conjuto de problemas de analisis dimensional

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OBJETIVOS:
1. Expresar las magnitudes derivadas en función de las
magnitudes fundamentales.
2. Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas
mediante el principio de homogeneidad dimensional.
3. Determinar fórmulas físicas empíricas a partir de
datos experimentales en el laboratorio.
Magnitudes físicas y el sistema internacional
as propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los
fenómenos naturales y que se pueden medir reciben el
nombre de Magnitudes Físicas. Así por ejemplo tenemos la
longitud, la masa, la velocidad, la temperatura, etc.
Mientras que otras propiedades como el color, el sabor, la
bondad, la belleza no son magnitudes físicas, ya que no se
pueden medir.
Entre las magnitudes físicas hay algunas que son
independientes de las demás y se denominan "Magnitudes
fundamentales" como la masa, la longitud, el tiempo, etc.
Así como también existen magnitudes físicas, que
dependen de las fundamentales para ser expresadas, las
cuales se denominan "Magnitudes derivadas”, este es el
caso de la velocidad, que se define mediante una relación
entre la longitud y el tiempo.
EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) es un
conjunto de unidades de magnitudes fundamentales a
partir del cual se debe expresar cualquier unidad de una
magnitud derivada. Este fue un acuerdo común tomado
por la mayor parte del mundo el 14 de octubre de 1960
en Francia.
Magnitudes Fundamentales:
Nombre Dimensión
Unidad
Básica
Símbolo
Longitud L Metro M
Masa M Kilogramo Kg
Tiempo T Segundo s
Temperatura
termodinámica  Kelvin K
Intensidad de
corriente
eléctrica
I Ampere A
Intensidad
luminosa
J Candela Cd
Cantidad de
sustancia
N mol mol
Magnitudes Auxiliares:
Nombre Unidad Básica Símbolo
Angulo plano Radián rad
Angulo sólido Estereoradián sr
Principio de Homogeneidad Dimensional
En toda igualdad matemática o fórmula física que expresa
la relación entre las diferentes magnitudes físicas, las
dimensiones en el primer miembro y segundo miembro,
deben ser iguales.
Sea la fórmula física:
2
A B 
2
[A] [B ]
2
A B C  
2
[A] [B ] [C] 
Ejemplo:
Analicemos la fórmula para determinar el espacio
recorrido por un móvil, en la línea recta, con velocidad
constante.
d v.t
d: distancia en metros.
v: velocidad constante en m/s.
t: tiempo empleado en segundos.
 [d] = [v.t] = [longitud] = L
REGLAS DIMENSIONALES
1. Si el valor numérico de la magnitud X es igual al
producto (cociente) de los valores numéricos de las
magnitudes A y B, entonces la dimensión de X será
igual al producto (cociente) de las dimensiones A y B
Si: X =A.B  [X] = [A] . [B]
Si:
A
X
B
 
1
[X] [A].[B]


2. Si el valor numérico de la magnitud X es igual a la
potencia “m” del valor numérico de la magnitud A,
entonces la dimensión de X es igual a la potencia n/m
de la dimensión de A.
Si:
n/m
X A 
n/m
[X] [A]
Si:
n
X A 
n
[X] [A] ;
Si:
1/m
X A 
1/m
[X] [A]
3. Si el valor numérico de la magnitud X es un coeficiente
constante (número; ángulo en radianes; función
trigonométrica, función logarítmica;......etc) que es
independiente de la dimensión de las magnitudes
(unidades) fundamentales, entonces la dimensión de X
es nula, y X es denominada “adimensional”.
Si: X = número  [X] = 1
Si: X = Sen  [X] = 1
Si: X = LogN  [X] = 1
L

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Recuerda que:
“Si una formula física es correcta, todos
los términos de la fórmula son
dimensionalmente iguales”.
Si: d = V0t +
2
1
at2
Entonces se cumple que:
[d] = [V0t] = [
2
1
at2
]
Si: X = constante numérica (a dimensional)
Magnitud Ecuación Fórmula Adicional
Área Largo x Ancho 2
L
Volumen Área x Altura 3
L
Densidad
masa
volumen
3
M.L

Caudal
volumen
tiempo
3 1
L T

Velocidad
Lineal
dis tancia
tiempo
1
L.T

MÁS FÓRMULAS:
Magnitud Ecuación
Fórmula
Adicional
Aceleración
Lineal
velocidad
tiempo
2
L.T
Fuerza Masa x Aceleración 2
M.L.T
Impulso Fuerza x Tiempo 1
M.L.T

CONTINÚA:
Magnitud Ecuación
Fórmula
Adicional
Cantidad de
Movimiento
Masa x Velocidad 1
M.L.T

Trabajo
Fuerza x
Desplazamiento
2 2
M.L .T

Energía Masa x (Velocidad)2 2 2
M.L .T

Potencia
trabajo
tiempo
2 3
M.L .T

Presión
fuerza
área
1 2
M.L .T
 
Velocidad
Angular
ángulo
tiempo
1
T

Aceleración
angular
velocidad angular
tiempo
2
L.T
Capacidad
calorífica
calor
temperatura
Calor
específico
capacidad calorifica
masa
2 2 1
L .T . 

