02 MODELOS MATEMÁTICOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

2. Modelos
matemáticos de
Programación Lineal
Semana:
Sesión:
1
2

3. El propósito de la presente sesión es conocer y formular el modelo
matemático a partir de una situación problemática, identificando
los elementos de un modelo.
Propósito de la sesión:

4. Describir situación problemática relacionada a ingeniería para describir
los elementos de un modelo matemático de programación lineal.
Actividades de inicio:

5. Concepto
Elementos
Ejercicios resueltos
Actividades de desarrollo:

6. Programación Lineal
La programación lineal utiliza un modelo matemático para
describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las
funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales.
En este caso, las palabra programación no se refiere a
programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de
planeación.

7. Elementos:
• Variables: simboliza matemáticamente a las variables de decisión.
• Función Objetivo: es la formulación matemática de una
establecida y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda.
meta
• Restricciones: son funciones lineales expresadas como igualdades o
desigualdades, que limitan el valor de las variables de decisión a valores
permisibles. Representan recursos, condiciones o requerimientos
establecidos.

8. Ejemplo : El Problema de la Dieta

9. Variables:
Como la mezcla de alimentos consiste en maíz y soya, las variables de
decisión del modelo se definen como sigue:
x1 = Lb de maíz en la mezcla diaria
x2 = Lb de soya en la mezcla diaria

10. Función Objetivo:
La función objetivo trata de minimizar el costo diario total de
la mezcla de alimentos, y en consecuencia se expresa como
sigue:
Minimizar Z = 0.3x1 + 0.9x2

11. Restricciones:
Las restricciones del modelo reflejan la cantidad diaria necesaria y los
requerimientos dietéticos. Como GRANJAS MODELO necesita un
mínimo de 800 Lb diarias de alimento, la restricción correspondiente se
expresa como sigue:
x1 + x2 >= 800

12. Restricciones:
En cuanto a la restricción dietética de necesidades de proteína, la cantidad
de proteína contiene x1 Lb de maíz y x2 Lb de soya (0.09x1 + 0.6x2) Lb. Esta
cantidad debe ser cuando menos al 30% de la mezcla total de alimentos, (x1
+ x2) Lb; esto es:
0.09x1 + 0.6x2 >= 0.3 (x1 + x2)
De manera similar, la restricción de fibra se define como:
0.02x1 + 0.06x2 <= 0.05 (x1 + x2)

13. Modelo Matemático:
Las restricciones se simplifican agrupando todos los términos x1 y x2 y
pasándolos al lado izquierdo de cada desigualdad, para que solo quede
una constante en el lado derecho. Así, el modelo completo viene a ser:
Minimizar Z = 0.3x1 + 0.9x2
Sujeta a:
x1 + x2 >= 800
7x1 – 10x2 <= 0
3x1 – x2 >= 0
x1 ; x2 >= 0

14. Caso de aplicación:
Un criador de gatos tiene las siguientes cantidades de alimentos para gatos: 90 unidades de atún, 80
unidades de hígado y 50 unidades de pollo. Para criar un gato siamés se requieren 2 unidades de atún,
1 de hígado y 1 de pollo por día, mientras que para un gato persa se requieren 1, 2 y 1 unidades
respectivamente, por día. Si un gato siamés se vende en US$ 12 y un gato persa se vende en US$ 10,
¿Cuántos de cada uno deben criarse para obtener un ingreso total máximo? ¿Cuánto es el ingreso
total máximo?
Gato Siamés Gato Persa Disponibilidad
Atún 2 1 90
Hígado 1 2 80
Pollo 1 1 50
Ganancia $12 $10

15. x1 = Número de gatos siameses
x2 = Número de gatos persas
Variables

16. La función objetivo trata de maximizar la ganancia por la venta de
gatos, como sigue:
Maximizar Z = 12x1 + 10x2
De manera abreviada:
Max Z = 12x1 + 10x2
Función Objetivo

17. Las restricciones del modelo reflejan la cantidad necesaria máxima de
alimento para gatos. En el caso de unidades de atún será:
2x1 + 1x2 <= 90
En cuanto al caso de unidades de Hígado será:
1x1 + 2x2 <= 80
De manera similar, la restricción de cantidad de unidades de pollo será:
1x1 + 1x2 <= 50
Restricciones:

18. Max Z = 12x1 + 10x2
Sujeta a:
2x1 + 1x2 <= 90
1x1 + 2x2 <= 80
1x1 + 1x2 <= 50
x1, x2 >= 0
Modelo matemático de Programación Lineal

19. Expresión Matemática

20. Forma Estándar del Modelo

21. Modelo de Programación Lineal

22. Restricciones comunes
• Restricción de capacidad: limitan el valor de las variables debido a la disponibilidad de
horas-hombre, horas-máquina, espacio, etc.
• Restricción de mercado: Surge de los valores máximos y mínimos en las ventas o el uso
del producto o actividad a realizar.
• Restricción de entradas: Son limitantes debido a la escasees de materias primas, mano
de obra, dinero, etc.
• Restricción de calidad: Son las restricciones que limitan las mezclas de ingredientes,
definiendo usualmente la calidad de los artículos a manufacturar.
• Restricciones de balance de material: Estas son las restricciones que definen las salidas
de un proceso en función de las entradas, tomando en cuenta generalmente cierto
porcentaje de merma o desperdicio.
• Restricciones Internas: Son las que definen a una variable dada, en la formulación
interna del problema, un ejemplo tipo, es el de inventario.
• Condiciones Técnicas: En este apartado se establece que todas las variables deben
tomar valores no negativos.

23. Resumen de lo aprendido
Campos de aplicación - ejercicios.
Actividades de cierre:

24. ¿Cómo se relaciona lo aprendido dentro de las actividades de mi
carrera profesional?
Metacognición

25. Investigación de Operaciones – Hamdy Taha – Novena edición (página
24)
Elaborado por Christian Nakasone Vega
Referencia bibliográfica y de imágenes

27. Nuestro ADN
Colaboración
Significativa
Aprendizaje
Experiencial
Metodología
Mentalidad
Emprendedora
Actitud
Impacto
Social
Resultado

28. CREA IMPACTO POSITIVO Y TRASCIENDE