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1. Modelos de Optimización
Sesión 02
Pedro Pablo Rosales López, Mg. Ing.

2. Contenido 1/16
 Definición de la programación Lineal.
 La Programación Lineal como soporte para la toma de
decisiones
 Modelo Matemático General
 Suposiciones y limitaciones del modelo de PL
 Aplicaciones reales de la Programación Lineal
 Práctica Dirigida.
Unidad 2 - Logro
Formula problemas construyendo un modelo matemático para obtener
soluciones y tomar decisiones.

3. PROGRAMACIÓN LINEAL
Modelos de Optimización

4. Definiciones
Reparte los escasos recursos para alcanzar los objetivos.
Un modelo de programación lineal busca maximizar o
minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de
restricciones lineales.

5. Soporte para la Toma de Decisiones
La Programación Lineal es una de las herramientas que
existen para colaborar con la toma de decisiones.
Otras Técnicas
Programación Lineal Estocástica
Modelos de decisión mutiobjetivo
Analytic Hierarchy Process
Heurística
Algoritmos Genéticos

6. Modelo Matemático General




n
j
i
j
ij m
i
b
x
a
1
,......,
2
,
1
n
j
xj ,.......,
2
,
1
0 



n
j
j
j x
c
1
Optimizar Z =
Sujeta a:

7. Suposiciones y Limitaciones
El número de restricciones
La calidad de la restricción.

8. Aplicaciones Reales
 Ejemplos:
 Programar los autobuses escolares para minimizar la distancia
total que se recorre cuando se transporta a los estudiantes.
 Asignar unidades de patrulla de la policía a las zonas con un
mayor nivel de criminalidad para minimizar el tiempo de
respuesta a las llamadas de emergencia.
 Elegir materias primas en procesos productivos para obtener
productos con determinadas propiedades al mínimo costo.
Planeación de la producción e inventarios
Mezcla de Alimentos
Transporte y asignación
Planeación financiera
Mercadotecnia
Asignación de recursos
Redes de optimización

9. MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Modelos de Optimización

10. El problema de la industria de juguetes “Chazan”.
 Chazan produce dos tipos de juguetes:
 Spaciales
 Zoldados
 Los recursos están limitados a:
 1200 kilos de plástico especial.
 40 horas de producción semanalmente.

11. Requerimientos
 Requerimientos de Marketing.
 La producción total no puede exceder de 800 docenas.
 El número de docenas de Spaciales no puede exceder al
número de docenas de Zoldados por más de 450.
 Requerimientos Tecnológicos.
 Spaciales requiere 2 kilos de plástico y 3 minutos de
producción por docena.
 Zoldados requiere 1 kilo de plástico y 4 minutos de producción
por docena.

12. Plan común de producción
 Plan común de producción para:
 Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores
ganancias, el cual corresponde a Spaciales ($8 de utilidad
por docena).
 Usar la menor cantidad de recursos para producir Zoldados,
porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por
docena).
 Qué Hacer?

13. Qué hacer ?
 El gerente siempre buscará un esquema de producción
que incremente las ganancias de su compañía.
 El plan común de producción consiste en:
 Spaciales = 550 docenas
 Zoldados = 100 docenas
 Utilidad = $4900 por semana
EL MODELO DE PROGRAMACIÓN
LINEAL PROVEE UNA SOLUCIÓN
INTELIGENTE PARA ESTE PROBLEMA
Este es el mejor plan?
Es el plan optimo?

14. Solución
 Variables de decisión
 X1 = Cantidad producida de Spaciales (en docenas por semana).
 X2 = Cantidad producida de Zoldados (en docenas por semana).
 Función objetivo
 Maximizar la ganancia semanal.

15. Modelo de Programación Lineal
 Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)
 Sujeto a:
 2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)
 3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)
 X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)
 X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)
 Xj >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

16. Solución Algebraica

17. Solución Gráfica
 El conjunto de puntos que satisface todas las
restricciones del modelo es llamado:
REGION FACTIBLE
USANDO UN GRAFICO SE PUEDEN
REPRESENTAR TODAS LAS
RESTRICCIONES, LA FUNCION
OBJETIVO Y LOS TRES TIPOS DE
PUNTOS DE FACTIBILIDAD.

18. 1200
600
Factible
Restricción del plástico:
2X1+X2<=1200
X2
No Factible
Horas de
Producción
3X1+4X2<=2400
Restricción del total de producción:
X1+X2<=800
600
800
Restricción del
exceso de producción:
X1-X2<=450
Tipos de puntos de
factibilidad
Punto Inferior
Punto Medio
Punto Extremo
X1
Resolución gráfica para encontrar la solución óptima.

19. 600
800
1200
400 600 800
X2
X1
comenzar con una ganancia dada de = $2,000...
Utilid. = $ 000
2,
Entonces aumente la ganancia...
3,
4,
...y continúe hasta que salga de la región factible
Ganancia =$5040
Resolución gráfica para encontrar la solución óptima.

20. 600
800
1200
400 600 800
X2
X1
Se toma un valor cercano al
punto óptimo
Feasible
region
Región
Factible
Región no
factible
Resolución gráfica para encontrar la solución óptima.

21. Resumen de la solución óptima
 Spaciales = 480 docenas
 Zoldados = 240 docenas
 Ganancia = $5040
 Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico)
y todas las horas de producción.
 La producción total son 720 docenas.
 La producción de Spaciales excede a la de Zoldados por
solo 240 docenas.

22. Soluciones
 Soluciones óptimas y puntos extremos.
 Si un problema de programación lineal tiene una solución
óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.
 Múltiples soluciones óptimas.
 Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la
función objetivo es una recta paralela a uno de los lados de la
región factible.
 Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es
también una solución óptima.

23. Solución mediante Lingo

24. Un fracaso es una demora ,
no una derrota.
Un fracaso es un desvío,
no una calle ciega
William Arthur Ward