Unidades fundamentales de longitud

UNIDADES FUNDAMENTALES DE LONGITUD La Longitud como Magnitud Física se puede expresar por medio de ciertas unidades, las cuáles poseen sus respectivas equivalencias, describiremos algunas que nos facilitarán a la realización de los ejercicios de conversión. Ejemplos: a) Convertir 2593 Pies a Yardas. 1. Antes de empezar, es necesario aclarar que algunas equivalencias no se encuentran en las unidades que se requieren, por lo que es necesario hacer dos o más conversiones para llegar a las unidades deseadas. Ahora bien, para simplificarlo, lo trabajaremos como regla de tres representándolo de la siguiente manera: 2. ¿Cómo llegamos a ésta respuesta? Bueno, como se mencionó en el primer paso, empezamos a simplificar por medio de regla de tres, nos damos cuenta que la primera conversión realizada no se encuentra en las unidades requeridas, por lo que ha sido necesario primero convertir las unidades de pies a metros y por último de metros a yardas, las cuales son las unidades que deseamos. 3. Por medio del Diagrama se van tachando las unidades que no necesitamos hasta llegar las requeridas. 4. Como último paso, se multiplican las cantidades, es decir, los 2593 por la equivalencia 1.094 yardas ambas funcionando como Numeradores; luego multiplicamos 3.281 Pies x 1 Metro, funcionando como Denominadores. 5. Por último dividimos los resultados, el Numerador con el Denominador, es decir el resultado de multiplicar 2593 x 1.094 que es igual a 2836.74 entre el resultado de multiplicar 3.281 Pies x 1 Metro que es 3.281; obteniendo como resultado los 864.59 Yardas. OJO! En el Diagrama únicamente eliminamos Unidades (pies, metros) no Cantidades, las cantidades se multiplican o se dividen según sea el caso. Veamos otro ejemplo: b) Convertir 27,356 Metros a Millas 1. Realizándolo por medio del Diagrama y Regla de Tres nos quedaría así: 2. Aplicamos el mismo procedimiento, eliminando unidades hasta llegar a las unidades requeridas. 3. Luego multiplicamos las cantidades (27,356 x 1) como Numeradores y (1000 x 1.61) como Denominadores. 4. Procedemos a dividir 27,356 ÷ 1,610, obteniendo como respuesta 16.99 Millas. UNIDADES FUNDAMENTALES DE MASA Al igual que las unidades de Longitud, también existen unidades de Masa. Ejemplo: a) Convertir 386 Kilogramos a Libras. 1. Cómo en las Conversiones de Longitud, realizamos el mismo procedimiento. Vamos eliminando las unidades, 1 Kilogramo equivale a 1000 Gramos, 1 Libra equivale a 453.6 gramos. 2. Luego multiplicamos Numeradores (386 x 1000) = 386,000 y (1 x 453.6) = 453.6. 3. Por último dividimos los 386,000 ÷ 453.6, dándonos un resultado de 850.97 Libras. UNIDADES FUNDAMENTALES DE TIEMPO Ahora tenemos algunas Unidades de Tiempo: Ejemplo: a) Convertir 2,352 Segundos a Año. En éste caso, las conversiones son más largas, ya que se tienen que convertir los segundos a minutos, minutos a horas, horas a días y días a años que son las unidades que necesitamos. 1. Detallamos las Unidades con sus respectivas Equivalencias. 2. Ahora multiplicamos los Numeradores (2,352 x 1 x 1 x 1 x 1) = 2,352. 3. Luego los Denominadores (60 x 60 x 24 x 365.2) = 31, 553,280 4. Ahora dividimos 2, 352 ÷ 48,833,80 5. Obteniendo como resultado La respuesta es un poco diferente, pero aún así siempre se puede hacer uso de la Notación Científica. FACTORES DE CONVERSIÓN PARA ÁREA Cómo en las demás magnitudes, también tenemos unidades para Área, para mejor conocimiento las detallamos a continuación: Ejemplo: a) Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo. 1. Empezamos dibujando el Diagrama para guiarnos mejor 2. Si nos damos cuenta las Unidades están dividas, es decir (Millas /Horas) por lo que tenemos que eliminar Unidades tanto en Nominadores como en Denominadores. 3. Siguiendo el mismo procedimiento realizamos las conversiones necesarias hasta llegar a las que deseamos. 4. Multiplicamos las cantidades de los Numeradores, nos da un resultado de 1771, y en los Denominadores 3600. 5. Ahora dividimos los resultados 1771 ÷ 3600, dándonos como respuesta 0.49 Metros / Segundo. FACTORES DE CONVERSIÓN PARA VOLUMEN Describimos algunas Unidades de Conversión para Magnitud Volumen. Ejemplo: a) Un motor de un automóvil tiene un desplazamiento del émbolo de 1595 cm3 y un diámetro del cilindro de 83 Mm. Expresar éstas medidas en Pulgadas Cúbicas y en Pulgadas. 1. Éste problema es diferente, pero siempre empezamos dibujando el Diagrama como guía. 2. En éste caso primero convertimos los 1595 en Pulgadas Cúbicas. 3. Eliminamos las unidades y hacemos las respectivas conversiones para empezar a multiplicar. Dividimos respuestas (86,405,616 ÷ 1000,000). 