1. Desplazamiento lineal  L
2. Desplazamiento Angular  1
3. Frecuencia 
1
T

4. Energía Cinética 
2 2
M.L .T

5. E. Potencial gravitatoria 
2 2
M.L .T

6. Cte. Universal de Gases 
P.V
.T
 
  
7. Carga Eléctrica  I.T
8. Peso específico 
2 2
M.L .T
 

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BLOQUE I: UTILIDAD DEL ANÁLISIS DEMENSIONAL
PROBLEMA 01: Complete la siguiente tabla en el Sistema
Internacional (SI):
[A] [B] [A B]
[A]
[B]
3 2
L M
2 3
L M
3 2
L T
3 2
L T
4
L M T 
3 2
L M T 
2
T  3
T
3 2
T I 3
T I
3 2
L  2
L 
4 3
N J T 
2
N J T 
PROBLEMA 02: Sabiendo que la siguiente expresión es
dimensional mente correcta.
2
PX
c
Dd
 . Hallar [X]
Datos:
c: velocidad;
P: presión
D: densidad
d: diámetro
A) L
B)
1/2
M
C)
1
L
D)
1
M

E)
1/2
L
PROBLEMA 03: Para determinar la energía cinética de
una molécula de gas monoatómico ideal se usa:
Donde:
3
Ec KT
2

T: temperatura
K: constante de boltzman. Hallar [ K]
A) 1 B)
2 1
MLT 
 C)
2
MLT

D)
2
MLT  E)
2 2
L MT

PROBLEMA 04: La frecuencia de un péndulo esta dado
por:
1 2mgh
F
2 A


Donde:
m: masa
h: altura
g: aceleración
Determinar las dimensiones de “A”
A) ML
B)
4
ML
C)
2
ML
D)
2
MLT

E)
3
ML
PROBLEMA 05: Si se cumple que:
k 2x P V cos    
Donde:
P: presión
V: volumen
 =
x
3
Determinar las dimensiones de A
A)
2 2
ML T

B)
2 3
ML T

C)
2 3
M LT

D)
2
MLT

E)
1 2
ML T 
PROBLEMA 06: Encontrar la fórmula dimensional de "F":
(masa)(aceleración)(tiempo)
F
(trabajo mecánico)

A)
1
LT
B)
2
L T
C)
2
LT
D)
1
L T
E)
2
L T

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BLOQUE II: UTILIDAD DEL ANÁLISIS DEMENSIONAL
PROBLEMA 01: Calcular la fórmula dimensional de “J”
2
J 86.F.t
Donde:
F: fuerza
t: tiempo
A)
1
ML

B) ML
C) 2
ML
D)
1
M L

E)
1 2
M L

PROBLEMA 02: En la ecuación obtener: [ ]
sen(wt)
P
4D
 

Donde:
P: presión
D: densidad
t: tiempo
A)
2 4 1
M L T
 
B)
4 1
ML T
 
C)
2 4 2
M L T
 
D)
2 4 1
M L T

E) NA
PROBLEMA 03: Calcular la fórmula dimensional de “a”:
2
4v
a
5R

V: velocidad;
R: radio
A)
1
LT
B) LT
C)
2
LT
D)
1
L T
E)
2
L T
PROBLEMA 04: Hallar [  ]:
A
V
 
 
A: aceleración;
V: velocidad
A) T
B) L
C)
1
T

D) 1
L
E) LT
PROBLEMA 05: Encontrar las dimensiones de "B" en la
ecuación:
2
(Presión)(Área)
B
[Velocidad]

A) ML
B)
1
M L

C)
1
ML

D)
1
MLT

E) MLT
PROBLEMA 06: Si la ecuación es dimensionalmente
correcta, hallar los valores de “x” e “y”.
x y
1 2 1 2 3TanA(h h ) Log(P P ) h  
Donde:
1h , 2h , 3h = alturas
1P , 2P = presiones
A) 0 y 1
B) -1 y 1
C) 0 y 0
D) - 2 y 2
E) 1/2 y -1/2

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BLOQUE III: UTILIDAD DEL ANÁLISIS DEMENSIONAL
PROBLEMA 01: Cuál debe ser las dimensiones de “A” para
que la expresión sea dimensionalmente correcta, si:
I: impulso
F: fuerza
t: tiempo
g: aceleración
Vo: velocidad
2
oI A v 2gx 2,5Ft  
A) MT
B)
2
M
C) M
D)
1
MT
E) N.A.
PROBLEMA 02: Dada la expresión:
2
Fx 2mb (Tan30 )Rt Ln(cZ)
   
Dimensionalmente correcta,
Donde:
x: longitud
m: masa
F: fuerza
c: velocidad
t: tiempo
Hallar las dimensiones del producto [b.R.z]
A)
2 3 1
M L T

B)
2 1
M LT
C)
3 2
ML T

D)
2 2
ML T

E)
3 1
ML T
PROBLEMA 03: Dada la expresión:
Sen60
2 3
F Xva
(Tan30 ) Ln
PA A W

 
   
 
Es dimensionalmente correcta, donde:
F: fuerza
A: superficie
a: aceleración
w: velocidad angular
p: presión
v: velocidad
Hallar la dimensión de “x”
A)
2
L
B)
3
LT

C)
2 3
L T

D)
3
T
E)
2
LT
PROBLEMA 04: En la siguiente expresión:
d A f B 
Donde “d” es el diámetro del núcleo de los tornillos usados
en calderas de vapor, “f” es fuerza. Hallar las dimensiones
de “A” y “B”
A) L y MLT
B)
1/2 1/2
M L T y
2
L
C)
1/2 1/2
M L T

y L
D)
1/2 1/2 1
M L T

y L
E)
1/2 1/2
M L T y
1/2
L