1. 165
7.2 Obtención de fórmulas de integración numérica con el método de
coeficientes indeterminados
En esta sección se describe una técnica denominada de los Coeficientes Indeterminados para
obtener fórmulas de integración numérica.
El procedimiento consiste en proponer una fórmula conteniendo algunas incógnitas. Esta
fórmula es aplicada a casos conocidos con el propósito de obtener ecuaciones, de las cuales
se determinan finalmente los valores para las incógnitas.
Como ejemplo se usa este método para obtener una fórmula de tres puntos espaciados en h:
Fórmula propuesta
2h
0 1 2
0
A f(x)dx c f(0) c f(h) c f(2h)= = + +∫
Deben determinarse los coeficientes c0, c1, c2. Para obtenerlos, se usarán tres casos con
polinomios de grado 0, 1 y 2 con los cuales queremos que se cumpla la fórmula. Es suficiente
considerar la forma más simple de cada caso:
1) f(x) = 1,
2h
0 1 2 0 1 2 0 1 2
0
A (1)dx 2h c f(0) c f(h) c f(2h) c (1) c (1) c (1) c c c 2h= = = + + = + + ⇒ + + =∫
2) f(x) = x,
2h
2
0 1 2 0 1 2 1 2
0
A xdx 2h c f(0) c f(h) c f(2h) c (0) c (h) c (2h) c 2c 2h= = = + + = + + ⇒ + =∫
3) f(x) = x
2
,
2h
2 3 2 2
0 1 2 0 1 2 1 2
0
8 8
A x dx h c f(0) c f(h) c f(2h) c (0) c (h ) c (4h ) c 4c h
3 3
= = = + + = + + ⇒ + =∫
Resolviendo las tres ecuaciones resultantes se obtienen: 0 1 2
h 4h h
c , c , c
3 3 3
= = =
Reemplazando en la fórmula propuesta se llega a la conocida fórmula de Simpson
h
A (f(0) 4f(h) f(2h))
3
= + +
La obtención de la fórmula implica que es exacta si f es un polinomio de grado menor o igual a
dos. Para otra f, será una aproximación equivalente a sustituir f por un polinomio de grado dos.

2. 166
7.3 Cuadratura de Gauss
Las fórmulas de Newton-Cotes estudiadas utilizan polinomios de interpolación construidos con
puntos fijos equidistantes. Estas fórmulas son exactas si la función es un polinomio de grado
menor o igual al polinomio de interpolación respectivo.
Si se elimina la restricción de que los puntos sean fijos y equidistantes, entonces las fórmulas
de integración contendrán incógnitas adicionales.
La cuadratura de Gauss propone una fórmula general en la que los puntos incluidos no son
fijos como en las fórmulas de Newton-Cotes:
b
0 0 1 1 m m
a
A f(x)dx c f(t ) c f(t ) ... c f(t )= = + + +∫
Los puntos t0, t1, ..., tm, son desconocidos. Adicionalmente también deben determinarse los
coeficientes c0, c1, ..., cm
El caso simple es la fórmula de dos puntos. Se usa el método de los coeficientes
indeterminados para determinar las cuatro incógnitas
7.3.1 Fórmula de la cuadratura de Gauss con dos puntos
Fórmula propuesta
b
0 0 1 1
a
A f(x)dx c f(t ) c f(t )= = +∫
Por simplicidad se usará el intervalo [-1, 1] para integrar. Mediante una sustitución será
extendido al caso general:
1
0 0 1 1
1
A f(t)dt c f(t ) c f(t )
−
= = +∫
Habiendo cuatro incógnitas se tomarán cuatro casos en los que la fórmula sea exacta. Se
usarán polinomios de grado 0, 1, 2, 3. Es suficiente considerarlos en su forma más simple:
1) f(t)=1,
1
0 0 1 1 0 1 0 1
1
A (1)dt 2 c f(t ) c f(t ) c (1) c (1) 2 c c
−
= = = + = + ⇒ = +∫
2) f(t)=t,
1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1
A tdt 0 c f(t ) c f(t ) c t c t 0 c t c t
−
= = = + = + ⇒ = +∫
3) f(t)=t
2
,
1
2 2 2 2 2
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1
2 2
A t dt c f(t ) c f(t ) c t c t c t c t
3 3−
= = = + = + ⇒ = +∫
4) f(t)=t
3
,
1
3 3 3 3 3
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1
A t dt 0 c f(t ) c f(t ) c t c t 0 c t c t
−
= = = + = + ⇒ = +∫
Se genera un sistema de cuatro ecuaciones no-lineales. Una solución para este sistema se
obtiene con facilidad mediante simple sustitución:
Los valores c0 = c1 = 1 satisface a la ecuación 1).
De la ecuación 2) se tiene t0 = -t1. Esto satisface también a la ecuación 4).
Finalmente, sustituyendo en la ecuación 3): 2/3 = (1)(-t1)
2
+ (1)(t1)
2
se obtiene:
1
1
t
3
= , entonces, 0
1
t
3
= − y se reemplazan en la fórmula propuesta:

