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1. Unidad V
ANUALIDAD
Definición, Clasificación en todas sus ramas. Relación de la anualidad con el capital.
Anualidades Vencidas. Anualidad Adelantadas
Docente: Ing. José Gregorio Hernández
Julio 2023

2. Anualidad
forma regular
Serie de ingresos o
desembolsos iguales
de dinero trimestrales
anuales
mensuales
de cualquier otro tipo
Lo importante en este
aspecto es que el lapso de
tiempo que separa una
renta de la otra es siempre
el mismo

3. Elementos de las anualidades
Período que transcurre entre la primera renta y la última
Monto depositado, retirado o pagado periódicamente
Tiempo que ha sido establecido entre una renta y la siguiente
Tipo de interés ya sea interés simple o interés compuesto, fijado para la operación
Rentas o Pagos
Período de pago de renta
Plazo de la anualidad
Tasa de la anualidad
500 500 500 500
0 1 2 3 4
i= 12 %
Rentas
Período de pago de renta Tasa de la anualidad
Plazo de la anualidad

4. Tipos de anualidades
Los intereses se capitalizan de acuerdo a las rentas (pagos)
Los intereses NO se capitalizan de acuerdo a las rentas (pagos)
Con Respecto a los intereses
Simples
Generales
✓ Si las rentas son mensuales , los intereses se capitalizan de forma mensual.
✓ Si las rentas son semestrales , los intereses se capitalizan de forma
semestral
✓ …
✓ Si las rentas son mensuales , los intereses se capitalizan de forma anual.
✓ Si las rentas son trimestrales, los intereses se capitalizan de forma mensual
✓ …

5. Tipos de anualidades
La fechas de las rentas son fijas y han sido determinadas desde el principio del acuerdo
Cuando las fechas iniciales o finales del acuerdo no están específicamente determinadas
Con Respecto al tiempo
Ciertas
Contingentes
✓ Cuando se compra un TV, se tiene claramente especificado el inicio de el
pargo de RENTAS, el periodo entre ellas y el final del acuerdo
✓ Póliza de seguro de vida, ya que esta especificada claramente la fecha de
inicio pero no se puede determinar la fecha final (muerte del beneficiario)

6. Tipos de anualidades
El pago se hace al final del periodo acordado. Por ejemplo, a fin de cada mes
El pago está programado al inicio del periodo, por ejemplo, al inicio del mes
Con Respecto a los pagos
Vencidas
Anticipadas

7. Tipos de anualidades
Está diseñada para comenzar a hacer pagos inmediatamente después de ser
adquiridas y el primer pago va a depender de cuán a menudo se harán los pagos
acordados
El pago se hace en un periodo posterior, previo acuerdo entre las partes involucradas
Con Respecto al inicio de pagos
Inmediata
Diferida

8. Usos de anualidades
Créditos Hipotecarios
Crédito para la adquisición de bienes
Jubilaciones
Pólizas de seguros

9. Ciertas: Fechas de pago bien identificadas
Anualidades
Simples: Los intereses se capitalizan de acuerdo a las rentas / pagos (mismo período)
Vencidas: se paga al final del período
A
S
C
V
Anualidades ASCVI
Inmediatas: la obligación financiera surtirá efecto al momento del acuerdo
I

10. n
R
Tasa de interés
Rentas o Pagos
Numero de Rentas
Tasa de la anualidad
Fórmula Anualidades ASCVI
M
Monto (Valor futuro)
𝑀 = 𝑅 ∗
ሻ
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
C
Capital (Valor Presente)
𝐶 = 𝑅 ∗
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖

11. Ejercicio 1: Anualidades ASCVI
Datos
¿Cuánto dinero ser ahorrara en 5 años, si se depositan
$ 1000, al finalizar cada año, en una cuenta de ahorros,
que tiene como tasa de rendimiento capitalizable anual
de 3% anual?
n = 5
R = $ 1000
i = 3 %
M = ?
𝑀 = 1000 ∗
ሻ
1 + 0,03 5
− 1
0,03
𝑀 = 1000 ∗
ሻ
1,03 5 − 1
0,03
𝑀 = 1000 ∗
ሻ
1,1593 − 1
0,03
𝑀 = 1000 ∗
ሻ
0,1593
0,03
𝑀 = 1000 ∗ 5,31
𝑀 = $ 5310

12. Ejercicio 2: Anualidades ASCVI
Datos
Si al termino de 1 año, se obtiene $10000, los cuales
fueron invertidos al 24 % anual capitalizable
mensualmente, con anualidades vencidas. Cual fue la
renta mensual que se requirió
n = 12
R = ?
i = 24 % anual
M = 10000
𝑅 =
𝑀
ሻ
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
i = 24 % anual (capitalizable mensualmente)
I mensual = 24 % anual / 12 = > I mensual = 2%
𝑅 =
10000
ሻ
1 + 0,02 12 − 1
0,02
𝑅 =
10000
13,4121
𝑅 = 745,60

13. Ejercicio 3: Anualidades ASCVI
Datos
¿Cuantas rentas vencidas, deberán realizarse para
ahorrar $ 4000 si se depositan $ 250 bimensuales a una
tasa de interés del 12 % anual capitalizable
bimensualmente?
n = ?
R = $ 250
i = 12 % anual
M = $ 4000
𝑀
𝑅
=
ሻ
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
𝑀
𝑅
∗ 𝑖 = ሻ
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑀𝑖
𝑅
+ 1 = 1 + 𝑖 𝑛
log[
𝑀𝑖
𝑅
+ 1] = 𝑙𝑜𝑔 1 + 𝑖 𝑛 log
𝑀𝑖
𝑅
+ 1 = 𝑛 log 1 + 𝑖
𝑛 =
log
𝑀𝑖
𝑅
+ 1
log 1 + 𝑖

