1. INTEGRACIÓN NUMÉRICA CUADRATURA DE GAUSS Jonattan Morrison Tarquino Aparicio Cod: 614072002 Métodos Numéricos Fundación Universitaria Konrad Lorenz

2. Cuadratura de Gauss La cuadratura de Gauss toma como base la misma ecuación de integración lineal obtenida por el método de coeficientes indeterminados, trabajada para la regla del trapecio. Regla del trapecio: Regla del trapecio reescrita con coeficientes C0 y C1 Cuando se trabaja con la regla del trapecio se tiene la posibilidad de generar un error considerable en los cálculos como se puede observar a continuación.

3. Pero, mientras la regla del trapecio trabaja con puntos predeterminados o fijos a, b, la cuadratura de Gauss elimina esta restricción y da la opción de evaluar el área bajo la curva de una recta que una dos puntos estratégicos de la curva a integrar. La ventaja de aplicar el método de la cuadratura de Gauss es que al tomar puntos estratégicos de la curva, se puede determinar el área bajo la línea recta une dichos puntos y equilibrar así los errores negativos y positivos de integración numérica.

4. Una de las ecuaciones de cuadratura más utilizadas es la de Gauss Legendre. Para determinar esta ecuación se hace uso del método de coeficientes indeterminados Antes de describirse el proceso de obtención de la ecuación de Gauss Legendre, se muestra como se aplica el método e coeficientes indeterminados, para la obtención de la regla del trapecio Empleando:

5. Se ajusta dicha ecuación a la integral de la función constante y = 1 Al igual se ajusta la misma a la integral de la función lineal y= x Lo anterior se puede visualizar en el siguiente gráfico. - (b-a)/2 (b-a)/2 - (b-a)/2 (b-a)/2

6. Evaluando las integrales se tiene que: Obteniendo de esta manera un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución sería. Que al reemplazar en: Da como resultado la regla del trapecio: DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DE GAUSS LEGENDRE PARA DOS PUNTOS Lo realizado para la regla del trapecio con coeficientes indeterminados, se hace también para la ecuación: El objetivo de la cuadratura de gauss es determinar las ecuaciones de la ecuación anterior. Hay que tener en cuenta que a diferencia de la regla del trapecio, los argumentos x0, x1 no están

7. fijos en los extraemos del intervalo de integración, sino que son incógnitas. De lo anterior concluye que es necesario evaluar cuatro incógnitas y, en consecuencia, se requieren cuatro condiciones para hacerlo. Las cuatro condiciones son: Ajustar a las integrales de una constante, una función lineal tal cual hasta aquí se hizo con la regla del trapecio. Se adiciona la suposición de que también ajusta las integrales de una cuadrática y una cúbica. Al hacerlo se determinan las cuatro incógnitas que se necesitan y se obtiene una ecuación lineal de integración de dos puntos que resulta exacta para funciones cúbicas. Las condiciones son: X0 X1

8. Teniendo entonces: Que sustituyendo en : se obtiene: Que es la ecuación de Legendre de dos puntos. Por supuesto que se ha trabajado límites de integración -1 a 1, pero es posible emplear un cambio de variable para llevar otros límites de integración a los límites de -1 a 1. Esto se efectúa al suponer que hay una relación lineal entre una nueva variable xd y la variable original x, de la manera siguiente:

9. Si el límite inferior real de integración es, x = a corresponde a xd = -1, estos valores se sustituyen en la ecuación anterior tal que: Igualmente el limite real superior es, x = b corresponde a xd = 1, tal que De los dos últimos resultados resulta un sistema de ecuaciones tal que al solucionarlo algebraicamente se obtiene que: Lo inmediatamente anterior se sustituye en De tal forma que: El cual se deriva con respecto a xd obteniéndose: Las dos últimas ecuaciones sustituyen a x y dx respectivamente en la función que se habrá de integrar. Estas sustituciones transforman los límites de integración, pero no cambian el valor de la integral.

10. Ejemplo: Con: Evaluar la integral de: Entre los límites de integración: x=0 y x=0.8. Anticipadamente hay que realizar un cambio de variable para que los límites sean de -1 +1. Para ello, sustituimos a = 0 y b = 0.8 en Al hacerlo se obtiene: Ambas ecuaciones se substituyen en la ecuación original:

11. Para obtener: Esta ya esta en forma conveniente para poder aplicar la ecuación de gauss legendre. La función obtenida se evalúa en: que es igual a: 0.516741 y en: que es equivalente a: 1.305873 Por tanto la integral por la ecuación de Gauss es: Esto posee un error relativo porcentual de 11% FORMULAS CON MÁS PUNTOS No solamente existe la ecuación de Gauss para dos puntos, existen que también ecuaciones con más puntos que en forma general seria. Donde n = número de puntos. Los valores de las c y las x para fórmulas de hasta seis puntos se presentan a continuación.

12. Puntos Factor de ponderación Argumentos Error de truncamiento 2 C0 = 1.0000000 X0 = -0.577350269 ≅ f^(4) ξ C1 = 1.0000000 X1 = 0.577350269 3 C0 = 0.5555556 X0 = -0.774596669 ≅ f^(6) ξ C1 = 0.8888889 X1 = 0.00 C3 = 0.5555556 X2 = 0.774596669 4 C0 = 0.3478548 X0 = -0.861136312 ≅ f^(8) ξ C1 = 0.6521452 X1 = -0.339981044 C2 = 0.6521452 X2 = 0.339981044 C3 = 0.3478548 X3 = 0.861136312 5 C0 = 0.2369269 X0 = -0.906179846 ≅ f^(10) ξ C1 = 0.4786287 X1 = -0.538469360 C2 = 0.5688889 X2 = 0.0 C3 = 0.4786287 X3 = 0.538469360 C4 = 0.2369269 X4 = 0.906179846 6 C0 = 0.1713245 X0 = -0.932469514 ≅ f^(12) ξ C1 = 0.3607616 X1 = -0.661209386 C2 = 0.4679139 X2 = -0.238619186 C3 = 0.4679139 X3 = 0.238619186 C4 = 0.3607616 X1 = 0.661209386 C5 = 0.1713245 X5 = 0.932469514

13. Análisis del error en cuadratura de Gauss El error se especifíca por: Donde n = el número de puntos menos uno y es la - ésima derivada de la función, despues del cambio del cambio de variable con ξ localizada en algún lugar del intervalo desde -1 a 1. Aunque en algunos casos las ecuaciones de Guass Legendre tienen un desempeño regular, en general dichas ecuaciones tienen una aceptación bastante grande en el cálculo de integrales. Bibliografía: Chapra Steven C & Canele Raymond.Métodos numéricos para Ingenieros. Tercera Edición. MacGraw-Hill. Mexico. P655-663.