Vectores

1. Tema 1: sistemas de unidades y
vectores
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS
UNAH
Escuela de Física
Física general

2. 1.1 Unidades SI de longitud, masa y tiempo
• OBJETIVOS: a) Describir SI y b) especificar las referencias de las tres principales cantidades base
en ese sistema.
La longitud, la masa y el tiempo son cantidades físicas fundamentales que describen muchas
cantidades y fenómenos. El sistema de unidades que los científicos usan para representar estas y otras
cantidades se basa en el sistema métrico. La versión moderna del sistema métrico se llama sistema
internacional de unidades, que se abrevia oficialmente SI
El SI incluye cantidades base y cantidades derivadas, que se describen con unidades base y unidades
derivadas, respectivamente. Las unidades base, como el metro y el kilogramo, se representan con
estándares. Las cantidades que se pueden expresar en términos de combinaciones de unidades base se
llaman unidades derivadas

3. Longitud
La longitud es la cantidad base que usamos para medir distancias o dimensiones en el espacio. Por lo
general decimos que longitud es la distancia entre dos puntos. Sin embargo, esa distancia dependerá
de como se recorra el espacio entre los puntos, que podría ser con una trayectoria recta o curva.
La unidad SI de longitud es el metro (m). El metro se definido originalmente como 1/10 000 000 de la
distancia entre el Polo Norte y el ecuador a lo largo de un meridiano que pasaba por Paris

4. Masa
• La masa es la cantidad base con que describimos cantidades de materia. Cuanto mayor masa tiene
un objeto, contendrá mas materia. La unidad de masa en el SI es el kilogramo (kg), el cual se
definido originalmente en términos de un volumen especifico de agua
• En el SI, la masa es una cantidad base; pero en el sistema ingles se prefiere usar el peso para
describir cantidades de masa, por ejemplo, peso en libras en vez de masa en kilogramos. El peso de
un objeto es la atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre el objeto. Por ejemplo, cuando nos
pesamos en una bascula, nuestro peso es una medida de la fuerza gravitacional descendente que la
Tierra ejerce sobre nosotros.

5. Tiempo
• El tiempo es un concepto difícil de definir. Una definición común es que el tiempo es el flujo
continuo de sucesos hacia adelante. Este enunciado no es tanto una definición sino una observación
de que nunca se ha sabido que el tiempo vaya hacia atrás, como sucedería cuando vemos una
película en que el proyector funciona en reversa. A veces se dice que el tiempo es una cuarta
dimensión que acompaña a las tres dimensiones del espacio de tal manera que si algo existe en el
espacio también existe en el tiempo. En cualquier caso, podemos usar sucesos para tomar
mediciones del tiempo.
• La unidad SI del tiempo es el segundo (s).

6. Unidades base del SI
• El SI tiene siete unidades base para siete cantidades base, las cuales se supone que son mutuamente
independientes. Además del metro, el kilogramo y el segundo para 1. longitud, 2. masa y 3. tiempo,
las unidades SI incluyen 4. corriente eléctrica (carga/ segundo) en amperes (A), 5. temperatura en
kelvin (K), 6. cantidad de sustancia en moles (mol) y 7. intensidad luminosa en candelas (cd).
• Se cree que las cantidades mencionadas constituyen el numero mínimo de cantidades base
necesarias para describir cabalmente todo lo que se observa o mide en la naturaleza.

7. Algunos múltiplos y prefijos de unidades métricas

8. Volumen
• En el SI, la unidad estándar de volumen es el metro cubico (𝑚3): la unidad tridimensional derivada
de la unidad base, el metro. Dado que esta unidad es bastante grande, a menudo resulta mas
conveniente usar la unidad no estándar de volumen (o capacidad) de un cubo de 10 cm
(centímetros) por lado.
• Este volumen lleva el nombre de litro y se abrevia con L. El volumen de un litro es 1000 𝑐𝑚3
(10 cm
x10 cm x 10 cm). Puesto que 1 L =1000 mL (mililitros), se sigue que 1 mL= 1 𝑐𝑚3

