Metodo de Runge Kutta en Matlab

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA INGENIRÍA
“MÉTODO DE RUNGE KUTTA”
CLASE: 8838
DOCENTE: Ing. Teresa Victoria Chávez Toledo
TEMA: “Método de Runge Kutta”
GRUPO Nº: 5
INTEGRANTES:
- Alaya García, Elvimar.
- Machuca Aliaga, Lesli
- Ruiz Verátegui, Karol del Rosario
- Salazar Saucedo, José
- Salvatierra Alcántara, Lorena.
2018 – 2

Método de Runge Kutta.
Docente:Ing Teresa Victoria ChávezToledo 2
ÍNDICE:
- INTRODUCCIÓN.
- OBJETIVOS.
 GENERAL.
 ESPECIFICO.
- MARCO TEÓRICO.
- EJEMPLOS.
- CONCLUSIONES.
- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

I. INTRODUCCIÓN:
Este trabajo explica algunas de las varias herramientas del cálculo numérico para
solucionar problemas matemáticos. En el análisis numérico, métodos de Runge – Kutta
que forman una familia de métodos iterativos implícitos y explícitos para la resolución
de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. En términos más simples, los
métodos numéricos corresponden a un conjunto de herramientas o métodos usados para
obtener la solución de problemas matemáticos de forma aproximada, que se aplican a
problemas que no presentan una solución exacta. En el paso del tiempo y en la vida se
han presentado problemas, de igual manera en nuestra carrera se presentan situaciones
que pueden ser resueltas por medio de ecuaciones, dichas ecuaciones se pueden expresar
en función del tiempo que transcurre a esto se le llama una razón de cambio donde una
variable cambia en función de un tiempo t, dichas ecuaciones han sido resueltas a través
de los métodos de integración y cálculos extensos, engorros y complicados; pero al
aparecer alrededor del año 1900 un método numérico planteado por los matemáticos
alemanes CarlTolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta que consiste enresolver ecuaciones
diferenciales de primer orden sin necesidad de realizar integrales y esto mezclado con las
herramientas de tecnología como Excel hacen mucho más fácil la solución de dichas
ecuaciones,a continuación en el siguiente informe se presenta elmétodo de Runge-Kutta
y un ejemplo de cómo se puede utilizar para resolver problemas de ingeniería tales como
problemas de mezcla.
II. OBJETIVOS:
1. Objetivos Generales:
 Aprender a resolver Ecuaciones Diferenciales lineales de primer orden a través
del método de Runge-Kutta
2. Objetivos Específicos:
 Conocer ventajas y desventajas del método.
 Comparar el método de Runge-Kutta con la solución de la ecuación resuelta por
métodos de integración.
 Identificar la exactitud del método.

III. MARCO TEÓRICO
RUNGE-KUTTA
El método de Runge Kutta es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales que
surge como una mejora del método de Euler. El método de Euler se puede considerar como un
método de Runge Kutta de primer orden, el de Heun, es un método de Runge Kutta de orden dos.
Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin
requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden
denotar en la forma generalizada de la ecuación.
yi+ 1=yi+ F(xi, yi, h) h
Donde F (xi, yi, h) se conoce como la función incremento la cual puede interpretarse como una
pendiente representativa en el intervalo. La función incremento se escribe enforma general como:
F = a1k1+ a2k2 +«.+ ank n
Donde las a son constantes y las k son:
k1= f (xi, yi)
k2= f (xi+ p1h, yi+ q11k1h)
k3= f (xi+ p2h, yi+ q21k1h+q22k 2h)
kn= f (xi+ pnh, yi+ q2n-1k1h+ qn-1,2k2h+ «. + qn- 1,n-1k n-1h)
Donde las p y q son constantes.
Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos Runge-Kutta
sean eficientes para la programación. Existen varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear
diferentes números de términos en la función incremento como la especificada por n. n = 1, es el
método de Euler. Una vez se elige n, se evalúan las a, p y q al igualar la función incremento a los
términos en la serie de expansión de Taylor.

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDEN
La versión de segundo orden es:
𝒀𝒊 + 𝟏 = 𝒚𝟏+ ( 𝒂 𝟏 𝒌 𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒌 𝟐) 𝒉
Donde:
𝒌 𝟏 = 𝒇(𝒕𝒊 + 𝒚𝒊)
𝒌 𝟐 = 𝒇(𝒕𝒊 + 𝒑𝒊 𝒉, 𝒚𝒊 + 𝒒 𝟏𝟏 𝒌 𝟏 𝒉)
Los valores de 𝑎1, 𝑎2, 𝑝1 y 𝑞11 se evalúan al igualar la ecuación con la expansión de la
serie de Taylor hasta el término de segundo orden. Al hacerlo, desarrollamos tres
ecuaciones para evaluar las cuatro constantes desconocidas.
METODO RUNGE-KUTTA DE TERCER ORDEN
Para 𝑛 = 3, es posible efectuar un desarrollo similar al del método de segundo orden. El
resultado de tal desarrollo genera seis ecuaciones con ocho incógnitas. Por lo tanto, se
deben dar a priori los valores de dos de las incógnitas con la finalidad de establecer los
parámetros restantes. Una versión común que se obtiene es:
𝑌𝑖+1 = 𝑌𝑖 +
1
6
( 𝑘1 + 4𝑘2 + 𝑘3)ℎ
Donde:
𝐾1 = 𝑓(𝑡𝑖, 𝑌𝑖)
𝑘2 = 𝑓(𝑡𝑖 +
1
2
ℎ, 𝑦𝑖 +
1
2
𝑘1ℎ)