4. Nos da una respuesta de 86.40 5. Ahora pasamos los 83 mm. a pulgadas. CONVERSIÓN DE GRADOS A MINUTOS Y SEGUNDOS Para la Conversión de Grados a Minutos, Segundos y Radianes es necesario definir lo que es la Trigonometría. CINEMÁTICA DE MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U) La clase más simple que tiene un cuerpo es el Movimiento Rectilíneo Uniforme. Y se conoce por sus Siglas M.R.U. Para empezar a ver ésta parte de la Física, es necesario conocer ciertos términos para empezar a familiarizarnos con los problemas que aplicaremos seguidamente. LA MECÁNICA: Es una subdivisión de la Física que estudia el movimiento de cualquier cuerpo físico. La Mecánica se divide en Cinemática, Dinámica y Estática. CINEMÁTICA: Es aquella ciencia que estudia el movimiento en sí mismo, es decir, no atiende la causa que lo produce. DINÁMICA: Se encarga de estudiar las causas que produce el movimiento. ESTÁTICA: Estudia las condiciones para el estado de equilibrio o reposo de los cuerpos. El Sistema de Referencia es aquel que define el movimiento de un cuerpo con relación a un punto fijo. ¿ Qué es el Desplazamiento? El Desplazamiento consiste en el cambio de posición de un cuerpo a otra posición. ¿ Qué es la Velocidad ? Es el tipo de movimiento más simple que un cuerpo puede experimentar, es decir, un movimiento uniforme en línea recta. Si un objeto cubre la misma distancia en un mismo lapso de tiempo, significa que se mueve con Rapidez o Velocidad Constante. La Rapidez Promedio de un Objeto en movimiento se define así: Dónde: Una persona camina 80 mts. con velocidad constante de 1.6 corre otros 80 mts con velocidad también constante de 3.2 Encontrar: a. ¿Cuál es el Promedio de la Velocidad? b. ¿Cuánto tiempo hubiera necesitado para recorrer la distancia total con la segunda velocidad? c. ¿Qué distancia habría recorrido con la Primera velocidad durante 2 minutos? Primero, detallamos los datos que tenemos: a) Promedio de la Velocidad 1. Para encontrar la Velocidad Promedio, tenemos que encontrar el Tiempo de cada una de las velocidades recorridas, por lo que despejamos la Fórmula así: Ésta fórmula, la podemos utilizar para encontrar Velocidades, Tiempos y Desplazamientos normales, no Promedios. 3. Teniendo ya el Tiempo Promedio, procedemos a utilizar la fórmula: b) ¿Cuánto tiempo para recorrer la Distancia Total con la Segunda Velocidad? 1. Detallamos las variables que tenemos: 2. Despejamos siempre fórmula: c) ¿Qué distancia habría recorrido con la primera velocidad durante 2 minutos? 1. Detallamos las variables que tenemos: 2. Despejamos siempre fórmula: Encontramos d Veamos otro ejemplo: Calcular: a) Distancia Total recorrida en Kms. Empezaremos con la resolución de cada literal: a) Distancia Total recorrida en Kms. 1. Detallamos los datos que tenemos: 2. Ahora, hacemos las conversiones con cada uno de los tiempos para las unidades requeridas: Teniendo el Tiempo, procedemos a encontrar d, ocupando la Fórmula: d = V x t 3. Seguimos con: Encontramos: 4. Pasamos a encontrar la última distancia: Encontrando: 5. Procedemos a encontrar la Velocidad Promedio: 1. Obtenemos la Velocidad Promedio con el tiempo dado: MOVIMIENTO UNIFORMENTE ACELERADO En la mayoría de los casos, la Velocidad de un objeto cambia a medida que el movimiento evoluciona. A éste tipo de Movimiento se le denomina Movimiento Uniformemente Acelerado. ACELERACIÓN: La Aceleración es el cambio de velocidad al tiempo transcurrido en un punto A a B. Su abreviatura es a. VELOCIDAD INICIAL (Vo) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al iniciar su movimiento en un período de tiempo. VELOCIDAD FINAL (Vf) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al finalizar su movimiento en un período de tiempo. La Fórmula de la aceleración está dada por la siguiente fórmula: De la última formula se pueden despejar todas las variables, para aplicarlas según sean los casos que puedan presentarse. A partir de ello, se dice que tenemos las siguientes Fórmulas de Aceleración: Dependiendo el problema a resolver y las variables a conocer, se irán deduciendo otras fórmulas para la solución de problemas. Siendo éstas, las principales para cualquier situación que se dé. MOVIMIENTO UNIFORMENTE ACELERADO En la mayoría de los casos, la Velocidad de un objeto cambia a medida que el movimiento evoluciona. A éste tipo de Movimiento se le denomina Movimiento Uniformemente Acelerado. ACELERACIÓN: La Aceleración es el cambio de velocidad al tiempo transcurrido en un punto A a B. Su abreviatura es a. VELOCIDAD INICIAL (Vo) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al iniciar