Este documento describe el método de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método involucra despejar cada incógnita en términos de las otras y calcular iterativamente nuevas aproximaciones. También presenta la fórmula matemática para calcular cada término de la nueva aproximación y muestra un ejemplo numérico de la aplicación del método.

1. Clase 7

2.  Esta técnica muestra cierta similitud con el método de iteración de punto fijo, ya
que consiste en despejar una de las incógnitas de una ecuación dejándola en
función de las otras. La manera mas sencilla es despejar 𝑥1 de la primera
ecuación; 𝑥2 de la segunda ecuación; 𝑥𝑖 de la i-esima ecuación, hasta 𝑥 𝑛 de la n-
esima ecuación. Es necesario, por razones obvias que todos los elementos de la
diagonal principal de la matriz de coeficientes del sistema lineal, sean diferentes
de cero.

3.  Sea el sistema lineal:
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
31 1 32 2 33 3 3n n 3
n1 1 n2 2 n3 3 nm n n
a x a x a x ... a x C
a x a x a x ... a x C
a x a x a x ... a x C
.
.
.
a x a x a x ... a x C
    
    
    
    

4.  Al realizar los despejes
propuestos se obtiene 𝑥1 de la
primera ecuación, 𝑥2 de la
segunda ecuación, etc., se
obtiene:
131 12 1n
1 2 3 n
11 11 11 11
232 21 2n
2 1 3 n
22 22 22 22
3 31 32 3n
3 1 2 n
33 33 33 33
n 1,nn n1 n2
n 1 2 n 1
mn mn mn mn
aC a a
x x x ... x
a a a a
aC a a
x x x ... x
a a a a
C a a a
x x x ... x
a a a a
.
.
.
aC a a
x x x ... x
a a a a


    
    
    
    

5.  Para estimar la primera aproximación a la solución se debe partir de un vector
inicial, el cual puede ser un vector 𝒙 𝟎 = 𝟎, o algún otro que se encuentre próximo
al vector solución 𝒙.

6.  Resolver el sistema lineal por medio del método de Jacobi. Emplear el vector
inicial 𝑥0 = 0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
6x x x 4x 17
x 10x 2x x 17
3x 2x 8x x 19
x x x 5x 14
   
    
   
    

7.  Al despejar las incógnitas correspondientes al esquema se tiene
 
 
 
 
1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2 3
x 17 x x x / 6
x 17 x 2x x / 10
x 19 3x 2x x / 8
x 14 x x x / 5
      
        
     
        

8.  Si se inicia el proceso iterativo con el vector cero se obtiene:
1
1
1
2
1
3
1
4
x 2.833333
x 1.7
x 2.375
x 2.8





9.  Los resultados del vector 𝑥 1 se utilizan para estimar el vector 𝑥(2), los del vector
𝑥 3
y así sucesivamente. Los resultados del proceso iterativo se muestran en la
tabla 1
Tabla 1. Resultado
de las iteraciones

10.  En general, el vector aproximación a la solución después de las iteraciones se
puede calcular de la siguiente manera:

11. k 1 k k k131 12 1n
1 2 3 n
11 11 11 11
k 1 k k k232 21 2n
2 1 3 n
22 22 22 22
k 1 k k k3 31 32 3n
3 1 2 n
33 33 33 33
k 1 k k kn 1,nn n1 n2
n 1 2 n 1
mn mn mn mn
aC a a
x x x ... x
a a a a
aC a a
x x x ... x
a a a a
C a a a
x x x ... x
a a a a
.
.
.
aC a a
x x x ... x
a a a a



 

    
    
    
    

12.  O bien escrito en forma compacta:
 𝑥𝑖
𝑘+1
=
1
𝑎 𝑖𝑖
𝐶𝑖 − 𝑗=1
𝑗≠1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑘
𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛……………………(A)

13. 1. Utilizar la herramienta de Excel para generar la tabla de la figura 1 que
contiene a la matriz aumentada, el vector inicial y la programación de los
despejes que se generen al utilizar la ecuación (A)

14.  Para el método de Jacobi, considere un sistema 𝐴𝑥 = 𝑏
 Sea 𝐴 = 𝐷 − 𝐸 − 𝐹, donde 𝐷 es la diagonal de 𝐴, −𝐸 la triangular inferior y −𝐹 la triangular
superior.
 Así, la sucesión que se construye con este método iterativo será:
 𝐴𝑥 = 𝑏
 𝐷 − 𝐸 − 𝐹 𝑥 = 𝑏
 𝐷𝑥 = 𝐸 + 𝐹 𝑥 + 𝑏
 𝑥 𝑘 = 𝐷−1 𝐸 + 𝐹 𝑥 𝑘−1 + 𝐷−1 𝑏

15.  El siguiente programa resuelve mediante el método de Jacobi un sistema de
ecuaciones 𝐴𝑥 = 𝑏 con un error menor que una tolerancia dada tol.
 Note que el programa necesita un dato inicial 𝑥0.
 Además, el programa se detiene si se alcanza un número máximo de iteraciones
maxit sin que se satisfaga el criterio de convergencia.

17.  Ejemplo:
 Resuelva 𝐴𝑥(0) = 𝑏, con una aproximación inicial 𝑥(0) = [0 0 0]′