14. Ejercicio 3: Anualidades ASCVI
Datos
¿Cuantas rentas vencidas, deberán realizarse para
ahorrar $ 4000 si se depositan $ 250 bimensuales a una
tasa de interés del 12 % anual capitalizable
bimensualmente?
n = ?
R = $ 250
i = 12 % anual
M = $ 4000
𝑛 = 14,02
i = 12 % anual (capitalizable bimensualmente)
I mensual = 12 % anual / 6 = > I bimensual = 2%
𝑛 =
log
𝑀𝑖
𝑅
+ 1
log 1 + 𝑖
𝑛 =
log
4000 ∗ 0,02
250
+ 1
log 1 + 0,02
𝑛 =
log 1,32
log 1,02
bimestres

15. Ejercicio 4: Anualidades ASCVI
Datos
Determinar la tasa de interés que se aplicó, cuando se
realizaron 48 pagos mensuales al final de cada mes con
un valor de $ 2500, conociendo que al final de la
inversión se obtuvo la cantidad de $ 450000
n = 48
R = $ 2500
i = ?
M = $ 450000
𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑖 = 1 %
Como el despeje de i de la formula es
complejo, un método es por interacción,
dándole valores a i hasta obtener un valor
igual o muy cercano al valor que se conozca
valor futuro (M) o valor presente (C)
𝑀 = 2500 ∗
ሻ
1 + 0,01 48 − 1
0,01
𝑀 = 153.056,52
𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑖 = 2 %
𝑀 = 2500 ∗
ሻ
1 + 0,02 48 − 1
0,02
𝑀 = 198.383,80
𝑖 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 5,4% 𝑦 5,5 %

16. Ejercicio 5: Anualidades ASCVI
Datos
Se adquirió un Tv a cuotas, las cuales se harán durante 12
meses, al final de cada mes, cada una de ellas por un monto
de 1000 Bs. A una tas de interés anual del 18 %, capitalizable
mensualmente, cuanto cuesta hoy el TV?
n = 12
R = 1000 Bs
i = 18 % anual
C = ?
Capital (Valor Presente)
𝐶 = 𝑅 ∗
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
𝐶 = 𝑅 ∗
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
i = 18 % anual (capitalizable mensualmente)
I mensual = 18 % anual / 12 = > I mensual = 1,5%
𝐶 = 1000 ∗
1 − 1 + 0,015 −12
0,015
𝐶 = 10.907,50

17. n
R
Tasa de interés
Rentas o Pagos
Numero de Rentas
Tasa de la anualidad
Fórmula Anualidades ASCAI
M
Monto (Valor futuro)
C
Capital (Valor Presente)
𝑀 = 𝑅 ∗
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
∗ (1 + 𝑖ሻ
𝐶 = 𝑅 ∗ 1 +
1 − 1 + 𝑖 −𝑛+1
𝑖

18. Ciertas: Fechas de pago bien identificadas
Anualidades
Simples: Los intereses se capitalizan de acuerdo a las rentas / pagos (mismo período)
Anticipadas: se paga al inicio del período
A
S
C
A
Anualidades ASCAI
Inmediatas: la obligación financiera surtirá efecto al momento del acuerdo
I

19. Ejercicio 1: Anualidades ASCAI
Datos
¿Cuál es el valor final de una deuda si se realizan 8
pagos semestrales anticipados de Bs. 20.000, si la tasa
de interés aplicada es del 20% anual capitalizable
semestralmente?
n = 8
R = 20000 Bs
i = 20 % anual
M = ?
𝑀 = 𝑅 ∗
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
∗ (1 + 𝑖ሻ
i = 20 % anual (capitalizable semestralmente)
I semestral = 20 % anual / 2= > I semestral = 10 %
𝑀 = 20000 ∗
1 + 0,1 8
− 1
0,1
∗ (1 + 0,1ሻ
𝑀 = 20000 ∗ 11,4359 ∗ (1,1ሻ
𝑀 = 251.589,80

20. Ejercicio 2: Anualidades ASCAI
Datos
Se realizaron 6 pagos trimestrales, al inicio de cada
periodo por un monto de $ 800 para cancelar un
préstamo, se conoce que la tasa de interés trimestral es
del 3% ¿Cuál es el monto del dinero prestado?
n = 6
R = $ 800
i = 3 % trimestral
C = ?
𝐶 = 𝑅 ∗ 1 +
1 − 1 + 𝑖 −𝑛+1
𝑖
𝐶 = 800 ∗ 1 +
1 − 1 + 0,03 −6+1
0,03
𝐶 = 800 ∗ 1 + 4,5797
𝐶 = $ 4.463,76

21. Algunos Despejes de formulas Anualidades ASCAI
𝐶 = 𝑅 ∗ 1 +
1 − 1 + 𝑖 −𝑛+1
𝑖
𝑀 = 𝑅 ∗
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
∗ (1 + 𝑖ሻ
𝑅 =
𝑀
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
∗ (1 + 𝑖ሻ
𝑅 =
𝐶
1 +
1 − 1 + 𝑖 −𝑛+1
𝑖
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔[
𝑀𝑖
𝑅 1 + 𝑖
+ 1]
𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖ሻ
Monto / Valor Futuro / M Capital / Valor Presente / C
𝑛 = 1 −
log[1 − 𝑖(
𝐶
𝑅
− 1ሻ]
log(1 + 𝑖ሻ