3. 167
Definición: Fórmula de cuadratura de Gauss con dos puntos
1
0 0 1 1
1
1 1
A f(t)dt c f(t ) c f(t ) f( ) f( )
3 3−
= = + =− +∫
Esta simple fórmula es exacta si f es un polinomio de grado menor o igual a tres. Para otra f es
una aproximación equivalente a sustituir f con un polinomio de grado tres.
Ejemplo. Calcule
1
3 2
1
A (2t t 1)dt
−
= + −∫
1
3 2 3 2
1
1 1 1 1 1 1
A f(t)dt f( ) f( ) [2( ) ( ) 1] [2( ) ( ) 1]
3 3 3 3 3 3−
= =− + =− + − − + + − =∫ -4/3
La respuesta es exacta pues f es un polinomio de grado 3
Mediante un cambio de variable se extiende la fórmula al caso general:
b
0 0 1 1
a
A f(x)dx c f(t ) c f(t )= = +∫
Sea
b a b a
x t
2 2
− +
= +
Se tiene que t = 1 ⇒ x = b, t = -1 ⇒ x = a,
b a
dx dt
2
−
=
Sustituyendo se tiene
Definición: Fórmula general de Cuadratura de Gauss para dos puntos
.
b 1
a 1
b a b a b a b a 1 1
A f(x)dx f( t )dt f( ) f( )
2 2 2 2 3 3−
− − + −  
= = + = − + 
 
∫ ∫
Ejemplo. Calcule
2
x
1
A xe dx= ∫ con la fórmula de la Cuadratura de Gauss con dos puntos
b a b a 2 1 2 1 1 3
x t t t
2 2 2 2 2 2
− + − +
= + = + = +
b 1
a 1
1 31 1
t
2 2
1 1
b a b a b a
A f(x)dx f( t )dt
2 2 2
1 1 3 1 1 3
f( t )dt ( t )e dt
2 2 2 2 2 2
1 1 1
[f( ) f( )]
2 3 3
−
+
− −
− − +
= = +
= + = +
= − +
∫ ∫
∫ ∫
1 3 1 3
2 22 3 2 31 1 3 1 3
( )e ) ( )e )
2 2 22 3 2 3
− + + 
 = − + + +
 
 
= 7.3832
La respuesta exacta con seis decimales es 7.389056.
Se observa que usando únicamente dos puntos se tiene una precisión mejor que usando la
fórmula de Simpson con tres puntos.

4. 168
7.3.2 Instrumentación computacional de la cuadratura de Gauss
function s = cgauss(f, a, b)
t1=-(b-a)/2*1/sqrt(3)+(b+a)/2;
t2= (b-a)/2*1/sqrt(3)+(b+a)/2;
s = (b-a)/2*(f(t1) + f(t2));
Ejemplo. Use la función cgauss para calcular
2
x
1
A xe dx= ∫
>> syms x
>> f=x*exp(x);
>> s=cgauss(inline(f),1,2)
s = 7.3832
Para mejorar la precisión de ésta fórmula se la puede aplicar más de una vez dividiendo el
intervalo de integración en sub-intervalos.
Ejemplo. Aplique dos veces la cuadratura de Gauss en el ejemplo anterior
2
x
1
A xe dx= ∫ = A1 + A2 =
1.5
x
1
xe dx∫ +
2
x
1.5
xe dx∫
En cada subintervalo se aplica la fórmula de la Cuadratura de Gauss:
>> syms x
>> f=x*exp(x);
>> s=cgauss(inline(f),1,1.5) + cgauss(inline(f),1.5,2)
s = 7.3886
Se puede dividir el intervalo en más sub-intervalos para obtener mayor precisión. Conviene
definir una función en MATLAB para determinar la precisión del resultado, comparando valores
consecutivos, en base a la convergencia del integral.
7.3.3 Instrumentación extendida de la cuadratura de Gauss
function t=cgaussm(f, a, b, m)
h=(b-a)/m;
t=0;
x=a;
for i=1:m
a=x+(i-1)*h;
b=x+i*h;
s=cgauss(f,a,b);
t=t+s;
end
m es la cantidad de sub-intervalos