𝐾3 = 𝑓(𝑡𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 − 𝑘1ℎ + 2𝑘2ℎ)
Observe que si la EDO está en función sólo de 𝑡, este método de tercer orden se reduce a
la regla de Simpson 1/3.
Método de Runge-Kutta de cuarto orden
Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a
menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.
Definamos un problema de valor inicial como:
Donde:
Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto
del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio
ponderado de pendientes, donde 𝑘1 es la pendiente al principio del intervalo, 𝑘2 es la
pendiente en el punto medio del intervalo, usando 𝑘1 para determinar el valor de “y” en
el punto 𝑥 𝑛 +
ℎ
2
usando el método de Euler. 𝑘3 Es otra vez la pendiente del punto medio,
pero ahora usando 𝑘2 para determinar el valor de “y”
𝑘4 Es la pendiente al final del intervalo, con el valor de “y” determinado por 𝑘3.
Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto
medio:

Entonces para hallar el 𝑦( 𝑖+𝑖)
𝑦( 𝑖+𝑖) = 𝑦𝑖 +
ℎ
6
[ 𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4]
Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa
que el error por paso es del orden de 𝑂(ℎ5), mientras que el error total acumulado tiene
el orden 𝑂(ℎ4).
IV. EJEMPLOS.
Fórmulas:
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +
1
6
ℎ(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
𝑘1 = 𝑓(𝑥 𝑖,𝑦𝑖)
𝑘2 = 𝑓(𝑥𝑖 +
1
2
ℎ, 𝑦𝑖 +
1
2
ℎ𝑘1)
𝑘3 = 𝑓(𝑥𝑖 +
1
2
ℎ, 𝑦𝑖 +
1
2
ℎ𝑘2)
𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑘3)
En el siguiente ejercicio se solucionará de manera manual y asistido por un software:
1.- Con el método clásico RK de cuarto orden con h=0.5resuelva el siguiente problema de valor
inicial en el intervalo de 𝑥 = 0 𝑎 2:
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 𝑦𝑥2 − 1.2𝑦
Donde 𝑦0 = 1
-Manera manual:
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 𝐹( 𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑥2 − 1.2𝑦 𝑦2 = 𝑦1 +
1
6
ℎ(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
𝒌 𝟏 = ℎ𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑥2 − 1.2𝑦 = (1)(0)2 − 1.2(1) = −1.2

𝒌 𝟐 = 𝑓 ( 𝑥 𝑖 +
1
2
ℎ, 𝑦𝑖 +
1
2
ℎ𝑘1) =
𝑦 = (0 + 0.5(0.5))2 − 1.2𝑦 =
( 𝑦1 + 0.5𝑘1ℎ)(0.0625) − 1.2(𝑦1 + 0.5𝑘1ℎ)= -0.79625
𝒌 𝟑 = 𝑓 (𝑥 𝑖 +
1
2
ℎ, 𝑦𝑖 +
1
2
ℎ𝑘2)=
= (1 + 0.5 + (−0.79625(0.5))(0 + 0.5(0.5)2 − 1.2(1 + 0.5(−0.79625)(0.5))
= −0.91106641
𝒌 𝟒 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑘3)=
= (1 + (−0.901106641)(0.5))(0 + 0.5)2 − 1.2(1 + (−0.9110641(0.5)) =-0.51724346
𝒚 𝟐 = 𝑦1 +
1
6
ℎ( 𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4) =
1 +
1
6
(−1.2 + 2(−0.79625) + 2(−0.91106641) − 0.51724346)(0.5)
= 𝟎. 𝟓𝟕𝟐𝟑𝟒𝟑𝟔𝟒
-Asistido por un software
Copiamos el código a Matlab
Copiamos el ejercicio a desarrollar y presionamos el botón de enter

Gráfica:
El siguiente ejercicio se solucionará asistido por un software:
2.- Con el método clásico RK de cuarto orden con h=0.5resuelva el siguiente problema de valor
inicial en el intervalo de 𝑥 = 0 𝑎 3:
𝑑𝑥
𝑑𝑥
=
𝑥 − 𝑦
2
Donde: 𝑦0 = 1 y 𝑛 = 6
-Asistido por un software
Copiamos el código a Matlab

Copiamos el ejercicio a desarrollar y presionamos el botón de enter
Gráfica:

V. CONCLUSIONES:
 El estudio de los métodos numéricos, es muy útil y por ende importante para
quien utilice esta herramienta para resolución de operaciones, las cuales se saben
que pueden resultar complicadas, tediosas y largas, y por más que se dominen los
métodos tradicionales, estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin
embargo esto no quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es
ahí donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta
manera.
 Es un método fácil y sencillo de utilizar para resolver problemas de ecuaciones
diferenciales.
 La efectividad o exactitud del método consiste en saber escoger un buen
incremento.
VI. RECOMENDACIONES:
 Se recomienda tener mucho cuidado con las fórmulas de cada método.
 Es recomendable usar softwares matemáticos para la resolución de los
problemas, ya que muchas veces el cálculo resultara muy tedioso.
VII. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
 http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/34_RK.html
 https://es.scribd.com/doc/89437742/Trabjo-Encargado-Metodo-de-Runge-Kutta
 https://es.scribd.com/doc/87908184/METODO-DE-RUNGE-KUTTA-1%C2%AA-E-
2%C2%AA-ORDEM-REV-01

VIII. PREGUNTAS:
1.- ¿Después de haber investigado el método de Runge Kutta para la ecuación, que has
aprendido?
2.- ¿De qué depende la exactitud del método Rounge Kutta?
3.- ¿En que casos de la vida real dentro del campo de la Ing. Se puede hacer uso del metodo
de Runge K ?

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