DOCUMENTO

1. CÁLCULO II
FREDY ENRIQUE RAMIREZ COSTILLA
DEMETRIO CCESA RAYME

2. Antiderivada
IxxfxF  todopara)()(
Una función F recibe el nombre de antiderivada de f en un
intervalo I si:
Definición:
La antiderivada general de f (x) se expresa:
Notación:
f(x) : integrando
dx : diferencial de x, indica la variable a integrar
F(x) : antiderivada
C : constante de integración
 : Signo de integral
  CxFdxxf )()(
Y se
denomina
integral
indefinida
de f.

3. Antiderivada
  2
xxf Miembros de la familia de antiderivadas de
3
3
x3

2
3
x3

1
3
x3

3
x3
1-
3
x3
2-
3
x3
x
Interpretación geométrica:

4. Reglas algebraicas para la integración indefinida
( ) ( ) constante
( ( ) ( )) ( ) ( )
k f x dx k f x dx k
f x g x dx f x dx g x dx
   
  
 
  
Es importante tener en cuenta que:
 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx          
( )( )
( ) ( )
f x dxf x
dx
g x g x dx





5. Reglas importantes de antiderivadas
0;ln
1
 xCxdx
x
Cxxdx  sencos
Cxxdx  tansec2
Cxxdxx  sectansec
Cxdx
x




1
2
sen
1
1
Cxdx
x




1
2
tan
1
1
Cxxdx  cossen
C
n
x
dxx
n
n




 1
1
1n
, Constantek dx k x C k   
, 0
kx
kx e
e dx C k
k
  

6. Halle las siguientes integrales. Verifique su
respuesta mediante la derivación
1. 3.
2. 4.
  dtt
t
)25
3
(
2
  du
u
e u
)2ln
6
8( 2


dx
x
xx
)
12
( 2
2
  dxxx )12(
Aplicación de Integraciones
Inmediatas

7. Halle la función f (x) cuya tangente a su gráfica tiene
pendiente 4x2 + 1 para cada valor de x y su gráfica pasa
por el punto (1; 2).
Problema 1
Una lancha de motor se aleja del muelle describiendo una
trayectoria rectilínea, con una aceleración en el instante t, dada
por
En el instante t = 0, la lancha tenia una velocidad de 8 m/s y se
encontraba a 15 metros del muelle. Determinar la posición de la
lancha S(t) respecto al embarcadero al cabo de t segundos.
Problema 2
Aplicación de Integraciones
Inmediatas

8. CxFdxxf  )()(Si
y u = g(x) es una
función derivable de x,
entonces:
CuFduuf  )()(
Integración por Sustitución
Algebraica
        duufdxxg'xgf
Paso 1. Introduzca la letra u para
remplazar alguna expresión en x,
con el objetivo de simplificar la
integral.
Paso 2. Reescriba la integral en
términos de u.
Paso 3. Calcule la integral
resultante y luego remplace u por
su expresión en términos de x en
la respuesta.

9.       duufdxxgxgf  
 









dxxx
dxx
dx
x
x
dxxx
dxxx
25
2
43
2
1)5
tan)4
1
arctan
)3
2sen)2
3)1
Evaluar las siguientes integrales:
 
dx
x
x
1
3
.6 2
2 10
( 5)x x dx
 

dx
xx
x
382
63
.8 2
 

dx
x
x
3
52
.9
7.
Aplicación de Integraciones por
Sustitución Algebraica

10. Si u y v son funciones de x, entonces
( )´ ´ ´u v u v v u    
Al despejar u.v’ se tiene:
´ ( )´ ´u v u v v u    
Integrando:
Nota: dv debe contener a dx, debe de ser fácil de integrar.
u dv u v v du     
  dxuvdxvudxvu '.)'.('.
Integración por partes

11. ¿En qué consiste este método?
Este método consiste en identificar a f(x)dx como el
producto u.dv, con la pretensión de aplicar la fórmula
obtenida de tal manera que la integral del segundo
miembro sea más fácil de calcular que la primera. Esto
es,
  vduuvdxxf )(
udv fácil

12. a. d.
b. e.
c. f.
 dq
q
q
2
ln


dppe p2
  dyyy 3
 zdzzln
 xdxln
Calcule las siguientes integrales utilizando la integración
por partes.
 dx
x
x
2
ln
Aplicación de Integración por
Partes
 dxxeg x
.

13. Integración mediante Sustitución
Trigonométrica
Cuando un integrando contiene potencias enteras de
x y potencias enteras de alguna de las expresiones:
, o bien
es posible que se puedan evaluar por medio de una
sustitución trigonométrica.
22
xa  22
xa  22
ax 

14. CASO 1: Integrandos que contienen
22
xa 
22
xa 
x
a
 )(aSenx 
En este caso utilizaremos la siguiente representación:
A partir de ella, definimos

15. CASO 2: Integrandos que contienen
En este caso utilizaremos la siguiente representación:
A partir de ella, definimos
22
xa 
22
xa 
x
a

)(aTanx 

16. CASO 3: Integrandos que contienen
En este caso utilizaremos la siguiente representación:
A partir de ella, definimos
22
ax 
22
ax 
x
a

)(aSecx 

17. PROCESO DE INTEGRACIÓN MEDIANTE
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Para resolver una integral mediante el método de
sustitución trigonométrica hay que seguir el siguiente
proceso:
1. Proponer la sustitución adecuada.
2. Reemplazar los términos en la integral a partir de la
sustitución propuesta.
3. Resolver la integral equivalente obtenida al
reemplazar los términos a partir de la sustitución
propuesta.
4. Expresar la solución de la integral equivalente en
términos de la sustitución original.

