritmos:
• 𝐥𝐨𝐠
𝑴𝒊
𝑨 𝟏+𝒊
+ 𝟏 = 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝒊) 𝒏
𝐥𝐨𝐠
𝑴𝒊
𝑨 𝟏+𝒊
+ 𝟏 = 𝒏 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝒊)
𝐥𝐨𝐠
𝑴𝒊
𝑨 𝟏 + 𝒊
+ 𝟏
𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝒊)
= 𝒏
𝒏 =
𝐥𝐨𝐠
𝑴𝒊
𝑨 𝟏 + 𝒊
+ 𝟏
𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝒊)

9. EL VALOR ACTUAL DE LAS ANUALIDADES
ANTICIPADAS
Puede calcularse tomando como fecha focal el inicio de la anualidad. Cada
renta se calculara con el valor actual que le corresponde, relacionada con el
inicio de la anualidad y con la respectiva tasa de interés.

10. 3.2.2 Ejemplo:
Si una empresa realiza pagos al principio de cada mes por un valor de $
1.800 a una tasa de interés del 15% anual, capitalizable mensualmente,
¿Cuánto habrá pagado de en 7 años (valor de la deuda original)?
3.2.3 Datos: formula
A= 1.800 VA = A 1 +
1−(1+𝑖)−𝑛+1
𝑖
n= (7)(12) = 84
i= 15% i= 15% / 12 = 0,0125
VA= ?

11. 3.2.4 Planteamiento.3.2.3 Datos:
A= 1.800
n= (7)(12) = 84
i= 15% i= 15% / 12 = 0,0125
VA= ?
VA = A 1 +
1 − (1 + 𝑖)−𝑛+1
𝑖
VA = 1800 1 +
1 − (1 + 0,0125)−84+1
0,0125
VA = $ 94 445,93

13. 6. BIBLIOGRAFIA
Arango, A. A. (1995). Matemática Finaciera. Bogotá: McGraw-Hill.
AYRES, R. J. (1970). Matematica Financiera, Teoría y 500 problemas resueltos.
Bogotá: McGraw-Hill.
GOVINDEN, P. (1975). Matemáticas Financieras. Bogotá: McGraw-Hill.
J.H.MOORE. (1973). Manual de Matematica Financiera . México: Uteha.
Zambrano, A. M. (2010). Matemáticas Financieras, Anualidades o Rentas.
Bogotá: Alfaomega Colombiana S.A.