9. Algunas unidades de cantidades comunes

10. Comprobación de dimensiones: análisis de unidades
• Un profesor anota dos ecuaciones en el pizarrón: a) v vo at y b) x v2a, donde x es una distancia en
metros (m); v y vo son velocidades en metros segundo (ms); a es aceleración en (metros
segundo)segundo, o sea, metrossegundo2 (ms2), y t es tiempo en segundos (s). .Las ecuaciones son
dimensionalmente correctas? Averígüelo mediante el análisis de unidades
• Simplemente insertamos las unidades de las cantidades en cada ecuación, cancelamos y verificamos las
unidades en ambos miembros.
La ecuación es
• Al insertar las unidades de las cantidades físicas tenemos
Observe que las unidades se cancelan como los números en una fracción. Entonces, tenemos
La ecuación es dimensionalmente correcta, ya que las unidades de cada miembro son metros por
segundo.

11. Comprobación de dimensiones: análisis de unidades
Por análisis de unidades, la ecuación
• El metro (m) no pueden ser igual al segundo (s), así que, en este caso, la ecuación es
dimensionalmente incorrecta (longitud tiempo) y, por lo tanto, tampoco es físicamente correcta.

12. 1.2 Conversión de unidades
• OBJETIVOS: a) Explicar las relaciones del factor de conversión y b) aplicarlas para convertir
unidades dentro de un sistema o de un sistema de unidades a otro.
• Como las unidades de diferentes sistemas, o incluso diferentes unidades dentro del mismo sistema,
pueden expresar la misma cantidad, a veces es necesario convertir las unidades de una cantidad a
otra unidad. Por ejemplo, quizá tengamos que convertir pies en yardas o pulgadas en centímetros.
Usted ya sabe como efectuar muchas conversiones de unidades. Si una habitación mide 12 ft de
largo, .que longitud tiene en yardas? La respuesta inmediata es 4 yd
Como hizo esta conversión? Para ello es necesario conocer una relación entre las unidades pie y
yardas. El lector sabe que 3 ft 1 yd. Esto se denomina enunciado de equivalencia.
Matemáticamente, si queremos cambiar de unidades, usamos factores de conversión, que son
enunciados de equivalencia expresados en forma de cocientes;
Para comprender la utilidad de tales cocientes, observe la expresión 1 yd 3 ft en la forma:

13. 1.2 Conversión de unidades
• Como se aprecia en estos ejemplos, el valor real de un factor de conversión es 1, y podemos
multiplicar cualquier cantidad por 1 sin que se alteren su valor ni su magnitud.
• La forma en que convertimos 12 pies en yardas se expresa matemáticamente como:
Si usamos el factor de conversión adecuado, las unidades se cancelaran, como indican
las rayas diagonales, de manera que el análisis
de unidades es correcto, yd

14. Conversión de unidades: uso de factores de conversión
• a) Un jugador de baloncesto tiene 6.5 ft de estatura. .Que estatura tiene en metros?
• b) .Cuantos segundos hay en un mes de 30 dias? c) .Cuanto es 50 mi/h en metros por segundo?
Razonamiento. Si usamos los factores de conversion correctos, el resto es solo aritmetica.
• Solución.
• a) De la tabla de conversion, tenemos que 1 ft = 0.305 m, asi que

15. • El factor de conversión para días y segundos esta disponible en la tabla (1 día =86 400 s), pero quizá
no siempre tengamos una tabla a la mano. Podemos usar varios factores de conversión bien
conocidos para obtener el resultado:
Observe como el análisis de unidades se encarga de comprobar los factores de conversión.
El resto es simple aritmética
En este caso, la tabla de conversion indica 1 mi = 1609 m y 1 h 3600 s. (Esto ultimo
se puede calcular facilmente.) Usamos estos cocientes para cancelar las unidades que se
van a cambiar, y dejar asi las unidades deseadas:
Conversión de unidades: uso de factores de conversión

