Diferenciación numérica a través de la Extrapolación de Richardson

1. Extrapolación de Richardson
Diferenciación Numérica mediante la
extrapolación de Richardson
Ing. Eric Sira R.

2. Extrapolación de Richardson
De la fórmula centrada de derivación
1 ℎ2 ℎ4
𝑓′ 𝑥0 = 2ℎ
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 − ℎ) − 6 𝑓 3 𝑥0 − 120
𝑓 5 𝑥0 − ⋯
ℎ2 ℎ4
𝑓 ′ 𝑥0 = 𝑁(ℎ) − 𝑓 3
𝑥0 − 120 𝑓 5
𝑥0 − ⋯ (1)
6
Donde:
1
𝑁 ℎ = 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
2ℎ
Sea ℎ = ℎ/2 en (1)
ℎ ℎ2 ℎ4
𝑓′ 𝑥0 = 𝑁( ) − 𝑓 3
𝑥0 − 𝑓 5
𝑥0 − ⋯ (2)
2 24 1920
Ing. Eric Sira R.

3. Extrapolación de Richardson
Sumando algebraicamente 4 veces la ecuación (2) y restando de la (1)
ℎ4
𝑓′ 𝑥0 = 𝑁2 (ℎ) − 𝑓 5 𝑥0 − ⋯
480
Donde:
ℎ
ℎ 𝑁1 2 − 𝑁1 ℎ
𝑁2 ℎ = 𝑁1 +
2 3
𝑁1 (ℎ) = 𝑁(ℎ)
Forma General:
ℎ
ℎ 𝑁𝑗−1 2 − 𝑁𝑗−1 ℎ
𝑁𝑗 ℎ = 𝑁𝑗−1 +
2 4 𝑗−1 − 1
Ing. Eric Sira R.

4. Extrapolación de Richardson
EJEMPLO: Determinar 𝑁3 (ℎ) si 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 con 𝑥0 = 2 y ℎ = 0.2
Cálculo de la columna 𝑁1 (ℎ) de acuerdo a la expresión
1
𝑁1 ℎ = 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
2ℎ
Paso 𝑥0 − ℎ 𝑥0 + ℎ 𝑓(𝑥0 − ℎ) 𝑓(𝑥0 + ℎ) 𝑁1 (ℎ)
ℎ 0,20 1,80 2,20 10,8894 19,8550 22,4140
ℎ/2 0,10 1,90 2,10 12,7032 17,1490 22,2290
ℎ/4 0,05 1,95 2,05 13,7059 15,9242 22,1830
Ing. Eric Sira R.

5. Extrapolación de Richardson
Cálculo de 𝑁2 (ℎ)
ℎ
ℎ 𝑁1 − 𝑁1 ℎ
2
𝑁2 ℎ = 𝑁1 +
2 3
𝑁1 (ℎ) 𝑁2 (ℎ)
22,2288 − 22,4142
ℎ 22,4142 𝑁2 ℎ = 22,2288 +
3
ℎ/2 22,2288
ℎ/4 22,1826
ℎ 22,1826 − 22,2288
𝑁2 = 22,1826 +
2 3
Ing. Eric Sira R.

6. Extrapolación de Richardson
Cálculo de 𝑁3 (ℎ)
ℎ
ℎ 𝑁2 − 𝑁2 ℎ
2
𝑁3 ℎ = 𝑁2 +
2 15
𝑁1 (ℎ) 𝑁2 (ℎ) 𝑁3 (ℎ)
ℎ 22,4142 22,1672 − 22,1670
𝑁3 ℎ = 22,1672 +
ℎ/2 22,2288 22,1670 15
ℎ/4 22,1826 22,1672
Finalmente,
𝒇′(𝒙 𝟎 ) ≅ 𝑵 𝟑 𝒉 = 𝟐𝟐, 𝟏𝟔𝟕𝟐
Ing. Eric Sira R.

7. Extrapolación de Richardson
Analíticamente, 𝑓′ 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑥 + 1
TABLA DE COMPARACIÓN
𝑓′(2) 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙 (%)
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝐴𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑎 22,16716830
𝑅𝑖𝑐ℎ𝑎𝑟𝑑𝑠𝑜𝑛 22,16716831 0,00000006
𝐹𝑜𝑟𝑚. 𝐶𝑡𝑟𝑎𝑙 3 𝑝𝑡𝑠. 22,18256486 0,06945660
Ing. Eric Sira R.