18. EJEMPLO:
Resolver:
Seguiremos paso a paso con el proceso indicado.
Como el radical tiene la forma :
con a = 4, tenemos una integral del CASO 2 y:
1. El cambio indicado es:
Con ello, tenemos la siguiente representación gráfica:
  2
16 xx
dx
22
xa 
)(4 Tanx 

19. SOLUCIÓN:
2. Reemplazando los términos en la integral propuesta
tenemos:
2
16 x
x
4

)(4 Tanx 
22
161616 Tanx 
)1(16 2
Tan
 SecSec 416 2

dSecdx 2
4
 
 

SecTan
dSec
xx
dx
44
4
16
2
2

20. Simplificando:
Esta última representa la integral equivalente.
 






d
Sen
d
CosSen
Cos
xx
dx 1
4
1
/
/1
4
1
16 2
 
 

SecTan
dSec
xx
dx
44
4
16
2
2
 
 

Tan
dSec
xx
dx
4
1
16 2
 

dCsc
xx
dx
4
1
16 2

21. 3. Enseguida procedemos a resolver la integral
equivalente. Como:
Entonces:
4. Expresando lo anterior en función de los términos
originales, tenemos finalmente que:
cCotuCscuCscudu  ln
cCotCscdCsc
xx
dx


  ln
4
1
4
1
16 2
c
xx
x
xx
dx





416
ln
4
1
16 2

22. Resolver las siguientes integrales, usando sustitución
trigonométrica:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
dx
x
x
  2
2
25
dx
x
x

 2
9
  2/32
)1( x
dx
dx
x
x


4
2
9
dxx  2
1   42
x
dx
Aplicación de Integración mediante
Sustitución Trigonométrica

23. Integración mediante el desarrollo de
Fracciones Parciales
 Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces a la expresión f(x)/g(x)
se le denomina fracción racional.
 Si el grado de f(x) es menor que el grado de g(x), entonces a la
fracción se le llama propia. Es impropia cuando el grado del
numerador es de igual o mayor grado que el denominador.
 Cuando se requiere integrar una fracción racional propia de la
forma:
La fracción pueden expresarse como la suma de fracciones
simples o fracciones parciales cuyos denominadores son los
factores de g(x) y los numeradores no son conocidos y solo
bastaría investigar cual es el numerador de cada una de ellas.
 dx
xg
xf
)(
)(

24.  El método de integración mediante el desarrollo de
fracciones parciales consiste en descomponer en fracciones
parciales la fracción racional propia y a partir de ello, obtener
la integral de cada una de dichas fracciones. De esta manera
se obtiene la integral de la fracción racional.
 Existen cuatro casos a considerar para la descomposición de
la fracción racional.
 Veamos, cuando los términos de la suma:
se combinan por medio de un denominador común, se obtiene
la expresión racional:
 Así, logramos con facilidad:
2
5
1
2


 xx
2
17
)2)(1(
)1(5)2(2
2





xx
x
xx
xx
dx
xx
dx
xx
x
)
2
5
1
2
(
2
17
2







cxx  2ln51ln2

25. CASO I: Factores lineales no repetidos
Si:
en donde todos los factores aix+bi son distintos y el
grado de P(x) es menor que n, entonces existen
constantes reales únicas A1, A2, … , An tales que:
))...()((
)(
)(
)(
2211 nn bxabxabxa
xP
xQ
xP


nn
n
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xP





 
22
2
11
1
)(
)(

26. CASO II: Factores lineales repetidos
Si:
en donde n>1 y el grado de P(x) es menor que n,
entonces existen constantes reales únicas A1, A2, … , An
tales que:
n
bax
xP
xQ
xP
)(
)(
)(
)(


n
n
bax
A
bax
A
bax
A
xQ
xP
)()()(
)(
2
21





 

27. CASO III: Factores Cuadráticos no repetidos
 Si:
en donde todos los factores aix2+bix+ci son distintos y el grado
de P(X) es menor que 2n, entonces existen constantes reales
únicas A1, A2, … , An, B1, B2, …, Bn tales que:
)())((
)(
)(
)(
2
22
2
211
2
1 nnn cxbxacxbxacxbxa
xP
xQ
xP



nnn
nn
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xQ
xP








 2
22
2
2
22
11
2
1
11
)(
)(


28. CASO IV: Factores cuadráticos repetidos
 Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor que 2n, entonces
existen constantes reales únicas A1, A2, … , An, B1, B2, …, Bn
tales que:
n
cbxax
xP
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
2


n
nn
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
xQ
xP
)()()(
)(
222
22
2
11








 

29. Ejemplos para descomponer fracciones
propias y usarlas en Integrales de Fracciones
)2()2()2)(2(
1
)4(
1
1 2








x
B
x
A
xxx
11
1
2 22





x
BAx
x
323
)2()2()2()2(
1
3








x
C
x
B
x
A
x