16. Conversión de unidades de área: elegir el factor
de conversión correcto
• Un tablero de avisos tiene una área de 2.5 m2. Exprese esta área en centímetros cuadrados (cm2).
Este problema es una conversión de unidades de área, y sabemos que 1 m =100 cm. Por lo tanto,
habría que elevar al cuadrado para obtener metros cuadrados centímetros cuadrados.
Solución. Un error común en esta clase de conversiones es usar factores incorrectos. Dado que 1 m =
100 cm, algunos suponen que 1 m^2= 100 cm^2, lo cual es falso. El factor de conversión de área
correcto puede obtenerse directamente del factor de conversión lineal correcto, 100 cm=1 m, o
10^2 cm/ 1 m, elevándolo al cuadrado el factor de conversión lineal:
Entonces, 1m^2 =10^4cm^2 =( 10 000 cm2), y podemos escribir lo siguiente:

17. 1.3 Resolución de problemas
OBJETIVOS: a) Establecer un procedimiento general para resolver problemas y
b) aplicarlo a problemas representativos
• Un aspecto destacado de la física es la resolución de problemas. En general, ello significa aplicar
principios y ecuaciones de física a los datos de una situación especifica, para encontrar el valor de
una cantidad desconocida o deseada. No existe un método universal para enfrentar un problema
que automáticamente produzca una solución. Aunque no hay una formula mágica para resolver
problemas, si tenemos varias practicas consistentes que son muy útiles. Los pasos del siguiente
procedimiento buscan ofrecerle un marco general para aplicar a la resolución de la mayoría de los
problemas que se plantean en el texto. (Tal vez desee realizar modificaciones para ajustarlo a su
propio estilo.) En general, seguiremos estos pasos al resolver los problemas de ejemplo a lo largo
del texto. Se darán mas sugerencias útiles para resolver problemas donde sea conveniente.

18. Procedimiento general para resolver problemas

19. 1.4 Vectores y álgebra de vectores
Objetivo
• Aprender la notación vectorial.
• Entender que es un vector y para que nos sirve en la física.
• Aprender el álgebra de vectores.
• Aprender a utilizar los vectores para describir el movimiento de un
punto material.

20. Vectores y álgebra de vectores
• El estudio de la física, la cual es una ciencia, nos orienta a definir propiedades que
nos lleven a crear modelos más adecuados para un rango de observación de tal
fenómeno en estudio, estas propiedades que son características cuantificables
tienen naturalezas en general diferentes, debido a esto, a veces no es suficiente
representar completamente una de estas características con simplemente
números, llamados en física cantidades, muchas de estas cantidades necesitaran
varias características para poder definirlas correctamente, con el simple objetivo
de producir un modelo conveniente o que interprete de la mejor manera nuestro
fenómeno en cuestión. Necesitamos los vectores para tales cantidades físicas.

21. Vectores, propiedades y algunos vectores especiales
• Para desarrollar los modelos que predicen el movimiento de los cuerpos materiales nos es natural utilizar un
objeto matemático llamado vector.
• Empezaremos esta discusión de aprendizaje utilizando a los vectores para determinar la posición de un
punto material en el espacio, hay que tener en cuenta que estos objetos matemáticos no sólo pueden
representar esta propiedad (posición) de los puntos materiales, si no, que hay una diversidad de otras
propiedades que se pueden representar con vectores, por ejemplo; el desplazamiento, la velocidad, la
fuerza y muchos otros.
• Lo primero que hay que definir para entender cómo utilizar los vectores en la física y comprobar que es
natural para el hombre definir estos “objetos abstractos”, es lo que se conoce como sistema de referencia.
• Sistema de Referencia (Def.): un punto específico en el espacio, un punto específico en el tiempo que sirven
como referencia y tres ejes coordenados (dos ejes coordenados según el caso), la combinación de ellos es un
sistema de referencia.
• Generalmente en física el punto específico en el espacio es considerado la posición de una persona que
observa el fenómeno físico a estudiar (en este caso el movimiento de un objeto) y el punto específico en el
tiempo es la posición temporal que marca un reloj colocado en la posición del observador, el cual controla a
su gusto. El típico sistema de referencia en física es el mostrado a continuación:

