1. EcuacionEs difErEncialEs
1. Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales
a) Ln y' =x
Solución:
x
eyxy =⇒= ''ln
x
e
dx
dy
=⇒ (Ecuación diferencial de variables separables)
dxedy x
=⇒
Integrando se obtiene: cey x
+= ; ℜ∈c
b) 0)ln(ln)lnln( =−++− dyxyxdxxyyyx
Solución: Aplicando propiedades de logaritmos:
0)][ln()]ln([ =+− dy
x
y
dx
x
y
yx ………….(*)
Haciendo xduudxdyuxy +=⇒=
Sustituyendo en (*): 0)(ln)ln( =++− xduudxuxdxuuxx
Agrupando y simplificando: 0ln =+ uduxdx
Separado variables: 0ln =+ u
x
dx
.
Integrando: ∫∫ =+ cduu
x
dx
.ln
ycxyyxyx +=+−⇒ lnln)(
c) 1)'1( =+−
ye y
Solución:
11
1
1 '
−=⇔=+⇔=+ −
yy
y
e
dx
dy
e
dx
dy
e
y
Separando variables: dx
e
dy
y
=
−1
Integrando se deduce: ∫ ∫=
−
,
1
dx
e
dy
y en la primera integral
multiplicando por y
e−
, se tiene ,)1ln(
1
Cexx
e
dye y
y
y
+−−=⇔=
−
−
−
−
∫
donde C es una constante real.
2. Determine si la E. D. es exacta, si no lo es encuentre el factor integrante y
resuelva la Ecuación diferencial 03)2ln( 2234
=+− dyyxdxxyxx
Solución:

2. Condición de Exactitud: x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
, siendo 34
2ln xyxxM −= y 22
3 yxN = ,
entonces
2
6xy
y
M
−=
∂
∂
y
2
6xy
x
N
=
∂
∂
, son diferentes, luego la ecuación diferencial no es
exacta, el factor integrante es 4
1
x
u = , multiplicando la ecuación diferencial por el
factor integrante:
0)()(ln0
23
)(ln 2
3
4
322
=+⇔=
−
+
x
y
ddxx
x
dxxydyyx
dxx .
Integrando C
x
y
ddxx =+ ∫∫ )()(ln 2
3
, donde C es una constante real, por
consiguiente la solución de la ecuación diferencial es:
.)1(ln 2
3
C
x
y
xx =+−
3. Resolver: dyedy
y
x
dx yarccos
2
1
=
−
+
Solución: Dividir la ecuación entre dy para obtener una ecuación diferencial de la
forma:
),()('
1
arccos
2
yQyPxe
y
x
dy
dx y
=+⇔=
−
+
Donde 2
1
1
)(
y
yP
−
= , y y
eyQ arccos
)( = .
Aplicando la fórmula: ])([
)()(
CdyyQeex
dyyPdyyP
+∫∫= ∫
−
, operando se tiene:
][arccos
Cyex y
+=
4. Un tanque contiene 200 galones de agua en los que están disueltos 40 lb de sal.
Al tanque entran 5 galones de salmuera por minuto, cada uno de los cuales
contiene 2 lb de sal disuelta, y la mezcla, cuya uniformidad se mantiene
agitándola, sale a la misma razón. Encontrar la cantidad de sal y(t) que hay en el
tanque en cualquier tiempo t.
Solución- La razón de cambio con el tiempo
dt
dy
es igual al flujo de entrada
5(2)=10[lb/min] de sal menos el flujo de salida )(025,0)(
200
5
tyty =× [lb/min]
ya que )(ty es la cantidad total de sal que hay en el tanque y 5gal/200gal es la
fracción del volumen que sale por minuto. Luego, el modelo matemático se ve
reflejado en la ecuación diferencial:
.40)0(;025,010 =−= yy
dt
dy
Resolviendo el problema de valor inicial:

3. t
ety 025,0
360400)( −
−= [lb]
5. Una resistencia variable
t
R
+
=
5
1
ohms. y una capacitancia de 6
105 −
+ farad.
Se conecta en serie con una f.e.m. de 100 volts. ¿Cuál es la carga del
condensador después de un minuto si Q(0)=0 ?
Solución:
Utilizando las leyes de Kirchoff:
q
Cdt
dq
REq
C
RiE
11
+=⇒+=
Se trata de una ecuación diferencial, en términos de q y t.
0)0();5(100
105
5
'
105
1
5
1
100 66
=+=
+
+
+⇔
+
+
+
= −−
qtq
t
qq
dt
dq
t
0)0(];)5(100[)(
66
105
5
105
5
=++
∫∫
=⇒ ∫
−−
+
+
+
+
−
qCdtteetq
dt
t
dt
t
6. Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales
a) tan y' =x
Solución:
∫ ∫=⇔=⇔=⇔= dxxdydxxdyx
dx
dy
xy )(arctan)(arctanarctanarctan' ,
la integral de la derecha se resuelve integrando por partes, considerando:
xvdxdv
x
dx
duxu
=⇒=
+
=⇒= 2
1
arctan
∫∫∫∫ +
−=⇒−= dx
x
x
xxdxxvduuvdxx 2
1
arctan)(arctan)(arctan ,
entonces:
;)1ln(
2
1
arctan)(arctan 2
Cxxxdxx ++−=∫ donde .ℜ∈C
b)
22
xyy
dx
dy
x −+=
Solución:
Se trata de una ecuación diferencial homogénea. Haciendo
xduudxdyuxy +=⇒=
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
,0)()( 222
=+−−+ xduudxxdxxxuux agrupando convenientemente se
tiene: ;01 22
=−− duxdxux para 0≠x , luego
,0
12
=
−
−
u
du
dx
dx
integrando se deduce Cuux =−+− |1|lnln 2
, así la
solución es:

4. Cxy
x
y
x =−+− |1)/(|lnln 2
.
c) 0)1())(1( 22
=+−−+ dyydyedxey yx
Solución: La ecuación diferencial equivale a:
0)1(2222
=+−−+− dyydyeydxeydyedxe yxyx
Asociando: 0)]1()1([)1( 222
=+++−+ dyyyedxye yx
, se trata de una
ecuación de variables separables:
0]
1
)1(
[ 2
2
=
+
+
+− dy
y
y
edxe yx
Integrando, se obtiene la solución: Cyee yx
=+−− )1ln(
2
1
2
1 22
; C=cte.
7. Se conecta en serie una inductancia de 1 henry y una resistencia de 2 ohms.
Con una batería de t
e 0001.0
6 −
volts. Inicialmente no fluye ninguna corriente.
¿Cuándo llegará la corriente a 0.5 amperios?
Solución:
Utilizando las leyes de Kirchoff:
.0)0(;26 0001,0
=+=⇒+= −
i
dt
di
ie
dt
di
LRiE t
Entonces, se trata de una ecuación diferencial lineal de primer orden con condición
inicial, en términos de i y t.
0)0(];6[)( 0001,022
=+∫∫=⇒ ∫
−−
iCdteeeti tdtdt
Resolver, luego sustituir en el valor de i(t) obtenido, 0,05 y despejar el valor de t,
que será el tiempo requerido.