5. 169
Ejemplo. Aplicar sucesivamente la Cuadratura de Gauss incrementando el número de sub-
intervalos, hasta que la respuesta tenga cuatro decimales exactos
>> syms x
>> f=x*exp(x);
>> s=cgaussm(inline(f),1,2,1)
s =
7.3833
>> s=cgaussm(inline(f),1,2,2)
s =
7.3887
>> s=cgaussm(inline(f),1,2,3)
s =
7.3890
>> s=cgaussm(inline(f),1,2,4)
s =
7.3890
En el último cálculo se han usado 4 sub-intervalos. El valor obtenido tiene cuatro decimales
fijos
Para obtener fórmulas de cuadratura de Gauss con más puntos no es práctico usar el método
de coeficientes indeterminados. Se puede usar un procedimiento general basado en la teoría
de polinomios ortogonales. En la bibliografía se pueden encontrar estas fórmulas así como
expresiones para estimar el error de truncamiento pero imprácticas para su uso.
7.4 Integrales con límites infinitos
Estos integrales se denominan integrales impropios del primer tipo
Ocasionalmente puede ser de interés calcular integrales cuyos límites no se pueden evaluar en
las fórmulas de integración. Mediante alguna sustitución deben reducirse a una forma simple
eliminando estos límites impropios.
Ejemplo. Calcule 2 3
0
dx
A
(1 x )
∞
=
+
∫ con la Cuadratura de Gauss, m = 1, 2, 4
Antes de la sustitución conviene separar el integral en dos sub-intervalos
1
1 22 3 2 3 2 3
0 0 1
dx dx dx
A A A
(1 x ) (1 x ) (1 x )
∞ ∞
= = + =+
+ + +
∫ ∫ ∫
A1 se puede calcular inmediatamente con la Cuadratura de Gauss
Para A2 se hace la sustitución
x = 1/t
x → ∞ ⇒ t → 0, x = 1 ⇒ t = 1, dx = -1/t
2
dt
0 1 4
2 2 3 2 3 2 2 3
1 1 0
dx 1 dt t
A ( )
(1 x ) (1 1/ t ) t (1 t )
∞
= = −=
+ + +
∫ ∫ ∫ dt
Ahora se puede aplicar también la Cuadratura de Gauss
Resultados calculados:
m=1: A = A1+A2 = 0.6019
m=2: A = A1+A2 = 0.5891
m=4: A = A1+A2 = 0.5890
El último resultado tiene un error en el orden de 0.0001

6. 170
7.5 Integrales con singularidades
Estos integrales se denominan integrales impropios del segundo tipo
Mediante alguna sustitución deben reducirse a una forma eliminando los puntos singulares.
Ejemplo. Calcule
1 x
2 / 5
0
2
A dx
(x 1)
=
−
∫ con la fórmula de Simpson, m=4 y estimar el error
Mediante una sustitución adecuada se puede eliminar el punto singular
x-1 = u
5
: x = 1 ⇒ u = 0
x = 0 ⇒ u = -1
dx = 5u
4
du
5
5
1 0 0 0x u 1
4 u 1 2
2 / 5 2
0 1 1 1
2 2
A dx (5u du) 5(2 u )du f(u)du
(x 1) u
+
+
− − −
= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫
integral bien definido en [-1,0]
Regla de Simpson, m=4
A =
h
3
[f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + f4]
m = 4 ⇒ h = 0.25
A = 0.25/3(f(-1)+4f(-0.75)+2f(-0.5)+4f(-0.25)+f(0)) = 2.6232
Estimación del error
Al no disponer de más información, se usarán las diferencias finitas para estimar el error
x f ∆f ∆2
f ∆3
f ∆4
f
-1 1.2500 -0.0570 -0.5243 0.6502 -0.4768
-0.75 1.1930 -0.5814 0.1259 0.1734
-0.5 0.6116 -0.4555 0.2993
-0.25 0.1561 -0.1561
0 0
T = –
4
h
180
(b – a) f
(4)
(z), a<z<b , f
(4)
(z) ≅
4
i
4
f
h
∆
T ≅–
(b-a)
180
4
if∆ = -
(0 - (-1))
180
(-0.4768) = 0.0026
Nota.- Este integral no puede evaluarse analíticamente. Si se usa la fórmula de Simpson
incrementando el número de franjas, el resultado tiende a 2.6246019… consistente con el
error calculado con la fórmula anterior.
Ejemplo. Calcule
1
0
sen(x)
A dx
x
= ∫ con la Cuadratura de Gauss con m=1, 2
La fórmula de la Cuadratura de Gauss no requiere evaluar f en los extremos, por lo tanto se
puede aplicar directamente:
b
a
b a b a 1 b a b a 1 b a
A f(x)dx f( ) f( )
2 2 2 2 23 3
− − + − + 
= = − + + + 
 