22. Representación grafica de un vector
Donde el símbolo ෡
𝐴 es el vector, la letra A representa la
magnitud y la letra griega θ representa la dirección del vector.
Primer
cuadrante
Segundo
cuadrante
Tercer
cuadrante
Cuarto
cuadrante

23. Gráficamente un vector se representa:
II (𝑥−,𝑦+) I (𝑥+,𝑦+)
𝑦+
𝑥+
𝑥−
𝑦−
❖ Dependiendo del cuadrante donde se ubica, se colocan los signos en el vector
.
III (𝑥−
,𝑦−
)
IV(𝑥+,𝑦−)
𝜃
componente
𝐴
𝑦
Componente 𝐴𝑥

24. Representación de un vector en su forma de
componentes
Componente vertical
del vector C
Componente
horizontal del vector C
Vector C

25. Recordando un poco de trigonometría
cosθ:
𝐿𝐴
𝐻𝐼𝑃
sen𝜃:
𝐿𝑂
𝐻𝐼𝑃
Tan𝜃:
𝐿𝑂
𝐿𝐴
𝜃
hipotenusa Lado opuesto
Lado adyacente

26. Componentes de un vector
• Componente horizontal 𝐴𝑥
cosθ:
𝐿𝐴
𝐻𝐼𝑃
cosθ =
𝐴𝑥
𝐴
𝐴𝑥= 𝐴 cos 𝜃

27. Componentes de un vector
• Componente vertical 𝐴𝑦
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝐿𝑂
𝐻𝐼𝑃
senθ =
𝐴𝑦
𝐴
𝐴𝑦
= 𝐴 sen𝜃

28. Magnitud del vector A
𝐴 = (𝐴𝑥)2+(𝐴𝑦)2
Angulo del vector A
tanθ =
𝐴𝑦
𝐴𝑥
θ = tan−1 𝐴𝑦
𝐴𝑥

29. •Ejemplos

30. Durante un despegue (en aire inmóvil), un avión se mueve a una rapidez de 120mi/h
con un ángulo de 20° sobre el suelo, ¿Qué velocidad tiene el avión respecto al
suelo?
Desarollo
𝐴𝑥 = 𝐴 cos(𝜃)
Ax=120mi/h cos 20° 1 h=3600 S
1 mi=1609 m
Ax=112.76mi/h
𝑦+
𝑥+
𝑦−
𝑥−
Datos:
𝐴 =120 mi/h
𝜃=20°
20° suelo

31. b) Cual será el valor en Velocidad en m/s ?
112.76𝑚𝑖
ℎ
x
𝟏𝟔𝟎𝟗𝐦
𝟏𝐦𝐢
=181,430.084m x
1ℎ
3600𝑠
=50.39m/s
Ax=50.39m/s

32. Suma de vectores
Para sumar vectores debe:
❖Descomponer vectores en sus respectivas componentes horizontales y verticales
❖Usar angulos menos de 90°
❖Agregar respectivo signo de cada componente del vector , de acuerdo al
cuadrante en el que se encuentre el vector
❖Sumar o restar componentes horizontales y de igual forma las verticales

33. ejemplo: encuentre el vector resultante de los siguientes
vectores y exprese el resultado en su forma de magnitud
Angulo
𝑦+
𝑥+
𝑦−
𝑥−
റ
𝑐
𝐵
7N
60°
30°
10N
5N
റ
𝐴
Primero encontraremos las componentes
de cada vector