su movimiento en un período de tiempo. VELOCIDAD FINAL (Vf) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al finalizar su movimiento en un período de tiempo. La Fórmula de la aceleración está dada por la siguiente fórmula: De la última formula se pueden despejar todas las variables, para aplicarlas según sean los casos que puedan presentarse. A partir de ello, se dice que tenemos las siguientes Fórmulas de Aceleración: Dependiendo el problema a resolver y las variables a conocer, se irán deduciendo otras fórmulas para la solución de problemas. Siendo éstas, las principales para cualquier situación que se dé. a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración Promedio durante el viaje? 1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para mayor resolución, detallar los datos que conocemos: d = 640 Millas t = 14 Horas a = ? También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo equivale a 0, y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta éstos dos puntos). Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo convertimos en Segundos para tener las mismas unidades. 4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula: a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración Promedio durante el viaje? 1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para mayor resolución, detallar los datos que conocemos: d = 640 Millas t = 14 Horas a = ? También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo equivale a 0, y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta éstos dos puntos). Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo convertimos en Segundos para tener las mismas unidades. 4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula: a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración Promedio durante el viaje? 1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para mayor resolución, detallar los datos que conocemos: d = 640 Millas t = 14 Horas a = ? También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo equivale a 0, y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta éstos dos puntos). Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo convertimos en Segundos para tener las mismas unidades. 4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula: a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración Promedio durante el viaje? 1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para mayor resolución, detallar los datos que conocemos: d = 640 Millas t = 14 Horas a = ? También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo equivale a 0, y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta éstos dos puntos). Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo convertimos en Segundos para tener las mismas unidades. 4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula: a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración Promedio durante el viaje? 1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para mayor resolución, detallar los datos que conocemos: d = 640 Millas t = 14 Horas a = ? También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo equivale a 0, y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta éstos dos puntos). Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo convertimos en Segundos para tener las mismas unidades. 4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula: Empezamos a detallar los datos que tenemos: 1. 2. Tenemos todos los datos necesarios para ocupar la fórmula: En éste caso, ¿por qué encontramos Aceleración Promedio y no una Aceleración Normal? Bueno en el problema se nos detalla que la posición inicial de la Flecha es de martillado, por lo que se asume que está en reposo, es decir, que la Velocidad Inicial es de “0”. Por lo que la fórmula nos quedaría así: Los datos que tenemos son los siguientes: 1. 2. Despejando la Fórmula nos quedaría así: 3. Ahora, la Velocidad Inicial tenemos que convertirla a las unidades requeridas: 4. Ahora sustituimos valores en la Fórmula despejada: Detallamos las Variables que tenemos: 1. 2. Utilizamos la Fórmula y sustituimos valores, cómo en el caso anterior: 3. Conociendo ya la Velocidad Final, procedemos a encontrar la d, por medio de la Fórmula: Datos asignados y a conocer: 1. Por qué la Velocidad Final es 0? Bueno el Tren va con una velocidad inicial, pero al frenar se encuentra en reposo, es decir, cambia de movimiento a estático, por lo que su velocidad final es 0. 2. Utilizamos la Fórmula: Sustituimos Valores: ¿ Por qué la Aceleración es Negativa? Debido a que el Tren va frenando, su aceleración es contrario al movimiento de la máquina, ya que está realizando una fuerza negativa que hace que ésta sea también negativa. 