∫
Aplicando la fórmula en el intervalo [0, 1]:
A = 0.94604
Aplicando la fórmula una vez en cada uno de los intervalos [0, 0.5] y [0.5, 1] y sumando:
A = 0.94608
Comparando ambos resultados se puede estimar el error en el quinto decimal.
NOTA: Para calcular el integral no se puede aplicar la fórmula de Simpson pues ésta requiere
evaluar f(x) en los extremos. En este ejemplo, se tendría un resultado indeterminado al evaluar
en x = 0

7. 171
7.6 Integrales múltiples
Para evaluar integrales múltiples se pueden usar las reglas de integración numérica anteriores
integrando separadamente con cada variable:
Suponer que se desea integrar
d b
c a
A f(x,y)dxdy= ∫∫
d b
c a
f(x,y)dx dy
 
=  
 
 
∫ ∫ con la regla de Simpson
con m = 4 en ambas direcciones.
Se puede aplicar la regla integrando en la dirección X fijando Y en cada valor. Los símbolos
∆x y ∆y denotan la distancia entre los puntos en las direcciones X, Y, respectivamente.
b b b b b
0 1 2 3 4
a a a a a
y
A f(x,y )dx + 4 f(x,y )dx + 2 f(x,y )dx + 4 f(x,y )dx + f(x,y )dx
3
 ∆
≅  
  
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
b
0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0
a
b
1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1
a
b
2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2
a
b
3
a
x
f(x,y )dx f(x ,y ) 4f(x ,y ) 2f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3
x
f(x,y )dx f(x ,y ) 4f(x ,y ) 2f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3
x
f(x,y )dx f(x ,y ) 4f(x ,y ) 2f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3
f(x,y )dx
∆
≅ + + + +
∆
≅ + + + +
∆
≅ + + + +
∫
∫
∫
( )
( )
0 3 1 3 2 3 3 3 4 3
b
4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4
a
x
f(x ,y ) 4f(x ,y ) 2f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3
x
f(x,y )dx f(x ,y ) 4f(x ,y ) 2f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3
∆
≅ + + + +
∆
≅ + + + +
∫
∫
Ejemplo. Calcule el integral de f(x,y)=sen(x+y), 0≤x≤1, 2≤y≤3, con m = 2 en cada dirección.
3 1
2 0
A sen(x y)dxdy= +∫∫
3 1
2 0
sen(x y)dx dy, x y 0.5
 
= + ∆ =∆ = 
 
 
∫ ∫
1 1 1
0 0 0
0.5
A sen(x+2)dx + 4 sen(x+2.5)dx + sen(x+3)dx
3
 
≅  
  
∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
1
0
1
0
1
0
0.5
sen(x 2)dx sen(0 2) 4sen(0.5 2) sen(1 2) 0.5741
3
0.5
sen(x 2.5)dx sen(0 2.5) 4sen(0.5 2.5) sen(1 2.5) 0.1354
3
0.5
sen(x 3)dx sen(0 3) 4sen(0.5 3) sen(1 3) -0.3365
3
+ ≅ + + + + + =
+ ≅ + + + + + =
+ ≅ + + + + + =
∫
∫
∫
[ ]
0.5
A 0.5741+ 4(0.1354) +(-0.3365) 0.1299
3
≅ =