34. Ejemplo: encuentre el vector resultante de los
siguientes vectores
Formas de componentes:
റ
𝐴 = 𝐴𝑥 ො
𝑥 + 𝐴𝑦 ො
𝑦
𝐴𝑥=5Ncos(0)=5N
𝐴𝑦=5Nsin(0)=0N
𝐵=𝐵𝑥 ො
𝑥 + 𝐵𝑦 ො
𝑦
𝐵𝑥=7Ncos(60°)=3.5N
𝐵𝑦=7Nsin(60°)=6.06N
റ
𝐶=𝐶𝑥 ො
𝑥 + 𝐶𝑌 ො
𝑦
𝐶𝑥= -10Ncos(30°)= -8.66N
𝐶𝑦= -10Nsin(30°)= -5N
𝑦+
𝑥+
𝑦−
𝑥−
റ
𝑐
𝐵
7N
60°
30°
10N
5N
റ
𝐴

35. റ
𝐴=5Nො
𝑥 + 0𝑁 ෠
𝑌
𝐵=3.5Nො
𝑥 + 6.06𝑁 ො
𝑦
റ
𝐶= -8.86Nො
𝑥 − 5𝑁 ො
𝑦
𝑅= -0.16Nො
𝑥 + 1.06𝑁 ො
𝑦
El vector resultante en su forma de componentes
𝑅= -0.16 ෡
𝑁 + 1.06Nො
𝑦
El vector resultante en su forma magnitud –Angulo
𝑅=1.07N, 81.41°, sobre𝑥−
❖Magnitud:
𝑅 = (−0.16𝑁)2+(1.06𝑁)2
𝑅 =1.07N
❖Angulo:
𝜃=tan−1 1.06𝑁
0.16𝑁
=81.41°

36. Ejemplo: Dos vectores de fuerza 𝐹1=(3.ON) ෠
𝑋 -(4.ON) ෠
𝑌 y
𝐹2=(-6.ON) ෠
𝑋+ (4.5N) ෠
𝑌 se aplica una partícula; ¿Qué tercera 𝐹3 haría que la fuerza
neta o resultante fuera zero?
𝐹1=3.0N ෠
𝑋 - 4.0N ෠
𝑌
𝐹2=-6.0N ෠
𝑋 + 4.5N෠
𝑌
𝐹3= ? ?
Resultando entonces que
𝐹3= 3.0N ෠
𝑋 - 0.5N෠
𝑌
෠
𝑋
3.0N ෠
𝑋 + (-6.0N ෠
𝑋) + 𝐹3𝑥=0
𝐹3𝑥 = 6.0N – 3.0N
𝐹3𝑥 = 3.0N
-4.0N ෠
𝑌 + 4.5N ෠
𝑌 + 𝐹3𝑦 = 0
𝐹3𝑦= -4.5N + 4.0N
𝐹3𝑦= -0.5N
Encontrando la componente horizontal del vector 𝐹3
Encontrando la componente vertical del vector 𝐹3

37. Ejemplo: Una persona camino del punto A al punto B como se
muestra en la figura. Calcule su dezplazamiento relative al punto A
𝑦+
𝑥+
𝑦−
𝑥−
45°
40m
30°
A
B

38. 𝐴𝑥=20cos(30°)=17.32
𝐴𝑌=20sin(30°)=10
𝐵𝑥=0cos(90°)=0
𝐵𝑦=30sin(90°)=30
𝐶𝑥=40cos(0°)= -40
𝐶𝑦=0sin(0°)=0
𝐷𝑥=20cos(45°)=14.14
𝐷𝑦= -20sin(45°)= -14.14
റ
𝐴=17.32 ො
𝑥 + 10ො
𝑦
𝐵= 0 ො
𝑥 + 30෠
𝑌
റ
𝐶= -40ො
𝑥 + 0ො
𝑦
𝐷= 14.14ො
𝑥 - 14.14ො
𝑦
𝑅= -8.54ො
𝑥 - 26.86ො
𝑦
Sumando las compontes horizontales y verticales el
vertor resultante es
Las componentes horizontales y verticales

39. La magnitude del vector R es
𝑅 = (−8.54)2+(25.86)2
𝑅 = 27.23
El Angulo
tan−𝟏
(
𝟐𝟓.𝟖𝟔
𝟖𝟏.𝟓𝟒
)= 71.72
El vector R escrito en su forma magnitud ángulo es:
𝑅=27.23, 71.72, bajo 𝑥+