3. Procedemos a encontrar la Distancia: EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS. En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z). 1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y. 2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө). Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión. Cilíndricas a rectangulares. X = r cos ө, y = r sen ө, z = z Rectangulares a cilindricas: R2 =x2 + y2, tg ө =y/x, z = z. El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de un punto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas. Ejemplo 1: Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3). Solución: Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares obtenemos. X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = −2 (√3). Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2) = 2 Z = 3 Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (−2)( √ 3, 2, 2). Ejemplo 2: Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación: a) x2 + y2 =4z2 b) y2 = x Solución a) Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono «de dos hojas» con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en cilíndricas. x2 +y2 =4z2 ecuación en coordenadas rectangulares. r2 = 4z2 ecuación en coordenadas cilíndricas. Solución b) La superficie y2 = x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2 sen2 ө y x por r cos ө, obtenemos: y2 = x ecuación rectangular. r2 sen2 ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө. r(r sen2 ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar r sen2 ө –cos ө = 0 dividir los dos mienbros por r r =cos ө / sen2 ө despejar r r cosec ө ctg ө ecuación en cilíndricas. Nótese que esta ecuación incluye un punto con r = 0, así que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r. Ejemplo 3: Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuación en cilíndricas: r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 Solución: r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 ecuación en cilíndricas r2 (cos2ө – sen2 ө) + z2 = 0 identidad trigonometrica. r2 cos2 ө – r2 sen2 ө +z2 = −1 X2 – y2 +z2 = −1 sustituir r cos ө por x y r sen ө por y Y2 – x2 – z2 = 1 ecuación rectangular. Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y. COORDENADAS ESFERICAS. Es el sistema de coordenadas esféricas cada uno se representa por un trío ordenado: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ángulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre. EL SISTEMA DE COORDENADAS ESFERICAS. Es en sistema de coordenadas de sistemas esféricas un punto p del espacio viene representado por un trío ordenado (p, ө, ǿ). 1.- p es la distancia de P al origen, p >< 0. 2.- ө es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para r> 0. 3.- ǿ es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 > ǿ < π. Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas. La relación entre las coordenadas rectangulares y las esféricas. Para separar uno a otro deben usarse las formas siguientes: Esféricas a rectangulares: X =p sen Ф cos ө, y= p sen Ф sen ө, z = p cos Ф. Rectangulares a esféricas: P2= x2 + y2 + z2, tg ө=y/x, Ф= arcos (z/√ x2 + y2 +z2). Para cambiar de coordenadas esféricas a cilíndricas, o viceversa, deben aplicarse las formulas siguientes: Esféricas a cilíndricas (r > 0): r2 =p2 sen2 Ф, ө = ө, z = p cosФ. Cilíndricas a esféricas (r> 0): P= √r2 + z2, ө = ө, Ф = arcos (z / √r2 + z2). Las coordenadas esféricas son especialmente apropiadas para estudiar superficies que tenga un centro de simetría. Ejemplo 1: Hallar una ecuación en coordenadas esféricas parar las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican. a).- cono: x2 + y2 = z2 b).- esfera: −4z = 0 Solución: a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuación dada se obtiene: x2 + y2 = z2 p2 sen2 Ф cos2ө + p2 sen2Ф sen2ө =p2 cos2Ф p2 sen2 Ф (cos2ө + sen2ө) =p2 cos2Ф p2 sen2 Ф = p2 cos2 Ф sen2 Ф/ cos2 Ф = 1 p> 0 tg2 Ф = 1 Ф = π /4 o Ф = 3π/4 La ecuación Ф = π/4 representa la mitad superior del cono y la ecuación Ф = 3π/4 su mitad inferior. b).-como p2 = x2 +y2 + z2 y z = p cos Ф, la ecuación dada adopta la siguiente forma en coordenadas esféricas. P2 – 4 p cos Ф = 0 -> p (p −4 cos Ф) = 0 Conversión de coordenadas polares a cartesianas x = r · cos α y = r · sen α Ejemplos 2120º 10º = (1, 0) 1180º = (−1, 0) 190º = (0, 1) 1270º = −(0, −1) Conversión de coordenadas cartesianas a polares Ejemplos 260º 2120º 2240º 2300º (2, 0) 20º (−2, 0) 2180º (0, 2) 290º (0, −2) 2270º

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