8. 172
Ejemplo. Un lago tiene forma aproximadamente rectangular de 200m x 400m. Se ha trazado
un cuadriculado y se ha medido la profundidad en metros en cada cuadrícula de la malla como
se indica en la tabla siguiente:
Con todos los datos de la tabla estime el volumen aproximado de agua que contiene el lago.
Utilice la fórmula de Simpson en ambas direcciones.
0 0 0 1 0 2 0 3 0 4
1 0 1 1 1 2 1 3 1 3
2 0 2 1 2 2 2 3 2 4
x y
V f(x ,y ) 4f(x ,y ) 2f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3 3
y
4 f(x ,y ) 4f(x ,y ) 2f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3
y
2 f(x ,y ) 4f(x ,y ) 2f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3
∆ ∆
= + + + +   

∆
+ + + + +  
∆
+ + + + +  
}
3 0 3 1 3 2 3 3 3 4
4 0 4 1 4 2 4 3 4 4
y
4 f(x ,y ) 4f(x ,y ) 2f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3
y
f(x ,y ) 4f(x ,y ) 2f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3
∆
+ + + + +  
∆
+ + + + +  
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] }
100 50
V 0 4(0) 2(1) 4(0) 0
3 3
50
4 0 4(3) 2(5) 4(2) 0
3
50
2 4 4(5) 2(6) 4(3) 1
3
50
4 6 4(7) 2(9) 4(5) 2
3
50
0 4(3) 2(5) 4(1) 0
3

= + + + +

+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
V 287777.78 metros cúbicos de agua=
X
Y
0 100 200 300 400
0 0 0 4 6 0
50 0 3 5 7 3
100 1 5 6 9 5
150 0 2 3 5 1
200 0 0 1 2 0

9. 173
Ejemplo. Calcule el integral de f(x,y)=(x
2
+y
3
), 0≤x≤1, x≤y≤2x, con m = 2 en cada dirección.
1 2x
2 3
0 x
A (y x )dydx= +∫ ∫
Puntos para la integración numérica:
y
x
x 1.5x 2x ∆y
0 0 0 0 0
0.5 0.5 0.75 1 0.25
1 1 1.5 2 0.5
}+
0 0 0 1 0 2
1 0 1 1 1 2
2 0 2 1 2 2
x y
A f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3 3
y
4 f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3
y
f(x ,y ) 4f(x ,y ) f(x ,y )
3
∆ ∆
= + +   

∆
+ + +  
∆
+ +  
[ ]
[ ] }+
0
0.5 0
A f(0,0) 4f(0,0) f(0,0)
3 3
0.25
4 f(0.5,y ) 4f(0.5,0.75) f(0.5,0.75)
3
0.5
f(1,1) 4f(1,1.5) f(1,2) 0.7917
3

= + +

+ + +  
+ + =
7.6.1 Instrumentación computacional de la fórmula de Simpson en dos direcciones
Se instrumenta el método de Simpson para una función de dos variables f(x,y). Primero se
integra en la dirección X y después, con los resultados obtenidos, se aplica nuevamente la
fórmula de Simpson en la dirección Y.
f: función de dos variables
ax, bx, ay, by: límites de integración en las direcciones x, y respectivamente
mx, my: cantidad de franjas en cada dirección
function s=simpson2(f, ax, bx, ay, by, mx, my)
dy=(by-ay)/my;
y=ay;
for i=1:my+1
g = subs(f,'y',y); %Sustituye en f el símbolo y por cada valor
r(i) = simpson(inline(g), ax, bx, mx);
y = y+dy;
end
s=0;
for i=2:my
s=s+2*(2-mod(i,2))*r(i);
end
s=dy/3*(r(1)+s+r(my+1));

10. 174
Ejemplo.
Calcule
1 1
2
0 0
A cos(x y)(x y)dxdy= + +∫∫ con la regla de Simpson instrumentada en la función
anterior. Usar m=4,8,… en ambas variables.
Solución con la función simpson2
>> syms x y;
>> f=cos(x^2+y)*(x+y);
>> s=simpson(f,0,1,0,1,4,4)
s =
0.500415
>> s=simpson2(f,0,1,0,1,8,8)
s =
0.500269
Si se incrementa el número de franjas, el resultado tiende a 0.50025582…
Nota. Este integral no se puede resolver por métodos analíticos o con el resolvedor simbólico
de MATLAB
>> syms x y;
>> f=cos(x^2+y)*(x+y);
>> s=eval(int(int(f,0,1),0,1))
Error using …